WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 12 |

argCy ( j) = arg Sy ( j) = (), Таким образом, при физическом представлении спектра приy сутствуют составляющие спектра только положительных (физиче argC ( j) = arg S ( j) = (). (10.45) f f f ских) частот (формулы (9.2) и (9.3)). При эквивалентном матемаЗначит, Фy () и Ф () можно трактовать как зависимость от f тическом представлении присутствуют как положительные, так и отрицательные частоты. Достоинством математического представчастоты начальных фаз соответствующих спектральных составления, помимо компактности записей, улучшающих обозреваеляющих, амплитуды которых конечны для периодического сигнамость получаемых результатов, является возможность представла (это функции Cy () и C () )), и бесконечно малы для непеf ления колебаний в форме комплексных функций, а также их на1 риодических сигналов (это функции Sy ()d и S ()d. глядного представления на комплексной плоскости в виде вектоf 2 ров (где отображаются одновременно амплитуды и фазы соответствующих синусоидальных составляющих). Амплитуды состав 77 ляющих физического спектра в два раза больше амплитуд матема- 10.2.4. Таблицы сопоставления спектрального метода и операционного исчисления при интегрировании тического (кроме С0 ) (формула (9.14)), т.е.

линейных дифференциальных уравнений ck = 2Ck 2C(k ), Рассмотрим некоторые таблицы, иллюстрирующие связь меж где комплексные амплитуды ряда C(k ) определяется формулами ду спектральным методом и применением операционного исчис(9.13).

ления при исследовании прохождения сигнала через физическую Покажем аналогичные соотношения для амплитуд физичесистему.

ского и математического спектров непериодического вещественВ табл. 10.1 иллюстрируется связь между спектральными ного сигнала.

плотностями и изображениями сигналов на входе и выходе систеПерепишем выражение для спектральной плотности (9.18) в мы, а также связь между дифференциальным уравнением системы виде и передаточной (системной) и частотной характеристиками систе мы. В гр. 3 показаны переходы от спектров к изображениям сиг - j t налов и наоборот. Здесь же показано, что при нулевых начальных S( j) = f (t)e dt = f (t)(cost - j sint)dt, (10.46) условиях такой же переход имеем между передаточной и частотной характеристиками.

откуда сразу следует важное уравнение S( j) = S*(- j), (10.47) Таблица 10. что дает соотношения для модулей и аргументов спектральной Функция плотности: Исходная Наименование Оператор в частотной функция функции S() = S(-), argS( j) = - arg S(- j). (10.48) области Тогда, учитывая (10.47), напишем ОПФ (формула (9.17)) в виде 1 2 3 L Изображение f ( p) 1 jtd jt S( j)e + S(-)e- jt d = f (t) = S()e = f (t) p = j 2 - Спектральная (10.49) S ( j) f F плотность jt S( j)e + S*( j)e- jt d.

= L Изображение y( p) y(t) p = j j () s Записав спектральную плотность в форме S() = S()e Спектральная S ( j) y F плотность и подставляя это выражение в (10.49), получим Дифференци- При нулевых Передаточная f (t) = S()cos(t + ) d. (10.50) s альное начальных услови- характеристика уравнение L ях µ K( p) Комплексная d y aµ = f (t) частотная p = j µ dtµ F характеристика K( j) 79 В табл. 10.2 показана последовательность действий при ана- так и дифференциальное уравнение может быть получено по этим лизе системы спектральным методом и при применении операци- характеристикам [1]. При этом, как уже отмечалось, между ДУС и онного исчисления. Из сопоставления этих двух путей анализа ее характеристиками K( p) и K( j) существует единственная следует их глубокое родство.

связь.

Таблица 10. Таблица 10. Синтез Анализ Дано: f (t) ; дифференциальное уравнение или структура схемы.

Дано: f (t), y(t). Следует найти дифференциальное уравнение, Требуется найти: y(t) схемы или K( p), или K( j). В конечном счете требуется найСпектральный метод Операционное ти схему, реализующую переход f (t) y(t) исчисление Спектральный метод Операционное исчисление 1. Ищем спектральную плотность 1. Находим изображение 1. Ищем спектры 1. Ищем изображения S ( j) = F{ f (t)} f ( p) = L{ f (t)} f S ( j), S ( j) f ( p), y( p) f y 2. Из дифференциального 2. Из дифференциального f ( p) = L{ f (t)}, S ( j) = F{ f (t)}, f уравнения или схемы ищем уравнения или схемы находим y( p) = L{y(t)} K( p) Sy ( j) = F{y(t)} K( j) 2. Определяем передаточную 3. Определяем изображение 3. Определяем спектр 2. Определяем частотную характеристику y( p) = K( p) f ( p) характеристику Sy ( j) = K( j)S ( j) f y( p) K( p) = 4. Ищем отклик системы y(t) Sy ( j) 4. Ищем отклик системы y(t) f ( p) K( j) = y(t) = L-1{y(p)}= L-1{K(p) f (p)} S ( j) f -1 -3. По найденному K( p) y(t)= f {Sy( j)}= f {K( j)S ( j)} f 3. По найденному K ( j) синтезируется схема синтезируется система В табл. 10.3 для сопоставления спектрального метода и опеЗадача синтеза в отличие от задачи анализа неоднозначрационного исчисления дана последовательность действий при на. Один и тот же оператор может быть реализован различным решении задачи синтеза системы. Из этой таблицы также видно построением схем.

единство этих обоих методов. Поскольку задача синтеза неоднозначна, выбор конкретного построения синтезируемого радио11. МЕТОД, УПРОЩАЮЩИЙ ВЫПОЛНЕНИЕ электронного устройства определяется существующей элементной ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА базой и технико-технологическим заделом.

Иногда для аналитических исследований считается доста11.1. Постановка задачи точным, если результатом синтеза является нахождение дифференциального уравнения системы, решением которого будет заПри применении операционного исчисления для интегрироданный отклик системы y(t) на определенное возмущение f (t).



вания линейных дифференциальных уравнений наиболее трудоКак передаточная (или частотная) характеристики могут быть емкой операцией обычно является выполнение обратного преобнайдены из дифференциального уравнения системы (табл. 10.1), разования Лапласа. Особенно возрастает трудоемкость при иссле 81 довании прохождения радиосигналов через электронные цепи, рых с целью увеличения скорости переработки потока информасодержащие колебательные звенья. В этом случае изображающая ции наблюдается тенденция перехода к широкополосным и сверхфункция (ИФ) реакции системы на возбуждающий радиосигнал широкополосным сигналам [24, 25]. Предложенный подход [5–7] содержит пары комплексно-сопряженных полюсов. Это наглядно позволил получить формулы, существенно упрощающие ОПЛ при видно из примеров применения формулы обращения в обычном исследовании переходных процессов в радиосистемах.

виде (7.7), рассмотренных в гл. 8. Даже в простейшем случае, ко11.2. Формула, упрощающая выполнение ОПЛ гда ИФ имеет одну пару простых (т.е. первого порядка кратности) (случай простых КСП изображающей функции)* КСП, доведение исследований до конечного результата оказывается весьма громоздким и трудоемким.

Для получения формулы, упрощающей выполнение обращеУказанное обстоятельство привело к многочисленным поисния из пространства изображений в пространство оригиналов раскам методов и путей, облегчающих задачу анализа переходных смотрим дробно-рациональную изображающую функцию (ДРФ):

процессов в радиосистемах.

F( p) В настоящее время наиболее широко применяется метод y( p) =. (11.1) Q( p) комплексных медленно меняющихся огибающих, позволяющий упростить исследование колебательных переходных процессов в Представим полином Q( p) в знаменателе выражения (11.1) в виде радиосистемах применительно к задачам радиоэлектроники, разm r * работанный С.И. Евтяновым в его монографии [2]. Сущность этоQ(p) = p )(p- p ) (11.2) (p- (p- p ), го метода состоит в замене радиосистемы соответствующим низ- =1 =m+кочастотным аналогом. При этом получаем укороченные симвогде m / 2 – число пар комплексно-сопряженных корней полинома лические уравнения, что соответствует понижению порядка диф- Q( p) ; r – число всех корней; r – m – число вещественных корней.

ференциального уравнения системы в два раза. Близкий к этому Символ (*) означает комплексно-сопряженный корень. Комплекспуть, позволяющий упростить нахождение решения, предложен p А.Д. Артымом [8].

но-сопряженные корни функции Q( p) имеют вид = ± j, Однако методы нахождения переходных процессов в колеба- p * тельных системах, рассмотренные в [2,8], дают приближенные ревещественные корни p =.

шения. Эти решения асимптотически приближаются к точному тем Запишем формулу (11.2) в виде быстрее, чем более узкополосные сигналы и фильтры исследуются.

* Q(p) =(p- p )W(p) =(p- p )(p- p )V(p), (11.3) От этого недостатка свободен предложенный и разработанный в [5– 7, 11, 12] метод, упрощающий ОПЛ в случае наличия колебательгде ности исследуемого переходного процесса. Сущность его сводится * W ( p) = Q( p) /( p - p ), V ( p) = Q( p) /[( p - p )( p - p )], к тому, что ищутся вычеты для одного из каждой пары КСП изот.е. функция W ( p) – это остаток от деления полинома Q( p) на бражающей функции, т.е. вычеты определяются в одной (верхней член (p- p ), V ( p) – остаток от деления Q( p) на квадратный трехили нижней) полуплоскости комплексного переменного p.

Получаемый при этом комплексный сигнал (КС) позволяет * (p.

член - p )(p- p) определить огибающую и фазу сигнала на выходе исследуемой схемы, соответствующие их физическому адеквату, независимо от * Будем рассматривать упрощение ОПЛ для случая простых полюсов изобрастепени широкополосности сигнала [20–23]. Это весьма важно жающей функции. При наличии кратных полюсов путь остается тем же, но форпри разработке современных радиоэлектронных систем, в котомулы получаются более громоздкими [5,7].

83 Из (11.3) Вещественный сигнал y(t) ищем, выполняя символические операции взятия вещественной или мнимой частей комплексного W ( p) = ( p - p )V ( p).

(11.4) сигнала y(t), т.е.

Обратимся теперь к формуле обращения (7.7)*:

y(t) = Re{y(t)}= Im{jy(t)}. (11.11) r F p t y(t) = Подставим теперь в (11.10) значения производных Q ( pp= p ) Q( p ) e 1(t).

( p ) =из (11.7) и (11.8). Получим Продифференцируем Q( p), тогда из (11.3) имеем для вещественm / 2 r F( p ) F( p ) p t p t ных полюсов ИФ y(t) = e + e. (11.12) j V ( p ) W ( p ) =1 =m+ Q ( p) = W ( p) + ( p - p )W ( p), (11.5) Это и есть расчетная формула, существенно упрощающая для комплексно-сопряженных полюсов ИФ выполнение ОПЛ для колебательных процессов. Согласно данной * * Q ( p) = ( p - p )V ( p) + ( p - p )V ( p) + ( p - p )( p - p )V ( p). (11.6) формуле для комплексно-сопряженных полюсов вычеты берутся Подставляя в (11.5) и (11.6) значения полюса p, получим соотдля одного из каждой пары КСП (только одна сумма вместо двух ветственно для вещественного и КСП в формуле (11.9)). Вычеты в вещественных полюсах берутся Q ( p ) =W ( p ), (11.7) обычным образом.

Поскольку при выводе формулы (11.12) пользовались пред Q ( p ) = 2 jV ( p ). (11.8) ставлением знаменателя Q( p) изображающей ДРФ в форме Если учесть (11.4), то (11.7) перейдёт в (11.8). Будем пользоваться m / для КСП представлением Q ( p ) в форме (11.8), а для веществен* Q( p) = ( p - p )( p - p ) p - p ), ( =1 =m+ных полюсов – в форме (11.7). Тогда формулу обращения представим в виде для которого коэффициент при старшем члене pr, т.е. при члене * * m/2 F( p ) m/2 r F( p ) F( p ) p t полинома Q( p) с высшей степенью, равен единице. Необходимо p t p t. (11.9) y(t) = e + e + e Q ( pp= p ) Q ( pp= p ) Q ( p ) обеспечить выполнение этого условия во избежание ошибки при =1 =1 =m+p= p* определении знаменателя Q( p) ИФ. Это всегда можно сделать, Очевидно, вторая сумма является комплексно-сопряженной с первынеся коэффициент при старшем члене pr в качестве сомноживой суммой. Это позволяет записать теля перед полиномом Q( p). Так, если в исходном представлении m / 2 r F( p ) F( p ) p t p t y(t) = 2 e + e. (11.10) ИФ в знаменателе ее имеем apr, где a – коэффициент при стар =1 Q ( pp= p ) Q ( pp= p ) =m+шем члене, то, переписав ИФ в форме a-1 F( p)/Q( p), обеспечиваем коэффициент при старшем члене знаменателя Q( p) равный единице.





* Продуктивность метода, упрощающего ОПЛ для колеба Как уже отмечалось, множитель 1(t) в формуле обращения (7.7) отражает тот факт, что при использовании операционного исчисления в обычной форме тельных переходных процессов, который приводит к формуле обпри выполнении ППЛ отсекаются значения f (t) при t<0. Соответственно в силу ращения (11.12), лучше всего проиллюстрировать на примерах.

принципа каузальности (причинности) отклик y(t) также должен быть равен нулю при t < 0. В силу очевидности данного положения множитель 1(t) в формулах обращения в дальнейшем будем, как правило, опускать.

85 11.3. Примеры применения формулы обращения, Для перехода к оригиналу теперь воспользуемся формулой упрощающей ОПЛ (11.12), упрощающей ОПЛ:

m / 2 r F( p ) F( p ) p t p t u(t) = e + e, Ниже приведены примеры решения задач на нахождение вых j V ( p ) W ( p ) =1 =m+ имеющего колебательный характер переходного процесса в лигде первая сумма находится для одного из каждой пары КСП нейных электронных цепях для тех же условий, что и в гл. 8. Но в (возьмем полюсы в верхней полуплоскости комплексного перегл. 8 для перехода от изображающей функции к оригиналу исменного p, число их равно m/2), вторая сумма берется для каждого пользуется формула обращения в обычном виде (7.7). Здесь же из вещественных полюсов, число которых равно r–m, r – общее для определения реакции заданной цепи на импульсное возбужчисло полюсов изображающей функции. Функции V(p) и W(p) дение применена формула обращения в виде (11.12), что позволяопределены формулами (11.4), согласно которым равны ет значительно упростить при исследовании ППР наиболее трудо* емкую часть работы – обратное преобразование Лапласа. СопосV ( p) = Q( p)/( p - p )( p - p ), W ( p) = Q( p)/( p - p ).

тавление хода получения решения обоими путями показывает, что Искомый вещественный сигнал находим взятием вещественной даже для рассмотренных относительно простых ИФ существенно или мнимой частей соотношения (11.12) в соответствии с симвосокращаются трудоемкость и громоздкость преобразований при лической записью (11.11) этой операции:

использовании формулы (11.12) по сравнению с обычной форму uk (t) = Re{uk (t)}= Im{juk (t)}.

лой обращения (7.7) (для рассмотренных в примерах простых ИФ ИФ в данном примере имеет две пары КСП. Следовательно, в фораналитические решения, требующие при применении формулы муле перехода из пространства изображений в пространство оригиобращения (7.7) громоздких преобразований, при небольшом наналов (11.12) имеем два члена первой суммы для полюсов p1 и p3.

выке пользования формулой перехода (11.12) могут быть получеФункцию F( p) определим, как и ранее:

ны в уме).

AF( p) = ( psin + cos )( p + 2).

Пример 1. Найти напряжение на параллельном колебатель- н C ном контуре при включении на него источника тока в форме раФункция V(p) зависит от того, для какого из КСП ищем член диоскачка. Cчитать начальные условия нулевыми (нулевые напервой суммы формулы (11.12). А именно в соответствии с форчальные запасы энергии в контуре).

мулой (11.4) функция V(p) находится путем отбрасывания в знаРешение. Эта задача была решена (пример 1, гл. 8) с применателе дробно-рациональной ИФ одного из сомножителей в менением формулы обращения (7.7). Найденная в гл. 8 изобра* * форме квадратного трехчлена (p - p ) (p - p ). При этом p и p жающая функция для искомой реакции контура имеет вид (формула (7.6)): – именно та пара КСП, вычет (член суммы в (11.12)) для одного из которых ищется. Так как из (8.4) знаменатель Q( p) изображаюpsin + cos 1 p + н u(p)k = A0 =, 2 2 щей функции uk(p) определяется соотношением C p2 + p2 + 2p + н р 2 Q( p) = ( p2 +н )( p2 + 2p + ), полюсами которой являются p1,2 = ± j, p3,4 = - ± j0. p н * то при нахождении функции V(p) для полюсов p1 и p2= p1 отбрасываем в Q( p) сомножитель p2 + =(p - j ) (p + j ), т.е. в н н н этом случае 87 1 jн + V1(p1)=(j ) + 2 j +. (11.13) н н р, (11.17) z( jн) = С р -н + 2 jн * При нахождении функции V(p) для полюсов p3 и p4 = p3 отт.е. равен значению комплексного сопротивления параллельного брасываем в Q( p) сомножитель колебательного контура на частоте ВЧ заполнения возбуждающеj p2 + 2p + =(p + - j0) (p + + j0), где величина 0 = 2 - 2 – р р го сигнала i(t), а сомножитель A0(j sin + cos)/ = A0e.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.