WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |

2k 2k ck e j -k - j -k 2k T T ck cos -k = + e = ak bk T 2k 2k j t - j t с T T = Cke + C-ke, (9.9) где Ck и C-k – комплексные амплитуды колебаний 0 1 21 31 1 ck ck jk Ck = e- jk, C-k = e. (9.10) 2 2 Рис. 9.Отсюда следует k ck * Ck = C-k, (9.11) где знак (*) означает комплексно сопряженную величину.

1 1 1 1 1 с Из (9.7) и (9.10) ck ak bk Ck = (cosk - j sink ) = - j. (9.12) 0 2 2 Подставляя в (9.12) формулы (9.4), получим выражение для ком плексной амплитуды Ck, определенной через исходный сигнал:

T T 2k 2 - j t 1 1 Рис. 9. Ck = f (t)e dt, Ck =0 = c0 = f (t)dt. (9.13) T T T T T Спектральное представление сигнала можно наглядно пока- 2 зать на графиках зависимости амплитуд ak, bk и c0 (рис. 9.1) для Комплексные амплитуды Ck единственным образом связаряда Фурье в форме (9.2) или зависимости амплитуд ck и начальны с формой сигнала f (t). Иными словами, каждому сигналу ных фаз составляющих (рис. 9.2) для ряда Фурье в форме (9.5).

присущ свой спектр, т.е. каждая функция f (t) может быть предТакой дискретный спектр, для которого расстояние между ставлена только своим рядом Фурье (теорема о единственности смежными составляющими спектра равно частоте повторения представления рядом Фурье).

(частоте 1-й гармоники), называется гармоническим, а его составляющие гармоническими составляющими. Амплитуды отдельных 53 гармонических составляющих могут быть равны нулю. Разложе- зации таких схем используется следующий подход. Заданный сигние в ряд возможно, если могут быть найдены амплитуды ak, bk нал периодически продолжают с выбранным периодом повторения на всей оси времени. Для такого периодизированного гипоте и c0 (формулы (9.3) и (9.4)) или комплексные амплитуды Ck тического сигнала находят ck и k, тем самым определяют его (формула (9.13)). Для этого исходная функция должна удовлетвогармонические составляющие. Тогда для получения заданного сигрять условиям Дирихле: функция f (t) ограничена, кусочнонала составляющие его суммируются на интервале существования непрерывная и имеет на периоде конечное число экстремальных сигнала. Это достигается срезанием непрерывных составляющих, значений.

представляющих ряд Фурье, справа и слева относительно выбранФизический смысл ряда Фурье хорошо просматривается и ного временного интервала суммирования. При таком моделироваимеет практическое приложение. Так можно физически собрать нии сигнала используется замечательное свойство ряда Фурье – быпериодический сигнал, если суммировать отдельные компоненты страя сходимость к исходному сигналу, что позволяет ограничиспектра, складывая, например, сигналы с генераторов синусоиваться минимальным числом членов суммы, необходимым для дальных колебаний заданных частот (частоты 1ой и более высоких обеспечения требуемой точности описания заданного сигнала.

гармонических составляющих). При этом для каждой гармонической составляющей ряда Фурье в виде (9.5) необходимо выста9.2. Интегральные преобразования Фурье вить, чтобы «собрать» заданное колебание, определенную амплитуду – ck и начальную фазу – k, соответствующую формулам Любой реальный физический процесс ограничен во време(9.6), где ck и k находятся через ak и bk, определяющие ампли- ни, т.е. когда-то начавшись, он неизбежно, когда-то закончится.

Очевидно, рассматривая реальный электрический сигнал как нетуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих ряда который физический процесс, можно утверждать, что на оси вреФурье в форме (9.2).

мени он всегда имеет начало и конец. Это значит, что рассмотренНа практике удобнее для нахождения ck и k пользоваться ный выше периодический сигнал, который в частотной области значениями комплексных амплитуд Ck, определяемых интеграпредставлен рядом Фурье (т.е. дискретным спектром в форме лом (9.13). Тогда из (9.10) имеем суммы гармонических составляющих), являлся полезной абстрак ckk 0 = 2 Ck, k = - argCk, цией, так как, строго говоря, физически периодического сигнала, повторяющегося с периодом T на всей оси времени вплоть до где заключение комплексной величины в черточки означает, что t ±, быть не может. То же касается гармонических составберется модуль её, т.е. то же, что и отсутствие точки над комляющих спектра, которые с определённой амплитудой должны плексной величиной. В данном учебном пособии применяются продолжаться во времени в t ± и поэтому физически реализо оба обозначения модуля, т.е. Ck = Ck.

ваны быть не могут. Отметим, что сигналы, существующие на неСистемы, в которых используется сумма «гармонических» котором ограниченном интервале времени, на котором они опресоставляющих для получения сигнала требуемой формы, созданы делены, называют финитными сигналами.

на практике. Здесь имеется в виду, что для каждой «гармониче- Попробуем воспользоваться рядом Фурье и для случая неской» составляющей выставляется соответствующая амплитуда периодического, одноразового сигнала. Для этого перепишем ряд ck и начальная фаза колебания k. Однако эти составляющие (9.8), подставив в него формулу (9.13) для Ck. Получим:

срезаны во времени вне выбранного интервала времени, охватывающего время существования заданного сигнала. В основе реали 55 T / Выражение (9.15) называется двойным интегралом Фурье. Внут e jk1t f (t) = f (t)e- jk1tdt. (9.14) ренний интеграл зависит от текущего значения частоты. Обо T k =-T / значим его комплексной функцией частоты :

Применим не совсем строгое, но наглядное доказательство пере хода от спектра периодического к спектру непериодического сиг S() = f (t)e- j tdt. (9.16) нала. Закрепив один из периодических сигналов на оси времени, устремим период T к бесконечности (T ) (рис. 9.3а, б).



Подставляя (9.16) в (9.15), запишем:

j t f(t) f (t) = (9.17) f(t) S()e d.

Функция S() называется спектральной плотностью (спектральной функцией). Иногда ради сокращения формулировок её t T t называют просто спектром.

Т Т Интеграл (9.16) называют прямым преобразованием Фурье (ППФ). Символически ППФ обозначим оператором F.

T а б S() = F{ f (t)} = f (t)e- j tdt. (9.18) Рис. 9. Спектральная плотность S() существует, если имеется абТогда из периодической последовательности остается один солютная сходимость интеграла f (t) dt, т.е. если этот интеграл импульс. При этом 1 = d. Следовательно, расстояние T T между составляющими спектра при T стремится к d, т.е. к имеет конечное значение.

бесконечно малой величине. Кроме того, k1. Таким об- Интеграл (9.17) называют обратным преобразованием ФуT -рье (ОПФ). Обозначают его оператором F. Тогда разом, k1 принимает уже не дискретные значения частоты, крат ные частоте 1-й гармоники, а все значения на оси частот. Полу-1 j t f (t) = F {S()} = (9.19) S()e d.

чаем сплошной, а не линейчатый спектр. Далее, множитель 1 T в (9.14) умножим и разделим на 2. Тогда Интегралы (9.16) и (9.17) называют интегральными преобразова1 2 ниями Фурье.

= = d.

T 2T Следовательно, при T (9.14) можем переписать в виде j t f (t) = ( f (t)e- j tdt)e d. (9.15) - 57 9.3. Сопоставление комплексной амплитуды от частоты, но не зависит от периода повторения. С точностью до и спектральной плотности, а также ряда и интеграла Фурье размерности можно сказать, что C() = при Т = 1с.

S() Сравним теперь размерности. Если обратиться к (9.13), то Сравним формулы (9.13) и (9.16) для комплексной амплиту сразу видно, что C() имеет размерность исходной функции f(t), ды Ck и спектральной плотности. Для этого снова перепиS() т.е. [ C() ]=[f(t)]. Размерность, как следует из формулы S() шем эти формулы:

.

(9.16), определяется соотношением [ ]=[f(t)]с=[ C() ]с, т.е.

S() T / равна размерности сигнала, умноженного на время.

Ck = f (t)e- jk1tdt, S() = f (t)e- jtdt.

Сравним теперь ряд и интеграл Фурье (обратное интегральT -T / ное преобразование Фурье). Для этого перепишем ряд Фурье в Заметим, что Ck рассчитывается для частоты k = k1, т.е.

форме (9.8) и обратное преобразование Фурье (9.17) T / 1 j j kt kt f (t) = Cke, f (t) = S()e d.

можем записать Ck = C(k ) = f (t)e- jktdt. Далее, если вычис- T k = - T / Из сопоставления этих соотношений видно, что в интеграле ляется C(k ) и S(k ) для сигнала одной и той же формы, то знаФурье имеем, как и в ряде Фурье, суммирование составляющих.

чение интеграла с пределами ± для S(k ) и с пределами ±T / Но в интеграле Фурье суммируются составляющие бесконечно для C(k ) будет одним и тем же, поскольку подынтегральные малой амплитуды: dC() = S()d при бесконечном их числе.

функции одинаковы. Значит, можем писать из сопоставления Спектр для непериодического процесса – сплошной, т.е. присутст(9.13) и (9.16):

вуют все составляющие; расстояние между смежными составляющими равно d, т.е. бесконечно малой величине.

C(k ) = S(k ), (9.20) T Таким образом, интеграл Фурье (как и ряд Фурье для периоили, если не привязываться к конкретной частоте: дической функции) формирует непериодический процесс. Но в отличие от ряда Фурье интеграл Фурье формирует этот процесс за 1 счет суммирования бесконечного числа составляющих (сплошной, C() = S(). (9.21) а не дискретный спектр) при бесконечно малой амплитуде каждой T составляющей. При этом, если непериодическая функция будет Спектральная плотность зависит только от вида функS() иметь ту же форму, что и периодическая функция, то имеем соот ции f(t), а комплексная амплитуда C() зависит и от периода по ношение (9.21) для связи между комплексной амплитудой C() и вторения. С ростом периода Т величина C() уменьшается. В таб спектральной плотностью.

S() лицах обычно приводится спектральная плотность. Для наS() хождения C() следует для данного периода повторения разде лить на величину периода Т. Удобство функции в отS() S() личие от функции C() состоит в том, что первая зависит только 59 10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Рассмотрим теперь интеграл ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА S1() = f1(t)e- j tdt, (10.3) 10.1. Связь между интегральными преобразованиями если f (t) = 0 при t < 0, то и f1(t) = 0 при t < 0. Тогда интеграл Фурье и преобразованиями Лапласа (10.3) перепишем в форме одностороннего ППФ:

Между интегральными преобразованиями Фурье и преобра S1() = f1(t)e- j tdt, зованиями Лапласа имеется теснейшая связь. Эти преобразования настолько близки, что иногда их обобщают как одно преобразоваи с учетом (10.1) ние (например, называя оба преобразования трансформациями Фурье). Вместе с тем наглядность спектрального метода исследо S1( ) = f (t)e-(c+ j )tdt. (10.4) вания сигналов и электронных цепей, базирующегося на интегральных преобразованиях Фурье, позволяет по аналогии дать фиСравнивая (10.4) с односторонним прямым преобразованием зическое наглядное толкование и внешне формальным методам Фурье (ППФ) (10.2) относительно функции f (t), замечаем, что в операционного исчисления, опирающегося на интегральные пре результате преобразования получаем функцию S(c + j), где образования Лапласа. Для сопоставления общих подходов напи* шем вначале интегральные соотношения (2.2) и (9.16) для прямых S( j) – спектральная плотность функции f (t). Таким образом, преобразований Фурье и Лапласа:





(10.4) можно переписать в виде S() = f (t)e- j tdt, S( p) = f (t)e- ptdt.

S1( j) = S(c + j) = f (t)e-(c+ j)dt. (10.5) - Введем новую (вспомогательную) функцию Вводя комплексную переменную p = c + j, последнее соотноше f1(t) = f (t)e-ct, (10.1) ние перепишем в форме (2.2), т.е. в форме прямого преобразовагде c – абсцисса сходимости, c 0.

ния Лапласа (ППЛ)*:

Очевидно, что с ростом t при t > 0 имеем уменьшение S ( p) = f (t)e- ptdt = L{f (t)}. (10.6) функции f1(t) по отношению к f (t) по экспоненциальному закону. При достаточно большом c для физических задач можно Значит, отличие ППФ от ППЛ состоит в том, что в последобеспечить сходимость интеграла (9.16) для вспомогательной нем сходимость интеграла обеспечивается за счет введения мнофункции f1(t) (рис. 10.1а и б).

жителя e-ct (c > 0) в исходной функции f (t).

Начало отсчета времени можно всегда отнести к моменту Покажем связь между обратным преобразованием Фурье и возникновения сигнала. Тогда обратным преобразованием Лапласа. Для этого запишем ОПФ ви да (9.17) для функции f1(t) :

S() = f (t)e- j tdt = f (t)e- j tdt. (10.2) - j t f1(t) = S1( j)e d. (10.7) (Здесь учтено условие f (t) = 0 при t < 0.) * Здесь введен аргумент спектральной плотности с множителем j. Это не- принципиально, так как в преобразовании Фурье всегда есть множитель j при.

61 Учитывая (10.1) и (10.5), перепишем (10.7) в форме Умножая числитель и знаменатель выражения (10.9) на j и учитывая, что c = const, dj = d(c + j), перепишем (10.9) в форме j t f (t)e-ct = S(c + j)e d. (10.8) 2 f (t) = S(c + j)e(c+ j)td(c + j). (10.10) 2j Введем новую переменную интегрирования p = c + j. Тогда для пределов интеграла при =, p = c + j ; = -, p = c - j и выражение (10.10) примет вид c+ j pt f (t) = S( p)e dp. (10.11) 2j c- j Формула (10.11) совпадает с выражением (2.2), определяющим обратное преобразование Лапласа. Таким образом, от ОПФ для вспомогательной функции f1(t) переходим к ОПЛ для функции f (t).

a) Видеосигнал f (t) и соответствующая ему Остановимся на физическом толковании связи между обратвспомогательная функция f (t) ным преобразованием Фурье и обратным преобразованием Лапласа.

Для этого обратимся к (10.7). Это соотношение представляет ОПФ для вспомогательной функции f1(t), обладающей повышенной сходимостью относительно исходной функции f (t) (за счет множителя e-ct ).

Переходя от (10.7) к (10.9) путем умножения правой и левой части на ect, приходим к обратному преобразованию Фурье для исходной функции f (t).

б) сигнал f (t) в форме радиоскачка и соответствующая ему При этом амплитуды отдельных составляющих под знаком вспомогательная функция f1(t) интеграла будут равны:

1 Рис. 10.dC() = S(c + j)ectd = S1()ectd. (10.12) 2 Таким образом, если при ППФ вводили вспомогательную Умножим правую и левую часть (10.7) на ect. Это можно сделать, функцию f1(t), обладающую повышенной сходимостью, то тетак как множитель ect не зависит от переменной интегрирования перь при ОПФ вводим расходимость для каждой элементарной. Получим компоненты (рис. 10.2).

f (t) = S(c + j)e(c+ j)td. (10.9) 63 1 Отличие состоит в том, что интегральные преобразования S() d Фурье, используемые при спектральном методе исследования электронных цепей и сигналов, позволяют достичь весьма наглядного представления процессов прохождения сигналов через цепи в частотной области. Использование интегральных преобразований Лапласа, позволяющих, что очень важно, получать результаты непосредственно во временной области, носит несколько формальный характер. Показанное здесь единство обоих этих методов в определенной степени позволяет устранить формальность подхода при использовании операционного исчисления, базирующегося на преобразованиях Лапласа. Достигаемая при этом S() ectd физичность понимания приложения операционного исчисления позволяет избежать возможных ошибок, обусловленных внешней формальностью его процедур. Общность спектрального метода и операционного исчисления позволяет построить единый аппарат исследования процессов в электронных линейных цепях, как это, например, сделано в работе М.И. Конторовича [1].

Рис. 10.10.2. Общность и отличия операционного исчисления и спектрального метода исследования Переход же от (10.9) к (10.11), приводящий исходное солинейных электрических цепей отношение к форме ОПЛ, осуществляется уже за счет замены вещественной переменной интегрирования на комплексную пере10.2.1. Общность изображающей функции менную p = c + j. Но при этом формула (10.11) (т.е. ОПЛ) окаи спектральной плотности сигнала зывается более сильной для решения физических задач, чем фор- мула (9.19), определяющая ОПФ. Преимущества ОПЛ в форме Сравнивая ППФ и ППЛ (формулы (9.18) и (2.1)), замечаем:

(10.11) обеспечивается возможностью привлечения мощных мето- если начало отсчета времени охватывает время существования дов интегрирования линейных дифференциальных уравнений, ба- сигнала так, что при t < 0 имеем f (t) = 0, то при формальной замезирующихся на теории функций комплексного переменного. Это не переменной на j получаем из изображения сигнала спекпозволило построить специальный математический аппарат истральную плотность. Очевидно, это же правило действует и в обследования переходных процессов в линейных системах – операратном направлении. Действительно, сопоставляя ционное исчисление.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.