WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |

uk (t), требуется выполнить ряд громоздких трудоёмких операций Таким образом, с комплексными функциями в (8.9).

A Кроме того, в записи радиосигнала uk (t), полученной после uвых ( p) =. (8.11) p 1+ p таких преобразований, затруднительно в явной форме выделить Полюсы изображающей функции u ( p) лежат в комплексной фазу колебания uk (t). Поэтому такой подход затрудняет анализ вых работы фазовых систем при исследовании прохождения сигналов плоскости в точках p1 = 0, p2 = -1, Q( p) = p(1+ p ), через избирательные цепи. С другой стороны, фазовая микро Q ( p) = (1 + p ) + p = 1+ 2 p, Q ( p) = 1, Q ( p) = 1- 2 = -1.

p= p1 p= pструктура радиосигнала во многих случаях позволяет получить существенно большую информацию, чем ее можно снять в РЭУ, работающих по огибающей радиосигнала. Это привело к широко 39 Воспользовавшись формулой обращения, имеем ляемый только схемой (системой). Для перевода (8.13) в пространство оригиналов воспользуемся формулой обращения (7.7).

F( p ) A A Тогда из (8.13) Q( p) = 1+ p, Q ( p) =, F( p) = 1 и, следовательно, uвых(t) = Q( p)p= ep t1(t) == e0 t e-t 1(t) = A(1- e-t )1(t). (8.12) 1 p =g(t) = e-t 1(t). (8.14) Найденный в (8.12) сигнал как реакция интегрирующей цепи на включение функции, пропорциональной единичному скачку, Пример 4. Определить реакцию интегрирующей цепи на пропорционален переходной функции интегрирующей цепи. Корадиоскачок uвх (t) = Asin(нt + )1(t).

эффициент пропорциональности A.

Решение. Изображающая функция для входного сигнала соТаким образом, uвых (t) = A h(t), где h(t) – переходная функгласно (4.10) имеет вид ция интегрирующей цепи. Заметим, что первый член в (8.12) – выuвх ( p) = A( psin + н cos )( p2 + н )-1.

чет в полюсе p1 = 0, т.е. в полюсе, определяемом из ИФ возбужТогда, учитывая выражение (8.10) для передаточной характеридающего сигнала («вынужденный» полюс). Этот член определяет стики интегрирующей цепи, имеем ИФ для выходного сигнала в ВСПП. Второй член в (8.12) – вычет в полюсе p2 = -1 характевиде ризует ССПП. Здесь p2 – «свободный» полюс, определяемый из A psin + н cos передаточной характеристики (системной функции) K( p). uвых ( p) =, (8.15) p2 + н p +1/ Заметим, что цепь, показанная на рис.8.2, не является идегде «вынужденные» полюсы p1,2 = ± jн, «свободный» полюс альным интегратором. При достаточно большой постоянной времени, когда длительность процесса существенно меньше, на-, p = - блюдается эффект интегрирования (накопления) за счет «памяти» F( p) = А/ ( psin +н cos ),Q( p) = ( p2 +н )( p +1/ ), ёмкости С. В соответствии с теоремой об изображении интеграла 2 Q ( p) = 2p( p +1/ ) + ( p2 +н ) = 3p2 + 2p / +н, функции времени передаточная характеристика идеального интегратора имеет вид kинт.ид.( p) = 1/ p.

Q ( p)p= p1 = 2( jн)2 + 2 jн / = 2 jн( jн +1/ ), Пример 3. Определить импульсную реакцию (импульсную Q ( p)p= p2 = 2(- jн)2 - 2 jн / = -2 jн(- jн +1/ ), характеристику) интегрирующей цепи.

2 2 2 2.

Q ( p)p= p3 = 3(-1/ )2 - 2/ +н = н +1/ Решение. Импульсная характеристика – это реакция цепи на -импульс. Изображение -импульса f ( p) =1 (формула (2.8.)).

Тогда в соответствии с формулой обращения (7.7) получим выраПередаточная характеристика интегрирующей цепи жение для искомой реакции интегрирующей цепи на радиоскачок:

K( p) = (1+ p )-1 определена в (8.10). Тогда для импульсной реак A jн sin + н cos - jн sin + н cos uвых(t) = exp jнt + exp(- jнt) + ции интегрирующей цепи имеем ИФ.

2 jн( jн +1/) - 2 jн(- jн +1/) g( p) = K ( p) f ( p) = (1+ p )-1, (8.13) (-1/)sin + н cos + exp(-t /) полюс которой p1 = -1. Как следует из (8.13), при нахождении 1(t) 2 н +1/ импульсной реакции имеем только «свободные» полюсы. Реакция схемы, т.е. g(t) представляет собой свободный процесс, опреде 41 или Данная схема широко используется либо как разделительная по постоянной составляющей (например, как «неискажающая» пере A uвых (t) = exp j( t + ) + ходная цепь между каскадами), либо для квазидифференцирован 2 j( j +1/ ) н ния (цепь укорочения сигнала).

При выполнении эквивалентных неравенств + exp[- j( t + )]+ (8.16) н - 2 j(- j +1/ ) 1 н << R, <<, (8.17) низшC низш (-1/ )sin + cos н + exp(-t / ) 1(t) 2 где низш – самая низкочастотная составляющая спектра сигнала, +1/ н обеспечивается неискаженная передача сигнала. В этом случае имеем цепь с большой постоянной времени в смысле выполнения Заметим, что в формуле (8.16) первые два члена (вычеты в последнего из неравенств (8.17).

«вынужденных» полюсах p1,2 = ± jн ) определяют ВСПП, третий Условием дифференцирования для данной схемы являются член (вычет в «свободном» полюсе p3 = -1 ) определяет ССПП.

неравенства, обратные неравенствам (8.17).

Выражение (8.16) можно также переписать в таком виде 1 >> R, >>. (8.18) вC в uвых(t) = A K( j )exp j( t + ) н н 2 j В этом смысле говорят, что дифференцирующая цепь – это цепь с малой постоянной времени. Область дифференцирования - K(- j )exp[- j( t + )]+ н н сосредоточена в окрестности низких частот < в; область неис2 j каженной передачи – начиная от некоторой частоты низш с вы-sin + cos н (8.16а) + exp(-t / ) 1(t), ходом в область высоких частот. При дифференцировании под2 1+ н черкиваются высокочастотные составляющие спектра. Идеальный дифференциатор имеет передаточную характеристику где, учтено, что из (8.10) следует Kдиф.ид.( p) = Ap (теорема об изображении производной).

K(± j ) = K(p)p=± jн =(1+ p)-.

н p=± jн Поскольку в обоих случаях (дифференцирования и неискаженной передачи сигнала) схема рис. 8.3 остается той же, то она описывается одной математической моделью (одним дифференПример 5. Определить импульсную реакцию и переходную хациальным уравнением). А это значит, что передаточная характерактеристику цепи (рис. 8.3).



ристика K(p), определяемая схемой рис.8.3, не зависит от выполС нения неравенств (8.24) и (8.25) и переходный процесс для обоих + – случаев рассчитывается по одним и тем же формулам.

Решение. Найдем передаточную характеристику K(p) для uвх(t) схемы рис. 8.3. Эта схема представляет потенциометрический деR литель. Поэтому uвых(t) R R p p K( p) = = = =. (8.19) R + zc( p) R +1/ pC 1+ p p +1/ Рис. 8. 43 Изображающая функция для импульсной реакции подключенного к емкости, имеем минус относительно второго вывода*.

p p g( p) = f ( p)K( p) =1 =. (8.20) Для переходной характеристики, представляющей реакцию 1+ p p +1/ схемы на положительный единичный скачок, имеем режим заряда Изображающая функция для переходной характеристики емкости C при формировании выходного сигнала, снимаемого с резистора R. При этом начальное значение выходного сигнала 1 h(p)= fск(p)K(p)= K(p)=. (8.21) равно "+1" (весь входной сигнал при t=0 приложен к резистору R, p p+1/ т.к. полагаем, что uc(0)=0, и не зависит от постоянной времени цеВ обоих случаях (формулы (8.20) и (8.21)) заменитель дропи ). Полярность выходного экспоненциального импульса h(t) бей один и тот же, т.е. Q( p) = p +1/, корень его (полюс ИФ) положительна и соответствует режиму заряда емкости C.

,. Так как полюс ИФ сигнала на выходе схемы p1 = -1/ Q ( p) =Пример 6. Найти реакцию переходной цепи рис. 8.3 на находится как полюс передаточной характеристики (т.е. «свободвключение радиоскачка uвх (t) = Asin(нt + )1(t).

ный» полюс), то и импульсная реакция у(t), и переходная характеРешение. Изображающая функция для входного сигнала из ристика h(t) в данном случае определяют свободный процесс (4.10) имеет вид (ССПП). Для нахождения оригиналов для ИФ ((8.20) и (8.21)) восpsin +н cos.

uвх(p) = A пользуемся формулой обращения (7.7), согласно которой сразу p2 +н получаем:

g(t) = -1 e-t 1(t), (8.22) Тогда, учитывая (8.19) для передаточной характеристики данной схемы изображающая функция для сигнала на выходе цепи может h(t) = e-t 1(t). (8.23) быть представлена в виде:

Заметим, что и импульсная реакция g(t), и переходная хаp sin + н cos p рактеристика h(t) для схемы рис. 8.3 определяются одной и той же uвых ( p) = A, (8.24) экспоненциально-затухающей функцией, которая затухает тем p2 + н p +1/ быстрее, чем меньше постоянная времени цепи. Но импульсная для которой вынужденные полюса p1,2 = ± jн, «свободный» пореакция имеет обратный знак относительно знака воздействия и люс p3 = -1/.

величина ее в начальный момент времени тем больше, чем меньше постоянная времени. Физически это понятно. Так как от действия -сигнала (для математической модели длительность его бесконечно малая, амплитуда бесконечно большая, а из условия нормировки площадь равна единице, т.е. энергия его конечна) емкость зарядится до тем большего значения напряжения, чем * В формуле (8.22), описывающей реакцию цепи на -импульс, определена меньше постоянная времени цепи; знаки заряда на емкости при только регулярная составляющая сигнала. Здесь имеется в виду, что отклик цепи этом показаны на рис. 8.3. После окончания -импульса емкость на импульс, возмущение рассматриваем при подходе к нулю временной оси разряжается на сопротивление R; при этом на выводе резистора, справа, т.е. от момента t=0+. В этом случае считаем, что -импульс не охватывается, оставаясь у начала координат слева. При охвате -импульса в импульсную реакцию вошел бы и -сигнал [11,30].

45 L C r Знаменатель ИФ Q( p) = ( p2 + н )( p +1/ ), а числитель F( p) = A( psin + нсos ) p.

Производная знаменателя 2 Q ( p) = 2 p( p + ) + ( p2 + ) = 3p2 + 2 p / +.

i(t) н н Так как знаменатель Q( p), а следовательно, и полюсы ИФ выходe(t) ного сигнала совпадают с примером 4, то совпадают и значения Q ( p), вычисленные для соответствующих полюсов, а именно:

Q ( p) = 2 j ( j +1/ ), Q ( p) = -2 j (- j +1/ ), p= p н н p= p н н 1 Рис. 8. Q ( p) = + (1/ )2.

p= p н Решение. Импульсную реакцию и переходную характериТогда, воспользовавшись формулой обращения (7.7), полустику тока в последовательном колебательном контуре ищем как чаем аналогично решению примера 4 выражение для искомого реакцию контура на включение источника э.д.с. в форме -имсигнала на выходе схемы рис. 8.3:

пульса или единичного скачка. Исходя из закона Ома, в оператор j н uвых (t) = A exp j( t + ) + ной форме запишем:

н 2 j( j +1/ ) н i ( p) = e( p)/ zk ( p) = e( p) yk ( p), (8.27) - j н + exp[- j( t + )]+ (8.25) где zk ( p) = pL + + r, yk ( p) =1/ zk ( p).

н - 2 j(- j +1/ ) pC н sin - 1 p н + exp(-t / ) Тогда i ( p) = e( p) = e( p), (8.28) 1(t).

2 1+ L( p2 + 2p + ) p н pL + + r pC где коэффициент затухания = r / 2L, резонансная частота Или, подобно получению соотношения (8.16 а), имеем:

p =(LC)-1/2. Изображениями возбуждающих сигналов при нахож 1 uвых(t) = A K( j )exp j( t + ) - K(- j )exp[- j( t + )]+ н н н н дении импульсной реакции и переходной характеристики соответ2 j 2 j (8.26) ственно будут e ( p) =1, eск(p) =1/ p, подставляя которые в (8.28), sin - cos н + exp(-t / ) 1(t), получим ИФ для импульсной реакции и переходной характеgi (t) 1+ н ристики hi (t ) колебательного контура где в соответствии с (8.18) ± jн gi(p) = p[L(p2 +2p+2 )] -1, hi(p) =[L(p2 +2p+2 )] -1. (8.29) p p K(± jн) = K( p) =.





p=± j ± jн +1/ Пример 7. Найти импульсную реакцию и переходную хаПолюсами обоих ИФ будут p1,2 = - ± j0, 0 – частота собрактеристику для тока в последовательном колебательном контуре 2 ственных колебаний 0 = ( - )1/ 2. Тогда p1,2 являются полюсар (рис. 8.4).

47 ми системной функции yk ( p) и поэтому определяют свободные Умножение на p в пространстве изображений означает нахождение производной в пространстве оригиналов.

колебания системы.

Пример 8. Найти импульсную реакцию и переходную хаЗнаменатели Q( p) изображающих функций в (8.29) одинарактеристику для напряжения на параллельном контуре при его ковы:

возбуждении источником тока (рис. 8.1).

Q( p) = L( p2 + 2p + ).

р Решение. Импульсную реакцию и переходную характери Производная Q ( p) = 2L( p +). Тогда стику для напряжения на параллельном колебательном контуре ищем как реакцию на включение источника тока в форме -им Q ( p)p= p1 = 2L(- + j0 +) = 2 j0L, пульса или одиночного скачка соответственно.

Q ( p)p= p2 = -2 j0L.

Согласно закону Ома в операторной форме запишем uк ( p) = i ( p)zк ( p), (8.32) Подставляя найденные соотношения в формулу обращения (7.7) и где операторное сопротивление контура определяется соzк ( p) учитывая (8.29), получим искомые выражения для импульсной реакции и переходной характеристики последовательного колеба- отношением (8.2); изображения сигналов i ( p) =1, iск ( p) =1/ p..

тельного контура:

Тогда в соответствии с (8.32) ИФ для импульсной реакции и F(p ) - + j0 j0)t - - j0 j0)t переходной характеристики параллельного колебательного контуi gi(t)= e(-+ + e(-- = Q(pi ep t = ) 2 j0L -2 j0L ра запишем в следующем виде:

i=i 1 p + 2 1 p + (8.33) gи ( p) = =, e-t 2 0 C p2 + 2p + C ( p + )2 += [-(ej t -e- j0t)+ j0(ej t +e- j0t)]= (8.30) p 2 j0L 1 p +2 1 p +hи(p) = =. (8.34) e-t pC p2 +2p+2 pC (p +)2 += (-sin0t +0 cos0t) 1(t), p 0L Для ИФ gu ( p) имеем полюсы p1,2 = - ± j0, для ИФ hu( p) полюсы p1,2 = - ± j0 и p3 = 0. Для ИФ, определяемых формулами 1 1 e- t hi (t) = e(- + j0 )t + e(- - j0 )t = sin0t 1(t).

p + 2 j0L - 2 j0L 0L (8.33) и (8.34), примем функцию F( p) =, в gu ( p) знаменаC (8.31) тель Q ( p) = p2 + 2p +, в hu( p) знаменатель р Из полученных соотношений (8.30) и (8.31) следует, что Qск ( p) = p( p2 + 2 p + ), которые совпадают с соответствующими dhi (t) p gi (t) =, т.е. между импульсной реакцией и переходной хаdt функциями предыдущего примера. Тогда рактеристикой имеем ту же связь, что и между возбуждающими Q ( p) = 2( p + ), Qск ( p) = 3p2 + 4p +, p d1(t) сигналами, так как (t) =. Это находит свое отражение в изо что дает Q ( p) = 2 j0, Q ( p) = -2 j0.

p= p1 p= pdt бражениях этих функций тем, что они отличаются множителем Аналогично Qск ( p) = 2 j0(- + j0), Qск ( p) = -2 j0(- - j0), L{ (t)}=1, L{1(t)}=1 p pL{1(t)}= L{ (t)}.

p= p1 p= p Qск ( p) =.

p= p3 p 49 Воспользовавшись формулой обращения (7.7) найдем искомые 9.1. Ряд Фурье импульсную и переходную характеристики параллельного колебаРассмотрим периодическую функцию тельного контура:

f (t) = f (t + nT ), (9.1) - + j0 + 2 + j0 )t - - j0 + 2 j0 )t gи (t) = e(- + e(-- (t)= где T – наименьший период, n – любое целое число, включая нуль.

2 j0C - 2 j0C (8.35) Ряд Фурье в тригонометрической форме для такой функции имеет e- t вид = ( sin0t +0 cos0t)1(t), 0C 2k 2k f (t) = c0 + cos + bk sin ), (9.2) (a T k 1 - + j0 + 2 j0 )t - - j0 + 2 j0 )t T k =h (t) = e(-+ + e(-+ + (t).

и C j0(- + j0) -2 j0(- - j0) 2 где среднее значение за период (постоянная составляющая) равно p T Последнее соотношение может быть преобразовано к более удобc0 = f (t)dt, (9.3) T ному виду:

T 2 1 hи (t) = 2 -e- t +0 sin0t + 2 cos0t. (8.36) 1(t) коэффициенты ak и bk определяются формулами C p T T 2 Из рассмотренных выше примеров следует вывод: поиск 2 2k 2 2k ak = f (t)cos tdt, bk = f (t)sin tdt, (9.4) T T оригиналов по заданной изображающей функции резко усложняT T T T - ется, если необходимо осуществлять переход для функции, содер2 жащей комплексно-сопряженные полюсы, наличие которых свиЗаметим, что из (9.4): ak = a-k, bk = -b-k. Формула (9.2) для ряда детельствует о колебательности в реакции системы на возбуждающий сигнал.

Фурье путем простых преобразований может быть приведена к виду 9. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ 2k f (t)= c0 + cos t - k, (9.5) ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ c T k k =ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ bk 2 ЧЕРЕЗ ИССЛЕДУЕМЫЙ ТРАКТ ck = ak + bk, k = arctg, (9.6) ak Важное значение спектрального метода в радиоэлектронике откуда следует, что ck = c-k, k = --k.

обусловило широкое освещение его в научной, инженерной и учебно-методической литературе. Основополагающей в этом наФормулы (9.5) и (9.6) получили, полагая в (9.2) правлении явилась работа А.А. Харкевича [26], в которой доста ak = ck cosk, bk = ck sink, (9.7) точно полно изложен материал по спектральному методу и его приложениях в радиоэлектронике.

51 Ряд Фурье (9.5) можно представить в более компактной по- Обозначим частоту = 1, где 1 – частота первой гармоказательной форме T 2 k нической составляющей. Её период совпадает с периодом повтоj t T f (t) = e, (9.8) k C 2 k рения T исходной функции. Тогда частота k1 = =k, где k – k =T которая получена применением к ряду (9.5) представления косичастота k-й гармонической составляющей сигнала. Запись сигнала нусоидальной функции по формуле Эйлера, согласно которой кав одной из форм ряда Фурье иногда называют спектральным ждый член суммы расписывается в виде представлением сигнала.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.