WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |

5. Определение связей между переменными с учетом всей имеющейся о моделируемой системе информации, а также известных законов, закономерностей и т.п., описывающих данную систему. Именно этот этап иногда называют «построение модели» (в узком смысле).

6. Исследование модели – или имитационное, или/и применение методов оптимизации и, быть может, решение задачи управления (см. описание каждого из этих трех блоков ниже). Именно этот этап иногда называют «моделированием» (в узком смысле).

7. Изучение устойчивости и адекватности модели (см. ниже).

Последующие этапы, связанные с практической реализацией модели и/или внедрением результатов моделирования, мы здесь не рассматриваем.

Приведенные этапы математического моделирования иногда приходится повторять, возвращаясь к более ранним этапам при уточнении цели моделирования, обеспечении точности, устойчивости, адекватности и т.д.

Рассмотрим пример (так называемую дуополию Курно, описывающую конкуренцию двух экономических агентов), иллюстрирующий приведенные выше семь этапов построения математической модели.

1. Предметом моделирования является взаимодействие двух агентов – производителей одного и того же товара, – каждый из которых выбирает свой неотрицательный объем производства (предложение товара), стремясь максимизировать свою прибыль в условиях, когда рыночная цена убывает с ростом суммарного Например, при аккредитации высших учебных заведений анализируется множество параметров, описывающих их деятельность. Решение же об аккредитации принимается на основании агрегированной (комплексной) оценки результатов деятельности ВУЗа.

предложения. Целью моделирования является предсказание рыночного равновесия – объемов производства и цены.

2. В качестве «аппарата» моделирования используется теория некооперативных игр [38].

3. В качестве переменных, описывающих состояние системы, выберем неотрицательные объемы производства x1 и x2 соответственно первого и второго агентов и рыночную цену p.

4. Считается, что известны:

- зависимость цены: p = 5 – (x1 + x2) от суммарного предложения x1 + x2 – чем больше предложение, тем ниже цена;

- затраты 3 (x1)2 и 5 (x2)2 / 4 соответственно первого и второго агентов – чем больше объем выпуска, тем выше затраты;

5. Прибыль каждого агента представляет собой разность между его выручкой (равной произведению цены на его объем производства) и затратами, то есть целевые функции первого и второго агентов равны соответственно [5 – (x1 + x2)] x1 – 3 (x1)и [5 – (x1 + x2)] x2 – 5 (x2)2 / 4.

6. Исследование модели заключается в нахождении объемов * * производства x1 и x2, максимизирующих прибыли агентов (точнее – в нахождении так называемого равновесия Нэша (то есть, таких объемов производства, одностороннее отклонение от кото* рых не выгодно ни одному из агентов) их игры [38]): x1 = 0,5, * x2 = 1 и вычислении соответствующей рыночной цены, равной 3,5.

7. Данная модель устойчива (например, малые ошибки в измерении коэффициентов затрат агентов приведут к малым ошибкам в вычислении равновесной цены).

Завершив рассмотрение примера, отметим, что математическое моделирование можно разделить на аналитическое и имитационное [78].

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (например, уравнений – алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

- аналитическим, когда стремятся получить в общем (аналитическом) виде явные зависимости для искомых характеристик в виде определенных формул. Оба рассмотренных выше примера построения математической модели были исследованы аналитически;

- численным, когда, не имея возможности решать уравнения в общем виде, стремятся получить (например, с помощью компьютера) числовые результаты при тех или иных конкретных начальных данных;

- качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые его свойства. Примером могут служить так называемые «мягкие» модели [3], в которых анализ вида дифференциальных уравнений, описывающих самые разнообразные процессы (экономические, экологические, политические и др.) позволяет делать качественные выводы о свойствах их решений – существовании и типе равновесных точек, областях возможных значений переменных и т.п.

Для имитационного моделирования характерно исследование отдельных траекторий динамики моделируемой системы. При этом фиксируются некоторые начальные условия (начальное состояние системы или параметры модели) и рассчитывается одна траектория. Затем выбираются другие начальные условия, и рассчитывается другая траектория и т.д. То есть, аналитической зависимости между параметрами модели и будущими состояниями системы не ищется. Как правило, при имитационном моделировании используют численные методы, реализованные на компьютере. Плюс имитационного моделирования заключается в том, что оно позволяет проанализировать различные сценарии иногда даже для очень сложных моделей. Его недостаток4 состоит в отсутствии возможности получения, например, ответа на вопрос, в каких случаях (при каких значениях начальных условий и параметров модели) динамика системы будет удовлетворять заданным требованиям. Кроме От этого недостатка свободны аналитические модели, но они редко могут быть построены и исследованы для достаточно сложных систем.

того, обычно затруднителен анализ устойчивости имитационных моделей.



Итак, мы кратко рассмотрели вопрос о построении моделей, в том числе – математических (обсуждение устойчивости и адекватности моделей, а также связанных с моделями проблем оптимизации и задач управления, производится ниже). Тех читателей, которые заинтересуются современными способами формализованного представления моделей, мы отсылаем к достаточно полным их описаниям, выполненным для ряда предметных областей в [16, 23, 26, 31, 38, 40, 58, 78, 84, 87, 88, 91, 95].

Отметим, что, несмотря на то, что на сегодняшний день накоплен значительный опыт разработки и использования самых разных методов моделирования (в том числе – математического), все равно в этом процессе решающую роль играет творчество, интуитивное искусство создания модели.

Следующий этап моделирования – оптимизация.

1.2. Оптимизация и устойчивость решений Оптимизация заключается в том, чтобы среди множества возможных вариантов (моделей проектируемой системы) найти наилучшие в заданных условиях, при заданных ограничениях, то есть оптимальные альтернативы. В этой фразе важное значение имеет каждое слово. Говоря «наилучшие», мы предполагаем, что у нас имеется критерий (или ряд критериев), способ (способы) сравнения вариантов. При этом важно учесть имеющиеся условия, ограничения, так как их изменение может привести к тому, что при одном и том же критерии (критериях) наилучшими окажутся другие варианты.

Понятие оптимальности получило строгое и точное представление в различных математических теориях, прочно вошло в практику проектирования и эксплуатации технических систем, сыграло важную роль в формировании современных системных представлений, широко используется в административной и общественной практике, стало понятием, известным практически каждому человеку. Это и понятно: стремление к повышению эффективности труда, любой целенаправленной деятельности как бы нашло свое выражение, свою ясную и понятную форму в идее оптимизации.

В математическом смысле суть оптимизации, вкратце, заключается в следующем. Пусть состояние моделируемой системы определяется совокупностью показателей: x = (x1, x2, x3,..., xn), принимающих числовые значения. На множество возможных состояний системы наложено ограничение: x X, где множество X определяется существующими физическими, технологическими, логическими, ресурсными и другими ограничениями. Далее вводится функция F(x), зависящая от x1, x2, x3,..., xn, которая называется критерием эффективности и принимает числовое значение.

Считается, что чем бльшие значения принимает функция F(x), тем выше эффективность, то есть, тем «лучше» состояние x системы.

Задача оптимизации заключается в нахождении оптимального значения x*, то есть допустимого состояния системы (x X), имеющего максимальную эффективность: для всех x из множества X выполняется F(x* ) F(x).

Приведем пример простейшей задачи оптимизации. Пусть имеется R единиц ресурса, и n инвестиционных проектов. Каждый проект характеризуется отдачей i > 0 на единицу вложенных средств. Величина xi 0 описывает, какое количество ресурса инвестируется в i-ый проект. Множеством X в данном примере будет множество таких векторов инвестиций, сумма компонентов которых не превосходит бюджетного ограничения:

x1 + x2 + x3 +... + xn R, то есть, допустимы любые комбинации инвестиций, удовлетворяющих ограничению на первоначальное количество ресурса. Критерием эффективности естественно считать суммарную отдачу от инвестиций:

F(x) = 1 x1 + 2 x2 +... + n xn. Оптимальным в данном примере будет вложение всех средств в тот инвестиционный проект, который характеризуется максимальной отдачей на единицу вложенных средств (с максимальным значением i).

Такой вывод вполне соответствует здравому смыслу, и для его получения вряд ли стоило формулировать математическую задачу оптимизации. Однако, если усложнить модель (например, учесть риск или тот факт, что проекты могут требовать фиксированных инвестиций и давать фиксированную отдачу, и т.п.), то задача станет не столь тривиальной и без оптимизационных моделей нельзя будет обойтись (см. примеры в [16, 23]). Например, пусть имеются 100 единиц ресурса и два проекта. У первого проекта отдача на единицу вложенных средств равна 1,8, у второго – 1,4.

Вероятность успешного завершения первого проекта равна 0,85, второго – 0,95. Требуется распределить инвестиции между проектами так, чтобы ожидаемый доход был максимален:

1,8 0,85 x1 + 1,4 0,95 x2 max, при условии, что расходуется количество ресурса, не большее имеющегося: x1 + x2 100, и ожидаемые потери не должны превышать 9 % от имеющегося ресурса:

(1 – 0,85) x1+ (1 – 0,95) x2 9. Данная оптимизационная задача (являющаяся задачей линейного программирования [92]) имеет * * следующее решение: x1 = 40, x2 = 60. Значение критерия эффективности при этом равно 141.

Отметим, что при постановке и решении оптимизационных задач существенное значение имеет выбор критерия эффективности и ограничений. Так, если в рассмотренном выше примере в ограничении на ожидаемые потери заменить 9 % на 11 %, то опти* * мальным будет совсем другое решение: x1 = 60, x2 = 40. Другим (равным 145) станет и значение критерия эффективности.

Мы привели простейший пример задачи оптимизации. Читателей, заинтересованных в более подробном изучении теории оптимизации, отсылаем к [16, 23, 31, 38, 78, 88, 92, 95] и спискам литературы в этих источниках.

Различие между строго научным, математизированным и «общепринятым», житейским пониманием оптимальности, в общемто, невелико [88]. Правда, нередко встречающиеся выражения вроде «более оптимальный», строго говоря, некорректны (нельзя достичь эффективности, больше максимальной).





Если не вдаваться в подробности оптимизации в рамках математических моделей, то интуитивно оптимизация сводится, в основном, к сокращению числа альтернатив и проверке модели на устойчивость.

Если специально стремиться к тому, чтобы на начальной стадии было получено как можно больше альтернатив, то для некоторых задач их количество может достичь большого числа возможных решений. Очевидно, что подробное изучение каждой из них приведет к неприемлемым затратам времени и средств. На этапе неформализованной оптимизации рекомендуется проводить «грубое отсеивание» альтернатив, проверяя их на присутствие некоторых качеств, желательных для любой приемлемой альтернативы. К признакам «хороших» альтернатив относятся надежность, многоцелевая пригодность, адаптивность, другие признаки «практичности». В отсеве могут помочь также обнаружение отрицательных побочных эффектов, недостижение контрольных уровней по некоторым важным показателям (например, слишком высокая стоимость) и пр. Предварительный отсев не рекомендуется проводить слишком жестко; для детального анализа и дальнейшего выбора необходимы хотя бы несколько альтернативных вариантов.

Важным требованием, предъявляемым к моделям, является требование их устойчивости при возможных изменениях внешних и внутренних условий, а также устойчивости по отношению к тем или иным возможным изменениям параметров самой модели проектируемой системы. Проблемам устойчивости математических моделей систем посвящена довольно обширная литература (см., например, [32, 66, 87, 88 и др.]).

Для того чтобы понять роль устойчивости, вернемся (см. также выше) к рассмотрению процесса построения математической модели некоторой реальной системы и проанализируем возможные «ошибки моделирования». Первым шагом является выбор того «языка», на котором формулируется модель, то есть того математического аппарата, который будет использоваться (горизонтальная пунктирная линия на Рис. 2 является условной границей между реальностью и моделями). Как правило, этот этап характеризуется высоким уровнем абстрагирования – выбираемый класс моделей намного шире, чем моделируемый объект. Возможной ошибкой, которую можно совершить на этом шаге, является выбор неадекватного языка описания.

Следующим этапом по уровню детализации является построение множества частных моделей, при переходе к которым вводятся те или иные предположения относительно свойств параметров модели. Возникающие здесь ошибки описания структуры модели могут быть вызваны неправильными представлениями о свойствах элементов моделируемой системы и их взаимодействии.

После задания структуры модели посредством выбора определенных значений параметров (в том числе – числовых) происходит переход к некоторой конкретной модели, которая считается аналогом моделируемого объекта. Источник возникающих на этом этапе «ошибок измерения» очевиден, хотя он и имеет достаточно сложную природу и заслуживает отдельного обсуждения.

Когда для конкретной модели решается задача выбора оптимальных решений, то, если существует аналитическое решение для множества частных моделей, тогда, как правило, частные значения параметров, соответствующие конкретной модели, подставляются в это решение. Если аналитического решения не существует, то оптимальное решение ищется посредством имитационных экспериментов с привлечением вычислительной техники. На этом этапе – при численных расчетах – возникают вычислительные ошибки.

Изучение устойчивости решений в большинстве случаев сводится к исследованию зависимости оптимального решения от параметров модели. Если эта зависимость является непрерывной, то малые ошибки в исходных данных приведут к небольшим изменениям оптимального решения. Тогда, решая задачу выбора по приближенным данным, можно обоснованно говорить о нахождении приближенного решения.

Обсудим теперь, что следует понимать под адекватностью модели. Для этого вернемся к Рис. 2. Оптимальное решение, полученное для конкретной модели, является оптимальным в том смысле, что при его использовании поведение модели соответствует предъявляемым требованиям. Рассмотрим, насколько обоснованным является использование этого решения в реальной системе – моделируемом объекте.

Наблюдаемое поведение модели является с точки зрения субъекта, осуществляющего моделирование (например, полагающего, что модель адекватна), предполагаемым поведением реальной системы, которое в отсутствии «ошибок моделирования» будет оптимально в смысле выбранного критерия эффективности. Понятно, что в общем случае наблюдаемое поведение реальной системы и ее ожидаемое поведение могут различаться достаточно сильно. Следовательно, необходимо исследование адекватности модели, то есть – устойчивости поведения реальной системы относительно ошибок моделирования (см. Рис. 2).

Действительно, представим себе следующую ситуацию. Пусть построена модель и найдено оптимальное в ее рамках решение. А что будет, если параметры модели «немного» отличаются от параметров реальной системы Получается, что задача выбора решалась не для «той» системы. Отрицать такую возможность, естественно, нельзя. Поэтому необходимо получить ответы на следующие вопросы:

- насколько оптимальное решение чувствительно к ошибкам описания модели, то есть, будут ли малые «возмущения» модели приводить к столь же малым изменениям оптимального решения (задача анализа устойчивости);

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.