WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 |

y точность определения параметров АФЧ колебательного процесса Спектр такого сигнала на основе использования АС. Иными словами, АС может рассмат 1 риваться лишь как одна из асимптотических моделей представлеS ()= F{fg(t)}= A0 / 2 + f j( -0) j( + 0) = ния реального физического колебательного процесса, обеспечи вающих однозначное определение важных информационных пара= S1()+ S2(). (12.49) метров радиосигнала – амплитуды, фазы, частоты. Корректность Здесь для упрощения записи опущены сингулярные составопределения этих параметров зависит от степени взаимного заполляющие спектра вида A0 ( 0), обусловленные стационарной зания спектров сигналов f1(t) и f2(t) в смежные области, т.е. от составляющей сигнала A0 / 2cos(0t), для которой АС и КС дают степени широкополосности исходного физического сигнала f (t), один и тот же спектр A02( -0), не влияющий на сопоставление при этом f (t)= f1(t)+ f2(t). Здесь в качестве примера найдена ошибспектров этих сигналов, проводимое ниже. При строгом рассмот рении спектра радиоскачок должен быть представлен в виде ка S() для спектра радиоскачка. Однако полученные выводы (10.2.2).

относятся к любым колебательным процессам, так как, в принциA0 Aпе, взаимное «заползание» спектров комплексно-сопряженных соf (t) = A01(t)cos(0t) = (sgnt)cos(0t)+ cos(0t).

2 ставляющих этих процессов в смежные области существует для 119 любых радиосигналов. Чем более широкополосный процесс рас- ных параметров сигнала, единственным образом определяемых из сматривается, тем более существенной ошибки следует ожидать решения дифференциального уравнения системы. Действительно, при определении АФЧ радиосигнала через АС.

из математики известно, что если pi, pi – пара i-ых комплексносопряженных корней любой кратности характеристического мно12.4. Новый подход в решении проблемы гочлена ДУС, то решение строится для одного из этих двух кор«Амплитуда, фаза, частота» ней. При этом в решении коэффициенты при нахождении огибающей будут комплексными (что определит начальную фазу коКомплексный сигнал, применение которого позволяет снять лебаний). Тогда, принимая оператор Re или Im к данному решепроблему АФЧ, базируется на эффективном для использования нию, полученному в комплексной форме, находим действительколебательных процессов методе обратного преобразования Лапные вектор-решения, соответствующие данной паре комплексноласа. Этот метод обоснован в работах [5–7, 12]. Применительно к сопряженных корней характеристического уравнения. Отметим, дробно-рациональной изображающей функции с простыми (нечто ИФ, единственность соответствия которой своему сигналу кратными) полюсами он был рассмотрен в разделе 11.

обеспечивает однозначное физическое определение АФЧ, отноВ основе предлагаемой модели КС лежат следующие важсится либо к заданному колебательному процессу, либо к решеные положения [22, 34]:

нию ДУС, получаемому в пространстве изображений.

1) единственность соответствия изображающей функции Итак, отпадает необходимость поиска и обоснования каких(ИФ) (спектра) своему радиосигналу, что и позволяет обеспечить либо искусственных построений сопряженной функции f€(t), т.е.

единственность определения его АФЧ;

2) удовлетворение закону причинности (каузальности), яв- нахождения иной модели КС вместо предлагаемой в [5–7, 12], выляющемуся фундаментальным законом физики; текающей естественным образом из точного решения линейного 3) форма огибающей не должна влиять на фазу колебаний, ДУС. Очевидно, решение ДУС не зависит от степени широкопоесли огибающая, по крайней мере, может быть описана суперпози- лосности радиосигнала. Следовательно, при таком подходе устраняется асимптотика, свойственная другим моделям КС, в том чисцией функций вида As (t - )µs es (t- s )1(t - ), где s – номер члена s s ле и для АС, которая приводит к дефекту определения АФЧ коле- суммы составляющих сигнала; s 0; µs – целое положительное баний.

число, включая нуль; s – любое вещественное число; As = const;

Положение 2-е в силу фундаментальности закона каузально4) спектр вещественной огибающей А(t) исходного физичести не может являться предметом дискуссии. Отметим лишь, что ского сигнала и при транспозиции спектра вверх или вниз по часрешение ДУС всегда удовлетворяет свойству каузальности.

тоте должен сохранять свою комплексно-сопряженную симметТретье положение соответствует характеристическому свойрию относительно частоты смещения. Это исключает усечение ству инвариантности огибающей относительно фазы радиосигнала спектра сигнала, а тем более замещение отсеченной части спектра, (например, фаза усеченной синусоиды не должна зависеть от мосопряженной ей, что, однако, имеем в спектре АС;

мента усечения; АС даёт другой результат). В этом смысле можно 5) обеспечивается локальное определение АФЧ радиосигнаговорить об огибающей семейства кривых (синусоид) при произлов, что на практике отвечает показаниям соответствующих извольной начальной фазе.

мерителей.

Четвертое положение следует из теоремы о транспозиции Положение 1-е удовлетворяет важному и основному требоспектра, согласно которой для функции f(t)=F(t)exp(jot) спектр ее ванию однозначного определения АФЧ колебательного процесса, которые соответствуют физическому адеквату этих информатив 121 > Очевидно, что для секулярного сигнала имеем единственS () = SА( -0), где o < 0. Для АС смещение спектра может f ную ИФ данного вида и, соответственно, единственный математипроизводиться только в область положительных частот, т.е. >0.

ческий спектр, состоящий из двух областей для положительных и Положение 5-е следует из того, что реальные сигналы фиотрицательный частот. При s(t)=0 имеем fs(t)=Fs(t). В этом слунитны во времени, и поэтому определение АФЧ радиосигнала чае у ИФ один вещественный полюс ps=s, и приведенные формудолжно обеспечиваться на локальном интервале времени. Локальлы для изображения и спектра сигнала вырождаются к виду ность определения АФЧ обеспечивается решением ДУС.



fs ( p) = Asµs!( p - ps )-µs -1, S ()= Asms!( -as + j)-ms-1. Изображающая Аналитический сигнал, строго говоря, не удовлетворяет ни f одному из этих положений.

функция и спектр КС могут быть получены из ИФ и спектра огиПри исследовании и разработке систем важно получить не бающей использованием теоремы смещения в пространстве изотолько верное описание АФЧ входного сигнала, но и верное ребражений (теорема о транспозиции спектра). При этом в пространшение дифференциального уравнения системы, что обеспечивает стве оригиналов огибающую F(t) умножаем на функцию exp[j(st оптимизацию динамического режима работы ее.

+ s)]. ИФ и спектр КС получаются также и из ИФ (спектра) исРассмотрим предложеные в [5–7, 12] подход и метод, позвоходного вещественного секулярного сигнала. Они имеют вид ляющие решить данную проблему для общего случая радиоимf ( p) = L{ f (t)} = Asµs!( p - ps )-µs -1 exp j, s s s пульсных сигналов произвольной формы, которые в аналитиче ской записи часто можно представить линейной комбинацией сеS () = Asµs![-s + j( -s )]-µs -1 exp j.

f s кулярных функций. Отдельный секулярный сигнал запишем в Отсюда строим КС в форме fs (t) = Astµs est1(t)exp j(st +s ).

форме fs (t) = Astµs est cos(st + )1(t), µs – целое неотрицательное, s Оба сомножителя КС exp(js(t)) и Fs(t) инвариантны. Каждый из s, s, s – любые величины, в том числе и нуль. Для секулярных параметров сигнала имеет ясную физическую трактовку: смещефункций время входит вне знака косинусоидальной функции.

ние полюса вдоль мнимой оси определяется частотой колебаВажно, что колебательные решения линейных ДУС получаем такний s, кратность полюса и смещение s вдоль вещественной оси же в форме секулярных функций. Здесь в соответствии с концеп– формой огибающей, множитель exp(js) – начальной фазой коцией, принятой для КС (фаза сигнала не зависит от огибающей), лебаний. При µs = 1 и s = 0 приходим к радиоскачку. Здесь отсутмножитель Fs (t) = Astµs est1(t) определяет огибающую, функция ствуют парадоксальные эффекты, связанные с асимптотикой АС.

s(t)= st + s – фазу сигнала. ИФ для данного сигнала Единственность соответствия ИФ данному колебательному сигнаj s лу исключает произвол в выборе огибающей и фазы, обеспечивая µs! e e- j s fs ( p) = L{ f (t)} = As +, адекватность физическому содержанию их.

( p - ps )µs +1 ( p - p*)µs + s Изображением секулярного вещественного сигнала является где ps, p* = s ± js. В этом случае имеем кратные полюса ИФ. дробно-рациональная функция, которую представим в форме s F(p) F(p) При µs=0 переходим к ИФ с простыми полюсами. Спектр исходg(p)= =, (12.54) q/ Q(p) ni r ni ного сигнала получим заменой в ИФ p на j. Тогда [(p-pi)(p-p*)] (p-pi) i j s i=1 i=q+µs! e e- j s S () = F{ f (t)} = As +.

f где q/2 – число пар комплексно-сопряжённых полюсов (КСП), r–q [ j( -s ) -s ]µs +1 [ j( + s ) -s ]µs + – число вещественных полюсов, r – общее число полюсов, ni – кратность i-го полюса.

123 Тогда КС в пространстве оригиналов находим по формуле: Таким образом, проблема корректного определения АФЧ ni q / 2 -1 ni r -через КС увязывается с существенно упрощающим методом ис-s-1 pit -s-1 pit g(t) = следования динамики радиоэлектронных систем, которые работаis is C tni e + C tni e, (12.55) i=1 s=0 i=q+1 s=0 ют с колебательными сигналами. Проблема АФЧ решается без искусственного построения КС. Он определяется однозначно из где g(t) = Re{g(t)}.

ИФ сигнала, которая, в частности, при исследовании систем являЗдесь в первой двойной сумме (ДВС) внешнее суммировается отображением ДУС в пространство изображений. Предлоние осуществляется по одному из каждой пары КСП (для опредеженный подход в решении проблемы АФЧ обеспечивает жесткую лённости берём полюса в верхней полуплоскости комплексного привязку этих параметров к форме колебательного процесса.

переменного). Вторая ДВС соответствует r–q вещественным полюсам. Для вещественных коэффициентов Cis второй ДВС имеем 12.5. Представление АС через КС для случая формулу Cis = [s!(ni - s -1)!]-1Ds {( p - pi )ni g( p)}p= pi, Dp – символ p произвольной амплитудно-фазовой модуляции дифференцирования по p. Для первой ДВС формулу для комВ известной литературе проводится сопоставление аналитиплексных коэффициентов Cis представим в виде ческого и комплексного сигналов для относительно простых виni + h - (-1)h s дов амплитудной модуляции (функция скачка, прямоугольный h Cis = импульс). Однако на практике построения современных РЭУ моp V ( p) (n -1- s)!(s - h)! (2 ji )ni Ds-h F( p), (12.56) +h i p= pi h=0 гут иметь место сложные виды модуляции радиосигналов, когда одновременно имеем как амплитудную, так и фазовую модуляцию. Исходя из материалов п. 2.3. можно наметить новый путь ni + h - – биномиальные коэффициенты, задачи сопоставления комплексного и аналитического сигналов, h охватывающий и такой, на первый взгляд сложный случай сигна* V(p) = Q(p)[(p- pi)(p- pi )]-ni. Для часто встречающегося случая полов с произвольной амплитудно-фазовой модуляцией. Для решелюсов первой кратности (ni=1) формула обращения (12.55) пере- ния этой задачи вернемся к соотношениям (12.26) и (12.42), опреходит в простое соотношение (11.12), позволяющее выполнить деляющих сигналы с амплитудно-фазовой модуляцией и связь ОПЛ для колебательных процессов непосредственно зачастую без между спектрами комплексно-сопряженных составляющих их:





громоздких преобразований.

f (t) = A(t) cosФ(t) = f (t) + f (t), 1 В формуле (12.55) первая двойная сумма определяет колебательный процесс через КС. Это обеспечивает однозначное опреf (t) = A(t) exp jФ(t), f (t) = f *(t), 1 2 деление АФЧ колебательного процесса. Упрощение ОПЛ достига и если S1() = F{f (t)}, S2() = F{f (t)}, 1 ется прежде всего на основе того, что вместо нахождения вычетов то имеем в каждом из пары КСП изображающей функции ищем вычет отно *(S2() = S1 ).

сительного одного из них. В пространстве оригиналов это соответствует замене каждой i-й действительной функции её ком- При этом S () = S1() + S2(), f плексным представлением. Кроме того, к упрощению при переходе к оригиналу приводит отбрасывание в знаменателе ИФ квадратного трехчлена, обуславливающего наличие тех КСП её, вычет относительно одного из которых ищется.

125 Тогда для АС можно записать Если учесть (12.42), то последнее соотношение может быть преобразовано к виду 1 jt jt f (t) = ()e d = ()e d + a f S S f (t) = - j ()sin[t +1()]d. (12.62) a S 0 Таким образом получено выражение для дефекта АС в слуjt + ()e d (12.57) S чае произвольной амплитудно-фазовой модуляции сигнала. Как и следовало ожидать, в определении мнимой составляющей АС имеет место погрешность, поскольку вещественная составляющая Выражение (12.57) перепишем в форме АС задана исходным вещественным сигналом.

1 jt jt f (t) = ()e d - ()e d + a S1 S - (12.58) jt + ()e d.

S Но 1-й интеграл в (12.58) дает КС jt f (t) = ()e d, (12.59) k S который однозначно определяется приложением формулы обращения (12.57 и 11.12) и позволяет определить параметры АФЧ радиосигнала, соответствующие их физическому адеквату. Таким образом f (t) = f (t) + f (t). (12.60) a k a Дефект аналитического сигнала определяется в выражении (12.60) через f (t). Этот член может быть найден путем тривиa альных преобразований последних двух интегралов в соотношении (12.58). Тогда имеем jt * 2 j S2()e - S2()e- jt f (t) = d = a 2 j j ()sin[t + ()]d, (12.61) 2 S где () = arg S2().

127 Заключение Список принятых сокращений Изложен и обоснован метод исследования динамических ре- АМ – амплитудная модуляция жимов колебательных цепей, существенно упрощающий обратное АС – аналитический сигнал преобразование Лапласа. Этот метод позволяет получить решения АФЧ – амплитуда, фаза, частота дифференциального уравнения цепи без упрощающих допущений. АЧХ – амплитудно-частотная характеристика Это особенно важно при исследовании и разработке современных ВСПП – вынужденная составляющая переходного процесса РЭУ, использующих тонкую фазовую структуру радиосигнала. ДВС – двойная сумма Особенностью данного метода является получение решения в фор- ДРФ – дробно-рациональная функция ме комплексного сигнала, однозначно определяющего информа- ДУ – дифференциальное уравнение тивные параметры – амплитуду, фазу, частоту сигнала. В этом КА – комплексная амплитуда смысле такой комплексный сигнал конкурирует с нашедшим ши- ИФ – изображающая функция рокое распространение при исследовании цепей аналитическим КС – комплексный сигнал сигналом. Рассмотрена и дана физическая интерпретация погреш- КСП – комплексно-сопряженные полюсы ности определения АФЧ через АС, включая особый случай произ- ММО – медленно меняющаяся огибающая вольной амплитудно-фазовой модуляции сигнала. ОПЛ – обратное преобразование Лапласа ОПФ – обратное преобразование Фурье ПГ – преобразование Гимберга ППЛ – прямое преобразование Лапласа ППР – переходные процессы ППФ – прямое преобразование Фурье РЭУ – радиоэлектронные устройства ССПП – свободная составляющая переходного процесса УМ – угловая модуляция ФЧХ – фазочастотная характеристика 129 Литература 15. Вакман Д.Е., Вайнштейн Л.А. Амплитуда, фаза, частота – основные понятия теории колебаний // УФН. 1977. Т. 123. Вып. 4.

1. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в С. 657–682.

электрических цепях: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и 16. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории доп. М.: Сов. радио, 1975. 320 с.

колебаний и волн. М.: Наука, 1983. 288 с.

2. Евтянов С.И. Переходные процессы в приемно-усили17. Тихонов В.И. Один способ определения огибающей квазительных схемах. М.: Связьиздат, 1948. 210 с.

гар-монических флюктуаций // Радиотехника и электроника. 1957.

3. Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж.Л. Переходные процессы в лиТ. 2. С. 502–505.

нейных схемах с сосредоточенными постоянными / Пер. с англ.;

18. Варакин Л.Е., Гусель А.С. Сравнение аналитического и эксПод ред. Г.И. Атабекова и Я.З. Ципкина: 2-е изд. М.: Физматгиз, поненциального сигналов // Радиотехника. 1975. Т. 30. № 1. С. 17–20.

1961. 551 с.

19. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки... Заметки о некото4. Гоноровский И.С. Радиосигналы и переходные явления в рых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи.

радиоцепях. М.: Связьиздат, 1954. 326 с.

2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1984. 256 с.

5. Золотарев И.Д. Нестационарные процессы в резонансных 20. Комплексный сигнал и переходные процессы в линейных усилителях фазово-импульсных измерительных систем / Отв. ред.

колебательных системах: Метод. указ. к курс. и дипломн. проектир.

К.Б. Карандеев. Новосибирск: Наука СО АН СССР, 1969. 176 с.

для спец. 0636 / Сост. И.Д. Золотарев. Омск: ОмПИ, 1983. 35 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.