WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 22 |

«Число безразмерных комбинаций полной системы равно общему числу переменных m минус максимальное число этих переменных n, не образующих безразмерной комбинации». Во многих случаях определение числа n достаточно затруднительно.

Метод Релея Если в методе Букингема безразмерные комплексы определялись последовательно, то метод Релея позволяет установить все их одновременно. Порядок его применения проиллюстрируем для рассмотренной ранее задачи о силовом гидравлическом устройстве.

Исходная зависимость параметров имеет следующий вид:

F = f (L, V, p, m, g, P).

Для обеспечения однородности уравнения по размерности (в данном случае размерности силы) следует ввести соответствующие степени для элементов его правой части:

F = f (Lb, V c, pd, me, gf, Ph).

Далее, используя размерности физических величин, следует уравнять их с целью определения значений введенных показателей степеней: F: MLT –2; L: L; V: LT –1; p: ML –3; m: ML –1T –1; g: LT –2; P:

ML –1T –2.

MLT –2 = f [(L)b, (LT –1)c, (ML –3)d, (ML –1T –1)e, (LT –2)f, (ML –1T –2)h];

M : 1 = d + e + h;

L : 1 = b + c – 3d – e + f – h;

T : –2 = –c – e – 2f – 2h.

Три уравнения содержат шесть переменных. Так как основными выбраны три размерности, то из имеющихся шести переменных любые три следует выразить через остальные, например:

1 = d + e + h d = 1 – e – h;

1 = b + c – 3d – e + f – h b = 1 – c + 3d + e – f + h;

–2 = –c – e – 2f – 2h c = 2 – e – 2h – 2f 2 – e + f.

Этого достаточно, чтобы преобразовать исходное однородное уравнение к виду:

F = f (L2 – e + f, V 2 –e – 2h – 2f, p1 – e – h, me, gf, Ph).

Теперь следует сформировать безразмерные комплексы объ- единением переменных с одинаковыми показателями степеней (степени устанавливались для трех основных размерностей):

F = f[L2, V 2, p, (m/(LVp))e, (Lg/(V 2))f, (P/(V 2p))h], или F/(L2V 2p) = f[(m/(LVp))e, (Lg/(V 2))f, (P/(V 2p))h], что равнозначно ранее полученной совокупности безразмерных комплексов (точное соответствие выполняется при e = 1, f = –2, h = 1).

Относительная сложность метода Релея заключается в преобразовании показателей степеней при определяющих процесс параметрах. Если это удается сделать без серьезных вычислений, то метод Релея позволяет сразу установить всю совокупность безразмерных комплексов.

Метод Ипсена Суть метода заключается в поэтапном формировании безразмерных комплексов путем исключения основных размерностей в исходном уравнении связи между переменными исследуемого процесса. По сравнению с рассмотренными выше методами он обеспечивает контроль над процессом построения безразмерных комплексов как путем выбора порядка исключения размерностей, так и путем выбора переменной, которая используется для исключения конкретной размерности.

Порядок использования метода Ипсена можно показать на ранее рассмотренном примере с силовым гидравлическим цилиндром.

Исходная зависимость параметров имеет вид:

F = f (L, V, p, m, g, P).

Уравнение размерностей:

MLT –2 = f [(L), (LT –1), (ML –3), (ML –1T –1), (LT –2), (ML –1T –2)].

Размерность физических величин: F: MLT –2; L: L; V: LT –1; p:

ML –3; m: ML –1T –1; g: LT –2; P: ML–1T–2.

Для приведения исходной зависимости к безразмерному виду последовательно исключаем основные размерности с использованием параметров, входящих в правую часть уравнения.

Первой исключим размерность массы, используя параметр р (плотность жидкости). Преобразованиям подлежат только те переменные, которые содержат исключаемую размерность:

F/p = f (L, V, p/p, m/p, g, P/p);

L4T –2 = f [(L),(LT –1), (1), (L2T –1), (LT –2), (L2T –2)].

Параметр р/р теперь можно исключить из правой части:

F/p = f (L, V, m/p, g, P/p);

L4T –2 = f [(L), (LT –1), (L2T –1), (LT –2), (L2T –2)].

Подобные преобразования допустимы лишь в рассматриваемой ситуации, когда форма функциональной связи между параметрами не определена.

Следующей исключим размерность времени, используя для этого скорость V:

F/p/V 2 = f (L, V/V, m/p/V, g/V 2, P/p/V 2);

L2 = f [(L), (1), (L), (1/L), (1)], или F/p/V 2 = f (L, m/p/V, g/V 2, P/p/V 2);

L2 = f [(L), (L), (1/L)].

Последней исключаем линейную размерность, используя переменную L:

F/p/V 2/L2 = f (L/L, m/p/V/L, Lg/V 2, P/p/V 2);

1 = f [(1), (1), (1)], или F/p/V 2/L2 = f [(m/p/V/L), (Lg/V 2), (P/p/V 2)].

Последняя зависимость аналогична ранее полученному критериальному уравнению.

Затруднения в применении метода Ипсена появляются в задачах с увеличением числа переменных и числа используемых для анализа основных размерностей (четыре – пять). В этих случаях для исключения размерностей следует использовать комбинации нескольких определяющих процесс параметров. Каких-либо рекомендаций о последовательности исключения размерностей и о выборе используемых для этого целесообразных комбинаций параметров дать не представляется возможным.

Метод Барра (линейных пропорциональностей) Рассмотренные выше методы предоставляют небольшую возможность получать не только корректный, но и удобный для исследователя набор безразмерных комплексов. Такие решения можно найти комбинированием переменных, однако эта процедура достаточно утомительна, а полный набор удобных решений далеко не очевиден.

С целью устранения этого недостатка в конце 60-х гг. Барр разработал метод линейных пропорциональностей. Его суть заключается во включении в процедуру анализа размерностей промежуточного шага, обеспечивающего преобразование первоначально неоднородного по размерности уравнения в однородное с одной размерностью, в частности линейной. Полученные таким образом комплексы названы линейными пропорциональностями. Используемый при этом принцип переопределенности позволяет исследователю осуществить выбор удобных комбинаций из возможного их множества. Такое однородное по размерности уравнение приводится к безразмерному аналогично методу Ипсена.

Применительно к рассмотренному примеру определенные заранее линейные пропорциональности приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.Линейные пропорциональности Переменные m P V F Ускорение «g» (m/p)2/3/g1/ 3 P/(pg) V 2/g F/(pg)1/Динамический коэффициент m/(pP)1/2 m/(pV) – вязкости m Давление P – (F/P)1/Скорость V (F/(pV 2))1/Теперь для построения критериального уравнения можно использовать различные наборы безразмерных комбинаций исходя из удобства управления переменными при реализации эксперимента и контроля их изменения. При этом необходимо, чтобы каждая из основных переменных процесса встречалась в безразмерных комплексах не менее одного раза, а число членов однородного по размерности уравнения было на единицу больше числа членов однородного безразмерного уравнения. «Лишним» членом в однородном по размерности уравнении является линейный размер, который исключается при анализе уже известным образом.

В общем случае при комбинировании N переменных (без плотности и линейного размера) можно составить (N – 1) + (N – 2) + +... + 1 линейных пропорциональностей, из которых необходимыми являются только (N – 1). Применительно к примеру реально формируется восемь линейных пропорциональностей и возможными являются приведенные ниже некоторые варианты однородного по размерности уравнения:

(F/(pV 2))1/2 = f[m/(pV), m/(pP)1/2, (m/p)2/3/g1/ 3, L];

(F/(pV 2))1/2 = f[m/(pV), P/(pg), (m/p)2/3/g1/ 3, L];

(F/(pV 2))1/2 = f[V 2/g, m/(pP)1/2, (m/p)2/3/g1/ 3, L];

(F/(pV 2))1/2 = f[V 2/g, P/(pg), (m/p)2/3/g1/ 3, L];

(F/P)1/2 = f[m/(pV), m/(pP)1/2, (m/p)2/3/g1/ 3, L];

(F/P)1/2 = f[m/(pV), P/(pg), (m/p)2/3/g1/ 3, L];

(F/P)1/2 = f[V 2/g, m/(pP)1/2, (m/p)2/3/g1/ 3, L];

(F/P)1/2 = f[V 2/g, P/(pg), (m/p)2/3/g1/ 3, L];

F/(pg)1/3 = f[m/(pV), m/(pP)1/2, (m/p)2/3/g1/ 3, L];

F/(pg)1/3 = f[m/(pV), P/(pg), (m/p)2/3/g1/ 3, L];

F/(pg)1/3 = f[V 2/g, m/(pP)1/2, (m/p)2/3/g1/ 3, L];

F/(pg)1/3 = f[V 2/g, P/(pg), (m/p)2/3/g1/ 3, L] и др.

Полученный ранее набор безразмерных комплексов является комбинацией следующих составляющих в приведенных уравнениях: (F/(pV2))1/2, m/(pV), P/(pg), V 2/g.

Таким образом, метод Барра предоставляет широкие возможности по формированию условий построения критериальных уравнений исходя из возможностей по организации и проведению эксперимента.

Получаемые тем или иным методом безразмерные комплексы в дальнейшем используются для построения масштабных физических моделей, контроля правильности экспериментальных исследований и переноса результатов физического эксперимента с моделей на натурные процессы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Шенк, Х. Теория инженерного эксперимента / Х. Шенк. – М. : Мир, 1972. – 381 с.

2. Шарп, Дж. Гидравлическое моделирование / Дж. Шарп. – М. : Мир, 1984. – 280 с.

Тема ПОДОБИЕ ЯВЛЕНИЙ.

ТЕОРЕМЫ ПОДОБИЯ Условия подобия. Индикаторы подобия, масштабы моделирования, интегральные аналоги. Теоремы подобия, дополнительные положения. Способы получения критериев подобия. Подобные преобразования, метод интегральных аналогов. Типовые критерии подобия. Подход к автоматизации процедур формирования условий моделирования.

5.1 Условия подобия явлений Теория подобия и анализ размерностей являются методами частичного анализа. Каждый из них позволяет получить неполный ответ, и конечный результат применения того и другого представляет собой безразмерное функциональное уравнение, пригодное для разработки моделей. Однако если анализ размерностей служит в первую очередь средством интерпретации экспериментальных данных на основе законов моделирования, полученных из уравнения связи безразмерных параметров, то теория подобия и анализ подобия предназначены главным образом для вывода законов моделирования, на основании которых можно получить безразмерное функциональное уравнение.

Инструменты анализа размерностей являются основой для построения физических масштабных моделей, подобных натурным техническим системам. Подобными являются такие технические системы, у которых подобны все характеризующие параметры, т.е. все векторные величины геометрически подобны, а все скалярные величины пропорциональны в соответствующих точках пространства и в соответствующие моменты времени.

При решении технических задач физическое подобие рассматривается как совокупность подобия частных характеристик явления.

Условиями подобия являются:

– принадлежность явлений натуры и модели к одному классу дифференциальных уравнений;

– подобие условий однозначности;

– равенство критериев подобия для натуры и модели в сходственных точках исследуемого пространства.

Первое условие при использовании в модели и натуре тех же физических эффектов выполняется автоматически.

Под подобием условий однозначности понимается подобие начальных и граничных условий, геометрическое, кинематическое и динамическое подобие. Если для исследуемой системы характерны температурные и химические процессы, то в условия однозначности входят также температурное и химическое подобие.

Геометрическое подобие выражается равенством всех соответственных углов и пропорциональностью всех линейных размеров:

= ; = ;... ; = ;

1н 1м 2н 2н iн iн l1н l2н liн = =... = = k = const.

l1м l2м liм l Кинематическое подобие системы определяется тождественностью направления и пропорциональностью величин времени, действующих скоростей и ускорений:

V1н V2н Viн = =... = = kv = const.

V1м V2м Viм Динамическое подобие системы определяется тождественностью направления действия и пропорциональностью вектора сил G или напряжений :

G1н G2н Giн = =... = = kv = const, G1м G2м Giм / = / =... = / = k = const.

1н 1м 2н 2м iн iм Температурное подобие и подобие тепловых потоков определяется соответственно геометрическим подобием температурных полей и пропорциональностью всех температур. Химическое подобие предполагает пропорциональность концентраций веществ в сходственных точках пространства.

При моделировании физических явлений масштабы kl, kv, kG, k и другие называют масштабами модели (масштабами моделирования, коэффициентами подобия).

В соответствии со свойствами пропорции из соотношения l2н - l1н liн = = kl = const l2м - l1м liм следует правило замещения:

lн lм = dln dlм = kl = const, ( )lиз которого ясно, что при установлении физического подобия явлений вместо производных (и подынтегральных выражений) от характерных величин можно рассматривать соответствующие соотношения их конечных значений, которые называются интегральными аналогами. Последнее следует из положения, что предел постоянной величины равняется самой величине.

Третье условие подобия проверяется контролем равенства значений критериев подобия для натуры и модели в сходственных точках исследуемого пространства переменных. Критерии подобия отражают в безразмерном виде основные закономерности и явления, характерные для исследуемого объекта. Их число и состав зависят от физической природы явлений.

Методы установления подобия явлений и процессов базируются на трех основных теоремах подобия и дополнительных положениях.

5.2 Теоремы подобия Первая теорема постулирует третье условие подобия: подобные объекты (явления, процессы, системы, знаковые образования и др.) имеют индикаторы подобия, равные единице, и численно одинаковые критерии подобия.

Под индикаторами подобия понимаются отношения масштабов сходственных величин (сил, масс и т.п.). Равенство индикаторов подобия означает моделирование сходственных параметров процесса в одном масштабе.

Критерии подобия можно преобразовать в критерии другой формы и получать новые критерии путем операций деления и перемножения как между собой, так и на постоянную безразмерную величину. При этом общее число критериев должно оставаться неизменным.

Вторая теорема (П-теорема, теорема Букингема) была еже рассмотрена. Один из ее вариантов: всякое уравнение физического процесса x1 = f(x2, x3,..., xn), объединяющее между собой n величин, среди которых m величин обладают независимыми размерностями, можно преобразовать к критериальному уравнению, которое связывает (n – m) критериями подобия. Теорема постулирует возможность построения безразмерных уравнений связи и минимальное число критериев подобия. Практические задачи иногда приводят к получению большего числа критериев подобия. В этих случаях верхняя граница устанавливается правилом Ван Дриста: возможное число безразмерных комплексов равно числу определяющих процесс величин, исключая число тех величин, которые не дают безразмерных комплексов.

Третья теорема постулирует необходимые и достаточные условия подобия: необходимым и достаточным условием подобия двух объектов является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство определяющих критериев подобия. Так как физическая природа явлений в объекте существенно неравномерна, то построение модели проводится по основным критериям подобия, отражающим наиболее существенные явления исследуемого процесса. Такие критерии называются определяющими критериями подобия.

Дополнительные положения Сформулированные профессором В. А. Вениковым дополнительные условия рассматривают вопросы подобия сложных нелинейных анизотропных и неоднородных систем и сложных явлений:

1. Сложные объекты, явления, процессы, системы, составленные из нескольких подсистем, соответственно подобных в отдельности, подобны и в целом, если подобны условия однозначности на границах между подсистемами или равны критерии подобия, составленные из параметров, общих для подобных систем.

2. Условия подобия, справедливые для линейных систем, могут быть распространены и на нелинейные системы при соблюдении дополнительного условия – совпадения относительных характеристик переменных параметров, т.е. их зависимостей от переменных величин, заданных с учетом динамики происходящих явлений.

3. Условия подобия, справедливые для изотропных и однородных систем, могут быть распространены и на анизотропные и неоднородные системы, если только соответственные относительные анизотропии и неоднородности в сравниваемых системах одинаковы.

В ряде случаев для определяющих компонентов процесса справедливо условие суперпозиции. Тогда подобие явлений целесообразно устанавливать на основе положений аддитивности. Аддитивно подобными называют также тела, которые можно расположить так, что границы тел будут совпадать всеми своими точками в результате равномерной деформации.

Для классической мультипликативной теории подобия связь между параметрами системы определяют выражения типа xнi = kxixмi.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 22 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.