WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 22 |

3. Используя информацию только об очередной точке решения, эти методы позволяют легко менять величину шага вычислений h. Приближенная рекомендация основана на правиле Коллатца:

если отношение (k2 – k3) / (k1 – k2) становится большим нескольких сотых, то шаг интегрирования необходимо уменьшить.

4. Недостатком методов является отсутствие возможности явной оценки ошибки ограничения.

5. Результаты решения во многом зависят от величины шага интегрирования h. Его выбор осуществляют сравнением результатов, полученных при вычислении функции для последующей точки с шагом h и двумя шагами h / 2. Если при этом разница в результатах превышает заданную точность вычисления (заданную, например, в процентах), то шаг, как правило, уменьшают в два раза.

Наиболее распространенным в инженерных расчетах является метод Рунге–Кутта четвертого порядка. Вариант его программной реализации для системы n решаемых совместно ДУ приведен ниже.

Идентификация величин fst – процедура расчета правых частей ДУ;

nn, nd – начальный и конечный номера ДУ в системе, решаемых совместно;

y[i], yy[i] – y j+1 и y j соответственно для i-го уравнения;

j – индекс итерации;

rk[i] – приращение i-го уравнения der[i] – правая часть i-го уравнения;

h – шаг интегрирования.

Procedure rk4;

begin fst;

for i:=nn to nd do begin y[i]:=yy[i]+h*der[i]/2;

rk[i]:=der[i];

end;

fst;

for i:=nn to nd do begin.

y[i]:=yy[i]+h*der[i]/2;

rk[i]:=rk[i]+2*der[i];

end;

fst;

for i:=nn to nd do begin y[i]:=yy[i]+h*der[i];

rk[i]:=rk[i]+2*der[i];

end;

fst;

for i:=nn to nd do begin rk[i]:=(rk[i]+der[i])*h;

y[i]:=yy[i]+rk[i]/ end;

end.

14.3 Многошаговые численные методы В ходе решения задачи появляется дополнительная информация о рассчитанных точках траектории движения системы, которая не используется в одношаговых методах. Применение же многошаговых методов основано на использовании информации о предыдущих вычислениях. Для этого используют две формулы: прогноза и коррекции. Поэтому такие методы известны под названием методов прогноза и коррекции.

В отличие от одношаговых данные методы не обладают свойством «самостартования». Поэтому при их использовании начальные точки расчета определяются одношаговыми методами.

Обычно при выводе формул прогноза и коррекции решение уравнения рассматривают как процесс приближенного интегрирования, а сами формулы получают с помощью конечно-разностных методов:

1. Метод Милна. В этом методе на этапе прогноза используется формула Милна:

yn + 1 = yn – 3 + 4h / 3(2y – y + 2y ), n n – 1 n – а на этапе прогноза – формула Симпсона:

yn + 1 = yn – 1 + h / 3(y + 4y + y ).

n + 1 n n – Метод имеет четвертый порядок точности, однако применяется реже других, т.к. используемым формулам присуща неустойчивость: погрешность распространения может расти экспоненциально.

2. Метод Адамса–Башфорта. Метод имеет четвертый порядок точности. В отличие от предыдущего ошибка, внесенная на каком-либо шаге при использовании данного метода, не имеет тенденции к экспоненциальному росту.

Формула прогноза получена интегрированием обратной интерполяционной формулы Ньютона:

yn + 1 = yn + h(55y – 59y + 37y – 9y ) / 24, n n – 1 n – 2 n – формула коррекции:

yn + 1 = yn + h(9y – 19y – 5y + y ) / 24.

n + 1 n n – 1 n – 3. Метод Хэмминга. Формула прогноза имеет вид:

y(0)n + 1 = yn – 3+4h / 3(2y – y + 2y );

n n – 1 n – уточнения прогноза:

y(0)y = y(0)n + 1 +112 / 121(yn – y(0)n), n + [y(0)y ] = f(xn + 1, y(0)y );

n + 1 n + коррекции:

y(j + 1)n + 1 = (9yn – yn – 2) / 8 + 3h([y(j + 1)n + 1] + 2y – y ) / 8.

n n – Метод Хэмминга является устойчивым методом четвертого порядка точности, позволяет оценивать и устранять погрешности, вносимые на стадиях прогноза и коррекции. Благодаря простоте и устойчивости этот метод является одним из наиболее распространенных методов прогноза и коррекции.

Наряду с методами четвертого порядка точности используют и другие методы прогноза и коррекции. Приводимый ниже метод дает примерно такую же точность, что и метод Рунге–Кутта четвертого порядка.

Уравнение прогноза имеет вид:

p2 = y0 + 2hy1, y1 = F(x1, y1);

коррекции:

c2 = y1 + h(p2 + y1) / 2, p2 = F(x2, y2).

В качестве решения у2 = у(х0 + 2h) берется у2 = с2 + Ес, где Ес = (р2 – с2) / 5 – ошибка коррекции.

Вариант программы последнего метода приведен ниже. Обозначения переменных в программе соответствуют используемым в тексте.

Procedure procor;

begin fst;

for i:=nn to nd do begin ps2[i]:=der[i];

p2[i]:=yy[i]+2*h*ps2[i];

end;

fst;

for i:=nn to nd do begin yy[i]:=y[i];

c2:=y[i]+h/2*(der[i]+ps2[i]);

ec1:=(p2[i]-c2)/5;

y[i]:=c2+ec1;

end;

end.

Последний метод является относительно устойчивым (относительная погрешность вычисления не увеличивается).

Характеристика методов прогноза и коррекции Методы прогноза и коррекции можно охарактеризовать следующим образом:

1. Так как методы используют информацию о ранее вычисленных точках, то с их помощью нельзя начать решение уравнения.

Однако по этой же причине они более экономичны.

2. При любом изменении величины шага приходится возвращаться к методам Рунге–Кутта.

3. В качестве побочного продукта получается хорошая оценка ошибки вычисления.

Сочетание методов Возможности рассмотренных методов являются взаимодополняющими друг друга, что делает целесообразным их совместное применение:

1. Начать решение с помощью метода Рунге–Кутта и найти вторую точку расчета (первая задается начальными условиями).

2. Для вычисления следующих точек использовать метод прогноза и коррекции (например, последний из рассмотренных).

3. Если для вычисления очередного значения искомой переменной требуется более двух итераций или если ошибка ограничения слишком велика, следует уменьшить величину шага. Если эта ошибка слишком мала, то величину шага можно увеличить.

4. Для изменения шага интегрирования последнее еще достаточно точно вычисленное значение искомой переменной следует принять в качестве исходного. Решение следует продолжить методом Рунге–Кутта с этой исходной точки.

14.4 Практическая реализация численных методов Практическое использование численных методов можно рассмотреть на примере исследования динамики функционирования гидравлического амортизатора, конструктивная схема которого показана на рис. 14.1.

Рис. 14.1 Схема функционирования устройства Устройство содержит цилиндр 1 с профилированным стержнем 2 и тормозом 3, в полости цилиндра концентрично размещен шток с поршнем. Тормоз имеет клапан 4. При перемещении частей, показанном на рисунке, жидкость из полости I выдавливается через каналы в поршне в полости II и III. При прохождении ее в полость III клапан перемещается влево. Тормозящее усилие, препятствующее движению штока с поршнем, создается в первой полости, а его величина регулируется за счет изменения зазора истечения жидкости во вторую полость. В первой полости давление повышенное, в третьей – достаточное для заполнения ее жидкостью, во второй полости создается разрежение.

При обратном перемещении поршня клапан закрывается, жидкость пробрызгивается из третьей полости в первую по канавкам переменной глубины, выполненным на внутренней поверхности штока.

В третьей полости создается повышенное давление, препятствующее движению поршня. Регулирование тормозящего усилия обеспечивается изменяющейся по длине штока глубиной канавок. В некоторый момент времени во второй полости «выбирается» вакуум, давление в ней резко повышается. Этим создается дополнительное тормозящее движение поршня усилие.

Нормальное функционирование устройства при обратном движении во многом определяется величиной начального зазора между внутренней поверхностью штока и наружной поверхностью тормоза 3, а также износом этой поверхности. При повышенном износе тормозящее усилие в третьей полости является недостаточным, в то время как тормозящее усилие, возникающее во второй полости, становится недопустимо большим.

Исследование характера функционирования устройства основано на численном решении задачи движения составных частей амортизатора. Составление математической модели процесса не вызывает затруднений. Для ее реализации на первом шаге используется метод Рунге–Кутта четвертого порядка точности, последующие расчеты осуществляются методом прогноза и коррекции, программа реализации которого приведена выше. Практические исследования конструкции позволяют констатировать факт высокой устойчивости используемых методов. Результаты решения показаны на рис. 14.2.

«выбора» Зазор Рис. 14.2 Результаты расчетов характеристик движения 14.5 Жесткие задачи Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) не решаются ни одним из рассмотренных ранее методов.

Это обусловлено структурой решения ОДУ, имеющего вид n Ce-it. Постоянная времени ДУ первого порядка – это промеi i=жуток времени, по истечении которого величина нестационарной составляющей решения убывает в е–1 раз. В общем случае ДУ n-го порядка имеет n постоянных времени, также как и система первого порядка, содержащая n уравнений. Если любые две из них существенно отличаются по величине или если одна из них достаточно мала по сравнению со временем, для которого ищется решение, то задача называется «жесткой» и ее невозможно решить обычными методами.

В таких случаях шаг интегрирования должен быть достаточно мал, чтобы можно было учитывать изменения наиболее быстро меняющихся членов уравнения после того, когда их вклад в решение станет практически незаметным. Если не удается сохранить достаточно малую величину шага, то решение становится неустойчивым.

Подобные задачи характерны для проблем управления, расчета электрических цепей и сетей, химических реакций и т.п.

Пример. Исследуется система ОДУ:

U = 998U + 1998V, V = –999U – 1999V.

Для начальных условий U(0) = V(0) = 1 решение имеет вид:

U = 4e–t – 3e–1000t, V = –2e–t + 3e–1000t.

После небольшого промежутка времени решение становится близким к функциям:

U = 4e–t, V = –2e–t.

Если для решения системы используется метод Эйлера (Рунге–Кутта первого порядка), то дискретное решение имеет следующий вид:

Uk + 1 = Uk + h(998Uk + 1998Vk), Vk + 1 = Vk + h(–999Uk – 1999Vk), где U(0) = V(0) = 1.

При шаге интегрирования h = 0,01 значения функций во второй точке расчета таковы:

U1 = 1 + 0,01(998 + 1998) = 30,95, V1 = 1 + 0,01(–999 – 1999) = –28,98.

Последующие точки приводят к катастрофическим результатам. Поэтому для решения подобных задач используются специальные методы, среди которых наиболее известными являются следующие:

1. Гира.

2. Брайтона (ФДН – формулы дифференцирования назад).

3. Скила – композиционный неявный многошаговый метод.

4. Адамса–Мултона.

5. Энрайта – композиционный неявный метод.

6. Блочные (или циклические) методы.

Указанные методы требуют для своей реализации введения переменного шага интегрирования и многократных повторных вычислений, что затрудняет их использование в обычной практике частного пользователя.

Простейшим для решения подобных задач является одношаговый метод трапеций, задаваемый следующей зависимостью:

Xk + 1 = Xk + h / 2(X + Xk) = Xk + h / 2{f(Xk + 1, tk + 1) + (f(Xk, tk)}.

k + Для повышения точности вычислений рекомендуется использовать этот метод совместно со схемой экстраполяции:

X = X2k + 2(h / 2) + [X2k + 2(h / 2) – Xk + 1(h)] /3, k + где Xk + 1(h) и X2k + 2(h / 2) – решения, полученные по предыдущей формуле для каждой точки изменения аргумента (времени) tk + 1.

Реализация рассмотренной выше системы с помощью метода трапеций и сравнение полученных значений с данными аналитических расчетов приведены в табл. 14.1. Там же приведены результаты решения задачи методом Рунге–Кутта четвертого порядка точности и методом прогноза и коррекции. Сравнение проведено также с данными, полученными на основании аналитического решения системы. Как следует из результатов, достаточно простой метод трапеций не имеет перед двумя другими каких-либо преимуществ. Все методы дают значительную погрешность вычисления.

Применение для решения «жестких» задач обычных методов с малой величиной шага интегрирования имеет два недостатка:

1) если шаг интегрирования существенно меньше исследуемого диапазона изменения аргумента (времени), то общее время решения резко возрастает;

2) накапливающиеся в процессе длительных вычислений погрешности округления и усечения могут привести к получению бессмысленного результата.

В подобных случаях следует перейти к более сильным методам или блокам методов численного решения задач, используя процедуры многократного решения систем с переменной величиной шага интегрирования. При этом предпочтительными являются методы, входящие в специализированные пакеты прикладных программ и среды типа MathCAD и т.п.

Таблица 14.Погрешности вычисления функций в 19 первых точках расчетов Метод прогноза Метод Рунге–Кутта Метод трапеций и коррекции U, % V, % U, % V, % U, % V, % –28,5 28,5 –28,5 28,5 0,0 0,–20,1 36,1 –20,9 37,6 –1,1 4,–15,1 51,1 –16,2 54,7 –3,5 18,–11,9 94,7 –13,1 104,4 –4,9 58,–9,6 1625,6 –10,9 1843,6 –5,4 1381,–7,9 –96,4 –9,2 –112,4 –5,5 –103,–6,6 –44,4 –8,0 –53,2 –5,3 –56,–5,6 –27,8 –6,9 –34,2 –5,0 –40,–4,8 –19,7 –6,1 –24,8 –4,5 –32,–4,2 –14,9 –5,4 –19,2 –4,0 –26,–3,6 –11,7 –4,8 –15,5 –3,4 –22,–3,2 –9,5 –4,3 –12,9 –2,9 –19,–2,8 –7,8 –3,8 –10,9 –2,3 –16,–2,4 –6,6 –3,5 –9,3 –1,7 –14,–2,2 –5,6 –3,1 –8,1 –1,2 –12,–1,9 –4,8 –2,8 –7,1 –0,6 –10,–1,7 –4,1 –2,6 –6,2 –0,1 –8,–1,5 –3,6 –2,3 –5,5 0,3 –7,–1,3 –3,1 –2,1 –4,9 0,8 –6,14.6 Краевые задачи Краевыми называются задачи, в которых заданы по крайней мере два известных условия (для двух значений аргумента).

Как правило, это граничные условия, задаваемые на концах исследуемой траектории вычислений. Например, если производится исследование поведения консольно закрепленной балки (рис. 14.3), то известными являются условия, задаваемые на ее концах (0 и 1).

Рис. 14.3 Консольная балка Условно выделяют три класса методов решения краевых задач: 1) методы пристрелки; 2) конечно-разностные методы (КРМ);

3) вариационные методы. Наиболее распространенными являются КРМ. Их достоинство заключается в том, что они позволяют свести решение краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений. При этом процедура решения сводится к замене производной соответствующей конечно-разностной аппроксимацией.

Решение краевой задачи y = f(x, y, y) при y(a) = A и y(b) = B на интервале изменения аргумента [a, b] можно разделить на n равных частей:

xi – x0 + ih, i = 1, …, n, x0 = a, xn = b, h = (b–a) / n.

В точках xi получают решения yi. Зная координаты узловых точек и используя КР-выражения для производной, можно представить ДУ в виде КР-уравнения. Примеры такой замены:

y(xi) = (yi + 1 – yi–1) / 2 / h, y(xi) = (yi + 1 – 2yi + yi–1) / h2.

Если записать разностное уравнение для каждой узловой точки при двух краевых условиях, то задача сводится к системе n – алгебраических уравнений с n – 1 неизвестными.

Для построения разностных уравнений используют от двух до пяти точек. Кроме того, в зависимости от заданных условий, исходной информации и удобства вычислений могут использоваться правые, левые и центральные разности. Применяя правые разности, используют информацию о точках, расположенных справа от исходной. Соответственно, применяют и остальные схемы аппроксимации. Пример КР-аппроксимации производных до второго порядка по трем точкам приведен в табл. 14.2.

Таблица 14.Аппроксимация производных конечными разностями ПроизЛевая Центральная Правая водная y0 (3y0 – 4y–1 + y–2) / 2 / (y1 – y–1) / 2 / h – (–y2 + 4y1 – 3y0) / 2 / / h + (h2y / 3) – (yh2 / 6) / h + (yh2 / 3) y0 (y0 – 2y–1 + y–2) + (y1 – 2y0 + y–1) / h2 – (y2 – 2y1 + y0) / + (hy0) – (yIVh2 / 12) / h2 – (hy) Пример. Требуется решить дифференциальное уравнение Y = 2x + 3y в условиях y(0) = 0, y(1) = и шаге расчета h = 0,2.

В разностной форме это уравнение имеет следующий вид:

(yi + 1 – 2yi + yi – 1) / 0,04 = 2xi + 3yi.

Пользуясь этой формулой и граничными условиями, можно составить четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными (всего следует составить шесть уравнений, но так как значения искомой функции для граничных точек заданы, то остается определить только четыре неизвестных в промежуточных точках):

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 22 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.