WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |

Будем считать, что относительно параметров ОС выполнены предположения, введенные в предыдущем разделе Базовые математические модели стимулирования и, кроме того, предположим, что функция агрегирования однозначна и непрерывна.

Как и выше, эффективностью стимулирования является максимальное (в рамках гипотезы благожелательности) значение целевой функции центра на соответствующем множестве решений игры:

K( ()) = max)) ( (), Q (y)). (3) yP( ( Задача синтеза оптимальной функции стимулирования заключается в поиске такой допустимой системы стимулирования *, которая имеет максимальную эффективность:

* = arg max K( ()). (4) () Отметим, что в рассмотренных в разделе 2.3 задачах стимулирования декомпозиция игры агентов основывалась на возможности центра поощрять агентов за выбор определенного (и наблюдаемого центром) действия. Если действия агентов не наблюдаемы, то непосредственное применение идеи декомпозиции невозможно, поэтому при решении задач стимулирования, в которых вознаграждение агентов зависит от агрегированного результата деятельности ОС, следует использовать следующий подход: найти множество действий, приводящих к заданному результату деятельности, выделить среди них подмножество, характеризуемое минимальными суммарными затратами агентов (и, следовательно, минимальными затратами центра на стимулирование при использовании компенсаторных функций стимулирования, которые оптимальны – см. разделы 2.1 и 2.3), построить систему стимулирования, реализующую это подмножество действий, а затем определить, реализация какого из результатов деятельности наиболее выгодна для центра.

Перейдем к формальному описанию решения задачи стимулирования в ОС с агрегированием информации.

Определим множество векторов действий агентов, приводящих к заданному результату деятельности ОС:

Глава Y(z) = {y A | Q(y) = z} A, z A0.

Выше показано, что в случае наблюдаемых действий агентов минимальные затраты центра на стимулирование по реализации вектора действий y A равны суммарным затратам агентов (y). По аналогии вычислим минимальные ci iN суммарные затраты агентов по достижению результата дея~ тельности z A0 (z) = min) (y), а также множество ci yY ( z iN действий Y*(z) = Arg min) (y), на котором этот миниci yY ( z iN мум достигается.

Фиксируем произвольный результат деятельности x A0 и произвольный вектор y*(x) Y*(x) Y(x).

В [29] (при следующем дополнительном предположении «технического» характера: x A0, y Y(x), i N, yi Proji Y(x) cj (yi, y–i) не убывает по yi, j N) доказано, что:

1) при использовании центром системы стимулирования ci (y*(x)) + i, z = x * (z) =, i N, (5) ix z x 0, вектор действий агентов y*(x) реализуется как единственное равновесие с минимальными затратами центра на стимулиро~ вание, равными: (x) +, где = ;

i iN 2) система стимулирования (5) является -оптимальной.

Итак, первый шаг решения задачи стимулирования (4) заключается в поиске минимальной системы стимулирования (5), характеризуемой затратами центра на стимулирование ~ (x) и реализующей вектор действий агентов, приводящий к заданному результату деятельности x A0. Поэтому на втором шаге решения задачи стимулирования найдем наиболее Базовые математические модели стимулирования выгодный для центра результат деятельности ОС x* A0 как решение задачи оптимального согласованного планирования:

~ x* = arg max [H(x) – (x) ]. (6) xAТаким образом, выражения (5)–(6) дают решение задачи синтеза оптимальной системы стимулирования результатов совместной деятельности.

Исследуем, как незнание (невозможность наблюдения) центром индивидуальных действий агентов влияет на эффективность стимулирования. Пусть, как и выше, функция дохода центра зависит от результата деятельности ОС. Рассмотрим два случая. Первый – когда действия агентов наблюдаемы, и центр может основывать стимулирование как на действиях агентов, так и на результате деятельности ОС.

Второй случай, когда действия агентов не наблюдаемы, и стимулирование может зависеть только от наблюдаемого результата деятельности ОС. Сравним эффективности стимулирования для этих двух случаев.

При наблюдаемых действиях агентов затраты центра на стимулирование 1(y) по реализации вектора y A' действий агентов равны 1(y) = (y), а эффективность стимулироci iN вания K1 равна: K1 = max {H(Q(y)) – 1(y)} (см. также yA предыдущий раздел).

При ненаблюдаемых действиях агентов минимальные затраты центра на стимулирование 2(z) по реализации результата деятельности z A0 определяются следующим образом (см. (5) и (6)): 2(z) = min) (y), а эффективность ci yY ( z iN стимулирования K2 равна: K2 = max {H(z) – 2(z)}.

zAВ [29] доказано, что эффективности K1 и K2 равны.

Данный факт, который условно можно назвать «теоремой об идеальном агрегировании в моделях стимулирования», поГлава мимо оценок сравнительной эффективности имеет важное методологическое значение. Оказывается, что в случае, когда функция дохода центра зависит только от результата совместной деятельности агентов, эффективности стимулирования одинаковы как при использовании стимулирования агентов за наблюдаемые действия, так и при стимулировании за агрегированный результат деятельности, несущий меньшую информацию, чем вектор действий агентов.

Другими словами, наличие агрегирования информации не снижает эффективности функционирования системы. Это достаточно парадоксально, так как известно, что наличие неопределенности и агрегирования в задачах стимулирования не повышает эффективности. В рассматриваемой модели присутствует идеальное агрегирование, возможность осуществления которого содержательно обусловлена тем, что центру не важно, какие действия выбирают агенты, лишь бы эти действия приводили с минимальными суммарными затратами к заданному результату деятельности. При этом уменьшается информационная нагрузка на центр, а эффективность стимулирования остается такой же.



Итак, качественный вывод из проведенного анализа следующий: если доход центра зависит от агрегированных показателей деятельности агентов, то целесообразно основывать стимулирование агентов на этих агрегированных показателях. Даже если индивидуальные действия агентов наблюдаются центром, то использование системы стимулирования, основывающейся на действиях агентов, не приведет к увеличению эффективности управления, а лишь увеличит информационную нагрузку на центр.

Напомним, что в разделе 2.1 был сформулирован принцип компенсации затрат. На модели с агрегированием информации этот принцип обобщается следующим образом:

минимальные затраты центра на стимулирование по реализации заданного результата деятельности ОС определяются как Базовые математические модели стимулирования минимум компенсируемых центром суммарных затрат агентов, при условии, что последние выбирают вектор действий, приводящий к заданному результату деятельности. Рассмотрим иллюстративный пример.

Пример 2.5. Пусть (см. также примеры в разделе 2.3) z = yi, H(z) = z, ci (yi) = yi2 / 2ri, i N.

iN Вычисляем Y(z) = {y A | yi = z}.

iN Решение задачи ( yi) min при условии yi = x ci yA' iN iN ri * имеет вид: yi (x) = x, где W =, i N. Минимальные ri W iN затраты на стимулирование по реализации результата деятельности x A0 равны: (x) = x2 / 2 W.

Вычисляя максимум целевой функции центра max [H(x) – (x)], находим оптимальный план: x* = W и xоптимальную систему стимулирования:

x r, z = x * i (W, z) = 2W, i N.

i 0, z x При этом эффективность стимулирования (значение целевой функции центра) равна: K = W / 2. • Выше рассмотрены системы коллективного стимулирования, в которых зависимость вознаграждения от действий или результатов у каждого агента была индивидуальной. На практике во многих ситуациях центр вынужден использовать одинаковую для всех агентов зависимость вознаграждения от действия или результата совместной деятельности. Рассмотрим соответствующие модели.

Глава 2.5. Механизмы унифицированного стимулирования До сих пор рассматривались персонифицированные системы индивидуального и коллективного стимулирования, в которых центр устанавливал для каждого агента свою зависимость вознаграждения от его действий (раздел 2.1), или действий других агентов (раздел 2.3), или результатов их совместной деятельности (раздел 2.4). Кроме персонифицированных, существуют унифицированные системы стимулирования, в которых зависимость вознаграждения от тех или иных параметров одинакова для всех агентов. Необходимость использования унифицированного стимулирования может быть следствием институциональных ограничений, а может возникать в результате стремления центра к «демократическому» управлению, созданию для агентов равных возможностей и т. д.

Так как унифицированное управление является частным случаем персонифицированного, то эффективность первого не превышает эффективности второго. Следовательно, возникает вопрос, к каким потерям в эффективности приводит использование унифицированного стимулирования, и в каких случаях потери отсутствуют Рассмотрим две модели коллективного унифицированного стимулирования (используемая техника анализа может быть применена к любой системе стимулирования) – унифицированные пропорциональные системы стимулирования и унифицированные системы коллективного стимулирования за результаты совместной деятельности. В первой модели унификация не приводит к потерям эффективности (оказывается, что именно унифицированные системы стимулирования оказываются оптимальными в классе пропорциональных), а во второй снижение эффективности значительно.

Унифицированные пропорциональные системы стимулирования. Введем следующее предположение относительно функций затрат агентов:

Базовые математические модели стимулирования ci (yi, ri) = ri (yi /ri), i N, (1) где () – гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция, (0) = 0, (например, для функций типа Кобба-Дугласа (t) = t /, 1), ri > 0 – параметр эффективности агента.

Если центр использует пропорциональные (L-типа) индивидуальные системы стимулирования: i (yi) = i yi, то целевая функция агента имеет вид: fi (yi) = i yi – ci (yi). Дифференцируя целевую функцию, вычислим действие, выбираемое агентом при использовании центром некоторой фиксированной системы стимулирования:

* yi (i) = ri ' –1(i), i N, (2) где ' –1() – функция, обратная производной функции ().

Минимальные суммарные затраты центра на стимулирование равны:

n L () = ri '-1(i ), (3) i i=где = (1, 2,..., n).

Суммарные затраты агентов равны:

n c() = ('-1(i )). (4) ri i=В рамках приведенной выше общей формулировки модели пропорционального стимулирования возможны различные постановки частных задач. Рассмотрим некоторые из них, интерпретируя действия агентов как объемы выпускаемой ими продукции.

Задача 1. Пусть центр заинтересован в выполнении агентами плана w по суммарному выпуску с минимальными суммарными затратами агентов (еще раз подчеркнем необходимость различения суммарных затрат агентов и суммарных затрат центра на стимулирование). Тогда его цель заключается в выборе ставок оплаты {i}i N в результате решения следующей задачи:





Глава c() min n, (5) * yi (i ) = w i=решение которой имеет вид:

* * = (w / W); yi = ri (w / W); i N, i * c* = W (w / W); L = R (w / W). (6) n где W =.

r i i=Так как оптимальные ставки оплаты одинаковы для всех агентов, то оптимальна именно унифицированная система стимулирования.

Задача 2. Содержательно двойственной к задаче 1 является задача максимизации суммарного выпуска при ограничении на суммарные затраты агентов:

n * yi (i ) max. (7) i= c() v Решение задачи (7) имеет вид:

* * = ( –1(v / W)); yi = ri –1(v / W); i N, i * c* = R; L = –1(v / W) W '( –1(v / W)), (8) то есть в двойственной задаче (естественно) оптимальным решением также является использование унифицированных пропорциональных систем стимулирования.

Замена в задачах 1 и 2 суммарных затрат агентов на суммарные затраты на стимулирование порождает еще одну пару содержательно двойственных задач.

Задача 3. Если центр заинтересован в выполнении агентами плана w по суммарному выпуску с минимальными суммарными затратами на стимулирование, то ставки оплаты определяются в результате решения следующей задачи:

Базовые математические модели стимулирования () min L n *, (9) yi (i ) = w i=решение которой совпадает с (6), что представляется достаточно интересным фактом, так как суммарные затраты агентов отражают интересы управляемых субъектов, а суммарные затраты на стимулирование – интересы управляющего органа. Естественно, отмеченное совпадение является следствием сделанных предположений.

Задача 4 заключается в максимизации суммарного выпуска при ограничении на суммарные затраты на стимулирование:

n * yi (i ) max. (10) i= () v L Применяя метод множителей Лагранжа, получаем условие оптимальности (0 – множитель Лагранжа):

0 ' –1(i) ''(i) + i = 1, i N, из которого следует, что все ставки оплаты должны быть одинаковы и удовлетворять уравнению ' –1() = v / W. (11) Таким образом, мы доказали следующий результат: в организационных системах со слабо связанными агентами, функции затрат которых имеют вид (1), унифицированные системы стимулирования оптимальны на множестве пропорциональных систем стимулирования.

Отметим, что выше установлено, что унифицированные пропорциональные системы стимулирования (системы стимулирования UL-типа) оптимальны на множестве пропорциональных систем стимулирования в ОС со слабо связанными агентами, имеющими функции затрат вида (1).

Поэтому исследуем их сравнительную эффективность на множестве всевозможных (не только пропорциональных) Глава систем стимулирования. Как было показано выше (в разделах 2.1 и 2.3), для этого достаточно сравнить минимальные затраты на стимулирование, например, в задаче 2, с затратами на стимулирование в случае использования центром оптимальных компенсаторных систем стимулирования (которые равn ны K (y*) = (yi / ri) ).

ri i =Решая задачу выбора вектора y* A', минимизируюn щего K (y*) при условии yi* = w, получаем, что i =* K = W (w / W). Подставляя из выражения (6) * UL = R ' (w / W), вычислим отношение минимальных затрат на стимулирование:

* * UL /K = w / W ' (w / W) / (w / W). (12) * * Из выпуклости функции () следует, что UL /K 1.

Так как суммарные затраты на стимулирование при использовании унифицированных пропорциональных систем стимулирования выше, чем при использовании «абсолютно оптимальных» компенсаторных систем стимулирования, следовательно, первые не оптимальны в классе всевозможных систем стимулирования. Полученный для многоэлементных организационных систем результат вполне согласован со сделанным в разделе 2.2 выводом, что в одноэлементных системах эффективность пропорционального стимулирования не выше, чем компенсаторного.

Унифицированные системы стимулирования результатов совместной деятельности. В разделе 2.3 исследовались персонифицированные системы стимулирования агентов за результаты их совместной деятельности. Рассмотрим, что произойдет, если в этой модели потребовать, чтобы система стимулирования была унифицированной.

Базовые математические модели стимулирования Рассмотрим класс унифицированных систем стимулирования за результаты совместной деятельности (см. также раздел 2.3), то есть систем стимулирования, в которых центр использует для всех агентов одну и ту же зависимость индивидуального вознаграждения от результата деятельности z A0. Введем следующую функцию:

c(y) = max {ci(y)}. (13) iN На первом шаге вычислим минимальные затраты центра на стимулирование U (z) по реализации результата деятельности z A0 унифицированной системой стимулирования:

U(z) = min) c(y).

yY ( z Множество векторов действий, минимизирующих затраты на стимулирование по реализации результата деятельности z A0, имеет вид: Y*(z) = Arg min) c(y).

yY ( z По аналогии с тем, как это делалось в разделе 2.3, можно показать, что унифицированная система стимулирования:

c(y*(x)) + / n, z = x ix(z) =, i N, (14) z x 0, где y*(x) – произвольный элемент множества Y*(x), реализует результат деятельности x A0 с минимальными в классе унифицированных систем стимулирования затратами на стимулирование.

На втором шаге решения задачи синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования найдем наиболее * выгодный для центра результат деятельности ОС xU как решение задачи оптимального согласованного планирования:

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.