WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 34 |

1) при использовании центром системы стимулирования ci(y*(x)) + i, z = x * (3) (z) =, i N, ix z x 0, вектор действий агентов y*(x) реализуется как единственное равновесие Нэша игры агентов с минимальными затратами центра на стимулирование равными C(x) +, где = ;

i iN 2) система стимулирования (3) является -оптимальной.

На втором шаге решения задачи стимулирования найдем наиболее выгодный для центра результат деятельности ОС x* B как решение задачи оптимального согласованного планирования:

(4) x* = arg max [h(x) – C(x)].

xB Утверждение 5.4. Если при n 2, k 2 и наличии агрегирования выполнено одно из предположений А.5.1 или А.5.2, или А.5.3, то система стимулирования (3), (4) -оптимальна.

Таким образом, выражения (3)-(4) дают решение задачи синтеза оптимальной многокритериальной системы стимулирования за агрегированные результаты совместной деятельности.

В заключение настоящего раздела отметим, что выше рассматривались постановки задач стимулирования, в которых вознаграждение, выплачиваемое агентам, вычиталось из дохода центра.

Более простым случаем является наличие фиксированного фонда заработной платы (ФЗП), который необходимо распределить таким образом, чтобы выбираемые (в рамках назначенной центром системы стимулирования) агентами действия максимизировали доход центра. Первый этап решения задачи стимулирования при этом останется без изменений, то есть, центру следует по-прежнему использовать соответствующие компенсаторные системы стимулирования. Отличие будет заключаться в том, что задача согласованного планирования сведется к максимизации функции дохода центра на множестве таких действий (или результатов деятельности) агентов, что их суммарные затраты (компенсируемые центром) не превосходят имеющегося ФЗП.

Подведем краткие итоги второго раздела настоящей главы:

сформулированы и решены задачи синтеза оптимальных многокритериальных систем стимулирования для одноэлементных и многоэлементных ОС – см. Табл. 7.

Табл. Оптимальные многокритериальные (k 2) системы стимулирования Агрегирование Агрегирование отсутствует присутствует n = 1 Утверждение 5.1 Утверждение 5.Утверждение 5.2 Утверждение 5.n Оптимальные системы стимулирования, определяемые выражениями (6) раздела 5.2.1, (5) раздела 5.2.2 и (3) основаны на принципе компенсации затрат – при их использовании агент получает в равновесии компенсацию затрат плюс мотивационную надбавку, причем последняя с формальной точки зрения может быть выбрана сколь угодно малой. Поэтому компенсаторные системы стимулирования отражают такую важную функцию стимулирования как компенсирующую, то есть обеспечивающую агентам минимально необходимый уровень полезности. Но у стимулирования существует и мотивационная функция, которая побуждает агентов не только выполнять плановые задания, но и делает привлекательной работу именно в данной организации, поощряя повышение качества, делая возможным удовлетворение потребностей более высоких уровней (см. формальную модель иерархии потребностей в главе 6). Поэтому зачастую на практике используются неоптимальные (с математической точки зрения) системы стимулирования, в которых агентам в случае выполнения плана выплачивается вознаграждение, превышающее их затраты. Примером могут служить рассматриваемые ниже линейные (см. раздел 5.3) и ранговые (см. раздел 5.5) системы стимулирования. Возможен и другой вариант – когда в заработной плате агента выделяются две составляющих – «постоянная» (тарифная, зависящая от квалификации, должности и т.д.) и «переменная» (премиальная, зависящая явным образом от конкретных результатов деятельности агента).

Примером здесь могут служить также рассматриваемые ниже бригадные системы стимулирования (см. раздел 5.4).

Завершив рассмотрение задач синтеза оптимальных многокритериальных систем стимулирования (а, как свидетельствуют результаты подразделов 5.2.1-5.2.3, оптимальными являются компен саторные системы стимулирования), изучим ситуации, в которых класс допустимых систем стимулирования ограничен и не включает в себя компенсаторные системы стимулирования. Типовыми примерами широко распространенных на практике классов систем стимулирования являются последовательно исследуемые ниже линейные системы стимулирования, механизмы «бригадной» оплаты труда и ранговые системы стимулирования.

5.3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ Рассмотрим сначала, следуя [163], случай n = 1, k = 1, A = 1, + yLCA = 0, в отсутствии агрегирования информации.

На практике широко распространены системы оплаты труда, основанные на использовании постоянных ставок оплаты: повременная оплата подразумевает существование ставки оплаты единицы рабочего времени (как правило, часа или дня), сдельная оплата – существование ставки оплаты за единицу продукции и т.д.

Объединяет эти системы оплаты то, что вознаграждение агента прямо пропорционально его действию (количеству отработанных часов, объему выпущенной продукции и т.д.), а ставка оплаты 0 является коэффициентом пропорциональности:

(1) L(y) = y.

В более общем случае возможно, что часть вознаграждения агента выплачивается ему независимо от его действий, то есть пропорциональная система стимулирования в более общем случае может иметь вид (2) (y) = 0 + y.

L При использовании пропорциональных (линейных) систем стимулирования и непрерывно дифференцируемой монотонной выпуклой функции затрат агента, выбираемое им действие опреде-1 -ляется следующим выражением: y* = c (), где c () – функция, обратная производной функции затрат агента.



Известно [163], что эффективность пропорциональных систем стимулирования (1) не выше, чем компенсаторных (см. выражение (6) раздела 5.2.1). Невысокая эффективность пропорциональных систем стимулирования вида (1) обусловлена требованием неотрицательности вознаграждений. Если допустить возможность использования систем стимулирования (2), где 0 0, то при выпуклых функциях затрат агента эффективность этой может быть равна эффективности оптимальной (компенсаторной) системы стимулирования. Для обоснования этого утверждения достаточно воспользоваться следующими соотношениями:

y*() = c’ –1(), ( y*) = c(y*).

L Последнее выражение дает: 0() = c(c’ –1()) – c’ –1().

Оптимальное значение * ставки оплаты при этом выбирается из условия максимума целевой функции центра:

* = arg max [H(y*()) – ( y*()) ].

L Перейдем теперь к случаю, когда деятельность одного агента (n = 1) описывается несколькими параметрами (k 2). При этом, если m 2, то непонятно, что означает ставка оплаты (конечно, можно использовать несколько ставок оплаты – каждую для своей компоненты вектора результатов деятельности агента, однако, в силу аддитивности стимулирования, получим задачу, схожую со случаем скалярного результата). Поэтому будем считать, что m = 1.

Тогда (3) L(z) = z, и целевая функция агента имеет вид:

(4) f(, y) = Q(y) – c(y).

Обозначим (см. также обозначения в разделе 5.2.1):

(5) z*() = arg max [ z – C(z)].

zB Оптимальное с точки зрения центра значение ставки оплаты определяется как (6) * = arg max [h(z*()) – z*()].

Утверждение 5.5. При n = 1, k 2, m = 1 и наличии агрегирования, система стимулирования (6) оптимальна в классе линейных систем стимулирования (3).

Многокритериальная линейная система стимулирования вида (2) строится аналогично тому, как это делалось выше в одноэлементных системах.

Пример 5.1. Пусть k = 2 и z = y1 + y2, y1, y2 0, h(z) = z, c(y) = ((y1)2 + (y2)2) / 2 r, где,,, r – строго положительные константы.

z2 r ( + ) Получаем: C(z) =, z*() =. Из выра2r( + ) жения (6) вычисляем:

2 / * =. • 4 r( + ) Перейдем теперь к постановке и решению задачи синтеза оптимальной линейной многокритериальной системы стимулирования в многоэлементной ОС. Если имеются несколько агентов, то для использования единой ставки оплаты необходимо, чтобы их результаты деятельности zi Bi, i N, «измерялись» одинаково, то есть должно существовать множество B0, такое, что: Bi = B0, i N.

Пусть центр установил ставку оплаты 0, то есть предложил агентам систему стимулирования:

(7) Li(zi) = zi, i N.

Данная система стимулирования является унифицированной, так как ставка оплаты одинакова для всех агентов. Однако, агенты могут быть различными, поэтому проанализируем, какие действия они будут выбирать при данной системе стимулирования.

Целевая функция i-го агента имеет вид:

(8) fi(y) = Qi(y) – ci(y), i N.

Обозначим P() – множество равновесий Нэша игры агентов.

Тогда задача синтеза оптимальной линейной системы стимулирования сводится к выбору оптимальной ставки оплаты:

(9) * = arg max min) [h(Q1(y), …, Qn(y)) – (y) ].

Qi 0 yP( iN Исследуем задачу (9) с целью получения аналитических решений для ряда практически важных частных случаев.

Обозначим Ki = {1, 2, …, ki} – множество показателей деятельности i-го агента (множество компонент вектора его действий).

Введем следующие предположения.

А.5.4. Функции затрат агентов аддитивны и сепарабельны:

i (10) ci(yi) = yij ) /( rij ), i N.

( i jKi А.5.5. Результат деятельности i-го агента аддитивно зависит только от его собственных действий:

(11) zi = Qi(yi) = yij, i N.

ij jKi Для того чтобы найти «равновесие Нэша» игры агентов, решим следующую задачу:

ci ( yi ) min yi (12).

Qi ( yi ) = zi В итоге получаем:

i zi (ijrij ) -* (13) yij (zi ) =, j Ki, i N.

i i i ) -1(ri ) -(i Ki При этом минимальные затраты i-го агента на достижение результата деятельности zi 0 равны i (14) Сi(zi) = zi / (i bi), i N, где -i i i i (15) bi = ) -1(ri ) -1, i N.

(i i K * Затем находим для i-го агента результат деятельности zi (), доставляющий максимум его целевой функции zi – Сi(zi):

(16) zi*() = ( bi ) -, i N.

i В результате задача (9) превращается в стандартную оптимизационную задачу:

* (17) * = arg max [h(z*()) – () ].

zi iN Утверждение 5.6. Если выполнены предположения А.5.4 и А.5.5, то зависимость действий, выбираемых агентами, от ставки оплаты описывается выражением (13), а оптимальной является ставка оплаты (17).

Пример 5.2. Пусть n = 2, 1 = 2, 2 = 3, 11 = 21 = 1, 12 = 22 = 2, r11 = 2, r12 = 3, r21 = 1, r22 = 4. Вычисляем в соответствии с (15): b1 = 8, b2 = 33.

* * Из (16) находим z1 () = 8, z2() = 33.

Предположим, что h(z) = z1 + z2. Решая задачу (17), в соответствии с утверждением 5.6 получаем, что в рассматриваемом примере * 0,51. • 5.4. СИСТЕМЫ «БРИГАДНОЙ» ОПЛАТЫ ТРУДА Настоящий раздел посвящен описанию такой разновидности коллективного стимулирования как «бригадные» формы оплаты труда, в рамках которых вознаграждение агента – члена «бригады» (команды, группы, коллектива, организации и т.п.) – определяется коэффициентом его трудового вклада (КТВ) и зависит от его действия в сравнении с действиями других агентов (в частном случае – при фиксированном премиальном фонде, в общем случае – когда премиальный фонд определяется агрегированным результатом деятельности всей бригады в целом) [85, 242].





Предполагается, что по результатам своей деятельности коллектив получает премиальный фонд R, который распределяется между агентами полностью. Рассмотрим сначала, следуя [242], «скалярный» случай. Будем считать, что i-ый агент характеризуется показателем ri, отражающим его квалификацию (эффективность деятельности), то есть индивидуальные затраты i-го агента ci = ci(yi, ri) монотонно убывают с ростом квалификации ri, i N.

Действие агента yi пока будем считать принадлежащим множеству неотрицательных действительных чисел (многокритериальный случай рассматривается в настоящем разделе ниже).

Коллектив, в котором квалификация всех агентов одинакова, будем называть однородным, в противном случае – неоднородным.

Эффективность системы стимулирования = (1, 2,..., n) будем оценивать суммой действий агентов: K() = yi.

iN Целевые функции агентов имеют вид:

(1) fi(yi) = i – ci(yi, ri), i N.

Естественный и простейший способ определения КТВ i агента – пропорционально действию последнего, то есть yi (2) i = i N.

y j jN Пусть функции затрат агентов линейны: ci(yi, ri) = yi / ri. Тогда из (1) и (2) получаем следующее выражение для целевой функции i-го агента, зависящей уже от действий всех агентов:

yi (3) fi(y) = R – yi / ri, i N.

y j jN Следовательно, исследуемую ситуацию можно рассматривать как игру n лиц с функциями выигрыша вида (3).

Однородный коллектив. Рассмотрим сначала случай однородного коллектива (ri = r, i N). Равновесные по Нэшу действия агентов имеют вид:

Rr(n -1) (4) yi* =, i N, nчто приводит к следующему значению эффективности:

Rr(n -1) (5) K1(R, r, n) =.

n В ряде случаев возможно повысить суммарный показатель эффективности однородного коллектива, не увеличивая фонд премирования R, за счет иного способа формирования КТВ агентов – возводя в (2) действия в одинаковую для всех агентов степень, большую единицы.

Неоднородный коллектив. Из (2) и (3) следует, что в неоднородном коллективе ситуации равновесия Нэша соответствуют следующие действия агентов и эффективность:

1/ rj - (n -1) / ri jN (6) yi* = R(n -1), i N, ( rj)1/ jN R(n - 1) (7) K2(R, r, n) =.

1/ rj jN Завершив рассмотрение «скалярного» случая, перейдем к анализу ситуации, в которой действия агентов yi, i N, представляют собой векторы, а процедура определения вознаграждения i(z), i N, основывается на трудовых вкладах агентов, вычисляемых на основании результатов их деятельности:

zi (8) i(z) = R, i N.

z j jN В случае несепарабельных затрат целевые функции агентов имеют вид:

Qi ( y) (9) fi(y) = R – ci(y), i N.

( y) Qj jN В [216] исследован случай, когда выполнено предположение А.5.5, а затраты агентов сепарабельны и линейны. Для этого случая показано, что равновесными будут комбинации максимально и минимально возможных компонентов действий агентов. Рассмотрим несколько более общий случай.

А именно, предположим, что выполнены предположения А.5.и А.5.5. Воспользовавшись выражениями (10)-(15) раздела 5.3, получим, что целевая функция i-го агента имеет вид (ср. с (3)):

zi i (10) fi(z) = R – (zi ) / (i bi), i N.

z j jN Под эффективностью системы стимулирования (8) будем понимать сумму результатов деятельности агентов:

(4.11) K3 =.

zi iN Утверждение 5.7. Если выполнены предположения А.5.4, А.5.и i = 2, i N, то эффективность K3 многокритериальной бригадной системы стимулирования (8) может быть найдена как решение уравнения n -(12) (K )21 = (K3)2.

+ Rbi iN Пример 5.3. Пусть в условиях утверждения 5.7 агенты однородны: bi = b, i N. Из (12) получаем: K3 = (n -1)bR. • Отметим, что предположение i = 2, i N в утверждении 5.существенно, так как найти аналитически равновесие Нэша игры агентов, обладающих целевыми функциями (10) и выбирающих значения результатов деятельности, в общем случае не удается.

Дело обстоит несколько проще, если вместо (8) выбрать систему стимулирования i (zi ), i N.

(13) i(z) = R j ) / i (z j j jN Найдем равновесие Нэша игры агентов, обладающих целевыми функциями i (zi ) i (14) fi(z) = R – (zi ) / (i bi), i N.

j ) / i (z j j jN Получим:

i Q(15) zi* = - Rbi, i N, i Q R(n -1) где Q =. Итак, мы обосновали справедливость следующеb iN i го утверждения.

Утверждение 5.8. Если выполнены предположения А.5.4 и А.5.5, то эффективность K4 = многокритериальной бригадzi iN ной системы стимулирования (13) равна:

i QK4 = - Rbi.

i Q iN Близкими к бригадным формам оплаты труда являются так называемые ранговые системы стимулирования, в которых для коллективного стимулирования используются процедуры соревнования, установления системы нормативов и т.д.

5.5. РАНГОВЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ В рассмотренных выше моделях стимулирования вознаграждение агентов зависело от абсолютных значений их результатов деятельности. В то же время, на практике достаточно распространены ранговые системы стимулирования (РСС), в которых величина вознаграждения агента определяется либо принадлежностью результата его деятельности некоторому наперед заданному множеству – так называемые нормативные РСС, либо местом, занимаемым агентом в упорядочении результатов деятельности всех агентов – так называемые соревновательные РСС.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 34 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.