WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 15 |

Выбор объективного вкладчика определяется формулами (23) и не может измениться под воздействием выборов других игроков, так как вычисляемая картина объективна и, следовательно, всегда совпадает с наблюдаемой.

Выбор субъективного вкладчика должен принадлежать линии СуВ:

R *(2) = S(*(2)).

Средняя ставка на рынке доступна наблюдению всех участников:

*ср = d1 *(1) + d2 *(2).

Наблюдаемые всеми средний риск и средняя ставка должны находиться на прямой ДПБ в силу ее линейности:

R *ср = W(*ср).

Линия СДПБ должна быть подобрана субъективным вкладчиком таким образом, чтобы вычисляемый субъективный риск R*ср соответствовал наблюдаемой картине R*ср, *(2), *ср. То есть вычисляемая субъективная точка (R*(2), *(2)) должна быть привязана к наблюдаемой объективно точке (R*ср,*ср) через подбираемую функцию W():

R*(2) – R*ср = c2 h (*(2) – *ср).

Таким образом, получены уравнения, задающие информационное равновесие.

Утверждение 2. Выборы вкладчиков двух типов – объективного и субъективного – на рынке банковских депозитов находятся в стабильном информационном равновесии тогда и только тогда, когда выполняются условия:

R W() 1 + - ;

(1) R*(1) * = W() (1 - )h 1 - R*ср R * = - h(1 + 0 ) ;

(1) 1 - R*(2) S() ~ (29) R * = c2h (1 + * ) -1;

(2) (2) *ср = d1 * +d2 * ;

(1) (2) *(1) *ср *(2) R *ср = h( *ср -0 );

~ R * -R *ср = c2h( * - *ср ). Рис. 7. Равновесный выбор (2) (2) объективного и субъективного Доказательство.. Показано в вкладчиков рассуждениях перед формулировкой утверждения.

. Дана система уравнений. Надо показать, что с точки зрения субъективного вкладчика: 1) R*ср = R*ср; и 2) (*(2), R*(2)) является субъективно оптимальным выбором. Здесь:

R *ср = d1 R *(1) + d2 R*(2) = d1 W (*(1)) + d2 W (*(2)).

Для доказательства первой части нам достаточно показать, что существует функция СДПБ W() = c2 h ( – 0) + c1 с некоторым значением параметра c1, удовлетворяющее системе уравнений. Существование такой функции (причем единственной) следует из шестого уравнения системы.

Субъективная оптимальность выбора следует из третьего уравнения.

Смотри также поясняющий рис. 7.

Ограничения типа c2 < рассмотрим ниже для более общего случая.

Решаем систему. Подставляем 1,3,4,5 уравнения системы (29) в 6:

c2h 1 + (1 + * ) -1 - h(d1 - + d2 * -0 ) = c2h( * - *ср ).

(2) (2) (2) (1 - )h 1 - Получаем формулы для *(2) и других параметров:

c2 1 + - + d1 - - h (1 - )h 1 - * =, (2) c2 - d2 - c2 + d2c 1 + * = -, (1) (1 - )h 1 - *ср = d1 *(1) + d2 *(2), R*ср = h (*ср – 0), R*(2) = (c2 h / ) (1 + *(2)) – 1.

2.1.8. Информационное равновесие для двух произвольных типов вкладчиков Теперь пусть оба типа вкладчиков субъективны, их параметры обозначим: c2(1), c(2)2, R*(11), R*(12) (представление второго типа вкладчиков о риске первого типа), R*(21), R*(22), W(1)(), W(2)().

Аналогичная система для этого случая получается заменой в (29) первых двух уравнений на аналоги третьего и шестого для первого вкладчика.

Утверждение 3. Выборы вкладчиков двух субъективных типов на рынке банковских депозитов находятся в стабильном информационном равновесии тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:

c2(1)h ~ R * = (1 + * ) -1;

(11) (1) ~ R * = c2(2)h (1 + * ) -1;

(22) (2) ~ (30) R * -R *ср = c2(1)h( * - *ср );

(11) (1) ~ (22) (2) R * -R *ср = c2(2)h( * - *ср );

*ср = d1 * +d2 * ;

(1) (2) R *ср = h( *ср -0 ).

Доказательство. Аналогично предыдущему утверждению 2.

1) Условие информационного равновесия: R*(1)ср = R*(2)ср = R*ср.

2) Субъективная оптимальность (*(1), R*(11)) для первого типа вкладчиков, (*(2), R*(22)) – для второго. Дальнейшие рассуждения, аналогичные предыдущим проводятся для первого и второго типа вкладчиков.

Решаем полученную линейную систему уравнений. Подставляем уравнения системы (30) 1, 2, 5 в 3 и 4, получаем:

с2(1)h (1 + * ) -1 - h( *ср -0 = c2(1)h( * - *ср ), (1) (1) (1 - c2(1) ) *ср (1 - h0 ) = - + ;

*(1) (1 - )c2(1)h 1 - (1 - )с2(1) (31) * = (1 - h0 ) 1 (1 - c2(2) ) *ср - +.

(2) (1 - )c2(2)h 1 - (1 - )c2(2) Подставим в уравнение 5, получаем:

d1 (1 - c2(2) ) d2 (1 - c2(1) (1 - h0 ) d1 d2 *ср *ср = + - + +, (1 - )h c2(2) c2(1) 1 - 1 - c2(2) c2(1) 1 - ( - 0 ) d1 dh (32) *ср = -, = +.

1 - c2(2) c2(1) Рассмотрим ограничения, при которых полученное решение справедливо. Для соответствия выбора участников игры данному выражению необходимо, чтобы *ср 0. Это может быть, только если числитель и знаменатель дроби имеют различный знак, а так как из ограничения на функцию W() вытекает требование 1/h–0 > 1, то это означает, что числитель всегда больше знаменателя и, следовательно, числитель должен быть положительным, а знаменатель – отрицательным. Таким образом, для соблюдения требований на *ср, должны выполняться ограничения на, сверху < 1 и снизу > h(1+0).

Нарушение первого из этих ограничений означает, что имеются типы вкладчиков, для которых c2(l) >, и функция Sl() не пересекается с W() при 0, и доля этих вкладчиков велика настолько, что они, неограниченно повышая рискованность своих выборов, выводят весь рынок из равновесного состояния, устремляя его к бесконечным ставкам и рискам. Это стремление к бесконечности ограничивает только КРП, когда точки выборов вкладчиков R*(ll) становятся больше Q(*(ll), 0), то такие вкладчики уходят с рынка на безрисковую ставку. Но при их уходе стремление к риску всего рынка понижается, при этом может возникнуть информационное равновесие с более низкими ставками и рисками, что влияет на субъективные оценки ушедших вкладчиков, понуждая их снова возвращаться на рынок и вновь нарушать сложившееся равновесие. Итак, в данных условиях рынок не может находиться в состоянии устойчивого информационного равновесия, и постоянно находится под угрозой разрушительного кризиса.



Нарушение второго ограничения, то есть ситуация h(1+0) означает, что на рынке присутствуют вкладчики, для которых c2(l) /(h(1+0)), рассмотренные в случае А) в разделе 3.4, оценка риска и осторожность которых таковы, что заставляют их воздерживаться от любых рискованных вложений. Если таких участников на рынке нет, то ограничение выполняется автоматически. Если же таковые все-таки участвуют в игре, то они могут приходить на рынок и уходить с него, изменяя его средние значения, и соответственно свои субъективные оценки. При этом они создают, также как и в противоположном случае колебания рынка, но, в отличие от предыдущего, эти колебания не будут выводить весь рынок в область высоких рисков и вести его к кризису, а будут ограничены некоторой областью влияния этих наиболее осторожных вкладчиков.

Итак, анализируя решение системы, мы получили два интересных результата. С одной стороны, найден параметр, характеризующий среднюю склонность всего множества вкладчиков к риску, агрегирующий три типа величин: склонность к риску, субъективные оценки вкладчиков c2(l), и доли различных типов вкладчиков dl. Также получены ограничения на этот параметр. Наконец, модель дает описание колебаний рынка, обусловленные информированностью его участников, имеющих экстремальные значения своих индивидуальных параметров. Причем эти колебания в различных указанных выше ситуациях могут быть как разрушительными, ведущими к кризисам, так и ограниченными, принимающими значения вокруг средних величин, которые можно считать квази-равновесиями.

Рассмотрение процесса колебаний рынка по существу выводит нас в область динамического случая. Но изменение информированности многочисленных вкладчиков – очень сложный процесс, который вряд ли можно описать в форме динамической игры. Поэтому в рамках статической модели достаточно просто исследовать границы возможных колебаний и вопрос об устойчивости всего рынка.

2.1.9. Информационное равновесие для нескольких типов вкладчиков Полученный в утверждении 3 результат легко обобщается на случай многих типов вкладчиков. Пусть имеются вкладчики типов l = 1, …, L, с параметрами dl, c2(l), R*(ll) (представление о риске своего типа вкладов), *(l).

Утверждение 4. Выбор вкладчиков L субъективных типов на рынке банковских депозитов находятся в стабильном информационном равновесии тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:

c2(l)h ~ R * = (1+ * ) -1, l = 1,..., L;

(ll ) (l) ~ R * -R *ср = c2(l )h( * - *ср ), l = 1,..., L;

(ll ) (l ) (33) L *ср = * ;

dl (l ) l = R *ср = h( *ср - ).

Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 3.

Решение системы (33) тоже аналогично случаю двух типов субъектов:

L 1 - ( -0 ) dl h *ср = -, = ;

1 - c2(l) l = R * = h( * -0 );

ср ср (34) (1 - c2(l) ) * (1 - h0 ) ср - + ;

* = (l) (1 - )c2(l )h 1 - (1 - )c2(l) c2(l)h ~ R * = (1 + * ) -1.

(ll ) (l ) Ограничение на, так же, как и рассуждения о колебаниях, обусловленных информированностью участников, сформулированные для двух типов вкладчиков, полностью сохраняют свою силу и для случая многих типов.

Итак, в результате исследования предпочтений не полностью информированных вкладчиков мы получили распределение их субъективно оптимальных выборов по линии депозитных предложений банков. Если вкладчики получат возможность вложить свои средства в соответствии со своими субъективными выборами, то данное распределение будет описывать информационное равновесие, то есть ситуацию, в который каждый субъект будет делать оптимальный выбор в соответствии со своими представлениями и будет наблюдать результаты, не противоречащие этим представлениям.

2.2. Модель поведения банков – равновесие в безопасных стратегиях 2.2.1. Случай дискретного распределения точек субъективно оптимального выбора вкладчиков Получив распределение субъективно оптимальных выборов вкладчиков, рассмотрим теперь поведение банков. Согласно постановке задачи банк определяет ставки привлечения и размещения. Выбирая ставку i, банк i в ходе конкуренции с соперниками, задает то множество вкладчиков и объем средств Xi, которые ему достанутся. Выбирая ставку i, он определяет свой уровень риска. Разность (i – i) задает прибыльность собранных средств Xi.

Для полного исследования поставленной задачи необходимо найти оптимальную стратегию банков с учетом как собранных средств Xi, так и их прибыльности (i – i). Ввиду сложности получающейся модели сосредоточимся только на конкуренции за количество собранных вкладов. Введем достаточно сильное допущение, упрощающее задачу. Пусть разность ( – ) является для всех банков одинаковой константой Const, и линия ДПБ получается из линии рискованности изменением ставок на эту константу:

(35) W() = h ( – 0) = R( + Const) = h ( – (0 – Const)) При таком допущении прибыль банка (без учета риска) зависит только от количества собранных средств, и конкуренция идет только путем раздела множества вкладов, распределенных по линии ДПБ.





Дальше в этом разделе будем исследовать взаимодействие многих участников, делящих между собой ресурс, расположенный на некотором множестве. Стратегией игрока является выбор точки на этом множестве, а его выигрышем – количество ресурса, расположенное в ближайшей окрестности выбранной точки. Такого рода задачи возникают в различных прикладных областях: при исследовании раздела рынка между фирмами, электората между партиями во время предвыборных кампаний и т.д. [7; 140].

Часто такие задачи решаются через конструирование механизмов и правил справедливого дележа и достижения компромисса [7; 16]. Здесь же рассматривается подход к решению проблемы через исследование игры участников, действующих рационально, независимо, без образования коалиций.

Несколько забегая вперед, и давая общую характеристику идей, рассматриваемых в этом разделе, отметим, что при таком подходе обнаруживаются ситуации, при которых в игре не существует равновесия Нэша, но имеются интуитивно кажущиеся естественными равновесные состояния.

Подобные ситуации, связанные с поиском понятия равновесия, более широкого, чем равновесие Нэша, исследуются в [105; 109]. Главная особенность предложенного равновесия в безопасных стратегиях – применение теории рефлексивности [94] для анализа структуры взаимных угроз, возникающих в играх с большим количеством участников. Данный подход применим к исследованию соревновательных систем стимулирования [90;

105; 120], и других задач, где стратегии участников также определяются с учетом потенциальных угроз со стороны конкурентов.

Наиболее очевидный подход к решению задачи – сгруппировать распределение вкладов в небольшое количество крупных секторов, каждый из них представить собранным в одной точке и рассмотреть дискретное распределение. Пусть это распределение имеет следующий вид. Общее колиL чество вкладов X разделено на L секторов Xl, l {1,..., L}, X = X. Для l l=всех вкладов сектора l оптимальной точкой выбора является точка (l, Rl), Rl = h (l – 0).

Тогда, с учетом риска, сектор l будет иметь полезность для банка (K + XlConst ), где K – собственный капитал банка, и вклады, сосредоточен1+ R ные в этом секторе, будут эквивалентны величине средств, не подверженных риску:

(36) Fl = K ((1 + Rl)– 1/ – 1) / Const + Xl (1 + Rl)– 1/ Ресурс Fl в каждом секторе делится между выбравшими этот сектор банками поровну. Будем считать, что каждый сектор достаточно велик (m – количество банков):

L (37) Fl Fl m l=Рассмотрим следующий алгоритм распределения банков по секторам.

Пусть банки выбирают сектора по очереди в том порядке, в котором они перенумерованы. Банк i выбирает любой сектор из числа тех, где на него придется наибольшее количество ресурса Fl с учетом участников с меньшими номерами, сделавшими свой выбор раньше. При этом на каждом шаге такое разделение ресурса между i банками равновесно по Нэшу, а любое другое – не равновесно.

Число возможных равновесий Нэша в этой игре определяется, вопервых, количеством перестановок при нумерации банков, во-вторых, если на каком либо шаге впервые возникает такая ситуация, что количество равноценных выборов lk больше количества оставшихся банков (m + 1 – k), числом сочетаний из данных банков по данным альтернативам. Общее число равновесий при этом равно:

lk! PmClm+1-k = m!.

k (m +1- k)!(lk - m -1+ k)! Рассмотренный дискретный подход имеет большие недостатки. Если распределение ресурса вкладов по линии ДПБ является мелко-дискретным, больше приближающимся к непрерывному, чем к крупно-дискретному, то существует большой произвол при выделении секторов, с одной стороны, а с другой – могут быть не учтены эффекты, связанные именно с непрерывностью распределения. Поэтому исследуем противоположный случай чисто непрерывного распределения, без дискретных сгущений. Рассмотрим несколько упрощенную промежуточную задачу.

2.2.2. Постановка задачи поиска стратегий банков при непрерывном распределении точек выбора вкладчиков Рассматривается следующая игра, являющаяся вариантом модели Даунса [7, с. 107-121; 140]. На отрезке [a, b] задана ограниченная непрерывная положительная функция f (x). Для игроков k N = {1, …, n} заданы их действия xk [a, b] и значения выигрышей Kk, определяемые следующим образом. При помощи индексов i L = {1,..., l}, l n, перенумеруем все стратегии игроков xi, причем каждой стратегии i могут соответствовать несколько игроков, если они выбрали одинаковую стратегию. Игроки (индексы k) нумеруются по возрастанию выбранных стратегий, так же как и сами стратегии (индексы i). Такая двойная нумерация стратегий, привязанная к конкретной ситуации игры x = (x1,..., xn), не ограничивая общности дальнейших рассуждений, упростит их. Чтобы не путаться в такой двойной нумерации стратегий, введем для индексов при них различные обозначения: xi – при рассмотрении просто стратегии i, xk – при рассмотрении стратегии игрока k, и xik, когда нам важно выделить игрока k, выбравшего стратегию i. Определим выигрыш стратегии i:

xi + xi + I = 2 f (x)dx,i {1,l};

i xi -1 + xi x1 + x (38) I1 = f (x)dx;

a b Il = f (x)dx.

xl + xl - Выигрыш k-го игрока Kk = Ii /li, где li – количество игроков, выбравших стратегию xi.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.