WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |

f (t ) = t 1(t ) - 2 n! k At Соответственно нижний предел определенных интегралов в (4.17) f (t ) = [e( + jн )t + j + e( - jн )t - j]1(t ). (4.20) может быть взят равным нулю. Исходя из очевидности присутствия множителя 1(t), в соотношениях (4.17) его иногда опускают. В 25 Исходя из теорем смещения и изображения суммы сигналов, 5. ИЗОБРАЖАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ получаем из (4.19) и (4.20) искомое изображение секулярного сигПрименим к правой и левой частям дифференциального нала (4.16):

уравнения (1.7) прямое преобразование Лапласа.

µ n m j Ak! e e- j d y d x. (4.21) f ( p) = + L aµ = L b. (5.1) [ p - ( + jн )]k +1 [ p - ( - jн )]k + µ =0 dtµ =0 dt Приведем последнее соотношение к общему знаменателю.

Будем для упрощения рассуждений считать, что исследуеПри этом учтем, что мая система имеет нулевые начальные условия. При нулевых на{[( p - ) - jн][( p - ) + jн]}k +1 = [( p - )2 + н ]k +1. (4.22) чальных условиях, свидетельствующих об отсутствии начальных запасов энергии в исследуемой системе, выражения для изображений производных функций (3.15) переходят к более простому Тогда изображающая функция f ( p) из (4.21) преобразуется к виду виду (3.16), т.к. начальное значение функции и ее производных вплоть до n -1 порядка равны нулю т.е.

j [(p Ak! - ) + jн]k+1e +[(p - ) - jн]k+1e- j n-( )(0) = f (p) = = f (0) = 0, f (0) = 0,..., f.

[(p - )2 +н ]k+ Применяя теорему об изображении производной, а также [(p вспомогательные теоремы об изображении суммы и умножении Ak! - ) + jн]k+1(cos + jsin) +[(p - ) - jн]k+1(cos - jsin) = = функции на постоянную величину, сразу получим [(p - )2 +н ]k+ n m {[(p (5.2) Ak! - ) + jн]k+1 +[(p - ) - jн]k+1}cos a pµ y( p) = b p x( p), µ = + µ = =[(p - )2 +н ]k+ где x(p) и y(p) – изображения входного сигнала и отклика систе j{[(p - ) + jн]k+1 -[(p - ) - jн]k+1}sin мы.

+.

(4.23) [(p - )2 +н ]k+1 Из выражения (5.2) изображение отклика системы найдем как При k = 0 выражение (4.23) принимает форму y( p) = K( p)x( p), (5.3) ( p - )cos - н sin f ( p) = A, m ( p - )2 + н b p =т.е. при k = 0 приходим от (4.23) к формуле (4.15) изображения K( p) =, (5.4) n для функции (4.14), которую получаем из оригинала (4.16), полаa pµ µ гая в нем k = 0.

µ =где дробно-рациональная функция K(p) называется передаточной функцией системы (или системной функцией). Из сопоставления (5.4) с исходным дифференциальным уравнением (формула (1.7)) следует, что передаточная функция целиком определяется коэф 27 фициентами исходного дифференциального уравнения. Иными Решая уравнение (5.1) относительно y( p), имеем словами, между K(p) и дифференциальным уравнением существу y( p) = F ( p). (5.7) ет единственная связь. Откуда следует, что исследуемая физичеn ская система может быть определена как через дифференциальное a pµ µ µ =уравнение, так и через передаточную функцию K(p). Схематически связь между входным сигналом x(t) и откликом системы y(t) Обозначим множитель при F ( p) через K1( p) через переход в пространство изображений и обратно показана на рис. 5.1.

K1( p) =. (5.8) n a pµ µ x(t) y(t) µ =K( p) -1 Тогда (5.7) примет вид:

L L y( p) = K1( p)F ( p). (5.9) x( p) y( p) В важном случае, если на входе системы действует только Рис. 5.один сигнал x(t), а не сумма сигнала и его производных с весовыТаким образом, применение преобразование Лапласа к прами коэффициентами b, то, как следует из (1.7) и (5.2), полагаем вой и левой части исходного дифференциального уравнения переb = 0 для всех = 1,m. Не нарушая общности рассуждений, моводит его в пространство изображений. Алгебраическое уравнение жем принять b0 = 1, и тогда F(t) = x(t). При этом передаточная (5.2) называется изображающим уравнением.

функция (характеристика системы K( p) = K1( p) ) и определяется Полагая, что входной сигнал x(t) известен, правую часть уравнения (1.7) можно представить как функцию F(t), которую только левой частью дифференциального уравнения (1.7), котоиногда называют вынуждающей функцией.

рой соответствует формула (5.8). Будем рассматривать этот слуТогда чай. Такой подход несколько упрощает нахождение результата, не µ n требует изменения методики нахождения решения при переходе к d y L = F ( p), (5.5) более сложному возмущению F(t), содержащему производные dtµ µ = x(t). Действительно наличие производных x(t) влияет на структуру числителя передаточной характеристики K1( p) и не отражается на где F ( p) – изображение вынуждающей функции. Изображающее ее полюсах. Трудоемкость же нахождения решения y(t) и характер уравнение можно теперь переписать в форме поведения ее определяется полюсами ее изображения и, следоваn тельно, полюсами K(p) (а также полюсами x( p), формула (5.3)).

(aµ pµ)y( p) = F ( p). (5.6) Независимо от того, имеются ли начальные запасы энергии µ =или отсутствуют, применение прямого преобразования Лапласа к правой и левой частям уравнения (1.7) позволяет алгебраизировать обыкновенное дифференциальное уравнение. При этом правая и левая части уравнения (1.7) представлены в пространстве 29 изображений полиномами целых степеней переменной p. Высшая Применяя к (6.1) прямое преобразование Лапласа и учитывая, что степень полинома в левой части равна порядку дифференциальноL{ (t)} = 1, получим го уравнения. Наличие начальных условий лишь приведет к появn лению дополнительных членов в правом полиноме, степень кото- ( pµ )g( p) = 1, (6.2) a µ µ =рых ниже порядка дифференциального уравнения. После приведения подобных членов получаем полиномы целых степеней в прагде g( p) – изображение импульсной характеристики системы.



вой и левой части изображающего уравнения для исходного дифОтсюда ференциального уравнения вида (1.7). Таким образом, наличие начальных условий лишь изменит величину коэффициентов при це- g( p) = = K ( p). (6.3) n лых степенях p.

a pµ µ Для большинства практических задач радиоэлектроники пеµ=редаточная характеристика K(p) является дробно-рациональной Из (6.3) следует, что с точностью до размерности изображефункцией (ДРФ), т.е. представляет отношение полиномов целых ние импульсной реакции системы равно передаточной характеристепеней p (формула (5.4)). Будем рассматривать класс сигналов, стике системы.

для которых изображение x( p) также ДРФ. Тогда и изображение Для нахождения импульсной реакции применим к (6.3) обy(p) как произведение дробно-рациональных функций также буратное преобразование Лапласа. Тогда дет ДРФ.

g(t) = L-1{g( p)} = L-1{K( p)}. (6.4) Из этого уравнения следует простая связь между импульс6. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ной реакцией и передаточной функцией системы, а именно: импульсная реакция системы с точностью до размерности определяВременные характеристики системы (радиоэлектронной схемы) – это отклик системы на типовые формы сигналов. Они одно- ется ОПЛ передаточной характеристики ее*.

значно связаны с ее передаточной характеристикой, а значит, и с Так как система задана передаточной характеристикой K(p) дифференциальным уравнением системы. Наиболее широко ис(или дифференциальным уравнением, однозначно связанным с пользуются импульсная реакция и переходная характеристика K(p)), то и импульсная реакция однозначно определяет систему.

системы.

Иными словами, импульсная реакция является функцией времени, определяющей систему во временной области, как и передаточная 6.1. Импульсная реакция системы характеристика в области комплексной переменной p или дифференциальное уравнение, связывающее вход и выход системы.

Импульсная реакция системы – это отклик системы на возбуждающий сигнал вида -функции. Импульсная реакция имеет ряд синонимов: импульсная реакция, импульсная характеристика, память системы. В физике аналогом импульсной реакции является функция Грина. Будем обозначать импульсную реакцию g(t). То* Из (6.1) и (6.2), учитывая вид ППЛ (формула (2.1)), следует, что размерность гда для дифференциального уравнения вида (1.7) единицы в правой части (6.2), как изображения -функции, равна [ (t)]c. Соверµ n d g шенно так же из (6.3) размерность импульсной реакции.

[g(p)]= [ (t)] c [K(p)] aµ µ = (t ). (6.1) Здесь квадратные скобки означают размерность соответствующей величины dt µ =(функции).

31 6.2. Переходная характеристика системы ным уравнением, или передаточной характеристикой, или импульсной реакцией или переходной характеристикой (рис 6.1). Все эти Переходная характеристика (переходная функция) системы определения однозначно связаны между собой.

– это отклик системы на единичный скачок. Будем обозначать пеСистема определяется:

реходную характеристику через h(t). Обращаясь к дифференциили дифференциальным альному уравнению (1.7), имеем уравнением или x(t) y(t) µ n d h K ( p), h(t), g(t) aµ µ = 1(t ), (6.5) dt µ =Рис. 6.µ n n d h L aµ µ = pµ h(p) =, (6.6) a p µ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО µ =µ =0 dt УРАВНЕНИЯ так как L{1(t)} = ; h(p) – изображение переходной характери- 7.1. Применение операционного исчисления p для интегрирования линейных дифференциальных уравнений стики. Здесь и дальше символ означает «откуда следует».

Из формулы (6.6) получаем:

Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению 1 1 K ( p) (5.4), находим искомый интеграл дифференциального уравнения h( p) = =. (6.7) n исследуемой системы:

p p a pµ µ µ = y(t) = L-1{y( p)} = L-1{K( p)x( p)}, (7.1) Таким образом, между изображением переходной характеристики h( p) и передаточной характеристики системы K( p) или существует простая связь, определяемая соотношением (6.7). Пеc+ j c+ j репишем (6.7) в виде 1 y(t) = y( p)eptdp = K( p)x(p)eptdp c+ j. (7.2) 1 K( p) 2j 2j h(t) = L-1{h ( p)}= eptdp, (6.8) c- j c- j 2j p c- j и, следовательно, Интеграл (7.2) равен сумме вычетов в полюсах подынте гральной функции:

K( p) h(t) = L-1. (6.9) y( t ) = res( p ) p, (7.3) Поскольку переходная характеристика системы однозначно где res ( p ) – вычет в н -м полюсе подынтегральной функции;

связана с ее передаточной характеристикой, то она определяет как = 1,r ; r – число всех полюсов изображающей функции; черта и импульсная реакция поведение системы физическую систему во означает целые значения на интервале 1…r.

временной области. То есть система определена: дифференциаль 33 Как следует из (5.3), K( p) – дробно-рациональная функция где Q (p) – производная знаменателя по p ( (Q ( p) = dQ / dp) ; p – переменной p, т.е. отношение двух полиномов целых степеней p. корни знаменателя Q( p). Будем считать, что имеем r корней, т.е.

В достаточно общем случае представления сигнала суммой секу = 1,r. Перейдем от (7.4) к оригиналу y(t). Для этого учтем, что лярных функций (см. формулу (4.16)) изображение сигнала также 1 p есть изображение единичного скачка. Тогда, принимая во представляется суммой ДРФ вида (4.21), что также дает результивнимание теорему смещения (формула (3.7)) рующую ДРФ изображения сигнала. Общность секулярного сигнала понимается в том смысле, что все другие рассмотренные выf ( p) = f (p p ) f (t)e± p t1(t), ше сигналы (кроме (t)-функции) могут быть получены из (4.16), имеем полагая равными нулю параметры k,,н и по отдельности p t f ( p) = e 1(t). (7.6) или совместно. То же касается их ИФ, которые также могут быть p - p получены из (4.21).





y( p) Тогда изображение отклика системы, являющееся соy( p) Формула разложения для содержит сумму дробей вида гласно (5.3) произведением K( p) и x( p), также будет ДРФ.

Для дробно-рациональной функции вычеты могут быть най с постоянными коэффициентами F( p ) / Q ( p). Тогда, p= p p - p дены применением формулы обращения, по которой осуществляв соответствии с теоремой об умножении функции на постоянную ется переход из пространства изображений в пространство оригивеличину, получим:

налов. Получим эту формулу.

r y(t) = (7.7) QF( p ) e p t1(t).

7.2. Формула обращения для изображения, ( p) p= p =определяемого ДРФ Эта формула, которую называют формулой обращения, Будем рассматривать случаи ДРФ с простыми полюсами.

обеспечивает переход от изображения к оригиналу в важном слуy( p) Запишем в таком виде:

чае простых полюсов изображающей функции K(p). Для ДРФ F( p) y( p) =. (7.4) y( p), имеющей кратные полюсы, подход остается тем же, но Q( p) формулы получаются более сложными, а значит, и менее наглядF( p) и Q( p) – полиномы целых степеней переменных p.

ными [3,5].

Корни полинома знаменателя Q( p), определяемые из соотношеy( p) ния Q( p) = 0, являются полюсами ДРФ. В соответствии с 8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ оговоренным выше условием ради упрощения рассмотрения буДЛЯ ДРФ С ПРОСТЫМИ ПОЛЮСАМИ дем считать, что F(p) имеет полюсы 1-го порядка, т.е. простые y( p) (некратные) полюсы. Тогда дробь может быть представлена Пример 1. Найти напряжение на параллельном контуре суммой простых дробей:

uk (t) при включении на него источника тока i(t) = A01(t)sin(нt + ) F ( p ) y( p) =, (7.5) (рис. 8.1). Примем нулевые начальные условия.

Q ( p) p - p p = p 35 Решение. Воспользовавшись законом Ома в операторной Подставляя (8.2) и (8.3) в (8.1), получим форме, получим psin + cos 1 p + н uk ( p) = A0. (8.4) 2 uk ( p ) = Kui( p )i( p ) = z( p )i( p ), (8.1) C p2 + p2 + 2p + н p где Kui ( p) – передаточная характеристика данной схемы. На входе Полюсы функции uk ( p ) ищем как корни знаменателя Q( p), действует ток, на выходе получаем напряжение, что соответствует полагая Q( p) = 0.

размерности передаточной ха2 Q( p) = ( p2 + )( p2 + 2p + ) = 0. (8.5) рактеристики [Kui( p)] = [В]/[А] н p = Ом, т.е. передаточная харакОтсюда p1,2 находим из условия ( p2 + ) = 0 ; p3,4 находим, полан теристика имеет размерность гая i(t) L сопротивления: отсюда ввели ( p2 + 2p + ) = 0.

ui индекс для K( p). Таким p C uk (t) Тогда полюсами изображающей функции uk ( p) будут комплексобразом, Kui( p) = z( p), что в R данном случае видно из схемы но-сопряженные пары (рис. 8.1).

p1,2 = ± j, p3,4 = - ± j0, (8.6) н Найдем z( p). Имеем в где – частота собственных колебаний.

Рис. 8.1 контуре две параллельные вет2 0 = -. (8.7) ви: индуктивную с операторp ным сопротивлением zL( p) = pL + r и емкостную zc( p) = 1/ pC.

Производная знаменателя Q( p) выражения (8.4) по переменной p Отсюда даёт 2 Q ( p) = 2 p( p2 + 2p + ) + (2 p + 2 )( p2 + ). (8.8) ( pL + r ) p н zLzc pC 1 p + z( p ) = = =, (8.2) Подставляя в (8.8) корни знаменателя, получим:

zL + zc pL + r + 1 C p2 + 2 p + p 2 Q ( p) = 2 jн[( jн)2 + 2jн + 2 ] = 2 jн( - н + 2jн), pC p= p1 p p 2 2 где – коэффициент затухания контура, = r / 2L ; – резо p Q ( p) = -2 jн[(- jн)2 - 2jн + ] = -2 jн ( -н - 2jн), p= p2 p p нансная частота колебаний, = 1 LC. Нужно определить uk (t).

Q ( p) =[2(- + j0) + 2][(- + j0)2 + ] = p p= p3 н Найдем изображающую функцию для включения радиоскачка то2 = 2 j0( -02 - 2j0 + ).

н ка на колебательный контур:

Или, учитывая (8.7):

2 2 i ( p) = L{A01(t)sin(нt + )}.

Q ( p) = 2 j0[ + - - 2j0 + ] = p= p3 p н 2 2 В соответствии с (4.9) и (4.10) = 2 j0[2 - 2j0 + ( - )].

н p psin +н cos i ( p) = A0. (8.3) Аналогично для полюса p4 :

p2 + н 2 2 Q ( p) = -2 j0[2 + 2j0 + ( - )].

p= p4 н p 37 Числитель F( p) определим из (8.4) как му использованию фазовых методов и средств при реализации современных РЭУ.

AF( p) = ( psin + cos )( p + 2).

Изложенный в учебном пособии метод, упрощающий ОПЛ, н C позволяет резко снизить трудоёмкость получения результата при Решение для uk (t) в соответствии с формулой обращения (7.7) буисследовании колебательных процессов и относительно легко выдет иметь вид делить в явной форме фазу исследуемого радиосигнала.

F( p t uk (t) = Q( p)p ) e 1(t), Пример 2. Включение постоянного напряжения на интегриp= p =рующую цепь (рис. 8.2).

или, подставляя значения Q ( p), получаем p= p R F(p1) F(p2) uk(t)= ejнt + e-jнt + 2j н(2 2 +2 j ) -2j (2 2 j ) - - -p н н н p н н uвых uвх С F(p3) + e(-+j 0)t + 2j0(2 -02 -2 j0 +2) н Рис. 8.F(p4) (8.9) + e(--j0)t 1(t).

-2j0(2 -02 +2 j0 +2) н zc( p) Решение. uвых ( p) = A1(t), K( p) =, zc( p) + R В этом решении первые два члена определяют вынужден1 1 ную составляющую переходного процесса (ВСПП) (это вычеты в K( p) = =, (8.10) pC 1 + p «вынужденных» полюсах p1,2 = ± jн ); последние два члена опреR + pC деляют свободную составляющую переходного процесса (ССПП) где постоянная времени = RC.

(это вычеты в «свободных» полюсах p3,4 = - ± j0 ). Найденный A uвх ( p) = L{uвх (t)}= L{A1(t)}=, в форме (8.9) результат в принципе даёт искомое решение. Однако p для того чтобы в явной форме записать вещественный сигнал uвых ( p) = uвх ( p) K( p).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.