WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |

2.1. Исходные положения ti +При этом f ( )d = 0, Операционное исчисление представляет мощный аппарат f(t) ti -для решения линейных дифференциальных уравнений. При этом Mгде ti – аргумент функищется образ дифференциального уравнения в пространстве изображений. Упрощение получения решения получаем за счет алции f (t), в которой она гебраизации ДУ при переходе в пространство изображений. Это претерпевает разрыв медостигается применением прямого преобразования Лапласа (ППЛ) ры нуль (т.е. разрыв с к правой и левой части дифференциального уравнения (1.7). КроMнулевой площадью) [29].

t ме того, операционное исчисление позволяет существенно снизить трудоёмкость нахождения членов решения ДУ, определяемых на- Рис. 2.чальными условиями (начальными запасами энергии в энергонакопительных элементах схемы) [1, 3, 29, 30].

11 2.3. Обратное преобразование Лапласа d1(t ) d21(t ) (t ) =, 2(t ) = и т.д.

dt dtОбратный переход от изображения к оригиналу осуществляБольшое применение имеет дельта-функция (t) (рис. 2.2).

ется по формуле c+ j pt f (t) = f ( p)e dp, (2.2) (t) 2j 1(t) c- j которую символически записывают как f (t) = L-1{ f ( p)}, где L-1 – оператор обратного интегрального преобразования Лапласа. Формулы (2.1) и (2.2) иногда называют формулами обращения Лапласа, а сами операции L1 и L-1 – обращениями оригинала или изо0 t бражения соответственно. Иногда (особенно в старых руково- 0 t дствах по операционному исчислению) используют вместо прямоРис. 2.го преобразования Лапласа преобразование Карсона, которое отличается от преобразования по Лапласу множителем p, т.е. изоФункция бражения по Карсону fk ( p) определим как 0 при t < 0, (t) = (2.4) при t = 0, fk ( p) = p f (t)e- ptdt = pL{ f (t)}.

0 при t > 0.

+ + Тогда переход от изображения по Карсону к оригиналу осуществ (2.5) ляется применением обратного преобразования на основе инте ( )d = ( )d = 1.

- грала Бромвича.

c+ j 1 fk ( p) pt f (t) = e dp.

Условие (2.5) – условие нормировки -функции.

2j p c- j t В настоящее время преимущественно используется операционное 1(t) = ( )d. (2.6) исчисление на основе преобразований Лапласа.

2.4. Изображения основных сингулярных функций Принимая во внимание (2.4) и (2.5), можем записать для любого, включая нуль:

+ + 2.4.1. Изображение -функции f (t) (t - )dt = f (t) (t - )dt = f ( ) (t - )dt = f ( ). (2.7) - - Иногда физический сигнал формально требуется предстаВыражение (2.7) определяет так называемое "фильтрующее" свойвить разрывными (сингулярными) функциями более высокого поство -функции. Интеграл вида (2.7) дает значение подынтерядка, чем 1(t), гральной функции, входящей множителем к -функции для зна 13 чения аргумента, при котором -функция обращается в. Изо- 3.1. Теорема запаздывания бражение -функции, учитывая (2.7), определяется как Найдем изображение f ( p) запаздывающей функции f ( p) = (t)e- ptdt = (t)dt =1.

f(t) = f (t -), >0 (рис. 3.1):

Здесь будем считать, что нижний предел охватывает -функцию.

Таким образом, f ( p) = f (t - )e- ptdt. (3.1) f ( p) = 1. (2.8) f (t) Но в интеграле (3.1) подын2.4.2. Изображение единичного скачка тегральная функция равна нулю при t <, так как для Найдем изображение единичного скачка, применив к функтаких t имеем ции 1(t) прямое преобразование Лапласа f (t) = f (t - ) = 0. В силу fск ( p) = 1(t)e- ptdt = e- ptdt. этого равенство (3.1) приво t дится к виду Заменим переменную интегрирования Рис. 3.t = x = -, f ( p) = f (t - )e- ptdt. (3.2) - pt = x, при t = 0 x = 0.

Произведем замену переменной интегрирования t1 = t -, при - pdt = dx, t = имеем t1 = 0, при t =, t1 =, dt1 = dt, 1 1 - Тогда fск ( p) = - dx = - ex = 0 +.

ex f ( p) = f (t1)e- p(t1+ )dt1 = e- p f (t1)e- pt1dt1 = e- p f ( p).

p p 0 p Таким образом, Таким образом, fск ( p) =. (2.9) p f ( p) = e- p f ( p). (3.3) 3. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ 3.2. Теорема смещения в пространстве изображений ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (теорема транспозиции) Теоремы операционного исчисления (для изображений и Дано*: f (t) f ( p).

оригиналов функций) помимо их непосредственного приложения, соответствующего названию теоремы, позволяют получить изоНайдем изображение f( p ) для функции вида f (t ) = f (t )e± jt.

бражения сигналов, описываемых более сложными функциями, через изображения простых сигналов. Так, например, воспользовавшись изображением единичного скачка, можно получить изображение экспоненциального импульса или синусоидального сиг- * Здесь и далее знак означает соответствие, т.е. запись ознаf (t) f ( p) нала.

чает, что для функции f (t) соответствует изображение.

f ( p) 15 Иными словами, нужно найти связь между изображением для интеграла Лапласа, немедленно вытекают следующие следстисходной функции вещественной переменной и изображением вия в отношении преобразования Лапласа:

А. Теорема об изображении суммы функций вещественной этой функции, умноженной на e± jt. Воспользуемся прямым переменной.

преобразованием Лапласа:

Изображение суммы функций вещественной переменной равно сумме изображений её составляющих. Пусть f( p) = f(t )e- ptdt = f (t )e-( p j)tdt. (3.4) 0 0 f (t) = fk (t), (3.8) k Сравнивая (3.4) с формулой (2.1) прямого преобразования Лапласа, замечаем, что после выполнения операции интегрирова- где символ означает сумму по всем k составляющим сигнала.

k ния по t в (3.4) получаем изображение f ( p j) с такой же функТогда, применяя прямое преобразование Лапласа к (3.8), получим:



циональной зависимостью от p j, какая имела место относи тельно переменной p для изображения f ( p), получаемого в реf ( p) = f (t)e- ptdt = fk (t)]e- ptdt = fk (t)e- ptdt] = fk ( p), [ [ kk k 00 зультате выполнения ППЛ над исходной функцией f (t). То есть т.е. если f (t) = fk (t), то и изображение f( p) = f ( p j). (3.5) k Таким образом, умножение функции времени на множитель f ( p) = fk ( p). (3.9) k e± jt смещает начало координат независимой переменной p на Здесь в силу линейности преобразования Лапласа (функция комплексной плоскости на величину ± j вдоль мнимой оси.

f (t) входит под знак интеграла в 1-й степени) использовано поСовершенно аналогично для ложение: интеграл суммы функций равен сумме интегралов от ±t f (t ) = f (t )e этих функций.

имеем Б. Теорема об умножении оригинала и изображения на поf ( p) = f ( p ). (3.6) стоянный множитель.

То есть в этом случае (при умножении функции в пространстве Если f (t) f ( p), то af (t) af ( p). (3.10) e± t оригиналов на ) имеем смещение координат вдоль вещестЗдесь a – постоянная. Эта теорема не требует специальных венной оси на величину ±. Наконец, если исходную функцию ±pt доказательств. Просто при выполнении прямого преобразования ± p t умножить на e, т.е. f (t) = f (t)e, где p – комплексная p Лапласа постоянный множитель выносится за знак интеграла.

величина, то имеем связь между изображениями f ( p) = f ( p p ). (3.7) 3.4. Теорема об изображении производной функции времени p Пусть f (t) f ( p). Найдем изображение производной ори3.3. Теоремы, вытекающие из линейных свойств гинала f1( p) так, что преобразования Лапласа df (t ) Из линейных свойств определенного интеграла, остающихся f1( p).

dt справедливыми и для несобственных интегралов, в частности и 17 Иными словами, найдем связь между изображением оригинала и Таким образом, производной функции вещественной переменной t. Применив f1( p) = pf ( p) - f (0). (3.12) прямое преобразование Лапласа (2.1) Если рассматривать первую производную функции перемен df (t) ной t как исходную функцию, а вторую как производную первой f1( p) = e- ptdt dt производной df1(t) d f (t) и интегрируя по частям, получим:

, f2 (t) = = dt dt f1( p) = f (t)e- pt - f (t)de- pt = f (t)e- pt + p f (t)e- ptdt. (3.11) то изображение второй производной через изображение первой 0 производной согласно формуле (3.12) запишется в виде Вещественная часть комплексной переменной p, равная f2( p) = pf1( p) - f (0), (3.13) Re{p} = c, называется абсциссой сходимости. Величина с выбираdf (t) где.

f (t) = ется так, чтобы на комплексной плоскости прямая p = c + j, где dt c = const, параллельная мнимой оси, лежала правее полюсов изоАналогично получаем рекуррентную формулу для изобрабражающей функции f ( p ) жения n -й производной через изображение n -1 производной (n-1) (рис. 3.2).

fn( p) = pfn-1( p) - f (0), (3.14) p=c+j j Звездочкой обозначены поn -d f (t ) с ( n -1) люса изображающей функгде.

f = n -d t ции; 0 – ось вещественных значений комплексной Пользуясь формулой (3.13) или более общей рекуррентной * переменной p. Можно по- формулой (3.14), можно легко последовательно, принимая за ос* казать, что указанное выше нову (3.12), написать развёрнутые формулы для изображения n -й * * 0 условие обеспечивает схо- производной:

* димость прямого преобраf1( p) = pf ( p) - f (0), зования Лапласа. Обычно f2( p) = p2 f ( p) - pf (0) - f (0) = f1( p) - f (0), (для устойчивых систем) f3( p) = pf2( p) - f (0) = полюса изображающей функции f (p) лежат в ле = p3 f ( p) - p2 f (0) - pf (0) - f (0), (3.15) Рис. 3.вой полуплоскости (это яв ляется признаком затухания колебаний, возникающих в системе).

Здесь – величины функции f (t) и ее проf (0), f (0), f (0)...

В этом случае для абсциссы сходимости достаточно, чтобы выизводных при значении независимой переменной t = 0. Отсюда полнялось условие Re{p}= c > 0, тогда первый член в (3.11) будет одно из существенных достоинств операционного исчисления со стоит в том, что при решении дифференциальных уравнений сразу иметь вид f (t)e- pt = 0 - f (0) учитываются начальные условия. Упрощение записей получаем, если считать начальные условия равными нулю (это также важ и, следовательно, f1( p) = p f (t )e- ptdt - f (0), но f (t)e-ptdt = f (p).

0 19 ный для практики, но все же частный случай работы системы)*. 4. ИЗОБРАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ ТИПОВЫХ ФОРМ Тогда из (3.15) имеем для нулевых начальных условий простое соотношение Воспользуемся приведёнными выше теоремами для нахождения изображений некоторых важных функций, определяющих fn( p) = pn f ( p). (3.16) сигналы, часто встречающихся при исследовании радиоэлектронных схем. При этом будем исходить из полученного ранее изо3.5. Теорема об изображении интеграла функции бражения единичного скачка 1(t) f ( p) = 1/ p.

вещественной переменной ск 4.1. Изображение экспоненциального импульса Пусть f (t) f ( p).

Найдём изображение интеграла:

Определим экспоненциальный импульс в форме t t fe(t ) = Ae 1(t ), (4.1) F(t) = f ( )d. (3.17) где – вещественная постоянная, которая может принимать как Нужно определить: F ( p) = L{F(t)}.

положительные, так и отрицательные значения. При = 0 прихоДифференцируя первообразную функцию (3.17), имеем дим к рассмотренной ранее в п. 2.4.2 функции скачка, где для dF(t) = f (t). (3.18) f (t ) A и, воспользовавшись теоремой смещения в проe p dt =Отсюда, в соответствии с теоремой об изображении производной, странстве изображений, запишем:





можем записать:

fe( p) = A. (4.2) f ( p) = pF ( p) - F(0). (3.19) p - Но из (3.17) имеем F(0)=0, так как значение определённого интеграла с равными пределами равно нулю. Значит, f ( p) = pF ( p).

4.2. Изображение функции включения Тогда синусоидального сигнала f ( p) F ( p) =. (3.20) Пусть дан сигнал, определяемый функцией:

p f (t) = Acos(нt + )1(t), (4.3) Таким образом, изображение интеграла исходной функции равно ее изображению, поделенному на p.

т.е. сигнал задан синусоидой, усеченной за счет множителя 1(t) для области t < 0. Функцию (4.3), по аналогии с единичным скачком, будем называть функцией радиоскачка [5]. Воспользовавшись формулой Эйлера, перепишем (4.3) в виде e j(нt + ) e- j(нt + ) f (t ) = A + 1(t ). (4.4) * Наличие нулевых начальных условий, вообще говоря, не является принци2 пиальным для последующего рассмотрения метода упрощающего ОПЛ. Они влияют лишь на значения коэффициентов при целых степенях переменной p, получаемых при их приведении для p одинаковых степеней и которые, таким образом, зависят от начальных условий (см. формулы (3.15)).

21 Применив теорему смещения в частотной области, получим Подставляя вместо в формулу (4.8) для изображения косинусоидальной функции значения - /2, получим изображение L{A1(t )e± jнt}= A, (4.5) p jн синусоидальной функции в форме (4.10).

e± j L{A1(t )e± j(нt + )}= A. (4.6) 4.3. Изображение колебательного процесса p jн с экспоненциальной огибающей Воспользовавшись теоремой об изображении суммы, из (4.4) получим выражение Сигнал для этого случая представим в форме j t A e e- j f (t ) = Ae sin(нt + )1(t ). (4.12) f ( p) = L{ f (t )} = +. (4.7) 2 p - jн p + jн Здесь формула (4.12) определяет затухающую или нарасИногда удобно изображение усеченной синусоиды предстатающую (в зависимости от того, < 0 или > 0) синусоидальную вить в ином, более компактном, виде. Для этого произведём трифункцию, для которой огибающая – Ae t1(t). Формула (4.12), виальные преобразования с выражением (4.7):

( описывающая данный сигнал, отличается от выражения (4.9) A p + jн )(cos + j sin ) + ( p - jн )(cos - j sin ) f ( p) = = множителем e t.

p2 + н Тогда, воспользовавшись теоремой смещения, получаем из p cos - н sin + j(н cos + p sin ) + p cos - н sin выражения (4.10) для изображения функции (4.12) p2 + н A ( p - )sin + н cos.

= f ( p) = L{ f (t)} = A. (4.13) 2 j(н cos + p sin ) ( p - )2 + н p2 + н Для функции вида t Окончательно получим f (t ) = Ae cos(нt + )1(t ), (4.14) p cos -н sin сопоставляя (4.14) с (4.3) из изображения (4.8) и применяя теореf ( p) = A. (4.8) p2 +н му смещения, аналогично получим ( p - )cos -н sin Аналогично найдем изображение для функции f ( p) = A. (4.15) j(нt+ ) ( p - )2 +н e - e- j(нt+ ) f (t) = Asin(нt + )1(t), f (t) = A 1(t), (4.9) 2 j 4.4. Изображение сигнала, psin + н cos f ( p) = L{ f (t)} = A. (4.10) определяемого секулярной функцией p2 + н Формула (4.10), очевидно может быть получена из (4.8) (и Запишем сигнал в наиболее общей форме:

k наоборот, формула (4.8) из (4.10), если учесть, что косинусоидаль f (t ) = At e t cos(нt + )1(t ), (4.16) ный и синусоидальный сигналы отличаются сдвигом по фазе на где время входит вне знака косинуса (секулярная функция [19]), / 2 (сравни формулы (4.3) и (4.9)). Тогда, например, k = 0, 1, 2,..., т.е. k – целое, положительное, включая нуль.

Прежде чем найти изображение сигнала (4.16) найдем изоAsin(нt + )1(t) = Acos(нt + - )1(t). (4.11) бражение вспомогательных функций. Для этого напомним, что 23 дальнейшем не будем оговаривать усечение функции на отрицаизображение -функции (единичного импульса) f ( p) = 1 (фортельной полуоси времени, которое имеем, так как интеграл в прямула (2.8)). Изображение единичного скачка представим, как в мом преобразовании Лапласа односторонний.

формуле (2.9):

Изображения для функции в (4.17) запишем исходя из тео f ( p) = L{1(t)} =.

ремы об изображении интеграла p t 1( t ) L{ f-2( t )} = f-1( p ) =, Заметим, что можно осуществить переход от (2.8) к (2.9) на pоснове теоремы об изображении интеграла функции времени, t2 учитывая интегральную связь между оригиналами в виде (2.5):

1( t ) L{ f-2( t )} = f-2( p ) =, t 2 p1(t) = ( )d.

… tn Найдем функции 1(t) L{ f-n(t)} = f-n ( p) =. (4.18) n! tt pn+f-1(t) = 1( )d = = t1(t), d - Из (4.18) получаем изображение для функции целых степеней (t), tt t t2 усеченных во времени f-2(t) = f-1( )d = 1( )d = = 1(t), d - - 0 1(t), p tt t t 2 tf-3(t ) = f-2( )d = d = 1(t ) 1( )d = d =, t 1( t ), 2 2 - - 0 p 2! t t2 1( t ), tn p f-n(t ) = 1( )d = 1(t ). (4.17)...

n! - 3! t3 1( t ), Следует иметь в виду, что решение интегралов в выражении p(4.17) будет справедливо для t > 0. Это следует из того, что в по… дынтегральной функции имеем 1(t) = 0 при t < 0. Таким образом, n! tn 1( t ). (4.19) всюду в решениях (4.17) нужно вводить множитель 1(t), чтобы pn+показать, что решения справедливы для t > 0.

Теперь воспользуемся соответствующими теоремами для Например, того, чтобы от (4.19) перейти к искомому изображению для ориt2 tn гинала (4.16). Для этого представим (4.16) в форме, f-2(t) = 1(t),..., f-n(t) = 1(t).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.