WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 22 |

Для планирования можно использовать любую из возможных реплик. Эффективность применения реплик возрастает с увеличением числа варьируемых факторов. Удачность применения зависит от выбора интервалов варьирования факторов, системы смешивания и во многом определяется априорными сведениями о значимости взаимодействия.

Получив по результатам эксперимента значения коэффициентов уравнения регрессии, следует перейти к оценке качества построенной эмпирической модели.

7.5 Пример построения факторной модели Постановка задачи: построить полиномиальную модель для определения расхода топлива автомобиля ЗИЛ-130 в зависимости от четырех факторов:

х1 – пересеченность продольного профиля дорог (П);

х2 – коэффициент сопротивления качению (f);

х3 – помехонасыщенность маршрута (K);

х4 – удельная мощность (Nуд).

Уровни варьирования приведены в табл. 7.4.

Таблица 7.Уровни варьирования факторов Факторы Уровни х1 х2 х3 хП, % f K, град/км Nуд, Вт/H Средний 33,7 0,0256 30 1,Интервал 17,1 0,0135 25 0,Нижний 16,6 0,0130 5 1,Верхний 50,9 0,0400 55 1,Переход от действительных значений к кодированным осуществляется по формулам:

х1 = (П – 33,7) / 17,1;

х2 = (f – 0/0256) / 0,0135;

х3 = (K – 30) / 25;

х4 = (Nуд – 1/17) / 0,15.

Матрица планирования и результаты параллельных опытов представлены в табл. 7.5.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии по формуле N bi = ( xiu yu) / n u=дает следующие значения:

b0 = 60,31; b1 = 5,24;

b2 = 6,84; b3 = 3,61;

b4 = 1,98; b12 = – 0,59;

b13 = – 0,76; b14 = 0,43;

b23 = – 1,44; b24 = 0; b34 = 0.

Формула для определения расхода топлива при любом сочетании в заданных интервалах изменения варьируемых параметров имеет вид:

Y = 60,31 + 5,24Х1 + 6,84Х2 + 3,61Х3 + 1,98Х4 – 0,59Х1Х2 – – 0,76Х1Х3 + 0,43Х1Х4 – 1,44Х2Х3.

По силе влияния на расход топлива факторы располагаются в следующем порядке: коэффициент сопротивления качению, пересеченность продольного профиля, помехонасыщенность маршрута, удельная мощность. При возрастании этих факторов расход топлива увеличивается. Эффекты взаимодействия на порядок меньше линейных эффектов (за исключением эффекта Х2Х3 ).

Таблица 7.Матрица планирования Переменные Расход топлива, л / 100 км Номер опыта Х1 Х2 Х3 Х4 Y1 Y2 Y3 Yср Yтеор 1 – – – – 40,0 40,7 39,0 39,9 40,2 + – – – 53,0 52,5 53,5 53,0 52,3 – + – – 58,5 59,0 57,6 58,4 58,4 + + – – 67,6 67,0 68,2 67,6 67,5 – – + – 52,1 52,8 51,9 52,3 51,6 + – + – 60,7 60,5 61,2 60,8 61,7 – + + – 63,0 64,0 63,5 63,5 63,8 + + + – 71,2 70,7 71,8 71,2 70,9 – – – + 43,1 43,8 42,1 43,0 43,10 + – – + 57,8 57,3 58,3 57,8 57,11 – + – + 61,6 62,1 60,7 61,5 61,12 + + – + 72,4 71,8 73,0 72,4 72,Окончание табл. 7.13 – – + + 55,2 55,9 55,1 55,4 55,14 + – + + 65,2 65.3 66,0 65,6 66,15 – + + + 66.1 67,1 66,6 66,6 66,16 + + + + 76,.0 75,1 76,6 76,0 75,СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Нефедов, А. Ф. Планирование эксперимента и моделирование при исследовании эксплуатационных свойств автомобилей / А. Ф. Нефедов, Л. Н. Высочин. – Львов : Вища школа, 1976. – 160 с.

2. Зедгинидзе, И. Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем / И. Г. Зедгинидзе. – М. : Наука, 1976. – 390 с.

3. Ферстер, Э. Методы корреляционного и регрессионного анализа / Э. Ферстер, Б. Ренц. – М. : Финансы и статистика, 1983. – 302 с.

4. Новик, Ф. С. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования эксперимента / Ф. С. Новик, Я. Б. Арсов. – М. : Машиностроение ; София : Техника, 1980. – 304 с.

5. Круг, Г. К. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции / Г. К. Круг, Ю. А. Сосулин, В. А. Фатуев. – М. : Наука, 1977. – 208 с.

Тема ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА Статистические свойства оценок. Основные допущения МНК. Анализ остатков. Предварительная обработка результатов эксперимента. Определение коэффициентов регрессии и оценка их значимости. Причины незначимости. Проверка адекватности модели.

8.1 Свойства оценок и критерии точности Статистическая оценка эксперимента включает ряд мероприятий подготовительного характера и непосредственную его обработку:

1. Предварительная часть. Включает рандомизацию последовательности проведения опытов и оценку принадлежности результатов эксперимента к одной генеральной совокупности.

2. Рандомизация опытов. Проводится с целью исключения влияния систематической ошибки, связанной с внешними условиями (например, неточным контролем условий эксперимента, изменением типа сырья, участием разных людей в проведении эксперимента и т.д.). Для этого опыты плана проводят в случайной последовательности, определяемой, например, с помощью таблицы случайных чисел. Например, если число опытов в эксперименте равно 8, то по таблице равномерно распределенных чисел последовательно выбираются числа от 1 до 8 (каждое число берется только один раз) в том порядке, в котором они встречаются при последовательном обходе столбцов таблицы, начиная с первого. При рандомизации второй серии опытов за первый столбец принимают столбец, следующий за последним столбцом предыдущей серии. Аналогичным образом рандомизируется третья и так далее серии опытов.

3. Обработка результатов эксперимента. Правомерность применения полученных по результатам эксперимента эмпирических моделей определяется свойствами оценок их коэффициентов и степенью точности описания исследуемого процесса. Свойства оценок определяются статистическими показателями, а точность описания характеризует правильность включения в модель всего объема независимых переменных и точность предсказания по модели зависимой переменной.

Статистическими показателями свойств оценок являются несмещенность, состоятельность и эффективность.

Несмещенность оценки. Если из одной генеральной совокупности извлекаются выборки из n элементов и по каждой выборке вычисляется оценка какого-либо параметра этой совокупности (математическое ожидание, дисперсия и т.д), то такая оценка называется несмещенной при условии равенства среднего всех оценок параметру генеральной совокупности.

Состоятельность оценки. Если с увеличением объема выборки (n ) оценка сходится по вероятности к оцениваемому параметру, то такая оценка называется состоятельной.

Эффективность оценки. Оценка параметра представляет собой случайную величину с определенными математическим ожиданием и дисперсией. Таких оценок может быть несколько в силу использования различных способов их получения. Если при равенстве математических ожиданий оценок их дисперсии различны, то оценка, обладающая минимальной дисперсией, является наиболее эффективной из всех возможных оценок.

В основе регрессионного анализа лежит метод наименьших квадратов (МНК). При построении такого аналога принимают следующие основные допущения:

– погрешности моделирования независимы;

– погрешности имеют нулевые средние;

– погрешности имеют одинаковую дисперсию;

– погрешности подчинены нормальному закону распределения.

Графическое отображение допущений показано на рис. 8.1 на примере простой линейной регрессии. Оценки, полученные на основе метода наименьших квадратов, обладают свойствами несмещенности, являются состоятельными и эффективными.

Рис. 8.1 Модель простой линейной регрессии:

А – распределение Y при Х = х2, среднее + х2, дисперсия ; С – распределение 0 Y при Х = х1, среднее + х1, дисперсия ; В – прямая у = + х; d – остаток 0 1 0 После получения оценок следует определить степень их значимости – проверить влияние варьируемых параметров на характер течения исследуемого процесса. При этом в зависимости от условий эксперимента используют различные расчетные формулы.

Если число дублей в каждом опыте одинаковое или все опыты проведены без повторений, то коэффициенты регрессии определяют по следующим формулам:

– в общем случае:

k N bi = (cij xju yu);

j=0 u=– при ортогональном планировании:

N N N bi = cii xiu yu = xiu yu / xiu ;

u=1 u=u=– при ортогональном планировании и выполнении условий нормировки:

N N N N bi = cii xiu yu = xiu yu / xiu = xiu yu / N.

u=1 u=u=1 u=Ортогональным является планирование, при котором сумма почленного произведения любых двух столбцов матрицы планирования равна нулю. Планы являются нормированными, если сумма квадратов элементов любого столбца матрицы равна числу опытов. Планы, у которых сумма элементов любого столбца матрицы планирования равна нулю, являются симметричными.

В приведенных зависимостях cii, cij являются соответственно диагональным и недиагональным элементами матрицы А–1, обратной к информационной матрице Х ТХ:

C00 C01 C0k C C11 C1k T.

A-1 = (X X )-1 =.........

C Ck1 Ckk kМатрица (Х ТХ)–1, умноженная на оценку дисперсии опыта Sy, называется матрицей дисперсий – ковариаций или ковариационной. Ее диагональные члены являются оценками дисперсии коэффициентов регрессии Sbi и используются при определении их значимости.

При ортогональном планировании значимость коэффициента можно проверить двумя равноценными способами. Первый способ предполагает сравнение абсолютной величины коэффициента с его доверительным интервалом, который определяется зависимостью = t Sbi, bi ; fгде t – критерий Стьюдента, определяемый по таблице в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы f1 при определении дисперсии опыта Sy ; Sbi – среднеквадратичная ошибка в определении коэффициента регрессии, равная Sy / N.

Число степеней свободы – понятие, учитывающее в статистических ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Это число определяется как разность между числом выполняемых опытов и числом констант (средних, коэффициентов и т.д.), подсчитанных по результатам тех же опытов.

Коэффициент считается значимым, когда выполнено условие I bi I bi или I bi I t; f1 Sbi.

Смысл последнего неравенства заключается в том, что абсолютная величина коэффициента регрессии должна быть в t раз больше, чем ошибка его определения.

В другом случае значимость коэффициента можно проверить по t-критерию, рассчитывая его по формуле tрасч = I bi I/ Sbi.

Коэффициент значим, если выполнено условие табл tрасч t; f1.

Статистическая незначимость коэффициента может быть обусловлена следующими причинами:

– уровень среднего значения интервала варьирования переменной у незначимого коэффициента близок к точке частного экстремума этой переменной;

– шаг варьирования переменной выбран малым;

– отсутствует связь переменной с выходным параметром;

– велика погрешность воспроизведения эксперимента вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных.

При ортогональном планировании исключение незначимых членов уравнения регрессии не приводит к необходимости пересчета остальных коэффициентов, т.к. все они определяются независимо друг от друга.

В иных случаях исключение незначимых членов требует пересчета всех коэффициентов регрессии. Указанный способ построения доверительных интервалов для каждого из коэффициентов в общем случае оценки их статистической значимости является недостаточным. Следует оценить совместную доверительную область одновременно для всех коэффициентов. Она представляет собой эллипсоид рассеяния оценок коэффициентов регрессии. Доверительный интервал можно тогда установить, если выбрать некоторые фиксированные значения для остальных коэффициентов. Поэтому при неортогональном планировании проверка статистической значимости коэффициентов является непростой задачей. Следует отметить, что при построении моделей с ограниченным числом независимых переменных иногда легче оставить вопрос о значимости коэффициентов в покое, т.к. дальнейшее использование модели в принципе невозможно без применения ЭВМ.

При организации эксперимента следует учитывать необходимость иметь оценку дисперсии опытов (дисперсии воспроизводимости) Sy с целью проверки принадлежности результатов к одной генеральной совокупности. Эта дисперсия может быть известна и до начала эксперимента по ранее проведенным исследованиям. В противном случае ее определяют по результатам дублирующих (повторных) опытов. При этом дублирование подразумевает полное повторение всего цикла работ по настройке оборудования и созданию условий проведения эксперимента. В зависимости от характера дублирования возможно несколько способов оценки дисперсии опыта.

Если все опыты реализуются по одному разу, а один из них (чаще в центре плана) дублируется несколько раз, то используют зависимость N Sy = (Y - Y0)2 / f1, 0g g= где Y0g – результат g-го дубля в центре плана, Y0 – среднее арифметическое значение всех N0 дублей центрального опыта; f1 – число степеней свободы.

Для использования приведенной выше зависимости требуется предварительно подсчитать одну константу Y0. Поэтому в рассмотренном случае f1 = N0 – 1.

Другие способы предполагают дублирование всех или нескольких опытов плана. При этом число повторений может быть одинаковым или неодинаковым.

При неравномерном дублировании сначала определяют построчные дисперсии (для каждого опыта) по формуле, имеющей тот же вид, что и приведенная выше:

Nu Sy = (Yug - Yu )2 / fu, g = где Yug – результат g-го повторения u-го опыта; Yu – среднее арифметическое значение всех Nu дублей u-го опыта; fu – число степеней свободы при определении u-й построчной дисперсии Sy ; fu = Nu – 1.

Перед вычислением Yu имеет смысл исключить возможные промахи (грубые результаты в сериях повторных опытов) с помощью соответствующих статистических критериев.

Затем определяется средняя дисперсия опыта по формуле Ns Ns 2 Sy = fuSyu / fu, u=1 u=где Ns – число опытов в матрице планирования.

Для последующего применения дисперсии опыта Sy необходимо проверить однородность ряда дисперсий, т.е. выяснить, определяются ли различные значения отклика с одинаковой точностью (ряд дисперсий однороден) или с разной (ряд неоднороден). При неоднородном дублировании однородность ряда дисперсий проверяется по критерию Бартлетта. Для этого определяют величину NS NS B = 2,3026lg Sy fu - fu lg Syu, u=1 u= в которой используемые величины определены ранее. Найденную величину В сопоставляют с критерием 2, который берут из таблиц в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы f = N -1 ( N – число дублируемых опытов). Ряд дисперсий считается однородным в том случае, если B 2 N-1.

;

Значение В в этом случае сильно завышено. Если оно сравнимо или немного превышает 2; N-1, то В уточняют по формуле В* = В/c, где NN с = (( fu) -1/ fu )/3/(N – 1) + 1, 1/ u=1 u=где N = Ns, а затем снова сравнивают с 2; N-1.

При равномерном дублировании опытов Nu = N = Ns, поэтому Ns Ns 2 формула Sy = fuSyu fu после преобразования принимает u=1 u=вид:

N Sy = yu / Ns.

Su=Перед использованием последней зависимости также следует проверить однородность ряда дисперсий. При однородном дублировании опытов эту проверку проводят по критерию Кохрена:

N 2 G расч = Syu max / Syu, u=который сравнивают с его табличным значением в зависимости от уровня значимости, числа степеней свободы f = n – 1 и числа опытов N.

Ряд дисперсий считается однородным, если G расч < G табл.

8.2 Оценка адекватности модели После проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии следует оценить адекватность построенной модели – определить достаточность аппроксимации исследуемого процесса построенной эмпирической моделью. Такая оценка может быть проведена несколькими способами.

Первый способ базируется на анализе остатков d (рис. 8.1).

Второй способ базируется на статистической оценке самой модели.

Анализ остатков Исследование остатков позволяет на качественном уровне оценить результативность построения регрессионной модели.

Для проверки адекватности простой линейной регрессии мо дели можно использовать график di в зависимости от xi или y, i = 1,..., n. Если остатки попадают в горизонтальную полосу с центром на оси абсцисс, то модель можно рассматривать как адекват ную. Если полоса расширяется, когда x или y возрастают, то это указывает на отсутствие постоянства дисперсии (гетероскедастичность). В частности, дисперсия может быть функцией модели, что делает необходимым преобразование переменной y. График, показывающий линейный тренд, дает основание для введения в модель дополнительной независимой переменной. График в виде параболы указывает на то, что в модель должен быть добавлен линейный или квадратичный член. Примеры распределения остатков показаны на рис. 8.1.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 22 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.