WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |

торов между i-м полюсом и каждым из нулей и полюсов. В случае комплексно-сопряженных полюсов разностные вектора ищут по j - j µ µ 1 e e отклонению к одному из них, вводя дополнительный множитель L{f (t)}= (11.33) +.

2 p - pµ p - p* 1/ ji. µ µ Графическое построение на комплексной плоскости нулей и В комплексной форме возбуждающую функцию запишем как:

µt j(µt+ ) µt полюсов функции f ( p) позволяет наглядно оценить влияние их µ f (t) = 2 f (t) = e = [cos(µt + )+ j sin(µt + )], e e 1 µ µ взаимного расположения на поведение реакции цепи. Однако гра- µ µ фические построения и измерения требуют кропотливой работы, откуда:

но не обеспечивают достаточно высокой точности.

f (t) = f (t) + jf€(t), f (t) = Re{f (t)}, (11.34) В ряде случаев удается несколько сократить математические где f€(t) – функция, сопряженная исходному сигналу f (t).

преобразования, уменьшив число искомых вычетов на один, когда по крайней мере одна пара полюсов лежит на мнимой оси комСоответственно изображение для комплексной возбуждающей плексной плоскости изображений. К этому случаю относится, в функции будет j частности, включение гармонического сигнала на исследуемую µ e цепь. f ( p) = f ( p) + jf€( p) =. (11.35) p - pµ µ Иногда удается упростить выполнение обратного преобразования Лапласа одновременным смещением всех полюсов изоИзображение реакции системы на вещественный сигнал определяется соотношением вида бражающей функции f ( p). Однако оба эти случая позволяют поg( p) = f ( p)K( p), (11.36) лучить заметный эффект лишь для весьма ограниченного числа где K( p) – системная функция (передаточная характеристика сиспредставлений f ( p) [3].

темы).

Первый случай соответствует комплексной форме представ ления сигнала типа радиоскачка. Рассмотрим более общий случай Найдем изображение реакции g ( p) при возбуждении системы f включения синусоидальных сигналов с экспоненциальными модукомплексным сигналом f (t) :

лирующими функциями.

jµt+ - jµt+ g ( p) = K( p) f ( p) = K( p) f ( p) + jK( p) f€( p).

µ µ f µt µt e +e f (t) = cos( t + )= = e e µ µ Тогда, учитывая (11.36), находим µµ g( p) = Re{g ( p)} (11.37) f = f (t) + f *(t) = 2Re[f (t)]. (11.32) 1 1 или, принимая во внимание свойство коммутативности преобразоРанее на основе формальных преобразований было получевания Лапласа и символических операций Re или Im [3], получим но выражение (11.12), существенно упрощающее переход из пространства изображений в пространство оригиналов при исследо* Здесь для упрощения рассмотрены изображающие функции с простыми повании колебательных процессов и систем. В данном параграфе люсами. Однако в проводимых рассуждениях не вводятся ограничения, связандается наглядное обоснование и интерпретация предложенного ные с кратностью полюсов. Поэтому они приложимы и для изображающей функции с кратными полюсами [5, 7, 11].

99 Введем комплексную импульсную реакцию g(t) = L-1{Re[g ( p)]}= Re[g (t)]. (11.38) f f j e Таким образом, для g (t) = L-1{K( p) f ( p)} имеем K(t) = L-1. (11.41) f p - p g(t) = Re{g (t)}. (11.39) f Тогда изображение реакции фиктивной цепи f ( p) на комплексную Как следует из сравнения (11.33) и (11.35), каждой паре со пряженных полюсов в изображении вещественной возбуждающей возбуждающую функцию K(t) будет таким:

функции f (t) соответствует по одному полюсу в изображении для gk ( p) = f ( p)K ( p). (11.42) комплексного сигнала f (t). Это позволяет при нахождении выну Принимая во внимание (11.36), запишем g( p) = Re{gk ( p)}, и слежденной составляющей gвын(t) упростить выполнение обратного довательно, реакция системы g(t) на возбуждающую функцию преобразования Лапласа. Однако нетрудно убедиться, что опреде K(t) определится соотношением ление вычетов для свободной составляющей реакции gсв (t) здесь g(t) = Re{L-1[gk ( p)]}. (11.43) не будет проще, а даже может существенно усложниться, в частСопоставляя переход от изображения к оригиналу по формулам ности, из-за нарушения сопряженности вычетов в «свободных» (7.7) и (11.43), заметим, что в последнем случае вместо определе полюсах функции g (t). Значит, при таком подходе не обеспечиf ния вычетов в каждом из «свободных» полюсов сопряженной павается в общем случае эффективное снижение трудоемкости переры ищем вычеты в одном из полюсов этих пар. Поэтому для комхода из пространства изображений в пространство оригиналов.

плексного представления K(t), в противоположность ранее расМежду тем для отыскания оригинала по изображающей смотренному комплексному представлению возбуждающей функфункции с сопряженными парами полюсов, т.е. как раз для наиболее трудоемкого случая, к которому зачастую приводит анализ ции f (t), выполнение обратного преобразования Лапласа при оппереходных процессов в радиосистемах, существует возможность ределении свободной составляющей реакции цепи обычно упрозначительного упрощения математических преобразований. Для щается, и при этом трудоемкость математических операций при рассмотрения этой возможности вернемся к формуле (11.36), где, нахождении вынужденной составляющей ее остается прежней.

учитывая равноправность f ( p) и K( p), условно положим, что Из изложенного выше, учитывая, что реакция цепи является суммой вынужденной и свободной составляющих, т.е.

импульсная реакция K(t) является возбуждающей функцией фикg(t) = gвын(t) + gсв (t), определим вынужденную составляющую при тивной цепи f ( p), и проведем рассуждения, подобные проводивозбуждении системы с передаточной функцией K( p) комплексмым выше при комплексном представлении возбуждающей функным сигналом f (t), а свободную составляющую – при возбуждеции f (t).



нии фиктивной цепи f ( p) комплексным представлением импульсИзображение импульсной реакции для физически реализуемых систем в случае простых полюсов имеет вид ной реакции системы K (t). Тогда из (11.40) и (11.43) получим j 1 e e- j L{K(t)}= (11.40) + *. g(t) = Re[gвын f ( p) + gсвk ( p)]= Re{L-1[gвын f ( p) + gсвk ( p)]}. (11.44) 2 p - p p - p Определение реакции цепи при сопряженных парах полюсов в изображении реакции обеспечивает упрощение математических преобразований при нахождении как вынужденной, так и свобод 101 ной составляющих. Этот путь позволяет развить инженерную ме- Полюсами функции g( p) будут p1,2 = ± jн и p3,4 = - ± j0.

тодику расчета переходных процессов в радиосистемах, обеспечиТогда вынужденную составляющую реакции цепи ищем после вающую существенное сокращение математических операций при смещения полюса и изображения:

выполнении обратного преобразования Лапласа. В основу данного p + j н L{gвын f (t)e- jнt}=, метода положено то, что вместо нахождения вычетов в каждом из p j[( )2 p+ jн + p+ jн +2( ) ] p пары сопряженных полюсов изображающей функции ищем вычет относительно одного из этих полюсов.

откуда, учитывая, что вычет в начале координат равен второму Дробь g( p), представленную выражением вида (11.1), можсомножителю, в котором следует положить p = 0, получаем вынужденную составляющую но разложить на простые дроби, каждая из которых является изоj j t бражением некоторой комплексной функции. Тогда для определе- н н gвын f (t) = ния импульсной реакции в комплексной форме g(t) как суммы j (( )j + 2j + )e.

н p н вычетов, определяемых в одном из каждой пары сопряженных поАналогично свободную составляющую ищем из изображения люсов, можно применить теорему транспозиции в комплексной 1 - + j ( - j t ) н, L{gсв k (t)e }= области, выполняя смещение полюса, вычет относительно котороp - + j0 ) + j (p н го определяется, к началу координат. Это обеспечивает дальнейоткуда шее упрощение нахождения реакции g(t).

- + jн gсвk (t) = e(- + j0 )t.

В качестве иллюстрации изложенного рассмотрим пример j(- + j0) + н определения реакции последовательного колебательного контура Окончательно реакция последовательного колебательного контура на включение синусоидального гармонического сигнала (радиоопределится в соответствии с (11.44) скачка) g(t) = Re{gвын f (t) + gсвk (t)}.

f (t) = 1(t)sin t.

н Изображение реакции для этого случая будет пропорцио- Решение этой же задачи по формуле разложения потребовало бы нально функции значительно более громоздких математических преобразований.

Показанный здесь путь позволяет получить в аналитической н p 1 форме точные выражения для переходных процессов при прохожg( p) = = 2 2 j p - jн p2 + н p2 + 2p + дении радиосигналов через резонансные системы, что представляp ет особый интерес для исследования современных радиоэлектрон - + j0 1 - - j0 - + ных систем, в которых тонкая фазовая структура сигнала испольp + jн 2 j0 p + - j0 - 2 j0 p + + j0, зуется как носитель информации.

где – коэффициент затухания контура, – его резонансная p частота, – частота собственных колебаний 2 -.

0 p 103 12. КОМПЛЕКСНЫЙ СИГНАЛ И ПРОБЛЕМА канала передачи информации используют различные системы уп«АМПЛИТУДА, ФАЗА, ЧАСТОТА» лотнения линии связи, требующие применения специальных схем ДЛЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ модуляторов и демодуляторов.

В общем случае колебательный процесс может быть пред12.1. Постановка проблемы «амплитуда, фаза, частота» ставлен функцией в радиоэлектронике f (t) = A(t)cosФ(t), (12.1) где в правой части первый сомножитель A(t) определяет огибаюВ радиотехнической практике для передачи информации щую сигнала f (t), второй – cosФ(t) характеризует колебательшироко используются колебательные процессы. Рассматривая ность процесса (12.1). Аргумент Ф(t) синусоидальной функции форму колебательного процесса (например, на экране осциллографа) обычно можно мысленно представить (или нарисовать) лиcosФ(t) определяет фазу колебаний.

нии, «окантовывающие» колебательный процесс с двух сторон.

Запишем аргумент в форме Эти линии называют огибающими колебательного процесса. ДосФ(t) =0t + (t) +. (12.2) таточно вспомнить огибающие при амплитудной модуляции (АМ) Частоту колебаний (t) находим как производную фазы, т.е.

сигнала. Огибающая в этом смысле определяет закон изменения dФ(t) d (t) амплитуды радиосигнала. Чтобы получить огибающую как физи(t) = =0 + =0 + (t), (12.3) dt dt ческий сигнал, используют различные виды амплитудных детекторов, на вход которых подается колебательный процесс с пере- d (t) где (t) =.

менной во времени амплитудой колебаний. Сигнал, заполняющий dt интервал между окантовывающими его верхней и нижней огиСоответственно для фазы имеем обратный (интегральный) закон бающими, т. е. сам исходный колебательный процесс, называют связи с частотой колебаний:

высокочастотным заполнением радиосигнала.

tt Ф(t) = )d +0 = [0 + ( )]d +0 = При угловой модуляции (УМ) по закону модулирующего ( сигнала модулируется частота (частотная модуляция (ЧМ)) или t фаза (фазовая модуляция (ФМ)) радиосигнала. Для чисто угловой =0t + )d +0 =0t + (t) +0, (12.4) ( модуляции амплитуда сигнала остается неизменной. Демодуляция при использовании сигналов с угловой модуляцией осуществляет- t (t) = )d (0) = 0, (12.5) ся с помощью частотного или фазового детекторов в зависимости ( от вида УМ.





В выражениях (12.2) – (12.4) 0 – некоторая средняя частота Для передачи информации, в принципе, могут использоваться независимо оба вида модуляции (амплитудная и угловая).

колебаний. Как правило, под 0 понимают несущую частоту н При этом по каналам с АМ и УМ информация либо подается незаисходного немодулированного по частоте или фазе колебания. Как висимо, либо информация, поступающая па одному из каналов, следует из (12.4), (12.5), начальная фаза колебания Ф(0) =0. Из используется для уточнения информации, поступающей по друго(12.3) и (12.5) вытекает, что наличие фазовой модуляции (t), т.е.

му каналу (например, в навигационной системе «Лоран-С» инфоротклонение изменения фазы Ф(t) от линейного закона (см. формумация по огибающей используется для уточнения информации о фазе сигнала) [5]. Кроме того, на практике при необходимости лу (12.2)), свидетельствует о соответствующей частотной модуляобеспечения максимально возможной информационной загрузки ции; аналогично наличие ЧМ обусловливает одновременное при 105 сутствие и ФМ. Поэтому оба эти вида модуляции относят к угло- Богатые возможности, появившиеся с использованием совревой модуляции. Определить, фазовая или частотная модуляция менных систем связи и навигации, привели к быстрому возрастаимеется у сигнала с заданной угловой модуляцией, нельзя. Какой нию числа пользователей. Это обусловило требование оптимальиз видов модуляции – частотная или фазовая – применен при по- ной загрузки выделяемых полос частот при обеспечении высокой лучении сигнала с УМ, можно исходя из того, какой из информа- надёжности и качества передаваемых сообщений, т.е. к необходитивных параметров сигнала – фаза или частота – меняется по за- мости решения проблемы электромагнитной совместимости при кону модулирующей функции. высокой насыщенности диапазона радиоволн. В этой связи осоЗаметим, что огибающую колебательного процесса можно бую значимость приобретают задачи оптимального кодирования и определить как видеосигнал, используемый как модулирующий обработки сигналов, правильное решение которых невозможно при АМ (термин видеосигнал пришел из телевизионной техники). без достоверного описания информативных параметров сигнала – Очевидно, радиосигнал f (t) представляет значительно большие его огибающей и фазы (проблема «Амплитуда, фаза, частота» (АФЧ)).

возможности для передачи сообщений, так как в радиосигнале Сущность проблемы состоит в том, что для реального колеинформативную нагрузку может нести как огибающая, так и фаза бательного процесса, представленного в форме произведения (частота) сигнала. Очевидно, что частным случаем соответствия f (t) = A(t)cosФ(t), формально можно найти бесчисленное множемежду радио- и видеосигналами являются радио- и видеоимпульство комбинаций пар сомножителей A(t) и cosФ(t), удовлетвосы. Разница между радио- и видеоимпульсами наглядно просматривается при рассмотрении спектров сигналов: спектры видеоимряющих одному и тому же сигналу f (t). Существующая неопрепульсов прижаты к частоте = 0 ; спектр радиоимпульсов формиделенность аналитического представления информативных параруется в окрестности частоты ВЧ заполнения радиоимпульсов.

метров радиосигнала – его АФЧ принципиально недопустима, так При уменьшении длительности радиоимпульса ширина его спеккак препятствует корректному рассмотрению процессов преобратра возрастает. При длительности радиоимпульса (2 -5)T0, где зования сигналов в радиоэлектронных системах.

и Неопределённость АФЧ обычно устраняется введением T0 = 2 /0 – период ВЧ заполнения радиоимпульса, ширина его комплексного сигнала спектра оказывается сравнимой с частотой несущей 0. В этом f (t) = f (t) + j f (t), (12.6) случае имеем широкополосные и сверхширокополосные сигналы (СШПС). При дальнейшем укорочении длительности радиоимМнимая часть комплексного сигнала f (t) связана некоторым препульса до долей периода радиоимпульса как по форме спектра, так образованием с исходным вещественным сигналом [13–20]. Мои по форме во временной области он переходит в категорию видуль деоимпульсов. Таким образом, при переходе к СШПС стирается заметная грань между радио- и видеоимпульсами [5, 24]. Отметим 2 A(t) = f (t) + f (t) (12.7) также, что в некоторых случаях сама огибающая описывается весьтакого КС определяет огибающую, а аргумент ма сложной функцией. Соответственно и спектр ее носит сложный характер. Для радиосигнала с такой огибающей могут слабее проf (t) Ф(t) = arctg (12.8) являться отличия в спектре собственно радиосигнала и в спектре f (t) огибающей (например, если сама огибающая радиоимпульса пред– фазу исходного физического сигнала.

ставляет собой отрезок синусоиды).

107 Мгновенная частота комплексного сигнала определяется из (12.8) Возьмем часто встречающийся в приложениях усеченный радиокак сигнал (радиоскачок) f (t) = A01(t)cos(0t +0). (12.15) y dФ(t) f (t) f (t) - f (t) f (t) f (t) f (t) - f (t) f (t) (t) = = =. (12.9) Амплитудная модуляция не должна нарушать фазу колеба dt A2(t) 2 тельного сомножителя (принцип инвариантности фазы). Тогда в f (t) + f (t) соответствии с принципом инвариантности амплитуды и фазы КС Проблема состоит в том, что необходимо ввести такую связь меж.

следует определить как ду исходным f (t) и сопряженным ему сигналом f (t) = Im{ f (t)},.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.