WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 22 |

Обе записи являются допустимыми, существенно отличаясь от исходной. При этом целесообразность одной из них нельзя определить ни на основе технических возможностей самой ЭВМ, ни на основе используемого языка программирования. Если считать, что Х ** 4 интерпретируется как Х Х Х Х, а не как exp(4lnx), то для определения Y по первой записи потребуется девять умножений, тогда как по второй всего три.

Ограничения технических возможностей ЭВМ Любые вычисления возможны лишь при наличии определенных возможностей ЭВМ, таких как общий объем памяти и объем оперативной памяти, быстродействие, графическое разрешение монитора и т.п. Перечисленные показатели определяют практические возможности вычислительного комплекса использовать специализированные пакеты и отдельные программные продукты.

Ограничения, связанные с процедурными моделями трансформации Процесс замены описательной модели является не однозначным, а многовариантным (один из таких случаев рассмотрен выше).

Данный тип ограничений обусловлен возможностями процедурных моделей, используемых для формирования результатов вычислений.

К ним относятся устойчивость метода, ошибки промежуточных вычислений и возможность их автоматического контроля и учета, объем необходимых вычислений. Поэтому выбор типа процедурной модели предполагает хорошее знание предметной области исследования, существа конкретной решаемой задачи, накладываемых ситуацией ограничений, требуемой и целесообразной точности расчетов, потенциальных возможностей процедурных моделей и продуктивности их сочетания на разных этапах вычислений. В определенной степени этот процесс связан с интуицией и опытом пользователя.

В реальных задачах присутствует в различных сочетаниях практически весь спектр перечисленных ограничений.

13.3 Ошибки численного моделирования Ранее отмечалось, что построение моделей подчинено определенным правилам, имеющим большую специфику и широкие вариации в рамках различных предметных областей. Однако независимо от этого наблюдается высокая стабильность типичных ошибок в построении моделей, таких как:

– включение в модель несущественных для решаемой задачи переменных;

– отсутствие в модели требуемых существенных переменных;

– недостаточная точность предсказания параметров и характеристик процессов;

– недостаточная чувствительность модели к изменению переменных из-за неправильного определения функциональной зависимости критерия качества процесса от его переменных.

Наряду с указанным при проведении вычислений всегда присутствует возможность совершения трех групп ошибок:

1. Ошибки исходной информации. Данные ошибки возникают в результате неточности измерений, грубых просмотров или невозможности представить необходимую величину конечной дробью.

Любое измерение не может быть выполнено абсолютно точно.

Причинами этого являются предельные физические возможности приборов. Например, нельзя считать точно измеренным напряжение цепи, равное 6,4837569 В. Можно уверенно сказать, что несколько последних цифр являются недостоверными. С другой стороны, если число значащих цифр результата измерений мало, то можно говорить, что полученный результат является ошибочным. Например, временной интервал равен 4,2 с. В этом случае указанный результат может быть только случайной величиной. В подобных ситуациях следует указывать границы, в рамках которых должна находиться измеренная величина.

Независимо от количества значащих цифр в записи величины могут быть грубые ошибки, возникающие от опечаток, ошибочного отсчета показаний приборов, некорректной постановки задачи или неполного понимания физических законов.

Многие числа нельзя представить ограниченным числом значащих цифр (число, дробь 1/3 и т.п.). Имеются ситуации, когда конечная в одной системе счисления дробь становится бесконечной в другой системе счисления. Например дробь 1/10, имея конечное представление 0,1 в десятичной системе, становится бесконечной в двоичной системе: 0,000110011001100... Последнее приводит к тому, что десятикратное сложение числа 0,1 в двоичной системе не дает результата, равного единице.

Ошибки исходной информации определяют точность вычислений независимо от их метода. Ошибки ограничения и округления определяются численными методами, которые были использованы при вычислении, а также длиной представления чисел в ЭВМ.

2. Ошибки ограничения. Этот вид ошибок связан с учетом при вычислениях ограниченного числа значащих цифр. Следует понимать, что простое увеличение разрядности машины (числа значащих цифр) не является вариантом решения данной проблемы. В литературе приводится множество иллюстрирующих это положение примеров.

Пример 1. Считается, что формула разложения синуса угла в ряд Тейлора годится для любого конечного угла, а ошибка при ограничении ряда конечным числом членов не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда:

sin(x) = x – x3/3! + x5 / 5!–x7/7!+....

Однако для больших углов этот ряд совершенно бесполезен.

Так, для угла 1470° при вычислении с восемью значащими цифрами (теоретическая ошибка меньше 10–8) выдаваемый машиной результат равен 24,25401855. Он содержит большое число десятичных знаков и лишен всякого смысла. Даже если производить вычисления с 16 значащими цифрами, вместо синуса 2550° машина выдаст число 29,5.

Пример 2. В данном примере источник ошибок заложен в физической природе модели. Рассматривается система уравнений:

5х – 331у = 3,5;

6x – 397у = 5,2.

«Точное» решение системы (х = 331,7, у = 5,000) может быть найдено вручную с любым нужным числом значащих цифр. Оценка числа достоверных значащих цифр дает следующие результаты. Если константу в правой части второго уравнения изменить на 2 % (с 5,2 до 5,1), то решение системы изменяется на 10 % (х = 298,6, у = 4,5). Еще более поразительный результат получается при подстановке в уравнения значений х = 358,173 и у = 5,4. При округлении вычисленные значения левых частей дадут те же самые правые части, что и в исходной системе уравнений. В этом случае можно считать, что величины х и у имеют не более одной достоверной значащей цифры.

В данном примере неточность результата не зависит от числа значащих цифр, все вычисления были проведены точно. Причина неточностей – малая величина определителя системы уравнений.

Геометрически это означает, что две линии, представленные указанными уравнениями, почти параллельны.

3. Ошибка округления. Этот тип ошибок можно рассмотреть на следующем примере. Следует сложить два точных числа на машине с пятью значащими цифрами: 9,2654 и 7,1625. Сумма 16,содержит шесть значащих цифр и не помещается в разрядной сетке машины. Поэтому результат сложения будет округлен до 16,428.

Следует отметить, что рассмотренные ошибки вычислений распространяются по всему пути использования получаемых результатов. Поэтому следует использовать определенные правила организации вычислений, обеспечивающие меньшее накопление ошибок вычислений:

1. Если необходимо произвести сложение-вычитание длинной, равной последовательности чисел, работайте сначала с наименьшими числами.

2. Если возможно, избегайте вычитания двух почти равных чисел. Формулы, содержащие такое вычитание, часто можно преобразовать так, чтобы избежать подобной операции.

3. Выражение вида a(b – c) можно написать в виде ab – ac, а выражение (b – c) / a в виде b / a – c / a. Если числа в разности почти равны между собой, произведите вычитание до умножения или деления. При этом задача не будет осложнена дополнительными ошибками округления.

4. В любом случае сводите к минимуму число необходимых арифметических операций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Петренко, А. И. Основы автоматизации проектирования / А. И. Петренко. – Киев : Техника, 1982. – 295 с.

2. Джонсон, К. Численные методы в химии / К. Джонсон. – М. : Мир, 1983. – 504 с.

3. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. – М. : Мир, 1977. – 584 с.

4. Шуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Шуп. – М. : Мир, 1982. – 238 с.

5. Крылов, А. Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем / А. Н. Крылов. – Л. : Изд-во АН СССР, 1932. – 49 с.

6. Крылов, А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах / А. Н. Крылов. – Л. : Изд-во АН СССР, 1932. – 472 с.

7. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / под ред. Д. Холла и Д. Уатта. – М. : Мир, 1079. – 310 с.

8. Понтрягин, Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения / Л. С. Понтрягин. – М. : Наука, 1988. – 208 с.

8. Краснов, М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. Л. Краснов. – М. : Высшая школа, 1983. – 128 с.

9. Амелькин, В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях / В. В. Амелькин. – М. : Наука, 1987. – 160 с.

10. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ. – М. : Высшая школа, 1990. – 174 с.

11. MathCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows. – М. : Филинъ, 1997. – 712 с.

Тема ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Методы решения. Одношаговые методы. Многошаговые методы решения. Жесткие задачи. Причины неустойчивости решения. Пример жесткой задачи.

14.1 Основные положения Дифференциальными называются такие уравнения (ДУ), в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных и наряду с ними в уравнения входят не только сами функции, но и их производные.

Различают обыкновенные ДУ и ДУ в частных производных.

В обыкновенных ДУ производные берутся только по одной переменной.

В ДУ в частных производных имеются производные по нескольким переменным.

Большая часть законов физики формулируется в виде ДУ.

В сущности, любые задачи моделирования и проектирования, связанные с изучением потоков энергии, движения тел, сводятся к системам ДУ. Поэтому инженеру часто приходится встречаться с необходимостью построения и реализации математических моделей, содержащих ДУ.

Обыкновенное ДУ можно представить в общем виде:

F (t, y, y) = или в разрешенном относительно производной виде:

y = f(t, y), (14.1) где t – независимая переменная (во многих задачах это время течения процесса, в общем случае х); у – неизвестная функция независимой переменной; у = dy / dt – производная функции y; F – заданная функция трех переменных; f – заданная функция двух независимых переменных.

Для решения ДУ необходимо знать значение зависимой переменной и/или ее функции для некоторого значения независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется начальной задачей, задачей с начальными условиями, задачей Коши.

Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. В задаче Коши дополнительные условия называются начальными, в краевой задаче – граничными.

Решение ДУ в современной практике осуществляется многочисленными численными методами. Продуктивность использования того или иного метода определяется совокупностью различных факторов, однако в любом случае их применение целесообразно лишь том случае, когда решение ДУ существует и оно единственно.

Условия существования и единственности задаются следующими теоремами:

1. Теорема существования. Если в уравнении (14.1) функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области плоскости (t, y), то для любой точки (х0, у0) этой области существует решение y(t) начальной задачи (задачи Коши):

y = f(t, y), y(x0) = y0, определенное на некотором интервале, содержащем точку x0.

2. Теорема существования и единственности. Если в уравнении (14.1) функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области плоскости (t, y) и в этой области удовлетворяет условию Липшица по переменной y, т.е.

[f(t, y2) – f(t, y1)] < L [y2 – y1], где L – положительная постоянная, то для точки (х0, у0) рассматриваемой области существует единственное решение y(t) начальной задачи (задачи Коши), определенное на некотором интервале, содержащем точку х0.

3. Теорема продолжения. При выполнении теоремы существования или теоремы существования и единственности всякое решение уравнения (14.1) с начальными данными (х0, у0) из рассматриваемой области плоскости (t, y) может быть продолжено сколь угодно близко к границе области. При этом продолжение во втором случае будет обязательно единственным, а в первом случае – не обязательно.

Условие Липшица аналогично требованию f y.

Точка, в которой это условие не выполняется, называется особой точкой, а соответствующие ей решения – особыми решениями уравнения (1).

Для отыскания особых решений уравнения (14.1) следует:

1) найти множество точек, где частная производная f y обращается в бесконечность;

2) если это множество точек образует одну или несколько кривых, проверить, являются ли они решением уравнения (14.1);

3) если это интегральные кривые (решения уравнения), проверить, нарушаются ли в каждой их точке свойства единственности.

Особыми, как правило, являются точки, соответствующие у = 0.

В них дальнейшее решение исходного уравнения может раздваиваться.

При решении практических задач проверка условий существования и единственности решения проводится не только на основе рассмотренных теорем математики (такую проверку не всегда представляется возможным провести из-за сложности исходной модели и дополнительных условий моделирования), но и исходя из усмотрения физической природы исследуемого процесса.

Одной из распространенных постановок задач численного анализа является задача Коши. Она формулируется следующим образом:

Дано дифференциальное уравнение y = f (x, y) и начальные условия у(х0) = у0. Требуется найти функцию у(х), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальным условиям.

Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала значения производной, а затем давая малые приращения аргумента (например, времени t) и переходя к новой точке x1 = x + h (h – шаг изменения аргумента). Положение новой точки определяют по наклону кривой, вычисленному с помощью ДУ. Таким образом, график численного решения представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков, которыми аппроксимируется истинная кривая y = f(x).

В практических приложениях используют одношаговые и многошаговые методы решения подобных задач.

14.2 Одношаговые численные методы Одношаговые численные методы для нахождения следующей точки решения используют информацию лишь об одном предыдущем шаге. Они предназначены для решения ДУ первого порядка (порядок ДУ определяется порядком искомой производной).

К одношаговым относят группу методов Рунге–Кутта (аппроксимация решения по аргументу х в них описана ниже):

1. Метод первого порядка (метод Эйлера):

dy / dx = F(x, y) у / x = (yi + 1 – yi) / (xi + 1 – xi), где yi + 1 – решение уравнения в точке xi+1. Полагая, что h = xi + 1, имеем (yi + 1 – yi) / (xi + 1 – xi) = (yi + 1 – yi) / h = F(xi, yi) или yi + 1 yi + hF(xi, yi).

Используя знание начальных значений (х0, у0), можно определить следующее приближение, продолжая эту цепочку до окончания процесса решения.

2. Метод второго порядка:

yi+1 yi + hF(xi+ h / 2, y ), i+y = yi + h / 2F(xi, yi).

i+3. Метод третьего порядка:

yi + 1 yi + 1 / 6(k1 + 4k2 + k3), k1 = hF(xi, yi), k2 = hF(xi + h / 2, yi + k1 / 2), k3 = hF(xi + h, yi + 2k2 – k1).

4. Метод четвертого порядка:

yi + 1 yi + 1 / 6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4), k1 = hF(xi, yi), k2 = hF(xi + h / 2, yi + k1 / 2), k3 = hF(xi + h / 2, yi + k2 / 2), k4 = hF(xi + h, yi + k3).

В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие шаг h аргумента x в степени до k включительно. Целое число k называется порядком метода. Погрешность на шаге расчета имеет порядок k + 1.

Методы второго, третьего и четвертого порядка требуют на каждом шаге изменения аргумента соответственно двух, трех и четырех вычислений функции.

Характеристика методов Рунге–Кутта Методы Рунге–Кутта можно охарактеризовать следующим образом:

1. Методы используют для своей реализации информацию только о текущей точке и не используют информацию о предыдущих точках расчетов. Это свойство обеспечивает их применение для начала решения уравнений.

2. По той же причине приходится многократно вычислять функцию f (х, y) и затрачивать на это много машинного времени.

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 22 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.