WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |

* xU = arg max [H(z) – n U (z)]. (15) zAВыражения (14)–(15) дают решение задачи синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования агенГлава тов за результаты их совместной деятельности. Легко видеть, что эффективность унифицированного стимулирования (14)– (15) не выше, чем эффективность персонифицированного стимулирования (5)–(6).

Пример 2.6. Пусть в условиях первого примера из раздела 2.3 центр должен использовать унифицированную систему стимулирования. Определим c(y) = y2 / 2rj, где j j = arg min {ri}. Тогда минимальные затраты на стимулироiN * вание равны: U (z) = z2/ 2 n rj. Оптимальный план xU = n rj дает значение эффективности n rj / 2, которая меньше эффективности / 2 персонифицированного стимулирования, а ri iN равенство имеет место в случае одинаковых агентов.

2.6. Механизмы «бригадной» оплаты труда Настоящий раздел посвящен описанию моделей коллективного стимулирования, а именно – «бригадных» форм оплаты труда1, в рамках которых вознаграждение агента – члена бригады – определяется коэффициентом его трудового участия (КТУ) и зависит от его действия в сравнении с действиями других агентов (в частном случае – при фиксированном премиальном фонде, в общем случае – когда премиальный фонд определяется агрегированным результатом деятельности всей бригады в целом) [33].

Термин «бригадные формы оплаты труда» является устойчивым словосочетанием, возникшим еще в бывшем СССР. Тем не менее системы оплаты труда, основывающиеся на оценке индивидуального вклада в результат деятельности коллектива (с этой точки зрения бригадные формы оплаты труда близки к механизмам стимулирования за результаты коллективной деятельности, рассмотренным в разделе 2.4), широко используются до сих пор.

Базовые математические модели стимулирования Процедура определения КТУ может быть различной, а именно возможно:

- формирование КТУ пропорционально тарифному разряду (квалификации) работника;

- формирование КТУ пропорционально коэффициенту трудового вклада (КТВ) работника.

При формировании КТУ пропорционально тарифным разрядам имеется в виду следующее. Считается, что тарифный разряд характеризует деятельность каждого работника – агента. При этом полагается, что чем больше тарифный разряд, тем выше квалификация агента. Поэтому тарифный разряд, отражая эффективность работы каждого агента, может быть использован для оценки его деятельности.

При формировании КТВ учитывается фактический вклад каждого агента в зависимости от индивидуальной производительности труда и качества работы в общую работу всего трудового коллектива.

Итак, в трудовом коллективе руководство имеет свои цели и формирует условия функционирования, чтобы достичь эти цели. Соответственно, агенты тоже имеют свои цели и, выбирая соответствующие действия, стремятся их достичь.

Предполагается, что по результатам своей деятельности коллектив получает премиальный фонд R, который распределяется между агентами полностью в зависимости от выбранной системы стимулирования.

Будем считать, что i-й агент характеризуется показателем ri, отражающим его квалификацию (эффективность деятельности), то есть индивидуальные затраты i-го агента ci = ci (yi, ri) монотонно убывают с ростом квалификации ri, i N. Коллектив, в котором квалификация всех агентов одинаковая, будем называть однородным, в противном случае – неоднородным. Эффективность системы стимулирования будем оценивать суммой действий агентов: (y) = yi.

iN Глава Процедуры, основанные на КТУ. Рассмотрим сначала случай использования КТУ. Фонд R распределяется между агентами на основе коэффициентов трудового участия {i}i N, =1. Таким образом, премия i-го агента опреде j jN ляется выражением i = i R.

Целевые функции агентов имеют вид:

fi (yi) = i – ci (yi, ri), i N. (1) Достаточно распространенная из-за своей простоты процедура определения КТУ основывается только на учете ri показателя квалификации i-го агента, то есть i =.

rj jN Подставляя в (1), получим, что использование КТУ, основанных на квалификации агентов и не зависящих от их реальных действий, не оказывает никакого воздействия на агентов, то есть, не побуждает их выбирать, например, бльшие действия.

Поэтому перейдем к рассмотрению КТВ.

Процедуры, основанные на КТВ. Естественный и простейший способ определения КТВ агента – пропорционально действию последнего, то есть yi i =, i N. (2) y j jN Пусть функции затрат агентов линейны: ci (yi, ri) = yi / ri.

Тогда из (1) и (2) получаем следующее выражение для целевой функции i-го агента, зависящей уже от действий всех агентов:

yi fi (y) = R – yi / ri, i N. (3) y j jN Следовательно, исследуемую ситуацию можно рассматривать как игру n лиц с функциями выигрыша вида (3).

Базовые математические модели стимулирования Однородный коллектив. Рассмотрим сначала случай однородного коллектива. Равновесные по Нэшу действия можно найти, дифференцируя каждое из n выражений (3), приравнивая производную нулю и выражая сумму равновесных действий агентов. В итоге получим, что равновесные по Нэшу действия агентов имеют вид:

Rr(n -1) yi* =, i N, (4) nчто приводит к следующему значению эффективности:

Rr(n -1) K1(R, r, n) =. (5) n Из (4) видно, что чем больше премиальный фонд, тем бльшие действия выбирают агенты. Из (5) следует, что эффективность линейно растет при увеличении как премиального фонда (то есть не существует оптимального размера премиального фонда, максимизирующего эффект K1 / R его использования), так и квалификации агентов. Если действия агентов ограничены сверху, то существует оптимальный размер премиального фонда, который при известном ограничении может быть вычислен из выражения (4). Кроме того, легко показать (см. подробности в [33]), что разбиение однородного коллектива на более мелкие коллективы и соответствующее дробление премиального фонда не приводит к росту эффективности его использования. Можно также показать, что при постоянном размере фонда сокращение однородного коллектива приводит к уменьшению эффективности и увеличению действий, выбираемых агентами.



Рассмотрим следующую задачу: возможно ли повысить суммарный показатель эффективности однородного коллектива, не увеличивая фонд премирования R, но по-другому формируя КТВ агентов Для этого рассмотрим следующую процедуру формирования КТВ, которая более чувствительна к различию агентов, чем (2):

Глава yi n i =, i N, 1. (6) y n - j jN Тогда равновесные по Нэшу действия агентов имеют вид:

Rr(n -1) * yi =, i N, (7) nчто превышает (4).

n Ограничение 1 позволяет констатировать, что n -использование процедуры (6) формирования КТВ дает возможность увеличить эффективность по сравнению с процедурой (2) на 1 / (n – 1) процентов. Например, если коллектив состоит из 11 человек, показатель эффективности можно увеличить максимум на 10 %.

Неоднородный коллектив. Из (2) и (3) следует, что в неоднородном коллективе ситуации равновесия Нэша соответствуют следующие действия агентов (которые можно вычислить по аналогии с тем как это описано выше для случая однородного коллектива) и эффективность1:

1/ rj - (n -1) / ri jN yi* = R(n -1), i N, (8) ( rj)1/ jN R(n -1) K2(R, r, n) = y* =. (9) j jN 1/ rj jN Предположим, что коллектив состоит из агентов двух типов – m агентов-лидеров, имеющих эффективность r+, и Отметим, что в случае однородных агентов (8) переходит в (4), а (9) – в (5).

Базовые математические модели стимулирования (n – m) «рядовых» агентов, то есть агентов, имеющих эффективность r–, причем r+>r–.

Тогда ri = m / r+ + (n – m) / r–.

1/ iN Используя выражение (8), найдем действия, выбираемые в равновесии лидерами:

R(n -1) 1 (n -1) y+ = [1 – ], (10) m / r+ + (n - m) / r- r+ m / r+ + (n - m) / rи рядовыми агентами:

R(n -1) 1 (n -1) y– = [1 – ]. (11) m / r+ + (n - m) / r- r- m / r+ + (n - m) / rИспользуя выражение (9), найдем значение эффективности R(n -1) K2(R, m, n) =. (12) m / r+ + (n - m) / rИз выражений (8), (10), (11) видно, что появление в коллективе лидеров (более квалифицированных агентов) вынуждает рядовых (менее квалифицированных) агентов выбирать меньшие действия. Понятно, что это влечет за собой уменьшение значений их целевых функций.

Из (11) получаем, что если количество лидеров в кол1/ rлективе таково, что m, то рядовым агентам 1/ r- -1/ r+ вообще не выгодно увеличивать выбираемые ими действия.

Однако при m = 1, то есть если в коллективе есть только один лидер, рядовым агентам всегда выгодно увеличивать действия. В то же время легко показать [33], что появление в коллективе лидеров приводит к повышению эффективности всего коллектива, несмотря на выбор меньших действий рядовыми агентами.

Исследуем, возможно ли дальнейшее увеличение показателей эффективности работ в коллективе в рамках того же премиального фонда R. Для этого разобьем неоднородный Глава коллектив на два однородных подколлектива. Пусть первый состоит из m лидеров, а второй – из (n – m) рядовых агентов.

Соответственно разобьем премиальный фонд R всего коллектива, а именно: R = R+ + R –. Тогда в равновесии Нэша эфR+r+(m -1) фективность первого подколлектива равна, а m R-r-(n - m -1) второго –.

n - m Соответственно, общий показатель эффективности всего коллектива из n агентов равен:

R+r+(m -1) R-r-(n - m -1) K3(R, m, n) = +. (13) m n - m Выше отмечалось, что разбиение однородного коллектива на несколько подколлективов не приводит к увеличению суммарного показателя эффективности. Для неоднородного коллектива это не всегда так. Например, из сравнения (12) и (13) следует, что если в коллективе имеется половина лидеров, эффективность деятельности которых в два раза выше эффективности рядовых агентов, то выделение лидеров в отдельный подколлектив повысит суммарную эффективность, только если в исходном коллективе было не более шести агентов. В противном случае возможно снижение суммарной эффективности в результате разбиения неоднородного коллектива на два однородных подколлектива, даже при оптимальном распределении премиального фонда между подколлективами.

Индивидуальное и коллективное стимулирование.

В заключение настоящего раздела сравним эффективности индивидуального и коллективного стимулирования для ряда практически важных частных случаев (см. также [33]).

Пусть функции затрат агентов линейны:

ci (yi, ri) = yi / ri, i N, и пусть существует одинаковое для Базовые математические модели стимулирования всех агентов ограничение ymax на максимальную величину выбираемого действия: Ai = [0; ymax], i N.

Перенумеруем агентов в порядке убывания эффективностей деятельности:

r1 r2 … rn. (14) Предположим, что ограничение ymax таково, что дейст* вие y1, определяемое (8) при i = 1, является допустимым.

Тогда допустимыми являются и действия всех остальных агентов при использовании системы коллективного стимулирования (2), основанной на КТВ. Эффективность коллективного стимулирования K2(R, r, n) при этом определяется выражением (9).

Вычислим эффективность индивидуального стимулирования, при котором центр может стимулировать агентов независимо за индивидуальные результаты деятельности при условии, что сумма вознаграждений не превышает фонд R.





Для этого воспользуемся принципом компенсации затрат (см.

раздел 2.1) и результатами решения задачи стимулирования слабо связанных агентов (см. раздел 2.3).

Получим, что при использовании центром компенсаторных систем стимулирования оптимальной является компенсация затрат первым в упорядочении (14) k агентам (или (k + 1) агенту – в зависимости от соотношения параметров), где j j+k = min {j N | ymax ri R, ymax ri > R}. (15) 1/ 1/ i=1 i=Содержательно выражение (15) означает, что центру следует в первую очередь задействовать агентов, эффективность деятельности которых максимальна. Другими словами, отличное от нуля стимулирование получат первые k или (k + 1) агентов, а остальным следует назначить нулевое вознаграждение (их использование нецелесообразно). Таким Глава образом, эффективность индивидуального стимулирования равна:

k K4(R, r, n) = k ymax + rk+1 (R – ymax ri ). (16) 1/ i =Выражения (9) и (16) позволяют проводить сравнительный анализ эффективностей коллективного и индивидуального стимулирования.

Как правило, индивидуальное стимулирование оказывается более эффективным. Например, в случае однородных коллективов справедлива следующая оценка:

K4(R, r, n) / K1(R, r, n) n / (n – 1) 1.

Близкими к бригадным формам оплаты труда являются так называемые ранговые системы стимулирования, в которых для коллективного стимулирования используются процедуры соревнования, установления системы нормативов и т. д. Этот класс коллективных систем стимулирования подробно рассматривается в [29] и в следующем разделе.

2.7. Ранговые системы стимулирования Во многих моделях стимулирования вознаграждение агентов зависит от абсолютных значений их действий и/или результата деятельности (см. разделы 2.3, 2.5 и 2.6).

В то же время на практике достаточно распространены ранговые системы стимулирования (РСС), в которых величина вознаграждения агента определяется либо принадлежностью показателя его деятельности некоторому наперед заданному множеству – так называемые нормативные РСС, либо местом, занимаемым агентом в упорядочении показателей деятельности всех агентов – так называемые соревновательные РСС.

Преимуществом ранговых систем стимулирования является в основном то, что при их использовании центру иноБазовые математические модели стимулирования гда не обязательно знать достоверно значения всех действий, выбранных агентами, а достаточна информация о диапазонах, которым они принадлежат, или об упорядочении действий.

Нормативные РСС (НРСС) характеризуются наличием процедур присвоения рангов агентам в зависимости от показателей их деятельности (выбираемых действий и т. д.). Введем следующие предположения, которые будем считать выполненными на протяжении настоящего раздела.

Во-первых, будем считать, что множества возможных действий агентов одинаковы и составляют множество A неотрицательных действительных чисел. Во-вторых (как и в разделах 2.1 и 2.3), предположим, что функции затрат агентов монотонны и затраты от выбора нулевого действия равны нулю.

Пусть N = {1, 2, …, n} – множество агентов;

= {1, 2,..., m} – множество возможных рангов, где m – размерность НРСС (число рангов); {qj}, j = 1, m – совокупность m неотрицательных чисел, соответствующих вознаграждениям за «попадание» в различные ранги.

При использовании унифицированных (с одинаковыми нормативами для всех агентов) нормативных ранговых систем стимулирования (УНРСС) агенты, выбравшие одинаковые действия, получают одинаковые вознаграждения. Введем вектор Y = (Y1, Y2,..., Ym), такой, что 0 Y1 Y2... Ym < +, который определяет некоторое разбиение множества A. Унифицированная НРСС задается кортежем {m, {Yj}, {qj}}, причем вознаграждение i-го агента i определяется следующим образом: если его действие принадлежит «диапазону» [Yj, Yj+1), то вознаграждение равно qj, причем Y0 = 0, q0 = 0.

Унифицированная НРСС называется прогрессивной, если вознаграждения возрастают с ростом действий:

Глава q0 q1 q2... qm. Эскиз графика прогрессивной УНРСС приведен на рис. 2.14.

qm qqy Y1 Y2 Y3 Ym Рис. 2.14. Пример прогрессивной УНРСС Так как УНРСС кусочно-постоянна, то в силу монотонности функций затрат очевидно, что агенты будут выбирать действия с минимальными затратами на соответствующих отрезках. Иначе говоря, условно можно считать, что при фиксированной УНРСС множество допустимых действий равно:

Y = {Y1, Y2,..., Ym}, причем так как ci (0) = 0, то q0 = 0. Действие yi*, выбираемое i-м агентом, определяется парой векторов * (Y, q), то есть имеет место yi (Y, q) = Y k, где i ki = arg max {qk – ci (Yk)}, i N. (1) k =0, m * * * Обозначим y*(Y, q) = ( y1 (Y, q), y2 (Y, q),..., yn (Y, q)).

Задача синтеза оптимальной УНРСС заключается в выборе размерности УНРСС m и векторов q и Y, удовлетворяющих заданным ограничениям, которые максимизировали бы целевую функцию центра:

(y*(Y, q)) max. (2) Y, q Базовые математические модели стимулирования Фиксируем некоторый вектор действий x +, котоn рый мы хотели бы реализовать с помощью УНРСС.

Из того, что при использовании УНРСС агенты выбирают действия только из множества Y, следует, что минимальная размерность системы стимулирования должна быть равна числу попарно различных компонентов вектора действий, который требуется реализовать. Следовательно, использование УНРСС размерности, большей, чем n, нецелесообразно. Поэтому ограничимся системами стимулирования, размерность которых в точности равна числу агентов, то есть положим m = n.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.