WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |

S(p) = f (t)e- ptdt Из проведенного рассмотрения следует теснейшая связь ме и S(j) = f (t)e- j tdt, жду интегральными преобразованиями Фурье и интегральными преобразованиями Лапласа, которые, вообще говоря, можно расможем сразу записать:

сматривать с единых позиций как обеспечивающие построение S( j) = S ( p).

j = p единого метода решения линейных дифференциальных уравнений.

65 Таким образом, по изображению функции времени путем замены Здесь и ниже берутся главные, по Коши, значения интеграp на j может быть найден ее спектр, и наоборот, путем замены лов, т.е. интегралы ищутся при равном (симметричном) стремлении к верхнему и нижнему пределам.

j на p может быть найдено изображение функции времени.

Любая вещественная функция может быть представлена Обратимся теперь к записи (5.4) связи между изображенияединственным образом суммой четных и нечетных составляюми входного и выходного сигнала через передаточную функцию щих*:

системы f (t) = fчет(t)+ fнеч(t), (10.14) y( p) = K ( p) f ( p).

где fчет(t) = fчет(-t), fнеч(t) = -fнеч(t) (10.15) Заменяя теперь формально p на j, получим – условия четности и нечетности составляющих.

.

Четные и нечетные составляющие исходной функции опре Sy ( j) = K( j)S ( j). (10.12) f делены формулами Таким образом, путем замены в изображающем уравнении (5.4) p f (t) + f (-t) f (t) - f (-t) fчет =, fнеч =. (10.16) (t) (t) на j сразу получаем связь между спектрами входного и выход2 ного сигналов через частотную характеристику системы.

Подставляя (10.14) в (10.13), получаем 10.2.2. Некоторые ограничения перехода изображение – спекS() = fчет(t) cost dt - j fнеч (t) sint dt = M () - jN (), (10.17) p j тральная плотность сигнала путем подстановки - При рассмотрении сигналов, описываемых разрывными (сингде M () = fчет cos t dt, N () = fнеч(t)sint dt. (10.18) гулярными) функциями, операция перехода изображение – спек- тральная плотность заменой p j требует определенной акИз формулы (10.18) следует, что вещественная составляюкуратности. Сразу отметим, что физическое формирование таких щая определяется только четной составляющей сигнала M () сигналов невозможно. Спектры таких сигналов простираются до fчет(t) ; мнимая составляющая спектра N() определяется только бесконечно больших частот и для получения таких сигналов потребовалось бы иметь систему, обладающую бесконечно широкой нечетной составляющей сигнала fнеч(t).

полосой пропускания, что физически нереализуемо. Однако приИз (10.18) также следует, что менение описания математических моделей реальных сигналов M () = M (-), -N () = N(-), (10.19) через типовые разрывные функции оказывается очень удобным и т.е. для вещественной функции времени вещественная составf (t) широко используется при выполнении исследований сигналов и ляющая спектра ее M () является четной функцией частоты, а мницепей.

мая составляющая спектра N() – нечетной функцией частоты.

Для иллюстрации сказанного обратимся вначале к определению спектральной плотности через операцию ППФ (9.16), которое перепишем в виде * Здесь имеются в виду регулярные («гладкие») функции вплоть до сингуляр ности первого порядка (разрыв первого рода), которая описывается функцией S() = f (t)e- jtdt = f (t)[cost - j sin t]dt. (10.13) d (t) d (t) скачка. Сингулярности более высокого порядка ((t), и т.д.) требу, dt dt- ют специального рассмотрения, выполняемого в рамках теории обобщенных функций (теории распределений) [30].

67 Из (10.17) и (10.19) сразу следует важнейшее соотношение Переход p j дает спектр.

.

f (0) S() = = - jN (). (10.25) S() = S*(-), (10.20) j т.е. для вещественного сигнала спектральная плотность его при Здесь Re{S()}= M() = 0.

изменении знака частоты описывается комплексно-сопряженной функцией. Спектральная плотность S() в (10.25) содержит только Запишем спектральную плотность сигнала в форме f (t) мнимую составляющую. А это, согласно (10.18), должно во вреj () s менной области соответствовать сигналу, описываемому только S() = S()e.

нечетной функцией времени.

Тогда из (10.17) Но, с другой стороны, сингулярный сигнал вида функции N() 2 S() = M () + N (), = -arctg. (10.21) скачка fсинг (t) = f (0)1(t) содержит как четную, так и нечетную соs M () ставляющие.

Так как в общем случае спектральную плотность можно предстаДействительно, fсинг (t) можно представить в виде суммы вить как [32]:

S() = Re{S()}+ j Im{S()}= S()coss() + jS()sins(), (10.22) fсинг (t) = f (0)[1+ sgnt] = f (0)1(t), (10.26) то, сопоставляя (10.22) с (10.17), имеем Re{S()}= M() Im{S()}= -N(). (10.23) где sgn – сигнум-функция (функция знака):

Перейдем к сигналу, имеющему наложенные на регулярную 1, t > 0;

составляющую разрывы первого рода типа скачка. Тогда можно sgn t = t = 0; (10.27) 0, выделить отдельно регулярную и импульсную (сингулярную) со ставляющие сигнала [11, c.136]. Пусть имеем скачок сигнала при -1, t < 0.

t = 0. Аналог сигнала с таким скачком получаем применяя ППЛ по Выражение (10.26) определяет сингулярный сигнал вида отношению к регулярному сигналу, начало которого лежит в обфункции скачка как сумму нечетной составляющей (сигнумласти t < 0.

функции f (0)sgnt ) и «вырожденной» четной составляющей («выВ этом случае за счет нулевого значения нижнего предела f(t) интеграла в ППЛ срезается регулярная составляющая при рожденной» в том смысле, что четная составляющая здесь просто t <0, т.е. учитывается лишь значение функции f (t) при t > 0. Топредставляет постоянную составляющую, равную вдоль f (0) гда f (t) = fсинг (t) + f (t) = f (0)1(t) + f (t). Здесь очевидно рег рег всей оси времени) (рис. 10.3.).



f (0) = 0, а скачок функции f (t) при t = 0 учитывается первым рег Спектр вида (10.25) может формироваться только нечетной сингулярным членом суммы. составляющей сигнала (10.26), определяемой сигнум-функцией.

Изображением сингулярной составляющей fсинг (t) = f (0)1(t) будет функция f (0) fсинг( p) =. (10.24) p 69 sint sin sin I2 = dt = d =2 d.

fсинг(t) t - - f (0) Правый интеграл получен из предыдущего с учетом четности подынтегральной функции.

t Интегральный синус определен как t sin Si t = d, Si = / 2, I2 = при t > 0.

= Изменение знака t меняет знак I2 на обратный, т.е. I2 = - при t < 0. Значит, при t = 0 имеем скачок I2 от до, т.е.

f (0) I2 = sgnt и, следовательно, f (0) f (0) y(t) = sgnt = sgnt.

0 t 2 Таким образом, нечетная составляющая сингулярного сигнала, f (0) определяемая функцией sgnt, имеет спектральную плотность + f (0) S() =, что и требовалось доказать.

f (0) j Для нахождения спектра результирующего сигнала (10.26) t нужно найти спектральную плотность постоянной составляющей его (первый член в (10.26)). Для этого предварительно получим Рис. 10.3 некоторые вспомогательные соотношения.

Определим -функцию через ОПФ, учитывая, что спектр ее Проверим это, выполнив ОПФ по отношению к спектраль S () = 1:

f (0) S() = ной плотности.

1 j t j (t) = S ()e d = e j td. (10.28) 2 - -Пример 1. Ищем y(t) = F { f (0) / j}.

Произведем формальную замену переменных t и. Тогда jt 1 e f (0) cost sint f (0) y(t) = f (0) d = d + j d = [I1 + I2].

() = (10.29) e j tdt, 2 j 2 j j - - - cost или, меняя знак у переменной, получим I1 = d = 0 в силу нечетности подынтегральной функции j (-) = (10.30) e- j tdt.

при симметричных пределах интегрирования.

71 Рассматривая (x) как четную функцию своего аргумента, Необходимым условием отсутствия -сингулярности в спектре сигнала является конечное значение интеграла от абсолютного когда имеем (x) = (-x), умножим правую и левую части в значения функции, описывающей сигнал, т.е.

(10.30) на постоянную величину A0.

f (t) dt ± Получим A02 () = A0e- j tdt = F{A0}. (10.31) (иногда это условие абсолютной интегрируемости ставится, как В правой части выражения (10.31) имеем ППФ относительнеобходимое для выполнения ППФ [26, с. 64]). Для того чтобы но постоянной величины A0, т.е. спектральную плотность постообойти эту трудность, вводят множитель сходимости e-ct, c>0.

янной величины, которая определена через -функцию.

При этом сигнал считается определенным на положительной поИными словами, луоси времени. Находят спектр такой функции:

SA0 () = A02 (). (10.32).

Se () = c + j Затем, устремляя c к нулю, приходим к спектру вида (10.25).

Пример 2. Для контроля полученного соотношения (10.32) При таком подходе в определении спектра сигнала, описываемого найдем исходную величину A0, применив к (10.32) ОПФ:

функцией скачка, как раз и теряется -сингулярность спектра -1 jt (10.35). Ошибка возникает из-за того, что сколь бы малое c не быF {SA0 ()} = A02 ()e d = A0, (10.33) ло, имеем экспоненту, которая при t стремится к нулю и, следовательно, имеет ограниченную площадь, а значит, постоянчто и следовало ожидать.

ная составляющая равна нулю, отсюда равна нулю и соответстТаким образом, спектр постоянной величины определяется вующая ей -сингулярная составляющая спектра.

через -функцию в частотной области. Следовательно, из (10.32) e-ct 1 Иное дело, когда речь идет о ППЛ, множитель вводится спектр постоянной величины f (0) специально для обеспечения сходимости исходной функции f (t).

S () = f (0) (). (10.34) fSe() Тогда в выражении для спектра применяем замену переТогда искомый спектр сингулярного сигнала (функции менной p = c + j и получаем строгое изображение функции скачскачка величиной f(0)) (формула 10.26) определяется как сумма ка S ( p) = 1/ p.

спектров (10.25) и (10.34):

Очевидно, что и обратный переход от спектра функции скачка к ее изображению путем замены в (10.35) j на p не может S () = f (0) + (). (10.35) fсинг j быть выполнен, так как член с -сингулярностью не позволяет Следовательно, при рассмотрении сигналов, описываемых функсделать соответствующую подстановку. В литературе, однако, доциями с разрывами первого рода, необходимо проявлять осторожвольно часто встречается переход с использованием множителя ность при переходе от изображающей функции сигнала к его сходимости [26, 32 и др.]. Тогда получаем спектральной плотности путем замены p на j, так как может S = lim Se() =1/ j.

f синг cбыть потеряна -сингулярная составляющая спектра. Об этом же Получаем тот же результат, что и при переходе от изображения говорит Ю.В. Тронин в своей статье «Утеряна – функция» [33].

скачка S ( p) = 1/ p к спектру его замены p на j.

73 В большинстве практических случаев такой подход является Обратимся к записи связи (5.3) между изображениями входудовлетворительным, поскольку постоянная составляющая, нали- ного и выходного сигнала через передаточную функцию системы чию которой при моделировании функции скачка и обязана -синy( p) = K( p) f ( p).

гулярность спектра, информации не несет, не пропускается переЗаменяя формально p на j, получим ходными RC-цепочками между каскадами и вообще по сигналь Sy ( j) = K( j)S ( j) ным цепям постоянная составляющая, как правило, не рассматри-, (10.36) f вается.





Sy( j) S ( j) – спектральные плотности выходного и где и f 10.2.3. Переход от изображающего уравнения системы входного сигналов соответственно.

к уравнению для спектров входного и выходного сигналов Из изложенного выше следует, что Sy ( j) = y( p) и S ( j) = f ( p). (10.37) p= j f p= j Передаточная характеристика системы K( p) определяется в Комплексная функция частоты соответствии с (5.4) и (5.8) из изображающего уравнения системы K ( j) = K ( p) (10.38) (5.2), которое получаем отображением дифференциального уравp= j нения системы в пространство изображений (формула (5.1)). Таназывается комплексной частотной характеристикой системы ким образом, существует однозначная связь между передаточной (или просто частотной характеристикой системы).

характеристикой K( p) и дифференциальным уравнением системы Из (10.36) следует, что (1.7) и (1.8). S ( j) = K( j) S1( j). (10.39) y Начальные условия могут быть учтены в правой части дифФормулу (10.39) можем также записать в эквивалентной форме* ференциального уравнения. При этом они входят в правую часть Sy() = K()Sf (). (10.39а) как эквивалентные источники [1, с. 8–9].

При таком подходе передаточная характеристика K( p) опЗдесь, как уже отмечалось, отсутствие точек над функциями также означает, что берутся модули. Из (10.15) (или из (10.39а)) ределяется только левой частью дифференциального уравнения следует, что модуль комплексной частотной характеристики пока(собственно самим дифференциальным уравнением системы зывает связь между амплитудами соответствующих составляю(ДУС), формула (5.8) для K1( p) ).

щих спектра входного и выходного сигналов. Эту характеристику Это позволяет, рассматривая связь между спектральным ме(т.е. K( j) ) называют амплитудно-частотной характеристикой тодом и операционным исчислением, считать, не снижая общносистемы (АЧХ).

сти рассуждений, что исследуется «пустой» четырехполюсник, т.е.

схема имеет нулевые начальные запасы энергии в накопительных элементах (ее емкостях и индуктивностях) системы. Принятие гипотезы «пустого» четырехполюсника позволяет упростить рассу* Чтобы подчеркнуть, что в (10.39а) определена зависимость модулей комждения, такой подход имеет и большое практическое значение, плексных функций (КФ) от частоты, множитель j при опущен. Это оправдано так как многие задачи радиоэлектроники предполагают нулевые тем, что при нахождении модуля КФ (который сам является вещественной функисходные состояния системы. Кроме того, спектральный метод в цией частоты) вещественная и мнимая части КФ складываются в квадратуре. При обычной постановке не учитывает начальные условия (модифика- этом в конечных выражениях модуля вещественная и мнимая части КФ уже не разделены (множитель j при отсутствует). Такой же подход имеем при нахожция спектрального метода, в котором по аналогии с ППЛ учитыдении аргумента комплексной функции, который ищется как арктангенс отношеваются начальные условия, предпринята в [1, с. 175]).

ния мнимой к вещественной части ее.

75 Представим функции, входящие в (10.36), в форме Функция jy() j ( j) k () = arg K( j), (10.46) f Sy( j) = Sy()e S ( j) = S ()e,, f f определяющая, согласно (10.42) или (10.42а), зависимость между jk () K( j) = K()e, (10.40) начальными фазами спектральных компонент входного и выходного сигналов, называется фазочастотной характеристикой систеоткуда можем записать:

мы (ФЧХ системы).

() = arg S ( j), () = arg S ( j), k () = arg K( j). (10.41) y y f f Следовательно, комплексная частотная характеристика сисОчевидно, уравнение (10.36) определяет связь не только между темы K ( j) сразу задает две частотные характеристики: модуль амплитудами входных сигналов, но и между их аргументами.

ее K() – АЧХ системы, аргумент arg K( j) – ФЧХ системы.

Действительно, из (10.36) следует, что Значит, комплексное уравнение (10.36) определяет сразу две arg S( j) = arg K( j) + arg S ( j), (10.42) f связи между спектрами входного и выходного сигналов: по модув другой записи лям через АЧХ и начальным фазам через ФЧХ. Это находится в () = () + k (). (10.42а) y f соответствии с тем, что спектр любого сигнала определяется двуПоскольку из (9.20) комплексные амплитуды спектра периодичемя характеристиками спектральной плотности – зависимостью от ского сигнала Cy () и C () определены через спектральные частоты модуля и аргумента ее, соответствующих амплитуде и f начальной фазе каждой спектральной компоненты.

плотности как Отметим, что здесь речь идет о математическом представле, Cy ( jk ) = S ( jk ) C ( jk ) = S ( jk ), (10.43) нии спектра, когда формально (использованием формулы Эйлера y f f T T для представления синусоиды) вводятся наряду с положительными и отрицательные частоты (см. переход от (9.5) к (9.8)). ФизичеCy () = Sy (), Cf (k ) = S (k ). (10.44) f T T ского смысла отрицательные частоты не имеют, так как частота Аргументы комплексных амплитуд, определяющие начальколебания – это число периодов в секунду, которое может быть ные фазы гармонических составляющих, связаны для разложения только положительным, но это очень удобная математическая абв ряд Фурье входного и выходного периодических сигналов той стракция, позволяющая многие соотношения в теории спектров же зависимостью, что и связь между аргументами соответствуюпредставлять в комплексной форме (ср., например, формулы ряда щих спектральных плотностей (формулы (10.42) и (10.42а)):

Фурье (9.2), (9.3) с (9.8)).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.