WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |

Для фиксированного вектора действий y* + полоn жим Yi = xi, i N, и обозначим cij = ci (Yj), i, j N. Из определения реализуемого действия (см. (1)) следует, что для того, чтобы УНРСС реализовывала вектор x + (то есть побужn дала агентов выбирать соответствующие действия), необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

qi – cii qj – cij, i N, j = 0, n. (3) Обозначим суммарные затраты на стимулирование по реализации действия x УНРСС n (x) = (x), (4) qi i=где q(x) удовлетворяет (3).

Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключается в минимизации (4) при условии (3).

Предположим, что агентов можно упорядочить в порядке убывания затрат и предельных затрат:

' ' ' y A c1 (y) c2 (y)... cn (y), и фиксируем некоторый вектор x +, удовлетворяющий n следующему условию:

x1 x2 … xn, (5) Глава то есть чем выше затраты агента, тем меньшие действия он выбирает.

В [29] доказано, что:

1) унифицированными нормативными ранговыми системами стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют (5);

2) оптимальная УНРСС является прогрессивной;

3) для определения оптимальных размеров вознаграждений может быть использована следующая рекуррентная процедура: q1 = c11, qi = cii + max {qj – cij}, i = 2, n ;

j

n i qi = (cj(xj) – cj(xj-1)). (6) j =Выражение (6) позволяет исследовать свойства УНРСС:

вычислять оптимальные размеры вознаграждений, строить оптимальные процедуры классификаций, сравнивать эффективность УНРСС с эффективностью компенсаторных систем стимулирования и так далее (см. свойства ранговых систем стимулирования ниже).

Соревновательные системы стимулирования. Рассмотрим кратко известные свойства соревновательных ранговых систем стимулирования (СРСС), в которых центр задает число классов и число мест в каждом из классов, а также величины поощрений агентов, попавших в тот или иной класс. То есть в СРСС индивидуальное поощрение агента не зависит непосредственно от абсолютной величины выбранного им действия, а определяется тем местом, которое он занял в упорядочении показателей деятельности всех агентов. В [29] доказано, что:

Базовые математические модели стимулирования 1) необходимым и достаточным условием реализуемости вектора действий агентов x + в классе СРСС является n выполнение (5);

2) данный вектор реализуем следующей системой стимулирования, обеспечивающей минимальность затрат центра на стимулирование:

i qi (x) = {cj–1(xj) – cj–1(xj-1)}, i = 1,n. (7) j =Выражение (7) позволяет исследовать свойства СРСС:

вычислять оптимальные размеры вознаграждений, строить оптимальные процедуры классификаций, сравнивать эффективность СРСС с эффективностью компенсаторных систем стимулирования и с эффективностью УНРСС и т. д.

2.8. Механизмы экономической мотивации Механизмы стимулирования (мотивации) побуждают управляемых агентов предпринимать определенные действия в интересах управляющего органа – центра. Если в механизмах, рассматриваемых выше, стимулирование заключалось в непосредственном вознаграждении агентов со стороны центра, то в настоящем разделе описаны механизмы экономической мотивации, в которых центр управляет агентами путем установления тех или иных нормативов – ставок налога с дохода, прибыли и т. д. Примерами являются: нормативы внутрифирменного налогообложения, определяющие распределение дохода или прибыли между подразделениями и организацией в целом (корпоративным центром или образовательным холдингом [19]); тарифы, определяющие выплаты предприятий в региональные или муниципальные фонды, и т. д.

Рассмотрим следующую модель. Пусть в организационной системе (корпорации, фирме) помимо одного центра Глава имеются n агентов, и известны затраты ci (yi) i-го агента, зависящие от его действия yi 1 (например, от объема + выпускаемой агентом продукции), i N = {1, 2, …, n} – множеству агентов. Будем считать функцию затрат непрерывной, возрастающей, выпуклой и равной нулю при выборе агентом нулевого действия. Целевая функция i-го агента представляет собой разность между его доходом Hi (yi) и затратами ci (yi):

fi (yi) = Hi (yi) – ci (yi), i N.

Пусть функции затрат агентов имеют вид:

ci (yi) = ri (yi / ri), i N, где () – возрастающая гладкая выпуклая функция, такая, что (0) = 0.

Обозначим () = ' –1() – функцию, обратную производной функции ().

Рассмотрим пять механизмов экономической мотивации агентов, а именно:

1) механизм отчислений (налога с дохода);

2) централизованный механизм;

3) механизм с нормативом рентабельности;

4) механизм налога на прибыль;

5) механизм участия в прибыли.

Механизм отчислений. Пусть задана внутрифирменная (трансфертная) цена единицы продукции, производимой агентами, и центр использует норматив1 [0; 1] отчислений от дохода агентов. Тогда доход агента Hi (yi) = yi и целевая функция i-го агента с учетом отчислений центру имеет вид:

fi (yi) = (1 – ) yi – ci (yi), i N. (1) Легко проверить, что в рамках введенных предположений оптимально использование единого норматива для всех агентов – см. раздел 2.5.

Базовые математические модели стимулирования Величина – норматив отчислений – может интерпретироваться как ставка налога на доход (выручку). Каждый агент выберет действие, максимизирующее его целевую функцию:

yi () = ri ((1 – ) ), i N. (2) Целевая функция центра, равная сумме отчислений агентов, будет иметь вид:

() = W ((1 – ) ), (3) где W =.



ri iN Задача центра, стремящегося максимизировать свою целевую функцию, заключается в выборе норматива отчислений:

() [0;1 (4) max].

Если функции затрат агентов являются функциями типа Кобба-Дугласа, то есть ci (yi) = (yi) (ri)1 –, 1, i N, то решение задачи (4) имеет вид:

*() = 1 – 1/, (5) то есть оптимальное значение норматива отчислений *() возрастает с ростом показателя степени. Оптимальное значение целевой функции центра при этом равно:

- = W ( /), то есть = ( – 1) W ( ) /( -1), а сумма действий агентов – Y = W ( /) = W ( /)1 / ( – 1).

Выигрыш i-го агента:

fi = ri (1 – 1/) ( / ) / ( – 1), i N, а сумма целевых функций всех участников системы (центра и всех агентов) равна: = (2 – 1) W ( / ) / ( – 1)/.

Глава Централизованный механизм. Сравним найденные показатели со значениями, соответствующими другой схеме экономической мотивации агентов, а именно предположим, что центр использует централизованную схему – «забирает» себе весь доход от деятельности агентов, а затем компенсирует им затраты от выбираемых ими действий yi в случае выполнения плановых заданий xi (компенсаторная система стимулирования).

В этом случае целевая функция центра равна:

(x) = – (xi). (6) xi ci iN iN Решая задачу (x) max, центр находит оптимальные {xi 0} значения планов:

xi = ri (), i N. (7) Оптимальное значение целевой функции центра при функциях затрат агентов типа Кобба-Дугласа равно:

x = / ( – 1) W (1 – 1/), а сумма действий агентов равна Yx = W () = W 1/ ( – 1).

Выигрыш i-го агента тождественно равен нулю, так как центр в точности компенсирует его затраты, а сумма целевых функций всех участников системы x (центра и всех агентов) равна x.

Сравним полученные значения:

• x / = -1 1 и убывает с ростом ;

• Yx / Y = -1 1 и убывает с ростом ;

• x / = -1 / ( + 1) 1 и убывает с ростом.

Таким образом, если агенты имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то централизованный механизм экономической мотивации (с точки зрения организационной системы в целом) выгоднее, чем механизм отчислений, так как обеспечивает Базовые математические модели стимулирования больший суммарный выпуск продукции и большее значение суммарной полезности всех элементов системы.

Фраза «с точки зрения организационной системы в целом» существенна, так как при использовании централизованного механизма прибыль (значение целевой функции) агентов равна нулю – весь ресурс изымает «метасистема».

Такая схема взаимодействия центра с агентами может не устраивать агентов, поэтому исследуем обобщение централизованной схемы, а именно механизм с нормативом рентабельности, при котором вознаграждение агента центром не только компенсирует его затраты в случае выполнения плана, но и оставляет в его распоряжении полезность, пропорциональную затратам. Коэффициент этой пропорциональности называется нормативом рентабельности. Рассмотренной выше централизованной схеме соответствует нулевое значение норматива рентабельности.

Механизм с нормативом рентабельности. В случае использования норматива рентабельности 0 целевая функция центра равна:

(x) = – (1 + ) (xi). (8) xi ci iN iN Решая задачу (x) max, центр находит оптималь{xi 0} ные значения планов1:

xi = ri ( / (1 + )), i N. (9) Оптимальное значение целевой функции центра при функциях затрат агентов типа Кобба-Дугласа равно:

= ( / (1 + ))1 / ( – 1) W (1 – 1/), а сумма действий агентов равна:

Y = W ( / (1 + )) = W ( / (1 + ))1 / ( – 1).

Оптимальное с точки зрения центра значение норматива рентабельности, очевидно, равно нулю.

Глава Выигрыш i-го агента равен: fi= ri ( / (1 + )) /( – 1)/, а сумма целевых функций всех участников системы (центра и всех агентов) равна: = W ( / (1 + ))1 / (– 1) ( – 1 / (1 + )) /.

Сравним полученные значения (отметим, что при = все выражения для механизма с нормативом рентабельности переходят в соответствующие выражения для централизованного механизма):

• x / = (1+ ) -1 1 и возрастает с ростом ;

• Yx / Y = (1+ ) -1 1 и возрастает с ростом ;

(1- )(1+ ) -• x / = 1 и возрастает с ростом.

1(1+ ) Интересно, что максимум – суммы целевых функций участников организационной системы (центра и агентов) – достигается при нулевом нормативе рентабельности, то есть в условиях полной централизации! Сравним теперь механизм с нормативом рентабельности с механизмом отчислений:

1+ • / = ( ) -1 и возрастает с ростом ;

1+ • Y / Y = ( ) -1 и возрастает с ростом ;

( -1) 1+ • / = ( ) -1 и возрастает с ростом.

(1+ ) Итак, приходим к выводу, что если агенты имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то механизм с нормативом рентабельности = – 1 эквивалентен механизму отчислений.

Базовые математические модели стимулирования Справедливость данного утверждения следует из того, что при = – 1 все (!) показатели механизма с нормативом рентабельности совпадают с соответствующими показателями механизма отчислений, то есть выполняется yi () = xi, i N, =, Y = Y, fi = fi, i N, =.

Теперь рассмотрим четвертый механизм экономической мотивации – механизм налога на прибыль.

Механизм налога на прибыль. Если в качестве прибыли агента интерпретировать его целевую функцию – разность между доходом и затратами, то при ставке налога [0; 1] на эту прибыль целевая функция i-го агента примет вид:

fi (yi) = (1 – ) [ yi – ci (yi)], i N, (10) а целевая функция центра:

(y) = [ yi – ( yi) ]. (11) ci iN iN Действия, выбираемые агентами при использовании налога на прибыль, совпадают с действиями, выбираемыми ими при централизованной схеме, следовательно:





yi = ri (), i N. (12) Оптимальное значение целевой функции центра при функциях затрат агентов типа Кобба-Дугласа равно1:

= / ( – 1) W (1 – 1/), а сумма действий агентов:

Y = W () = W 1 / ( – 1).

Выигрыш i-го агента равен:

fi = (1 – ) / ( – 1) ri (1 – 1/), а сумма целевых функций всех участников системы (центра и всех агентов):

= / ( – 1) W (1 – 1/).

Очевидно, что оптимальное с точки зрения центра значение ставки налога на прибыль равно единице. При этом механизм налога на прибыль превращается в централизованный механизм.

Глава Сравним полученные значения:

• x / = 1 / 1 и возрастает с ростом ;

• Yx / Y = 1;

• x / = 1.

Таким образом, механизм налога на прибыль приводит к той же сумме полезностей и к тому же значению суммы равновесных действий агентов, что и централизованный механизм, но в первом случае полезность центра в раз ниже, чем во втором. Поэтому механизм налога на прибыль может интерпретироваться как механизм компромисса [16], в котором точка компромисса внутри области компромисса определяется ставкой налога на прибыль, задающей пропорцию, в которой делится прибыль системы в целом между центром и агентами.

Сравним теперь механизм налога на прибыль с механизмом с нормативом рентабельности:

• / = (1+ ) -1 ;

• Y / Y = (1+ ) -1 1;

(1- )(1+ ) -• / = 1.

1(1+ ) И наконец, сравним механизм налога на прибыль с механизмом отчислений (механизмом налога с дохода):

• / = -1 ;

• Y / Y = -1 ;

• W / W = -1 / ( + 1).

Базовые математические модели стимулирования Проведенный анализ позволяет сделать следующий вывод: если агенты имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то механизм налога на прибыль:

при = 1 / -1 с точки зрения центра эквивалентен оптимальному механизму отчислений;

при = 1 – 1 / -1 с точки зрения агентов эквивалентен оптимальному механизму отчислений;

при = 1 / (1+ ) -1 с точки зрения центра эквивалентен механизму с нормативом рентабельности;

при = 1 – / ( – 1) (1+ ) -1 с точки зрения агентов эквивалентен механизму с нормативом рентабельности.

Механизм участия в прибыли. Рассмотрим механизм участия в прибыли, в рамках которого центр получает прибыль H(y) от деятельности агентов, а затем выплачивает каждому агенту фиксированную (и одинаковую для всех агентов, то есть механизм является унифицированным) долю [0; 1] этой прибыли. Целевая функция i-го агента примет вид:

fi (y) = H(y) – ci (yi), i N, (13) а целевая функция центра:

(y) = (1 – n ) H(y). (14) Действия, выбираемые агентами при механизме участия в прибыли, равны:

yi = ri ( ), i N. (15) Пусть прибыль центра линейна по действиям агентов:

H(y) = yi. Тогда значение целевой функции центра при iN функциях затрат агентов типа Кобба-Дугласа равно:

= (1 – n ) W ( ), Глава а сумма действий агентов равна: Y = W ( ).

Выигрыш i-го агента равен:

fi = W [n ( ) – ( )], i N, а сумма целевых функций всех участников системы (центра и всех агентов) равна:

= W [ ( ) – ( )].

При квадратичных функциях затрат агентов оптимальная с точки зрения центра ставка равна: * = 1/2 n.

Сравнительный анализ. Таким образом, рассмотрены пять механизмов экономической мотивации. С точки зрения суммы полезностей всех участников системы и суммы действий агентов максимальной эффективностью обладают централизованный механизм и механизм налога на прибыль (с любой ставкой). Использование механизма отчислений или механизма с нормативом рентабельности приводит к меньшей эффективности.

При использовании механизма отчислений, механизма с нормативом рентабельности или механизма налога на прибыль в зависимости от параметров (соответственно – норматива отчислений, норматива рентабельности и ставки налога на прибыль) полезности центра и агентов перераспределяются по-разному по сравнению с централизованным механизмом (см. приведенные выше оценки).

Использование полученных результатов позволяет в каждом конкретном случае получать оценки параметров, при которых различные механизмы эквивалентны. Так, например, при квадратичных функциях затрат ( = 2) оптимально следующее значение норматива отчислений (ставки налога с дохода): * = 0,5. При * = 1 механизм с нормативом рентабельности полностью эквивалентен механизму отчислений, а при * = 0,5 механизм налога на прибыль эквивалентен им обоим с точки зрения центра, а при * = 0,75 – с точки зрения агентов (табл. 2.1).

Базовые математические модели стимулирования Таблица 2.Параметры механизмов экономической мотивации при квадратичных затратах агентов Параметры Y / W Механизм / W / W fi / W iN Налог с дохода 2 / 4 / 2 32 / 8 2 / Централизо2 / 2 2 / 2 ванный Норматив 2 / / 2(1+2) / 2 / рентабельности (2 (1+)2) (2(1+)) (1+) (2 (1+)2) Налог на при2 / 2 2 / 2 (1 – )2 / быль Участие в 2(2n – 1) / 2(n – 1) / 2 / (4n) / (2n) прибыли (4n2) (4n2) Таким образом, в настоящей главе приведены основные результаты исследования базовых математических моделей стимулирования (описание не вошедших в настоящую работу моделей стимулирования можно найти в: [24] – ОС с неопределенностью, [7, 17, 21, 26] – многоуровневые ОС, [10, 13, 30] – ОС с матричной структурой, [10] – ОС с коалиционным взаимодействием участников, [27] – динамические ОС).

ЛИТЕРАТУРА1 К ГЛАВЕ 1 Бурков В. Н. Основы математической теории активных систем. – М.: Наука, 1977. – 255 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.