WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 22 |

При этом в отличии от полного перебора исключается необходимость расчета всех возможных комбинаций параметров. Схема реализации метода покоординатного спуска (рис. 10.2):

1. Первый пункт аналогичен методу полного перебора.

2. Изменяют одну из координат, например x, при неизменном значении второй координаты (y) до тех пор, пока есть улучшение * критерия Z. Запоминают последнее (лучшее) значение Z = Z*( xi, y).

* * 3. Изменяют вторую координату (y), находят Z = Z*( xi, yi ).

4. Пункты 2, 3 повторяют до тех пор, пока не будет определено значение Z* = Z min (x*, y*).

xxРис. 10.2 Стратегия поиска решения методом покоординатного спуска Направление изменения координаты (увеличение или уменьшение) зависит от выбранной начальной точки расчета и стратегии поиска. Если в качестве начальной выбирается точка с минимальными значениями переменных, то их изменение осуществляется прибавлением шага приращения. Если начальная точка выбирается случайным образом, то для начала движения следует определить знак приращения, которое обеспечивает улучшение варианта.

Недостатком метода является неопределенность в выборе наиболее предпочтительного фактора для изменения показателя качества и шага движения. Кроме того, расчеты следует проводить из нескольких начальных точек, число которых неизвестно.

Покоординатный спуск с обучением Метод аналогичен рассмотренному выше. Отличие состоит в том, что предварительно определяют координату и направление ее изменения (увеличение или уменьшение), которые быстрее приводят к уменьшению критерия Z. Пробы на определение продуктивной координаты и направления ее изменения осуществляют последовательно для каждого варьируемого параметра. Только после этого осуществляют его целенаправленное изменение. Процедура повторяется до выполнения условия Z* = Zmin (x*, y*).

Пример. Определить значения параметров, минимизирующих критерий качества Z = 125 – 2X + 3Y + 2X 2 – 0,67Y 2 + 1,35XY, при ограничениях на изменяемые параметры –1,23 < X < 3,45;

–2,78 < Y < 6,и ограничении на функцию исследуемого процесса g = 13,67 – X 2 + 1,34XY – Y < 37,87.

Начиная с покоординатного спуска, используют не одну, а несколько начальных точек расчета. Можно показать, что для обнаружения глобального экстремума критерия с вероятностью p = 0,95 достаточно использовать 96 начальных точек при изменении искомых параметров в интервале [–1; +1]. Точки выбираются по закону равномерного распределения чисел в интервале от 0 до 1. Для обеспечения интервала изменения параметров [–1; +1] осуществляют их кодирование, например по формулам теории планирования эксперимента:

x = (X –Xср) / dX;

Xср = (Xв + Xн) / 2;

dX = (Xв – Xн) / 2, где x – кодированное значение параметра; Xв – верхнее (как правило, наибольшее), Xн – нижнее (как правило, наименьшее) натуральное значение параметра в интервале изменения dX; Xср – среднее натуральное значение параметра.

Представление параметров в кодированном виде обеспечивает создание универсальных программ оптимизации, не зависящих от предметной области решаемой задачи.

Примечание. При решении практических задач наряду с основной моделью процесса используются различные ограничения.

Их удовлетворение следует проверять на каждом шаге расчетов.

К таким ограничениям относятся:

– интервал изменения варьируемого параметра [+1, –1];

– физические ограничения на изменения сочетаний параметров.

Пример. Определить значения параметров, максимизирующих критерий качества Z = 125 – 2X + 3Y + 2X 2 – 0,67Y 2 + 1,35XY, при ограничениях на изменяемые параметры –1,23 < X < 3,45;

–2,78 < Y < 6,и ограничении на функцию исследуемого процесса g = 13,67 – X 2 + 1,34XY – Y < 37,87.

Кодирование переменных дает следующие значения:

Xср = 1,11; dX = 2,34;

Yср = 1,795; dY = 4,575.

Процедура, реализующая метод покоординатного спуска с обучением приведена ниже.

Uses crt;

var gpr,gm,g,dxx,dx,x11,xdx,a1,a2,zm,xz,yz,x,y,z: real;

ij,j1,n1,il,j9,i,j,i1,n: integer;

x1,y1,dux,dsn: array[1..10] of real;

Procedure nach_toch;

begin for i1:=1 to n do begin x1[i1]:=-1+2*Random;

end;

end;

Procedure opt;

begin for ij:=1 to n do begin y1[ij]:=(dsn[ij]+x1[ij]*dux[ij]);

end;

z:=125-2*y1[1]+3*y1[2]+2*y1[1]*y1[1]- 0.67*y1[2]*y1[2]+1.35*y1[1]*y1[2];

g:=13.67-y1[1]*y1[1]+1.34*y1[1]*y1[2]+ y1[2]*y1[2];

end;

Procedure zap;

begin zm:=z; xz:=y1[1];

yz:=y1[2]; gm:=g;

end;

Procedure prir;

begin i:=i+1;

x1[i1]:=x1[i1]+dx;

if abs(x1[i1])<=1 then begin opt;

x1[i1]:=x11;

if (z>zm) and (g

j9:=i1;

xdx:=dx;

end;

end;

if abs(x1[i1])>1 then x1[i1]:=x1[i1]-dx;

end;

Procedure prirasc;

begin il:=il+1;

for i1:=1 to n do begin prir;

end;

end;

Procedure opt1;

begin for j1:=1 to n1 do begin j9:=0;il:=0;

nach_toch;

dx:=dxx;

x11:=x1[i1];

prirasc;

dx:=-dxx;

x11:=x1[i1];

prirasc;

if j9<>0 then begin dx:=xdx;

i1:=j9;

prir;

end;

end;

end;

begin clrscr;

dxx:=0.01;n:=2;n1:=100;i:=0;zm:=0;

gpr:=37.87;

dsn[1]:=1.11;dsn[2]:=1.795;

dux[1]:=2.34; dux[2]:=4.575;

opt1;

WriteLn('Zmax= ',zm:5:2);

WriteLn('Xzmax= ',xz:5:2);

WriteLn('Yzmax= ',yz:5:2);

WriteLn('gm= ',gm:5:2);

WriteLn('Рассчитано вариантов: ', i);

end.

На основе рассмотренной процедуры получены данные:

Zmax = 159.63;

Xzmax = 3.31;

Yzmax = 4.05;

gm = 37.10.

Рассчитано вариантов: 404.

Наискорейший спуск Метод аналогичен рассмотренному выше. Отличие состоит в том, что предварительно определяют влияние каждого параметра на изменение критерия Z, после чего осуществляют изменение параметров (шага их изменения) в соответствующих пропорциях одновременно. Шаг изменения координат назначают (корректируют) в соответствии с их вкладом в изменение критерия качества (пропорционально). Например, увеличение X дает приращение Z в два раза больше, чем увеличение Y. Тогда шаг dy = 0,5dx. Изменяют сразу все координаты. Шаг изменения корректируется на каждом этапе определения Z. Окончание поиска – выполнение условия Z = Zmin(x,y).

Стратегия поиска этим методом показана на рис. 10.3.

ХY = f (x1, x2) XРис. 10.3 Реализация метода наискорейшего спуска Примечание. Прерывание поиска (и промежуточного, и конечного) осуществляют при выполнении условия (Zi + 1 – Zi) · 100 / Zi < e, где e – заданная точность вычислений критерия Z (например, 1; 5;

10 % и т.п.).

Следует помнить, что никакой метод оптимизации не освобождает от необходимости предварительного анализа содержательной стороны задачи. Понимание этого вопроса обеспечивает построение простых и достаточно достоверных поисковых процедур, использующих разновидности рассмотренных методов. Анализируются в первую очередь: интервалы изменения параметров и существенность их вклада в формирование критерия качества; важность накладываемых ограничений и рациональная последовательность проверок их выполнения; возможные величины шагов изменения варьируемых параметров; возможность перехода к решению задачи в безразмерном представлении параметров.

С математической точки зрения задачи параметрической оптимизации являются неопределенными: число искомых параметров больше числа независимых уравнений, составляющих математическую модель. Поэтому число вариантов решения, обеспечивающих выполнение конечных требований, может существенно отличаться от одного. В такой ситуации возникает проблема многозначности, т.е. наличия множества вариантов, каждый из которых «достаточно хорош», т.к. удовлетворяет заданным поисковым требованиям.

В подобных ситуациях можно либо воспользоваться любым из полученных вариантов; либо принять дополнительные меры для исключения подобной ситуации (постановка дополнительных ограничений); либо использовать процедуру «отсеивания» менее представительных вариантов решения (автоматическая таксономия).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Петренко, А. И. Основы автоматизации проектирования / А. И. Петренко. – Киев : Техника, 1982. – 295 с.

2. Шуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Шуп. – М. : Мир, 1982. – 238 с.

3. Гарбарчук, В. И. Математическое проектирование сложных судовых систем / В. И. Гарбарчук. – Л. : Судостроение, 1982. – 108 с.

4. Курицкий, Б. Я. Оптимизация вокруг нас / Б. Я. Курицкий. – Л. : Машиностроение, 1989. – 144 с.

Тема КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ПРОЕКТА Понятие критерия качества, требования к показателю качества. Относительность критериев. Формы записи критериев качества. Многокритериальность, оптимальность по Порето. Функция желательности.

11.1 Общие положения Критерий качества – признак, на основе которого производится оценка, сравнение эффективности отдельных решений, классификация объектов и явлений. Частным случаем критерия является критерий оптимальности – показатель предельной меры эффективности принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений и выбора наилучшего из них.

К критериям как основной категории теории принятия решений предъявляется целый комплекс требований, суть которых заключается в двух положениях:

– достоверность интерпретации требований к проекту;

– чувствительность к изменению величин и структуры параметров рассматриваемого явления.

Такие требования, как простота записи, удобство вычисления, единственность, непротиворечивость и так далее, относятся скорее к математической процедуре поиска решения.

При поиске проектного решения реализуются две задачи.

Первая задача: как найти оптимальное решение При наличии определяющего требования, выраженного одним критерием качества, это задача чисто математическая, связанная с организацией численной процедуры поиска. На практике такие задачи в чистом виде не встречаются, хотя решаются достаточно часто ввиду упрощения реальной ситуации до возможно разрешимой.

Вторая задача: что следует понимать под оптимальным проектом Эта задача встречается всегда: комплекс требований порождает комплекс критериев – многокритериальность, при которой не существует проекта, наилучшего сразу по всем критериям. Поэтому оптимальное решение чаще всего является компромиссным.

Многообразие проектных ситуаций порождает многообразие содержания критериев качества. Это многообразие можно классифицировать по группам требований (функциональные, общетехнические, конструктивные и т.д.), по типам элементов ТС (источник энергии, трансмиссия, исполнитель, управляющий элемент).

В зависимости от назначения элемента ТС можно выделить следующие группы критериев:

1. Силовой элемент – источник (аккумулятор-источник) энергии:

– минимум времени срабатывания;

– неизбыточность накопления энергии;

– минимум рассеивания энергии (остаточного накопления);

– обеспечение требуемого закона силового нагружения;

– температурная нечувствительность и т.д.

2. Передающий элемент – преобразователь энергии:

– максимальный КПД;

– неискажение закона силового нагружения;

–минимум времени срабатывания;

– минимальная инерционность;

– функциональная достаточность (неизбыточность).

3. Управляющий элемент – регулятор, ограничитель:

– точность управления (своевременность и требуемый уровень воздействия);

– минимальная инерционность;

– минимум энергопотребления ;

– структурная совместимость;

– многофункциональность и т.д.

4. Опорный элемент:

– прочность;

– максимальный КПД;

– динамическая устойчивость;

– статическая устойчивость;

– минимум массы и т.д.

Каждый из критериев может быть охарактеризован на более детальном уровне. Например, критерий прочности:

– контактная прочность;

– поверхностная прочность;

– сопротивление изгибу, кручению, срезанию и т.п.;

– равнопрочность;

– дифференцированная прочность и т.д.

Критерии могут быть сгруппированы определенным образом в интегральный критерий качества. Если интегральный (обобщенный, составной) критерий получен в результате проникновения в физическую суть функционирования ТС и вскрытия объективно существующей взаимосвязи между частными критериями и интегральным, то и конечное решение будет объективным. Однако ввиду сложности или невозможности установления такой связи в математически строгой форме на практике интегральный критерий образуют путем формального объединения частных критериев, что неизбежно ведет к субъективности получаемого оптимального решения.

Наибольшее распространение получили три формы записи интегрального критерия, варианты некоторых из них приведены ниже:

– аддитивные:

К =, i =1,..., n, i i К = i, i =1,..., n ;

i – мультиплексные (мультипликативные):

К =, i =1,..., n, i i К = i, i =1,..., n;

i – комбинированные:

К = +, i =1,..., n, i i i i К = i +, i =1,..., n, i i i К = i + i, i =1,..., n, ii К = + i, i =1,..., n.

i i i Величины i рассматриваются как веса, определяющие важность частных критериев i.

Основным недостатком приведенных форм записи является то, что они не определяют объективной роли частных критериев в функционировании системы и выступают как формальный математический прием, придающий задаче удобный для решения вид. Все формы записи допускают компенсацию частных критериев. Сложность их реализации обусловлена необходимостью обоснования величин весов. В практике решения задач для этого используют методы экспертных оценок, имитационное моделирование, возможности регрессионного анализа. В некоторых случаях имеется возможность автоматического определения и корректировки значимости частных критериев качества на основе анализа математических закономерностей их изменения в области варьирования искомых параметров модели изделия.

11.2 Оптимальность по Парето Использование принципа Парето обеспечивает возможность сведения задачи с множеством частных критериев к задаче с одним интегральным критерием качества. При этом определение весовых коэффициентов частных критериев можно определять и уточнять автоматически в ходе решения задачи. Определение системы весовых коэффициентов и ранжирование по ней решений из области Порето приводит к получению оптимального компромиссного варианта, сбалансированного по противоречивости частных критериев.

При этом интегральный показатель качества представляется следующим образом:

– если i min, то 0,К= ( )2 i / i -1 ;

( i min ) – если i max, то 0,К= ( )2 i / i -1.

( i max ) Такая форма записи устраняет возможность компенсации потери качества по одному частному критерию путем увеличения качества по другому и обеспечивает предпочтительный выбор таких вариантов решения, при которых частные критерии располагаются ближе всего к некоторому идеальному набору своих экстремальных значений.

Пример области Парето для двух частных критериев качества показан на рис. 11.1. Области Парето – это те области изменения интегрального критерия, в которых повышение качества по одному частному критерию возможно лишь ценой снижения качества по другому частному критерию (область компромисса).

Рис. 11.1 Область Парето функции К = f(Ф1,Ф2) Искомый вектор частных критериев W является нормалью к поверхности Парето. Его поиск и определение оптимального решения проводится в следующей последовательности:

– проводится минимизация отдельно по каждому критерию качества (например, 1min ), остальные частные критерии вычисляются с учетом полученных таким образом параметров модели i 1min ;

( ) – по результатам частных оптимизаций формируется матрица Ф.

Это позволяет определить область возможных изменений частных критериев. Матрица частных критериев Ф связана с вектором весов W соотношением Ф W = е, где еТ = [1, 1,..., 1] – единичный вектор.

Это соотношение позволяет определить веса частных критериев:

Ф–1ФW = Ф–1 е, W = Ф–1е.

С найденным вектором W проводится минимизация интегрального критерия качества. Расчеты проводят до момента выполнения условий К - К j j+100 ;

К j gj [gj], где – заданная точность расчета критерия К (1; 5; 10 %); [gj] – ограничения на варьируемые параметры.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 22 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.