WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |

н н н частота собственных колебаний параллельного колебательного Тогда, имея в виду, что в комплексной форме ток, возбуждающий контура. Тогда ( )1 A01(t)e j нt+ jнt контур, может быть записан как i(t)= A0e (t)=, где V3(p3) = (- + j0)2 +н. (11.14) j КА радиоскачка тока A0 = A0e, а возбуждающий вещественный Отсюда для ИФ (8.4) получаем в соответствии с формулой обра сигнал определяется операцией i(t)= Im{i(t)}, для комплексной амщения (11.12) решение в форме комплексного сигнала как реакции параллельного колебательного контура на радиоскачок плитуды вынужденной составляющей ППР можем записать F(p1) F(p3) p1t p3t Umвын = A0z( j ) =Umвын exp j, (11.18) uk(t)= (11.15) н V1(p1)e + 0V3(p3)e, н Umвын = A0z( ) откуда амплитуда ВСПП –, начальная фаза н для которого вещественный сигнал ищем согласно (11.11) как ВСПП uk (t)= Im{uk (t)}. В развернутой форме выражение напряжения на = argUmвын = arg A+ arg z( j ) = + arg z( j ).

параллельном колебательном контуре при воздействии на него н н источника тока в форме радиоскачка примет вид Выражение (11.18) представляет собой закон Ома в симво( лической форме для КА напряжения на параллельном колебательA0 j sin + cos )( j + 2) jнt н н н ном контуре, возбуждаемого моногармоническим источником тоuk = e + C j )2 + 2 j + j н н н р ка с частотой н, КА которого равна A0 = A0e, где A0 – амплиту да синусоидального тока, – его начальная фаза. Таким образом, [(- + j0)sin + cos] (- + j0 + 2) н для нахождения вынужденной составляющей напряжения на па + e(- + j0 )t = 0 (- + j0) +2 раллельном колебательном контуре при его возбуждении радио н скачком тока достаточно воспользоваться законом Ома в симвоj нt = uвын(t) +uсв(t) =Umвынe +Umсвe(- + j0 )t, (11.16) лической форме (11.18).

Заметим, что обобщением применения закона Ома (11.18) где uвын и uсв – вынужденная и свободная составляющие перепри нахождении ВСПП является определение вынужденной соходного процесса, представленные в комплексной форме, которые ставляющей реакции цепи при совпадающих размерностях сигнаопределены соответствующими членами в фигурной скобке выралов на ее входе и выходе (напряжение – напряжение или ток – жения (11.16); Umвын и Umсв – комплексные амплитуды (КА) выток). В этом случае связь между комплексными амплитудами входного сигнала и ВСПП определяется через безразмерную комнужденной и свободной составляющих реакции параллельного колебательного контура на радиоскачок тока.

плексную частотную характеристику цепи K( jн), что вытекает Выполним тривиальные преобразования в формуле (11.16).

из того, что K( jн) может быть найдена, например, двойным приДля этого, обращаясь к выражению (8.3), замечаем, что сомножиложением закона Ома в символической форме. Так, если задано тель первой дроби в фигурной скобке формулы (11.16) 89 напряжение на входе цепи и ищем напряжение на выходе, то, что- более наглядным. Формула перехода (11.12) дает в общем случае бы найти КА вынужденной составляющей реакции схемы, внача- комплексные члены, которые на комплексной плоскости могут ле находим по закону Ома КА тока, протекающего через элемент быть представлены вращающимися векторами, проекции которых схемы, с которого снимается сигнал, а затем, воспользовавшись на соответствующую ось проекций дают соответствующие вещезаконом Ома в форме (11.17), находим КА ВСПП (такая задача ственные сигналы – свободную и вынужденную составляющие возникает в часто применяемом схемном построении вида потен- ППР. Здесь имеем аналог векторного представления на комплексциометрического делителя). Примеры решения задач на нахожде- ной плоскости синусоидального сигнала, широко используемого ние ППР, когда используется безразмерная частотная характе- для обеспечения наглядности и удобства расчета цепей перемен ного тока символическим методом (методом комплексных амплиристика K( jн), приведены ниже.

туд). Представление ППР для напряжения на параллельном колеКомплексная амплитуда свободной составляющей ППР в бательном контуре при включении на контур источника тока в соответствии с (11.16) определяется соотношением форме радиоскачка может иллюстрироваться на комплексной [(- A0 + j0)sin + cos]( + j0) j н Umсв = =Uтсвe. (11.19) плоскости в виде суммы двух векторов вынужденного и свобод0C (- + j0) + н ного составляющего ППР (формула (11.16)). Если оси проекций Сопоставлял полученное здесь для реакции параллельного вращаются с угловой скоростью н, то вектор ВСПП на комплекколебательного контура на радиоскачок выражение (11.16) с ранее сной плоскости стоит неподвижно, а затухающий вектор ССПП найденной формулой (8.9), замечаем, что первый член (11.16) соввращается вокруг конца вектора ССПП с угловой скоростью падает с удвоенным значением первого члена (8.9) (это ВСПП);

= -, описывая логарифмическую спираль. Эта спираль н второй член (11.16) совпадает с умноженным на два значением является годографом вектора результирующего сигнала, снимаетретьего члена (8.12) (это ССПП). Очевидно, то же касается совпамого с параллельного колебательного контура [5,11]. Очевидно, с дения КА свободной составляющей переходного процесса (форростом времени сигнал, снимаемый с контура, стремится к ВСПП.

мула (11.19)) с умноженным на два значением дроби в третьем Обращаясь к выражению (11.16), определим вещественный члене формулы (8.9).

сигнал, снимаемый с параллельного колебательного контура в Умножение соответствующих членов формулы (8.9) на два форме связано с тем, что в (8.9) вещественный сигнал находится сумми uk(t)= Im{uk(t)}=Umвынsin( t + )+Umсвe-t sin(0 + ), (11.20) н рованием первого и второго, третьего и четвертого комплексносопряженных членов. В случае же пользования формулой (11.15) Um вын Um св где амплитуда колебаний, и и их начальные фазы вещественный сигнал находим операцией взятия вещественной и находятся из соотношений (11.18) и (11.19).



части функции uk (t). Получение одного и того же результата в Это искомый результат. Заметим, что получение выражения обоих случаях достигается удвоением величины членов в формуле для uk (t) в форме (11.20) из ранее найденной формулы (8.9) пообращения (11.10) и, как результат, в (11.16) относительно велитребовало бы дополнительных довольно громоздких преобразовачины соответствующих (первого и третьего) членов (8.9).

ний. При этом следует иметь в виду, что получение решения в виУказанное совпадение соответствующих членов формул де (8.15) оказалось существенно более трудным, чем комплексно(8.9) и (11.16) показывает, что и вещественный сигнал, найденный го сигнала в виде (11.16). Упрощение нахождения решения в форобоими путями, совпадает, но во втором случае (при пользовании ме (11.16) достигается применением формулы (11.12) модифициформулой (11.12), упрощающей переход от ИФ к оригиналу) обърованного ОПЛ, предложенной в [5–7].

ем преобразований существенно меньше, а результат получается 91 Резкое снижение трудоёмкости ОПЛ при исследовании ко- тельное внимание было уделено физической интерпретации полулебательных процессов получено за счет отбрасывания квадрат- чаемых результатов, ясность понимания которых позволит избеного трёхчлена в знаменателе изображающей функции, вычет от- жать ошибок при исследовании ППР. Поскольку при рассмотреносительно одного из корней которого ищется, а также уменьше- нии других случаев исследования ППР имеем аналогичную иннием числа вычетов, которые ищутся в комплексно-сопряженных терпретацию решений, отпадает необходимость столь подробного полюсах изображающей функции в два раза (вычет ищется отно- рассмотрения приводимых ниже примеров. В них показано лишь сительно одного из каждой пары комплексно-сопряженных полю- применение формулы обращения в виде (11.12) для нахождения сов). переходных процессов в электронных схемах, что позволяет заПолучение решения в форме комплексного сигнала обеспе- крепить навыки применения модифицированного ППЛ.

чивает существенные преимущества при исследовании динамичеПример 2. Найти импульсную реакцию и переходную хаских режимов работы радиоэлектронных схем [5,11,12], которые в рактеристику для параллельного колебательного контура.

известном смысле аналогичны применяемому для расчетов методу Решение. Импульсную реакцию gu(t) и переходную хараккомплексных амплитуд (символический метод) в теории перементеристику hu(t) напряжения на параллельном колебательном конных токов. Однако метод комплексных амплитуд используется для узкого класса стационарных режимов работы схемы.

туре ищем как реакцию на включение источника тока в форме В радиоэлектронике при исследовании динамических режиимпульса и единичного скачка.

мов широко применяется представление реального сигнала в форС применением известной формулы обращения (7.7) эта заме комплексного аналитического сигнала, что также дает преимудача уже решалась в п. 8 (пример 8). Решим ее здесь, воспользощества, соответствующие приложению комплексного сигнала при вавшись формулой перехода (11.12).

исследовании переходных процессов. Однако аналитический сигЗакон Ома в операторной форме для напряжения на контуре нал даёт определённую погрешность в определении амплитуды, (8.32) дает фазы, частоты радиосигнала, которая приводит к парадоксальным uk(p)= i(p)z(p), результатам (например, к нарушению фундаментального принциизображениями сигналов для нахождения импульсной реакции и па каузальности). Как показали выполненные исследования [12, переходной характеристики будут i (p)= 1 и iск(p) = 1 p.

20–23, 34], решения, получаемые в результате применения модиТогда имеем формулы (пример 8, гл. 8) для ИФ импульсной фицированного ОПЛ [5–7], помимо существенного снижения труреакции и переходной характеристики (8.33):

доёмкости нахождения, обеспечивают определение амплитуды, 1 p + фазы, частоты радиосигнала, соответствующее их физическому gu(p)= i (p)z(p)=.

адеквату. Это очень важно, так как именно эти параметры сигнала, C p2 + 2p + р как правило, несут основную информативную нагрузку [5].

Полюсами ИФ являются p1,2 = - ± j0, знаменатель В данном примере весьма подробно разобраны процедуры * Q(p)= ( p - p1)( p - p1 ) = p2 + 2p +, отсюда V1(p)=1, применения формулы обращения (11.12), упрощающие трудоемр кую операцию ОПЛ для важного в радиоэлектронике случая (наF( p) = ( p + 2). Тогда в соответствии с формулой перехода личие колебательности исследуемого ППР). Получение решения C не потребовало трудоемких операций и при небольшом навыке (11.12) могло бы быть выполнено без промежуточных записей (при дан- + j0 + 2 + j )t ном пути нахождения результата эта задача могла бы быть решена gu (t) = e(- 0 1(t), (11.21) j0C в уме). Кроме того, при рассмотрении данного примера значи 93 откуда сразу получаем 2 - 0 hu(t) = r - e- t (rcos0t + sin0t) 1(t). (11.26) e-t 2 0C gu (t) = Re{ gu (t)} = (0 cos 0t + sin 0t)1(t). (11.22) p 0C Первый член квадратной скобки здесь определяет ВСПП, второй По определению импульсной реакции изображающая функция для член – ССПП.

нее равна системной функции K( p) (для данного примера K( p) = z( p) ). Отсюда импульсная реакция равна вычетам в своПример 3. Определить импульсную и переходную характебодных полюсах подынтегральной функции K(p), т.е. является ристики тока в последовательном колебательном контуре (рис.





ССПП.

8.4).

ИФ переходной характеристики в соответствии с (8.34) имеРешение. Данная задача уже решалась в примере 7, гл. 8 на ет три полюса: p1,2 = - ± j0 и p = 0. Воспользуемся формулой основе применения формулы обращения в форме (7.7). Решим эту же задачу, применив формулу обращения в виде (11.12), упроперехода (11.12). Для этого учтем, что щающую ОПЛ. Изображение импульсной и переходной характеF( p) = ( p + 2), Q(p)= p(p - pv )(p - p* )= p(p2 + 2p + ).

v p ристик тока в последовательном колебательном контуре опредеC ляется ранее найденными формулами (8.29):

Тогда из (8.34) получаем выражение комплексной переходной ха2 gi ( p) = p[L( p2 + 2p + )]-1, hi ( p) = [L( p2 + 2p + )]-1.

рактеристики: p p p 1 - + j0 + 2 1(t) Отсюда функции Fg ( p) =, Fh( p) =, знаменатель hu (t) = e( + j0 )t +. (11.23) L L C j0(- + j0) p Qg ( p) = Qh(p)= Q(p)= p2 + 2p +, что дает полюса для обеих ИФ:

p Выражение (11.23) преобразуем к виду 2 p1,2 = - ± j, = -.

j( + j0)2 j0 )t 1 2 0 0 p hu (t) = + e(- + 1(t). (11.24) 2 2 C 0(0 + ) Для перехода от ИФ к оригиналу по формуле (11.12) имеем р для обеих ИФ Принимая во внимание, что 2 2 2 2 V ( p) = Q(p)[(p - p1 )(p - p2 )]-1 = 1. Тогда для комплексных им0 + =, ( + j0)2 = + 2 j0 -0, найдем вещественную пер пульсной и переходной характеристик получаем выражения реходную характеристику - + j0 + j0 )t 2 2 gi (t) = e(- 1(t), (11.27) 1 - j0L hu (t) = Re{hu (t)}= 2 -e- t (2 cos0t + sin0t) 1(t), (11.25) C p hi(t) = e(-+ j0)t1(t), (11.28) j0L которая совпадает с выражением для переходной характеристики (8.36), найденной в гл. 8 (пример 8). Но здесь формула (11.25) поиз которых вещественные импульсная и переходная характерилучена при значительно меньшей трудоемкости преобразований.

стики определяются функциями 2 2r 2rLC Учитывая, что = = = r, соотношение (11.25) gi (t) = Re{gi (t)} = e- t (0 cos0t - sin0t)1(t), (11.29) 2 2LC C C2L 0L p p перепишем еще в одной форме:

95 1 где ВСПП uвых (t) определена первым членом, а ССПП – uсв (t) – hi(t) = e- t1(t)sin0t. (11.30) 0L вторым членом в квадратной скобке полученной формулы. ВещеВыражения (11.29) и (11.30) совпадают с формулами (8.30) ственную реакцию интегрирующей цепи на радиоскачок опредеи (8.31) для импульсной и переходной характеристик, полученных ляем из (11.31) в соответствии с формулой перехода (11.12) как ранее применением формулы обращения в виде (7.7), но здесь ре -sin + cos н uвых (t) = Im{uвых (t)}= A K( j )sin( + ) + e-1/ 1(t), шения получены сразу; для их нахождения фактически не потрен н 2 1+ н бовались промежуточные преобразования.

= + arg K( j ). (11.31а) н Пример 4. Определить реакцию интегрирующей цепи на радиоскачок uвх (t) = Asin( t + ) 1(t).

н 11.4. Обоснование метода, упрощающего обратное Решение. Данная задача уже решалась в примере 4, гл. 8 преобразование Лапласа при исследовании динамических приложением формулы обращения (7.7). Получим решение при- колебательных режимов электронных схем менением формулы перехода (11.12), упрощающей ОПЛ.

Операционное исчисление является основным инструменИзображающая функция для реакции цепи на радиоскачок том при исследовании динамических режимов радиоэлектронных дана соотношением:

схем.

A p sin + н cos uвых ( p) =, (8.20) Однако, как уже отмечалось, существенным препятствием p2 + н p +при практическом использовании операционного метода для исдля которой «вынужденные» полюсы p1,2 = ± jн, «свободный» следования переходных процессов является трудоемкость выполнения ОПЛ, особенно возрастающая при рассмотрении важного A полюс p3 = -1.Числитель ИФ F( p) = ( psin +н cos ), знамедля радиоэлектроники класса колебательных процессов и систем.

Одним из важных методов, упрощающих нахождение решенатель Q(p) = (p2 +н )(p +1/ ). Тогда в соответствии с формулой ния в этом случае, нашедшим широкое приложение при исследоперехода (11.12) имеем V1(p) = p +1/, W3(p) = p2 +н.

вании радиоэлектронных схем, является метод медленно меняющихся амплитуд, разработанный С.И. Евтяновым [2]. Серьезным Подставляя указанные функции в формулу перехода (11.12), недостатком этого метода является приближенность получаемых получим решений, ограничивающих возможность применения данного ме A jн sin +н cos jнt -1/ sin +н cos uвых(t) = e + j e-1/ 1(t) тода для исследования современных РЭУ, использующих микро н( jн +1/ ) (-1/ )2 +н структуру радиосигнала.

Заслуживает внимания графический метод, позволяющий или после тривиальных преобразований упростить выполнение обратного преобразования Лапласа для 1 - sin +н cos изображающей функции с простыми полюсами [35]. При этом ко uвых (t) = A e(нt+ ) + j e-1/ 1(t) = 1+ (н )1+ jн эффициенты F( pi ) / Q ( pi ) формулы разложения (7.7) определяются как отношение произведения разностных векторов между i-м по -sin + cos н = AK( j )e(нt + ) + jA e-1/ 1(t) = н люсом и нулями изображающей функции f ( p) к произведению 1+ ( ) н разностных векторов между i-м полюсом и другими полюсами = uвын(t) + uсв (t), (11.31) этой функции. Здесь предварительно на комплексной плоскости 97 изображений находят положение нулей и полюсов для g( p), по- метода исследований переходных процессов в колебательных системах*.

сле чего производят измерение модулей и углов разностных векИзображение для f (t) :

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.