WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 22 |

Эту операцию необходимо проделать для всех уровней каждого фактора. При этом появляется возможность построения частных шести функций по пяти усредненным значениям для каждого фактора.

Рассматриваемый метод не накладывает никаких ограничений на вид частных функций, обеспечивая тем самым учет реального протекания внутренних процессов в исследуемой системе. Построение зависимостей осуществляется удобным способом – сглаживанием результатов полиномами различной формы и степени. Поиск получаемых при этом коэффициентов регрессии можно в общем случае осуществлять на основе метода наименьших квадратов. Соответствие полученных таким образом зависимостей данным эксперимента оценивается статистически.

Следует еще раз отметить, что обычно приводимые в регрессионном анализе предпосылки метода наименьших квадратов (МНК) о нормальном законе распределения исследуемых величин в общем случае не являются критерием его применения. При соблюдении таких ограничений дисперсия оценок получается минимальной из всех возможных (доказательство этого факта приводится в курсе математической статистики как интерпретация общего принципа Лежандра, не более того). Если требование соответствия нормальному закону распределения не гарантируется по результатам эксперимента, то это приводит лишь к необходимости статистической оценки иными методами – непараметрическими.

Метода, обладающего лучшей результативностью, чем МНК (иное название принципа Лежандра), в настоящее время не обнаружено.

Обобщение полученных частных уравнений регрессии в единую модель осуществляется на основе уравнения Протодьяконова, предложенного для статистической обработки массива данных со случайным сочетанием уровней факторов:

yi i=1...k yn =, k -yср где уn – многофакторная функция Протодьяконова; уi – частные функции; k – число факторов (частных функций); уср – среднее значение всех учитываемых результатов эксперимента.

3. Предложенное уравнение может приводить к отклонениям полученных по нему расчетных данных от экспериментальных, хотя и в рамках его статистической значимости, а также к превышению реального физического значения зависимой переменной даже в тех случаях, когда частные значения находятся в этом пределе. Поэтому при построении конечной модели осуществляют коррекцию исходного уравнения различными способами.

Если имеются ограничения на физические пределы изменения зависимой переменной (упв – верхнее значение, упн – нижнее значение), то конечное выражение уравнения регрессии можно представить в виде у = упн + (упв – упн)ехр (–А уп –Б).

Неизвестные коэффициенты А и Б можно найти методом наименьших квадратов или по результатам совместного решения последнего уравнения для двух групп экспериментальных данных, например дающих результат больше и меньше среднего значения зависимой переменной.

Использование рассмотренного подхода позволяет резко сократить число экспериментов при получении адекватного описания системы в целом и частных аспектов ее состояния. Чтобы провести шестифакторный эксперимент на пяти уровнях согласно этому подходу, требуется всего 25 экспериментов, тогда как в полном факторном эксперименте для этих условий их понадобится 15 625.

Пример модели «серого ящика» Одним из важных показателей качества грузового автомобиля является удельная мощность двигателя (Nуд). Анализ априорной информации позволяет заключить, что среди множества факторов, оказывающих влияние на этот показатель, основными являются:

G(Х1) – полный вес автопоезда;

Ц(Х2) – цена топлива;

f(Х3) – коэффициент сопротивления качению;

П(Х4) – пересеченность продольного профиля;

K(Х5) – помехонасыщенность маршрута;

И(Х6) – интенсивность движения.

Уровни варьирования указанных переменных представлены ниже в табл. 9.6.

Таблица 9.Уровни варьирования переменных Уровни Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х1 235,0 6,08 0,03000 10 15,0 2 197,4 5,26 0,02615 9 12,5 3 159,4 4,44 0,00225 8 10,0 4 121,4 3,62 0,18650 7 7,5 5 83,4 2,80 0,01500 6 5,0 Интервал варьирования 76,0 1,64 0,00750 2 5,0 Реализация модели проведена по рассмотренному выше плану шестифакторного эксперимента на пяти уровнях.

Обработкой статистических данных получены частные выражения зависимой переменной от определяющих факторов:

Nуд(X1) = 1,13 – 0,24 X1; Nуд(X4) = 1,13 + 0,10 X4;

Nуд(X2) = 1,13 – 0,12 X2; Nуд(X5) = 1,13 – 0,05 X5;

Nуд(X3) = 1,13 + 0,11 X3; Nуд(X6) = 1,13 – 0,05 X6.

Общая модель строилась в виде уравнения Протодьяконова.

Экспериментальные данные и результаты теоретических расчетов по полученной модели показаны ниже в табл. 9.7. В связи со значительными погрешностями предсказания теоретическая модель корректировалась на основе приведенных выше рекомендаций. Окончательно уравнение связи имеет следующий вид:

ykor = 0,825 + 0,82exp(–0,765exp(–3,947lnyп)).

Полученные на его основе данные приведены в табл. 9.7. Там же указаны относительные погрешности определения функции отклика по соответствующим зависимостям.

Таблица 9.Сводные данные Относи- ОтносиНомер Данные Расчетные тельная С учетом тельная опыта эксперимента данные погреш- корректировки погрешность, % ность, % 1 0,880 0,676 –23,20 0,848 –3,2 0,890 0,716 –19,52 0,872 –2,3 0,885 0,699 –21,05 0,860 –2,4 0,900 0,735 –18,39 0,887 –1,5 0,895 0,728 –18,63 0,882 –1,6 1,135 0,963 –15,17 1,162 2,7 1,060 0,918 –13,38 1,106 4,8 0,860 0,768 –10,56 0,920 6,9 1,270 1,108 –1278 1,317 3,10 1,325 1,156 –12,74 1,358 2,11 0,945 0,784 –17,06 0,936 –0,12 1,000 0,836 –16,43 0,998 –0,13 0,895 0,761 –14,96 0,912 1,14 1,375 1,100 –16,31 1,310 –0,15 0,895 0,769 –14,03 0,920 2,16 1,140 0,999 –12,33 1,206 5,17 1,365 1,236 –9,47 1,413 3,18 1,345 1,199 –10,88 1,389 3,19 1,365 1,245 –8,78 1,419 3,20 1,635 1,65 –4,67 1,543 –5,21 0,950 0,841 –11,46 1,005 5,22 1,335 1,188 –11,00 1,382 3,23 1,365 1,212 –11,22 1,398 2,24 1,400 1,268 –9,36 1,493 2,25 1,200 1,006 –11,13 1,278 6,Анализ полученных данных позволяет заключить, что в ряде случаев уравнение Протодьяконова дает расчетные значения, которые существенно отличаются от данных эксперимента. Вместе с тем корректировка этого уравнения позволяет привести его к виду, вполне пригодному для решения практических задач.

Следует отметить, что организация полного факторного эксперимента (ПФЭ) потребовала бы провести 26 = 64 эксперимента.

Много это или мало Этот вопрос решает сам экспериментатор.

В любом случае проведение простейших вычислений предпочтительнее проведения сложных натурных исследований, связанных с серьезными материальными и временными затратами.

Численные данные для иллюстрации процесса построения модели «серого ящика» заимствованы из литературного источника.

В качестве инструмента их получения использована математическая модель движения автопоезда в различных условиях эксплуатации.

Модель включает несколько десятков дифференциальных и алгебраических уравнений, всесторонне описывающих как сам процесс движения, так и функционирование основных элементов автопоезда. Разработка такой модели, ее настройка являются достаточно трудоемким делом, невозможным без проведения натурных экспериментальных исследований.

Модели «серого ящика» полезны по крайней мере в двух случаях:

– когда необходимо знание характера влияния отдельных факторов на исследуемую характеристику системы;

– когда невозможно предсказать форму уравнения связи при ограниченных возможностях экспериментальных исследований.

Вместо традиционной статистической обработки экспериментальных исследований во многих случаях достаточно провести корректировку полученного уравнения без проведения дополнительных экспериментов и пересчета коэффициентов уравнений регрессии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Новик, Ф. С. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования эксперимента / Ф. С. Новик, Я. Б. Арсов. – М. : Машиностроение ; София : Техника, 1980. – 304 с.

2. Таблицы по математической статистике / П. Мюллер [и др.]. – М. :

Финансы и статистика, 1982. – 278 с.

Раздел IV ПРОЦЕДУРНЫЕ МОДЕЛИ Тема ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ. ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Параметры и характеристики процесса. Типы оптимизационных задач. Простейшие методы параметрической оптимизации: полный перебор, покоординатный спуск, покоординатный спуск с обучением, наискорейший спуск.

Рекомендации по решению практических задач.

10.1 Типы оптимизационных задач Выбор параметров и характеристик систем, обеспечивающих их функционирование при выполнении комплекса предъявляемых требований, осуществляется по математической модели. Модель должна отражать основные существенные свойства проектируемого объекта.

В зависимости от целей моделирования при составлении модели используют (описывают) различные свойства объекта. Поэтому один и тот же проектируемый объект может иметь несколько математических моделей. При этом в модели выделяют следующие элементы:

– неизменные в процессе моделирования величины – вектор Y.

Например, при проектировании станка это плотность материала, его прочностные характеристики и т.д.;

– параметры модели, которые допускают вариацию в определенном интервале их изменения, – вектор X. Например, массовогабаритные параметры, свойства материалов и т.п.;

– управляющие функции (R) – определяющие характер протекания исследуемого процесса. Как правило, это либо закон изменения основного силового фактора, обеспечивающего поведение системы, либо функция, обеспечивающая реализацию этого закона (например, для шлифовального станка это закон изменения скорости движения по времени или пути).

В зависимости от целей решаемых проектных задач различают следующие их типы:

1. Если необходимо определить вектор X, обеспечивающий удовлетворение комплекса требований к проектируемому объекту, перед нами задача параметрической оптимизации.

Пример. Для шлифовального станка определить массовогабаритные параметры его элементов, обеспечивающие требуемую точность обработки детали при наибольшей компактности элементов. Массово-габаритные параметры – искомый вектор X, компактность деталей – критерий качества проекта.

2. Если известны составляющие Y, X и требуется определить управление R, переводящее систему из начального состояния (индекс О) в конечное (индекс Т) при минимальном значении совершаемой работы (минимуме импульса действующей силы и т.п.), перед нами задача оптимального управления.

Пример. Для сообщения снаряду скорости собственного вращения выбирают такой закон изменения угла наклона нареза, при котором затраты энергии на всем пути движения снаряда были бы минимальными. Закон изменения угла наклона – искомая функция, работа собственного вращения снаряда – критерий качества.

3. Если требуется осуществить X и R совместно, перед нами задача оптимального управления параметрами.

Пример. Для шлифовального станка определить массовогабаритные параметры его элементов и закон движения инструмента, обеспечивающие требуемую точность обработки детали при наибольшей компактности элементов и наименьшем времени перемещения инструмента. Массово-габаритные параметры – искомый вектор X, закон перемещения инструмента – управляющая функция, компактность деталей и время перемещения инструмента – критерии качества проекта.

4. Если имеется несколько образцов с известными Y, X, R и следует определить их минимальный набор, обеспечивающий реализацию присущих им основных функций, задача может быть двух типов:

4.1. Если при решении используются все существенные признаки объекта (векторы Y, X), то перед нами задача многомерного статистического анализа (автоматической классификации объектов).

Пример. Имеется набор технических объектов, каждый из которых в определенной мере удовлетворяет всему комплексу требований по качеству его функционирования. Требуется определить с учетом всех свойств объектов возможность замены имеющихся объектов их ограниченным множеством.

4.2. Если при решении используется интегральный критерий К как показатель качества системы, мы имеем дело с задачей целочисленного программирования, а по содержательному аспекту – с задачей выбора типажа средств, оптимальной унификации, стандартизации.

Пример. Имеется набор технических средств, каждое из которых способно выполнять несколько видов работ. Следует определить минимальный набор средств, обеспечивающий выполнение всех видов работ с минимальными затратами.

Каждый из рассмотренных типов задач решается соответствующими методами, хотя жесткой границы между типом задачи и определенным методом нет. Можно говорить лишь о той или иной степени эффективности метода при решении определенного типа задач.

К настоящему времени разработано несколько сотен методов решения проектных задач.

Основными категориями теории оптимизации являются:

– модель процесса – аналог реальной совокупности параметров и характеристик исследуемого процесса, описанных достаточным числом математических зависимостей;

– критерий качества (цель, целевая функция) – математическое выражение совокупности требований к результатам исследования технического объекта;

– область варьирования параметров – совокупный интервал допустимого изменения изменяемых в процессе исследования параметров;

– ограничения – математическое представление границ изменения характеристик, определяющих исследуемый процесс (в общем случае в ограничения может включаться и область варьирования параметров процесса);

– метод оптимизации – процедура непосредственного поиска решения, обеспечивающего достижение заданного, допустимого или максимального (минимального) критерия качества; процедура поиска варианта технического решения, удовлетворяющего комплексу предъявляемых требований к проекту объекта.

10.2 Модели параметрической оптимизации Параметрическая оптимизация модели объекта осуществляется одним или несколькими методами, входящими в классы методов полного перебора, покоординатного спуска, наискорейшего спуска и т.д. Выбор метода определяется характером изменения функции отклика математической модели и удобством контроля результатов промежуточных и конечных вычислений.

Полный перебор вариантов Суть метода заключается в последовательном расчете всех возможных вариантов сочетания искомых параметров системы в задаваемых интервалах их изменения. Стратегия поиска решения методом полного перебора состоит из следующих этапов (рис. 10.1):

1. Задают интервал изменения искомых параметров и шаг их изменения.

Пример. Определить минимальное значение показателя системы Z = 5x2 + xy – 7yпри заданных интервалах изменения параметров системы Х и Y:

0,9 x0 < x < 1,1 x0;

0,5 y0 < y < 2,5 y0, начальных значениях параметров:

x0 = 3,72; y0 = 6,28, шаге изменения параметров соответственно:

dx = 0,01; dy = 0,02.

2. Последовательно давая приращение по координатам X и Y (xi = x0 + dx, yj = y0 + dy соответственно), вычисляют критерий Z, запоминая значения x*, y*, дающие минимальное значение Z* = = Z min (x*, y*). Число циклов расчета равно числу варьируемых параметров рис. 10.1.

Рис. 10.1 Стратегия поиска решения методом полного перебора Процедура реализации метода полного перебора для рассматриваемого примера:

Uses crt;

const xo=3.72; yo=6.28;

dx=0.01; dy=0.02;

var zm,xz,yz,x,y,z: real;

i,j: integer;

begin clrscr;

zm:=100;i:=0;

x:=0.9*xo;

y:=0.5*yo;

while x<1.1*xo do begin while y<2.5*yo do begin i:=i+1;

z:=5*x*x+x*y-7*y*y;

if z

end;

y:=y+dy;

end;

x:=x+dx;

end;

WriteLn('Zmin= ',zm:5:2);

WriteLn('Xzmin= ',xz:5:2);

WriteLn('Yzmin= ',yz:5:2);

WriteLn('Рассчитано вариантов: ', i);

end.

Результаты решения:

Zmin= -1612.49;

Xzmin= 3.35;

Yzmin= 15.68.

Рассчитано вариантов: 628.

Методом полного перебора удобно пользоваться при исследовании простых зависимостей с числом переменных от 2 до 4–6 и крупном шаге перебора или при определении характера изменения поверхности исследуемой функции. При наличии сложных математических моделей даже с небольшим числом исследуемых факторов применение этого метода приводит к недопустимым затратам машинного времени.

Покоординатный спуск Суть метода заключается в изменении одного из параметров системы при фиксированных значениях других до тех пор, пока осуществляется обнаружение лучшего значения показателя системы. После этого значение изменяемого параметра фиксируется и осуществляется переход к изменению следующего.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 22 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.