WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 22 |

i i i=Факторы, определяющие функционирование системы, могут быть систематизированны в четыре группы:

– управляемые факторы, которые можно изменять в широких пределах;

– ограниченно управляемые, значения которых коррелированы с другими факторами и которые можно изменять лишь в определенных пределах;

– неуправляемые, значения которых не коррелированы с другими факторами и которые изменяются независимо от воли экспериментатора;

– неуправляемые, коррелированные с другими и изменяющиеся независимо от воли экспериментатора.

Построение и исследование кибернетической модели проводится в рамках теории планирования эксперимента, основой которой является математическая статистика.

Преимущества теории планирования эксперимента связаны с организацией процедур направленного поиска формы связи между управляющими и управляемыми параметрами. Проведение планирования эксперимента позволяет:

– минимизировать общее число опытов:

– выбирать четкие, логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследований;

– одновременно варьировать несколькими переменными и оптимально использовать факторное пространство;

– получать модели, имеющие лучшие свойства по сравнению с моделями пассивного эксперимента, при котором набор статистического материала осуществляется по результатам наблюдения реальной системы без управляющего воздействия на происходящие при этом процессы;

– рандомизировать условия опытов, т.е. превратить многочисленные мешающие факторы в случайные величины;

– оценивать элементы неопределенности, связанные с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полученные разными исследователями.

Планирование эксперимента включает следующие этапы:

– анализ априорной информации об исследуемом процессе;

– выбор плана эксперимента и его реализация;

– статистическая обработка и интерпретация результатов эксперимента.

Анализ априорной информации проводится с целью определения существенных факторов процесса и диапазонов их изменения, динамики его протекания, оценки целесообразных режимов функционирования системы для последующего исследования. Правильное сочетание интервалов изменения основных факторов обеспечивает получение результатов в рамках существующей реальности. Анализ априорной информации может быть проведен на основе корреляционного анализа, функции полезности, автоматической классификации объектов, экспертного опроса, анализа размерностей и т.д.

Выбор плана эксперимента связан с формой функциональной связи параметров, статистической эффективностью самих планов и вариативными ограничениями практического характера в зависимости от условий экспериментирования. Пригодность аппроксимирующей модели проверяется предварительной оценкой априорной информации и по результатам статистической оценки экспериментальных данных.

Статистическая обработка эксперимента включает расчет коэффициентов эмпирической модели, проверку их статистической значимости и адекватности модели – статистической пригодности для описания исследуемого процесса в заданном диапазоне изменения параметров.

7.2 Кодирование переменных Возникновение современных статистических методов планирования эксперимента связано с первой работой профессора биологии Р. Фишера (1923). В 1935 г. вышла его монография «The Design of Experiments», давшая название всему направлению.

В теории планирования эксперимента уравнение связи называют регрессионным, имея в виду описание сложного реального процесса упрощенной зависимостью (регрессия от лат. regressio – движение назад). Понятие регрессии введено Френсисом Гальтоном (двоюродным братом Чарльза Дарвина), издавшим в 1885 г. известную работу «Регрессия в направлении к общему среднему размеру при наследовании роста».

Простейшей формой связи является линейная регрессия следующего вида N Y = В0 + BX, i i i=а при N = 1:

Y = b0 + b1X1.

Пример результатов эксперимента, описываемых простейшей регрессией, показан на рис. 7.2. В связи с ограниченностью статистической выборки коэффициенты регрессии являются статистическими оценками реальных коэффициентов, что приводит к необходимости изучения правомерности их использования.

Рис. 7.2 Простейшая линейная регрессия Определение коэффициентов уравнения регрессии осуществляется на основе метода наименьших квадратов. Сумма квадратов отклонения значения функции Y, рассчитанной по уравнению регрессии, от экспериментального значения функции в одноименных точках минимально возможная:

N (Yрасч – Yэксп)2 min.

u=Для подбора уравнения можно было бы выдвинуть требование нулевой суммы отклонений всех точек от линии регрессии, однако такому требованию удовлетворяет бесконечное число уравнений, проходящих через координату со средними значениями Хср и Yср (рис. 7.3).

Рис. 7.3 Регрессии с нулевыми суммами отклонений Планом эксперимента называют таблицу, указывающую число необходимых опытов и характер сочетания варьируемых переменных в конкретном опыте. В зависимости от формы уравнения регрессии выделяют линейные планы, планы второго, третьего и так далее порядков. Планы, в которых варьируемые факторы фиксированы на двух уровнях (например, верхний и нижний), называются двухуровневыми. Широко используются также планы трех-, четырех- и пятиуровневые. Эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней всех факторов, называют полным факторным экспериментом. Пример двухуровневого плана полного факторного эксперимента (вариант плана типа 2k) для двух переменных (k = 2) приведен в табл. 7.1.

Таблица 7.План эксперимента Номер Переменные Выход опыта Х1 Х2 Yi 1 4 2 2 8 2 3 4 10 4 8 10 Для упрощения записи структуры плана верхний и нижний уровни варьирования обозначают соответственно +1 и –1 или (+) и (–). Переход от натуральных значений факторов к кодированным и обратно осуществляют по формулам перехода:

xi = (Xi – Xiср)/ Xi;

Xi = Хiв – Хiн, где Хiв, Хiн, Xi, Xiср – верхнее, нижнее, текущее и среднее значения параметра соответственно; Xi – интервал варьирования параметра;

xi – кодированное текущее значение параметра.

Таблица 7.1 в кодированном виде заменяется табл. 7.2.

Таблица 7.План эксперимента Номер Переменные Выход опыта Х1 Х2 Yi 1 – – 2 + – 3 – + 4 + + Графическая интерпретация приведенных в таблицах планов показана на рис. 7.4 и 7.5.

Рис. 7.4 Область варьирования Рис. 7.5 Область варьирования Определение коэффициентов уравнения регрессии для приведенного плана осуществляется совместным решением четырех уравнений, соответствующих строкам плана:

b1x11 + b2x21 = y1;

b1x12 + b2x22 = y2;

b1x13 + b2x23 = y3;

b1x14 + b2x24 = y4, что равносильно записи x11 x21 y x x22 b1 y = x13 x23 b2 y x24 yx14 или в матричной форме XB = Y.

Умножая части последнего уравнения слева последовательно на матрицу Х Т и матрицу (Х ТХ)–1 и имея в виду, что (Х ТХ)–1(Х ТХ) = Е, получим зависимость для определения коэффициентов уравнения регрессии в общем виде:

В = (Х ТХ)–1(Х ТY).

Эта формула используется для определения коэффициентов уравнения регрессии независимо от типа выбранного плана эксперимента (порядка плана и числа уровней варьирования) при равномерном дублировании опытов для каждой строки плана или при отсутствии дублей. Если число дублей в строках плана неравномерное, то используется иная формула:

В = (Х Т РХ)–1(Х Т РY), где Р – матрица, все элементы которой (за исключением диагональных) равны нулю, а диагональные элементы равны числу дублей для соответствующей строки плана.

Статистические свойства планов полностью определяются Т свойствами обратной матрицы А–1 = (Х Х)–1 (матрицы дисперсийковариаций) или свойствами (в равной мере) информационной матрицы Х ТХ. Исходя из этого используют различные критерии оптимальности при построении планов.

7.3 Критерии оптимальности планов эксперимента Выбор плана эксперимента зависит от целей и решаемых в исследовании задач и обусловлен статистическими свойствами плана или организацией и порядком проведения опытов. Условно выделяют три группы критериев оптимальности планов.

В первую группу входят критерии, связанные с точностью оценок коэффициентов регрессии эмпирического уравнения связи:

ортогональность, D-, A-, E-оптимальность и др.

Ортогональность плана позволяет находить коэффициенты уравнения независимо друг от друга, обеспечивает упрощение исходной модели или ее усложнение исключением или добавлением в него новых членов без пересчета уже найденных. Такими свойствами обладают линейные модели.

D-оптимальность в статистическом смысле дает минимум обобщенной дисперсии всех оценок коэффициентов модели.

A-оптимальность обеспечивает минимум суммы дисперсий оценок коэффициентов.

E-оптимальность исключает слишком большие дисперсии некоторых оценок коэффициентов.

Критерии второй группы определяют точность предсказания выходной характеристики (целевой функции, цели, отклика) с помощью построенной эмпирической модели.

Ротатабельность обеспечивает одинаковую точность предсказаний для точек, равноудаленных от центра плана по любому направлению.

Униформность в дополнение к ротатабельности обеспечивает примерно постоянную дисперсию предсказания в некоторой области вокруг центра плана.

G-оптимальность гарантирует отсутствие в области эксперимента точек, имеющих слишком низкую точность предсказания функции отклика.

Q-оптимальность обеспечивает минимальную среднюю дисперсию предсказания.

Планы, которые сохраняют свойства оптимальности независимо от числа варьируемых параметров, называются непрерывными. Если свойства оптимальности справедливы только при определенном числе факторов, то такие планы называют точными. Для непрерывных D-оптимальных планов справедлива G-оптимальность.

Это свойство важно, если целью эксперимента является построение поверхности отклика с последующим поиском экстремальных значений функции отклика.

В ряде случаев возможности планирования эксперимента удобно использовать при решении задач оптимизации процессов, описываемых достаточно сложной математической моделью, реализация которой требует значительных временных затрат. С этой целью в программу расчета вводят модуль автоматического построения планов эксперимента, а формируемый с его помощью план используют для построения приближенной эмпирической модели процесса, которую и используют при нахождении области оптимальных значений показателей процесса. Контроль результатов осуществляют решением исходной сложной модели процесса. Такой поход обеспечивает снижение затрат времени на несколько порядков, давая приемлемую точность конечных результатов решения задачи.

К третьей группе относятся свойства планов, связанные со стратегией эксперимента.

Насыщенность планов означает, что число экспериментов равно числу строк в плане. Минимальное число экспериментов (k) зависит от числа определяющих процесс факторов (m) и определяется зависимостью k = (m + 1)(m + 2)/2.

Рандомизация – проведение опытов плана в случайной последовательности с целью устранения погрешностей эксперимента, вызванных систематическими действиями неконтролируемых факторов. Порядок опытов определяют по таблице случайных чисел, равномерно распределенных в интервале от 0 до 100.

7.4 Полный факторный эксперимент 2k Первоначально наибольшее распространение в практике инженерного эксперимента получили факторные планы 2k, которые обеспечивают построение регрессий видов:

N Y = В0 + BX ;

i i i=N N Y = В0 + BX + B Xi Xi.

i i ii i=1 i=Такое положение было обусловлено характерными для этих планов положительными свойствами, существенно облегчающими обработку результатов экспериментов. К таким свойствам относятся:

– симметричность: сумма элементов любого столбца матрицы N планирования равна нулю ( xiu = 0);

u=– нормировка: сумма квадратов элементов любого столбца N равна числу опытов ( xiu = N);

u=– ортогональность – почленное произведение двух разных N столбцов матрицы планирования равно нулю ( xiu xiu = 0, i j).

u=Свойство ортогональности позволяет определять коэффициенты регрессии по простой формуле:

N bi = ( xiu yu) / n.

u=Для вычисления коэффициента b0 по этой же формуле в матрицу планирования вводится столбец фиктивного фактора x0, равного для всех опытов +1. При этом искомый коэффициент становится равным среднему арифметическому значению отклика – выходной характеристике.

Полученные оценки коэффициентов регрессии являются независимыми друг от друга. Их численные значения и знаки указывают на характер и силу влияния.

Полный факторный эксперимент позволяет при необходимости оценить эффекты взаимодействия факторов. Для этого следует получить столбцы произведения факторов обычным перемножением соответствующих значений. При этом все свойства плана сохраняются, что дает возможность обращаться с новыми столбцами как со столбцами значений самих факторов.

Столбцы факторов задают непосредственное планирование, остальные же столбцы используются только для проведения расчетов. Пример полного факторного плана для двух переменных показан в табл. 7.3.

Таблица 7.План эксперимента Переменные Выход Номер опыта Х0 Х1 Х2 Х1Х2 Yi 1 + – – + Y2 + + – – Y3 + – + – Y4 + + + + YПолный факторный эксперимент не позволяет определять квадратичные члены модели. В этом случае эффекты взаимодействия (квадраты факторов) в плане эксперимента полностью совпадают с первым столбцом. Поэтому величина первого коэффициента (b0) будет включать как свободный член, так и вклады квадратичных членов уравнения регрессии.

Другим недостатком полного факторного эксперимента является существенное увеличение числа опытов с ростом числа варьируемых параметров. В тех случаях, когда взаимодействие факторов не является существенным, матрица планирования будет обладать свойством избыточности, что дает возможность сократить общее число опытов. Это позволяет устранить указанный недостаток, используя дробные реплики.

Например, для эксперимента, заданного табл. 7.2, в случае несущественности парного взаимодействия Х1Х2 можно использовать соответствующий столбец для задания третьего фактора – Х3. Тогда для изучения влияния трех факторов можно ограничиться четырьмя опытами вместо восьми. При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств.

В общем случае для сокращения числа экспериментов следует присвоить новому фактору значения столбца пренебрегаемого взаимодействия. Сформированные таким образом планы называются репликами полного факторного эксперимента и обозначаются как планы 2k–p, где р – число линейных эффектов, приравниваемых к эффектам взаимодействия. Исключение одного взаимодействия дает полуреплику, двух – четвертьреплику и т.д.

Использование дробных реплик приводит к смешению оценок коэффициентов регрессии. Это следует учитывать при интерпретации влияния факторов на искомую выходную характеристику.

Например, для матрицы 5.3 оценки смешиваются следующим образом:

b1B1 + B23; b2B2 + B13; b3B3 + B12, где b1, b2, b3 – вычисляемые коэффициенты регрессии; В1, B2, B3, B12, B23, B13 – неизвестные истинные коэффициенты регрессии.

Дробная реплика может иметь разную систему смешивания.

При постановке эксперимента следует стремиться к тому, чтобы максимальное число линейных эффектов не смешивалось с парными взаимодействиями. Число таких линейных эффектов называется разрешающей способностью реплики.

Для оценки разрешающей способности используют генерирующие соотношения, которые показывают, с какими столбцами смешан (закоррелирован) столбец данного фактора. Например, для плана таблицы 7.3 (полуреплика 23–1) можно использовать две полуреплики (две половины полного факторного эксперимента), каждая из которых задается одним из генерирующих соотношений Х3 = Х1Х2 и Х3 = – Х1Х2.

Если обе части этих соотношений умножить на Х3, то получим Х32 = 1 = Х3Х1Х2 и Х32 = 1 = –Х3Х1Х2. Соотношения 1 = Х3Х1Х2 и 1 = –Х3Х1Х2 называются определяющими контрастами. По ним легко найти все смешанные оценки последовательным умножением всех независимых переменных на определяющий контраст, помня, что в кодированном представлении квадрат фактора равен единице:

Х1 = Х2Х3; Х1 = – Х2Х3;

Х2 = Х1Х3; Х2 = – Х1Х3;

Х3 = Х1Х2; Х3 = – Х1Х2.

Вычисленные коэффициенты будут оценками следующих истинных коэффициентов регрессии:

b1 = B2B3; В1 = – B2B3;

b2 = B1B3; В2 = – B1B3;

b3 = B1B2; В3 = – B1B2.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 22 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.