WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 22 |

Рис. 8.1 Примеры графиков остатков Для проверки нормальности случайных погрешностей подходит гистограмма di. Нормальность может быть также проверена с помощью критериев согласия (например, по критерию 2).

Если данные упорядочены некоторым образом (например, последовательность точек по времени или по расположению), то график остатков di в том же самом порядке, в котором собирались данные, позволяет проверить случайность. Гипотезу о случайности можно отвергнуть, если выявлен тренд (смещение), причем тренд может иметь как сезонный, так и линейный характер. Примеры трендов показаны на рис. 8.2.

Рис. 8.2 Примеры отсутствия случайности Оценка по критерию Фишера Проверку адекватности модели (независимо от выбранной формы ее математического представления) осуществляют чаще всего с помощью критерия Фишера (F-критерия), расчетное значение которого определяют по формуле 2 Ffрасч = Sнеад / Sy.

; fВ знаменателе стоит дисперсия опытов Sy с f1 (число степеней свободы), в числителе – дисперсия неадекватности Sнеад с числом степеней свободы f2.

N Sнеад = yu расч - yu эксп f2 = SSнеад f2.

( ) u=Степень свободы f2 определяется как разность между числом опытов плана и числом оставленных коэффициентов уравнения регрессии. Критерий Фишера отвечает на вопрос, во сколько раз модель предсказывает хуже по сравнению с опытом. Могут быть использованы зависимости, в которых критерий Фишера определяет, во сколько раз модель предсказывает результат лучше по сравнению со средним значением зависимой переменной – функции отклика.

Гипотезу об адекватности уравнения принимают в том случае, когда выполняется условие для выбранного уровня значимости расч табл F F.

Приведенная зависимость для определения SSнеад справедлива при отсутствии дублирования или при дублировании опытов в центре плана.

При равномерном дублировании N SSнеад = nu yu расч - yu эксп 2, ( ) u= где y – это среднее из nu – дублей u-го опыта.

u эксп При неравномерном дублировании N SSнеад = ( ) n yu - yu.

u расч эксп u=Оценка коэффициента нелинейной множественной корреляции Для проверки адекватности любых зависимостей можно использовать коэффициент нелинейной множественной корреляции, определяемый зависимостью 2 R = Sнеад / Sy (1- ).

Выражение в правой части уравнения под знаком радикала является коэффициентом множественной детерминации. Он указывает долю дисперсии, вносимой варьируемыми факторами в общую дисперсию аппроксимации исследуемой области. При этом независимо от стратегии проводимого эксперимента входящие в последнее выражение дисперсии можно рассчитывать по следующим формулам:

N Sнеад = yu расч - yu эксп / n - k -1 ;

( ) ( ) u=N Sy = yu эксп - yu эксп / n -1, ( ) ( ) u=где n – число опытов в матрице планирования; k – число варьируемых параметров.

Значимость коэффициента корреляции и адекватность модели для уровня достоверности р = 0,95 определяется неравенством tR = R(n – k – 1)0,5 / (1 – R2) > 2.

Подобная методика проверки адекватности не требует дублирования экспериментов, обеспечивая практически ту же достоверность, что и рассмотренные выше способы.

8.3 Пример статистической обработки эксперимента Практическую обработку эксперимента рассмотрим на примере определения расхода топлива автомобиля ЗИЛ-130. Данные эксперимента приведены в табл. 8.1. Последовательность проведения экспериментов, определяемая на основе таблицы равномерно распределенных в интервале 0 – 100 чисел, приведена в табл. 8.2.

Таблица 8.Матрица планирования Номер Переменные Расход топлива, л / 100 км опыта Х1 Х2 Х3 Х4 Y1 Y2 Y3 Yср Yтеор 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 – – – – 40,0 40,7 39,0 39,9 40,2 + – – – 53,0 52,5 53,5 53,0 52,3 – + – – 58,5 59,0 57,6 58,4 58,4 + + – – 67,6 67,0 68,2 67,6 67,5 – – + – 52,1 52,8 51,9 52,3 51,6 + – + – 60,7 60,5 61,2 60,8 61,7 – + + – 63,0 64,0 63,5 63,5 63,8 + + + – 71,2 70,7 71,8 71,2 70,Окончание табл. 8.1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 – – – + 43,1 43,8 42,1 43,0 43,10 + – – + 57,8 57,3 58,3 57,8 57,11 – + – + 61,6 62,1 60,7 61,5 61,12 + + – + 72,4 71,8 73,0 72,4 72,13 – – + + 55,2 55,9 55,1 55,4 55,14 + – + + 65,2 65,3 66,0 65,6 66,15 – + + + 66,1 67,1 66,6 66,6 66,16 + + + + 76,0 75,1 76,6 76,0 75,Таблица 8.Результаты рандомизации Последовательность опытов Серия 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10 8 12 11 15 4 9 1 6 5 7 8 2 14 3 2 7 6 9 2 5 3 14 11 16 1 15 10 8 4 13 3 16 5 15 3 10 4 13 7 14 2 1 11 9 8 12 Формула для определения расхода топлива при любом сочетании в заданных интервалах изменения варьируемых параметров (табл. 7.4) имеет вид:

Y = 60,31 + 5,24Х1 + 6,84Х2 + 3,61Х3 + 1,98Х4 – 0,59Х1Х2 – 0,76Х1Х3 + +0,43Х1Х4 – 1,44Х2Х3.

Так как число для всех шестнадцати опытов одинаковое, то N 2 при использовании зависимости Sy = ( Syu ) / Ns, например для u=девятого опыта, получим:

Sy9 = ((43,1 – 43)2 + (43,8 – 43)2 + (42,1 – 43)2) / (3 – 1) = 0,73.

Просуммировав дисперсии для всех проведенных опытов, получим общую дисперсию опыта Sy = 5,74.

Перед использованием последней зависимости также следует проверить однородность ряда дисперсий. При однородном дублировании опытов используют критерий Кохрена, который сравнивают с его табличным значением в зависимости от уровня значимости р = 0,95, числа степеней свободы f = n – 1 = 2 и числа опытов N = (G табл = 0,7341).

N G расч = Syu max / S2= 0,73 / 5,47 = 0,127.

y u=расч табл Ряд дисперсий считается однородным, т.к. G < G и ошибка опыта Sy = 5,74 / 16 = 0,179.

Оценку значимости коэффициентов уравнения регрессии проводим с использованием доверительного интервала = t; f1 Sbi, bi где Sbi = Sy / N = 0,179 / 16 = 0,0112, t ; f1 = 2,92, bi = 2,92 0,0112 = = 0,0327.

Следовательно, незначимыми являются коэффициенты при парных эффектах Х2Х4 и Х3Х4, которые и при вычислении дали нулевые значения.

Дисперсию неадекватности определяем по формуле N Sнеад = yu расч - yu эксп / n - k -1 = ( ) ( ) u== 2,3865 / (16 – 11 – 1) = 0,5966, а критерий Фишера согласно формуле расч 2 F = Sнеад / Sy = 0,5966 / 0,179 = 3,33, f2 fчто меньше табличного значения со степенями свободы 2 и 4, равного 19,2. Следовательно, модель адекватна.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Нефедов, А. Ф. Планирование эксперимента и моделирование при исследовании эксплуатационных свойств автомобилей / А. Ф. Нефедов, Л. Н. Высочин. – Львов : Вища школа, 1976. – 160 с.

2. Зедгинидзе, И. Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем / И. Г. Зедгинидзе. – М. : Наука, 1976. – 390 с.

3. Ферстер, Э. Методы корреляционного и регрессионного анализа / Э. Ферстер, Б. Ренц. – М. : Финансы и статистика, 1983. – 302 с.

4. Новик, Ф. С. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования эксперимента / Ф. С. Новик, Я. Б. Арсов. – М. : Машиностроение ; София : Техника, 1980. – 304 с.

5. Таблицы по математической статистике / П. Мюллер [и др.]. – М. :

Финансы и статистика, 1982. – 278 с.

6. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент : справочник / под ред. В. А. Григорьева и В. М. Зорина. – М. : Энергоиздат, 1982. – 512 с.

7. Малышев, В. П. Вероятностно-детерминированное планирование эксперимента / В. П. Малышев. – Алма-Ата : Наука КазССр, 1981. – 116 с.

Тема ПОЛЕЗНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Аппроксимация математических моделей. Планы единой структуры. Автоматизация построения планов. Частные модели. Свертка частных моделей. Пример построения частных моделей и модели свертки.

9.1 Аппроксимация области оптимальных значений Одним из наиболее полезных приложений статистического моделирования является аппроксимация области оптимальных значений зависимой переменной. Наличие такой модели позволяет существенно упростить процедуру нахождения независимых параметров, соответствующих оптимуму функции отклика, т.к. исключает необходимость многократного решения сложных математических построений, описывающих исследуемый процесс.

В большинстве технических приложений область оптимума достаточно точно аппроксимируется полиномами второй степени, например следующего вида:

N N N N Y = В0 + BX + B Xi Xi + Bij Xi X.

i i ii j i=1 i=1 i=1 j=i+Построение модели в такой форме возможно при использовании значительного числа планов эксперимента, обладающих различными статистическими свойствами оптимальности. При решении же задач оптимизации в автоматизированном режиме целесообразно использовать те из них, которые обладают регулярной структурой при различном числе варьируемых параметров, – непрерывные планы одной структуры. Это означает, что независимо от числа варьируемых параметров построение матрицы планирования подчинено одним закономерностям. Примерами таких планов являются четырехуровневые планы второго порядка Бокса–Дрейпера для числа независимых параметров от 2 до 15 и трехуровневые планы Рехтшафнера для неограниченного числа независимых параметров.

Планы Рехтшафнера являются насыщенными и представляют собой выборки строк полного факторного эксперимента 3k. Способ их построения ясен из табл. 9.1.

Таблица 9.Структура планов Рехтшафнера Номер множества Точки множества Число опытов множества I (–1,..., –1) для всех k – II (–1, 1,..., 1) для всех k k (–1, –1, 1) для k = III (k – 1)k / (1, 1, –1,..., –1) для k > IV (1, 0, 0,..., 0) для всех k Структура планов Рехтшафнера была использована Боксом и Дрейпером для построения насыщенных D-оптимальных планов на кубе (табл. 9.2). Значения промежуточных уровней для разных планов были получены из критерия D-оптимальности минимизацией определителя информационной матрицы (табл. 9.3).

Таблица 9.Структура планов Бокса-Дрейпера Номер множества Точки множества Число опытов множества I (–1,..., –1) для всех k II (+1, –1,..., –1) для всех k k III (k – 1)k / (,, –1,..., –1) для k > IV (µ, 1, 1,..., 1) для всех k Таблица 9.Значения промежуточных уровней µ µ k k 2 –0,1315 0,3944 9 0,7544 –0,3 0,1925 –0,2912 10 0,7808 –0,4 0,4141 –0,6502 11 0,8022 –0,5 0,5355 –0,8108 12 0,8198 –0,6 0,6183 –0,8854 13 0,8346 –0,7 0,6772 –0,9242 14 0,8471 –0,8 0,7208 –0,9464 15 0,8579 –0,Пример планов Рехтшафнера и Бокса–Дрейпера на четыре варьируемых фактора приведен в табл. 9.4.

Таблица 9.Насыщенные планы на четыре фактора № X1 X2 X3 Xопыта Р БД Р БД Р БД Р БД 1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –2 –1 1 1 –1 1 –1 1 –3 1 –1 –1 1 1 –1 1 –4 1 –1 1 –1 –1 1 1 –5 1 –1 1 –1 1 –1 –1 6 1 –1 –1 –1 –7 –1 –1 –1 –8 –1 –1 –1 –1 9 1 –1 1 –1 –10 –1 –1 –1 –1 11 –1 –1 –1 –1 1 µ 12 1 0 1 0 1 0 µ 13 0 1 1 0 1 0 µ 14 0 1 0 1 1 0 µ 15 0 1 0 1 0 1 Применение планов неизменной структуры позволяет заменить их непосредственный ввод в программу исследований набором правил, которые в зависимости от заданного числа исследуемых переменных обеспечивают формирование соответствующего плана и реализацию по нему математического эксперимента с последующей статистической обработкой результатов и определением области оптимальных значений. Простейшая программа автоматизированного построения планов Рехтшафнера приведена ниже. Вариативной величиной является число независимых факторов m.

{Программа построения насыщенных трехуровневых планов Рехтшафнера} Uses crt;

var k2,k1,k,m,n,n1,n2,n3,n4: integer;

x:array[1..7,1..36] of real;

begin {Число факторов; для примера m=5} m:=5;

{Первая строка} n1:=1;

{Последняя строка второго блока} n2:=m+1;

{Последняя строка третьего блока} n3:=n2+((m-1)*m) div 2;

{Последняя строка четвертого блока} n4:=(((m+1)*(m+2)) div 2);

clrscr;

{Построение первого блока} for k:=1 to m do begin x[k,1]:=-1;

end;

{Построение второго блока======} for n:=n1+1 to n2 do begin for k:=1 to m do begin x[k,n]:=1;

if (k=n-1) then x[k,n]:=-1;

end;

end;

{Построение третьего блока=====} for n:=n2+1 to n3 do begin for k:=1 to m do begin x[k,n]:=-1;

end;

end;

k1:=1;k2:=1;

for n:=n2+1 to n3 do begin k2:=k2+1;

for k:=1 to m do begin if (k=k2) then begin x[k,n]:=1;

x[k1,n]:=1;

end;

end;

if k2=m then begin k1:=k1+1;

k2:=k1;

end;

end;

{Построение четвертого блока===} k2:=0;

for n:=n3+1 to n4 do begin k2:=k2+1;

for k:=1 to m do begin x[k,n]:=0;

if (k=k2) then x[k,n]:=1;

end;

end;

{Распечатка плана============} for n:=1 to n4 do begin WriteLn;

for k:=1 to m do begin TextColor(15);

Write(x[k,n]:3:0);

end;

end;

ReadLn;

end.

Результаты работы программы приведены ниже.

-1 -1 -1 -1 - -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 - 1 1 -1 -1 - 1 -1 1 -1 - 1 -1 -1 1 - 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 - -1 1 -1 1 - -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 - -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 9.2 Модели «серого ящика» Считается, что основным преимуществом рассмотренных методов планирования эксперимента является хорошо апробированная методика обработки экспериментальных данных и статистической оценки результатов построения полиномиальных моделей. Вместе с тем такой подход имеет два существенных ограничения: 1) жесткое соответствие плана эксперимента форме используемой модели аппроксимации; 2) невозможность исследования характера непосредственного влияния каждого из варьируемых факторов на зависимую переменную, т.к. анализ полученной модели по коэффициентам чувствительности приводит к неконтролируемым погрешностям неопределенной величины.

Устранение указанных ограничений становится возможным при использовании такого подхода, при котором полная модель исследуемого процесса является результатом обобщения частных моделей, описывающих влияние каждого из варьируемых факторов на зависимую переменную. Такой подход называют вероятностнодетерминированным. Его суть заключается в следующем:

1. Используя вероятностную основу, проводят эксперимент по определению величины зависимой переменной при сочетаниях независимых факторов, задаваемых планом эксперимента (как и в пре- дыдущих случаях). Отличие состоит в том, что план эксперимента строится на базе латинских квадратов (известных, начиная с третьего порядка, как гипер-греко-латинские квадраты). Пример такого плана четвертого порядка на пяти уровнях для шести варьируемых факторов показан на рис. 9.1. Каждый из выделенных на рисунке элементов, в свою очередь, является сочетанием еще двух факторов:

Х5 и Х6. Примеры некоторых таких элементов, представленных сочетанием факторов Х5 и Х6, показаны на рис. 9.2.

Х1 1 2 3 4 Х2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 Х3 : уровни варьирования фактора Х4 : уровни варьирования фактора Рис. 9.1 Пример плана Х5 Х 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 Х6 3 Х1 = 1; Х6 3 Х1 = 4;

Х2 = 1; Х2 = 3;

4 Х3 = 1; Х3 = 1;

Х4 = 1. Х4 = 4.

5 Рис. 9.2 Фрагменты вариаций факторов Х5 и ХБолее удобное представление латинского квадрата приведено в табл. 9.5.

Таблица 9.План шестифакторного эксперимента на пяти уровнях № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 Х1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 4 4 4 4 Х2 1 3 2 5 4 1 3 2 5 4 1 3 2 5 4 1 3 2 5 4 1 3 2 5 Х3 1 3 2 5 4 3 2 5 4 1 2 5 4 1 3 5 4 1 3 2 4 1 3 2 Х4 1 3 2 5 4 2 5 4 1 3 4 1 3 2 5 3 2 5 4 1 5 4 1 3 Х5 1 3 2 5 4 5 4 1 3 2 3 2 5 4 1 4 1 3 2 5 2 5 4 1 Х6 1 3 2 5 4 4 1 3 2 5 5 4 1 3 2 2 5 4 1 3 3 2 5 4 1...10 11...20 21...Такие планы гарантируют статистическую равноценность выборки результатов на каждый уровень фактора.

Если факторов меньше, чем закодировано в плане, то факторы плана, оставшиеся свободными, не принимаются во внимание. Каждому фактору задается пять уровней, которые также кодируются.

Порядок кодирования произвольный. Если число уровней фактора физически меньше назначенных, то одно и то же значение может быть задано всем оставшимся уровням. Например, если прибор имеет только три фиксированных значения, то первое и второе значения кодируют на первый и второй уровни, а третье – на оставшиеся третий, четвертый и пятый уровни. То же делают при вариации качественного фактора, например сорта исследуемого материала.

При этом число экспериментов остается неизменным (25).

2. Построение частных (точечных) зависимостей искомой переменной от конкретного фактора проводится следующим образом.

Например, для второго фактора первому уровню соответствуют результаты опытов 1, 6, 11, 16, 21. Следует получить один результат усреднением указанных пяти опытов. При этом происходит усреднение каждого из остальных факторов, т.к. каждый из них в этих опытах принимает значения всех своих уровней варьирования.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 22 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.