WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

f (t) = A01(t)exp j(0t + ) = f (t) + j f (t), (12.16) y y y чтобы определяемые согласно (12.7)–(12.9) информативные параметры – амплитуда, фаза, частота – соответствовали физическому для которого, согласно (12.7) и (12.8), для огибающей и фазы имеадеквату этих параметров в исходном радиосигнале f (t). ем соотношения A(t) = fy (t) = A01(t) и Ф(t) =0t +. (12.17) 12.2. Аналитический сигнал Однако найденный для f (t) аналитический сигнал приводит к y Доминантное место в современной радиоэлектронике завоедругим результатам. Действительно, применив к f (t) ПГ, полуy вал комплексный аналитический сигнал, введенный Д. Габором в чим [36]:

1946 г. [13]. Для аналитического сигнала.

fау (t) = A0{sin(0t +0) + si(0t)sin(0t +0) f (t) = f (t) + j fн(t) (12.10) a - ci(0t)cos(0t + )}, (12.18) функция f (t ), сопряженная исходному сигналу, определена н преобразованием Гильберта (ПГ):

где si(0t) и ci(0t) – интегральный синус и интегральный коси 1 f ( ) нус.

fн(t) = H{ f (t)} = - v.p. d, (12.11) - t Введем комплексный сопряженный сигнал fay (t), для когде H – оператор Гильберта, v.p. – символ главного, по Коши, зна чения интеграла. В соответствии с (12.7) и (12.8) огибающая и фаторого fау (t) = Im{ f (t)}. Из (12.18) находим ay за из АС определены....

fа (t) = A0 exp j(0t +0)1+ r (0t)1(t) = fу (t) N (0t), (12.19) sici Н у Aa (t) = f (t) + fн2(t), Фa (t) = arctg fн (t)/ f (t). (12.12) где rsici (0t) – радиус-вектор, описывающий на комплексной Тогда (12.10) можно переписать в форме плоскости sici-спираль:

.

.

fa (t) = Aa (t)exp jФa (t). (12.13) r (0t) = si(0t) + jci(0t), sici При этом исходный сигнал находим, выполняя к (12.10) операцию..

.

N (0t) = 1+ r (0t) = NН у (0t)exp j (0t).

Н у sici f (t) = Re{ fa (t)}. (12.14) 109 Мультипликативная функция NН у (0t) определяет ошибку рактер отклонения fa (t) = Re{f (t)} от физического исходного сигa нала не зависит от близости 0 к нулевой частоте, т.е. не зависит сопряженного сигнала f€Н у (t) при представлении радиоскачка анаот степени широкополосности сигнала. Данный неочевидный ре литическим сигналом. График поведения функции NН у (0t) дан зультат, однако, легче поддается интерпретации, если учесть, что на рис. 12.1. чем более узкополосный сигнал имеем, тем большей будет разность между частотами срезаемого при АС участка забегания спектра в область отрицательных частот и частотой 0. В свою очередь это приводит к более высоким частотам биений вектора АС и соответственно к меньшему интервалу установления огибающей и фазы сигнала в реальном масштабе времени. Энергия забегающей области спектра (с ростом узкополосности сигнала) становится меньше, но и интервал времени, на котором происхо.

дит установление fау (t), также, соответственно, уменьшается.

Наблюдаем явление, похожее на явление Гиббса в теории спектров [36]. Однако поведение АС описывается более сложной функциональной зависимостью, чем в случае явления Гиббса.

Здесь спектр сигнала, затекающий из положительной области часРис. 12.тот, отсекается на левой полуоси частот и замещается комплексносопряженным участком спектра, «забегающего» из отрицательной Из рис. 12.1 наглядно следует затухающий характер колебаобласти частот.

ний сопряженной функции fау (t), что приводит к соответствуюРассмотрим АС для усеченной синусоиды (12.16) на отрицательной полуоси времени. Если учесть, что при t < 0 f (t) 0 и, y щему затухающему колебательному характеру представления огибающей и фазы радиоскачка через АС. Очевидно, для радио- кроме того, ci(- |0t |) = ci |0t |, si(- |0t |) = - - si |0t |, то из импульса с прямоугольной огибающей такое же представление (12.12) и (12.18) находим:

(след) получим и после момента выключения сигнала. Для радио- f (t) = 0 + j fау (t), (12.20) а скачка при t имеем NH у (0t) 1, (0t) 0. В точке 0t = Aмодуль функции NН у (0t) и соответственно модуль сигнала fау (t) = [cos(0t +0t)ci(|0t |) -sin(0t + t)si(|0t |)]1(-t). (12.21) fay (t), а значит, и огибающая АС А0(t) обращаются в бесконечОтсюда для огибающей и фазы АС при t < 0 получим, согласно определениям (12.12):

ность. Отметим, что комплексная функция ошибки NН у (0t) за € Aа (t) = f€Ну (t)1(-t), Фа (t) = sgn fН (t), (12.22) висит от безразмерного времени 0t, т.е. не является функцией частоты. Иными словами, текущий дефект АС определяется относительным временем t T0, T0 = 2 0, отсчитываемым от момента включения (выключения) радиоскачка. Отсюда сразу следует: ха 111 нечность при t = 0. Более того, при определении АФЧ через АС 1 при t < 0, нарушается один из фундаментальных законов физики – принцип где 1(-t) = 2 при t = 0, причинности (каузальности), так как АС дает колебательный пред0 при t > 0, вестник, предшествующий включению радиоскачка [37, 40, 41].

1 при x > 0, Аналогичный результат получаем и после выключения ра сигнум-функция (функция знака) sgn x = при x = 0, диоскачка, т. е. когда рассматриваем в качестве исходного сигнала -1 при x < 0.

радиоимпульс с прямоугольной огибающей вида A0[1(t) -1(t - )].

Если и для t < 0 по-прежнему исходить из представления В этом случае АС, помимо рассмотренных ранее колебательного предшественника и затухающих колебаний огибающей и фазы сопряженной, по Гильберту, функции в комплексной форме f (t), а после момента включения радиоимпульса, дает нарастающую к моменту выключения радиоимпульса колебательность огибающей и фазы, а также колебательный след. Таким образом, АС не позводля которой вещественная функция f (t) = Im f (t), то можау ау ляет получить адекватное описание огибающей и фазы радиоимt<пульса с прямоугольной огибающей.



но записать Исследования АС для такого радиоимпульса, по-видимому, A0 * * f (t) = - exp j(0t +0)rsici |0t |= - f rsici |0t |, (12.23) (t) ау впервые выполнены А.К. Смолински [37]. В его работе был полу t

Сопоставляя соотношение (12.23) с выражением (12.19), заНедостаточно требовательное отношение к результатам, получен мечаем, что при t < 0 мультипликативная функция NНу (0t), ханым А.К. Смолински, привело к тому, что вместе с их заимствова рактеризующая поведение сопряженной функции fНу (t), прининием из [37] в работы [15,16] перекочевали и заблуждения.

Нарушение принципа каузальности, инвариантности огибаю * мает вид sici спирали, т.е. N (0t) = rsici |0t |. В обоих случаях, Ну щей и фазы, свойственные АС, явились основой для широкой дис t<куссии и оспаривания применимости АС [18–23, 34, 36, 38, 39 и как до момента включения радиоскачка, так и после него, харакдр.]. Мода на АС привела к тому, что в ряде серьезных работ в потер поведения сопряженной по Гильберту функции f (t), а знаНу пытках фундаментально обосновать АС он рассматривается как чит, в соответствии (12.12) и модели радиоскачка через АС опреуниверсальный и единственно верный. Другие описания сигнала, * отличные от АС, объявляются физически несостоятельными («наделяется радиусом-вектором rsici (0t), имеющим разрыв при t = ивные» представления, «старая» радиотехника). Корректными, объи затухающий колебательный характер при удалении от t = 0 в ективными в физическом смысле предлагается считать результаобе стороны.

ты, вытекающие только из приложений АС, а другие определения Таким образом, имеем парадоксальный и с физической точпараметров сигнала считать допустимым, применять лишь поки зрения абсурдный результат. Огибающая и фаза, получаемые стольку, поскольку они согласуются с АС [14–16]. В [15, 16] автоиз АС, не соответствуют исходному физическому сигналу. У исры предполагают даже энергетическую трактовку предвестника и ходного физического сигнала (радиоскачка) вообще отсутствуют следа радиоимпульса (обнаружение их с помощью специальных колебательность огибающей и фазы и разрыв огибающей в бескосхем), хотя физически отсутствуют и предвестник, и след. Суще 113 ствование предвестника из принципа каузальности должно быть т.е. вещественные части функций, описывающих КС и АС, одинаисключено вообще. ковы и определены исходным физическим сигналом.

Прямое преобразование Фурье сопряженной по Гильберту Чтобы избежать ошибки, следует вместо попыток неоправ данного офизичивания АС просто принять, что этот сигнал дает функции fн (t) (формула (12.11)) дает один из способов математического описания колебательного про цесса в комплексной форме с определенной асимптотикой, как, S () = F{H[f (t)]}= -S ()sgn, € f f собственно, оно и есть в действительности [12, 20–23, 34, 36].

где S () – спектр исходного сигнала. Тогда из (12.10) для спекf «Ахиллесовой пятой» АС являются два его свойства: 1) он тра АС получим не локален, в то время как реальные физические сигналы финитны во временной области; 2) усеченность спектра АС, рассматривая Sа () = S () + jS () = 2S ()1(). (12.25) f f f€ которую легче выявить природу дефекта АФЧ.

Это необходимое и достаточное условие в спектральной области, Но главная трудность – это «нехорошие» интегральные ПГ, чтобы сигнал был аналитическим. Таким образом, АС имеет которые прямо берутся для ограниченного вида функций, описыспектр, усеченный на отрицательной полуоси частот относительно вающих сигналы. Подобная трудность остается и при нахождении спектра исходного сигнала.

АС применением одностороннего обратного преобразования ФуЗапишем колебательный процесс в форме рье. Необходимо отметить также, что АС ни во временной, ни в A(t) A(t) jФ(t) частотной областях не увязывается прямо с характеристиками це- f (t) = A(t) cosФ(t) = e + e- jФ(t) = f1(t) + f2(t), 2 пи при исследовании преобразований сигнала схемой.

f2(t) = f1*(t), f1(t) = m(t) + jn(t), f2(t) = m(t) - jn(t), (12.26) Таким образом, следует сделать заключение о том, что аналитический сигнал дает лишь одну из возможных моделей радиогде A(t) и Ф(t) – функции, описывающие закон амплитудной и сигнала. АС действительно позволяет исключить неопределенфазовой модуляции сигнала, вещественный сигнал f (t) представность параметров АФЧ радиосигнала. Однако получаемые из АС лен по формуле Эйлера суммой двух комплексно-сопряженных значения АФЧ сигнала могут заметно отличаться от фактических функций.

значений этих параметров для исходного физического сигнала.

Тогда для комплексного представления сигнала f (t) Радиоимпульс с прямоугольной огибающей весьма часто встреча (t) *(t) f = 2 f1(t) = 2 f2 = А(t) exp jФ(t), (12.27) ется в радиоэлектронных приложениях. Достаточно подробное исследование моделирования такого радиоимпульса аналитичедля которого условие (12.24) перепишем как ским сигналом выполнено в [40].





(t) f (t) = Re f = 2 Re f1(t) = 2 Re f2*(t) = 2m(t). (12.28) Операция (12.28), очевидно, эквивалентна операции 12.3. Спектр аналитического сигнала. Сопоставление f (t) = Im[jf (t)]. (12.29) спектров аналитического и комплексного сигналов Если колебательный сомножитель сигнала записан синусоидальДостаточно наглядное представление причин ошибки АС в ной функцией, т.е.

определении параметров АФЧ сигнала можно получить сопоставA(t) A(t) jФ(t) fs (t) = A(t)sinФ(t) = e + e- jФ(t) = f1S (t) + f2S (t), (12.30) лением спектров сигнала f (t) и соответствующих ему аналитиче2 j - 2 j ского f (t) и комплексного сигналов f (t), когда а то, сопоставляя формулы (12.26) и (12.30), находим * Re f (t) = Re f (t) = f (t), (12.24) f1S (t) = - jf1(t), f2S (t) = jf2(t), f1S (t) = f2S (t). (12.31) а 115 Из соотношений (12.30) и (12.31) Из соотношения (12.39) fS (t) = - j[f1(t) - f2(t)]= 2n(t). (12.32) j[ t +Ф(t)] S1(-) = A(t)e dt. (12.41) Воспользовавшись выражением (12.30), введем аналогично (12.27) комплексный сигнал Сопоставляя (12.40) и (12.41), находим f (t) = 2 f (t) = 2 f *S (t) = - jA(t) exp jФ(t), (12.33) S 1S S2() = S1*(-). (12.42) для которого условие (12.24) согласно (12.30) приводит к выражеБолее наглядно последнее соотношение может быть получено из ниям (12.39) и (12.40) представлением спектров S1() и S2() в форме fS (t) = Re fS (t) = 2Re f1S (t) = 2Re f2S (t), (12.34) S1() = M1() - jN1(); S2() = M2() - jN2(), (12.43) или, учитывая (12.31), получим где 1 fS (t) = 2Re[- jf1(t)]= 2Re[jf2*(t)]. (12.35) M1() = A(t)cos[t -Ф(t)]dt, N1() = A(t)sin[t -Ф(t)]dt, (12.44) 2 Из сопоставления эквивалентных соотношений (12.28) и - (12.29) с учетом (12.27) по аналогии можем записать:

1 M2() = A(t)cos[t + Ф(t)]dt, N2() = A(t)sin[t + Ф(t)]dt, (12.45) fS (t) = 2Re[- jf (t)]= 2Im j[- jf (t)]= 2Im[ f (t)] = Im[ f (t)], (12.36) 2 1 1 - откуда получаем fS (t) = 2 Re[- jf2*(t)]= 2 Im j[- jf2*(t)]= 2 Im f2*(t) = 2n(t). (12.37) M1(-) = M2(), - N1(-) = N2(). (12.46) Обычно для КС в формуле (12.27) символические операции Тогда из выражений (12.46), воспользовавшись формулами (12.28) и (12.36) пишутся сразу. Здесь выполнен последователь- (12.43), получим (12.42).

ный подход для представлений колебательного процесса в форме Заметим, что для спектра f (t), рассматривая его как част(12.26) и (12.30) исходя из удовлетворения основного исходного ный случай комплексно-сопряженных сигналов 2 f1(t) или 2 f2(t), условия (12.24) при решении проблемы АФЧ: вещественная часть когда мнимая часть их n(t) = 0, соотношение (12.42) для спектров КС (в том числе и комплексного АС) описывает заданный физичеэтих сигналов переходит в известное соотношение ский колебательный процесс f (t) или fS (t).

S () = S* (-). (12.47) Спектр исходного сигнала f (t) запишем исходя из (12.26), f f Это широко используемое соотношение, внешне по форме воспользовавшись теоремой о спектре суммы:

подобное выражению (12.42), является лишь частным случаем поS () = S1() + S2(), (12.38) f следнего при n = 0. Соотношение (12.42) дает связь между спекгде трами существенно более широкого класса комплексных функций * (t) = f1(t), описывающих сигнал с произвольной амплитудноf S1() = F{f1(t)}= A(t)e- j[ t-Ф(t)]dt, (12.39) - фазовой модуляцией (формула (12.26)). Единственным требовани ем к этим функциям времени является их взаимная комплексная S2() = F{f2(t)}= A(t)e- j[ t +Ф(t)]dt. (12.40) сопряженность.

Представление колебательных процессов суммой комплексно-сопряженных функций в форме (12.26) с формальным введени 117 ем отрицательных частот является достаточно универсальным и Спектр непрерывной составляющей сигнала часто опускают его можно осуществить и для колебательных сигналов, описывае- [33]. Во многих случаях при рассмотрении сигналов это не отрамых более сложными функциями, чем рассмотренные выше. При жается на конечном результате. Спектр АС в соответствии с соотэтом еще более важным становится решение проблемы математиношениями (12.25), (12.48) и (12.49) запишем в виде ческого определения огибающей и фазы сигнала, адекватного их Sa()= 2S1()1()+ 2S2()1()= физическому содержанию.

1 Из формулы (12.25), учитывая формулы (12.38) и (12.42), = A0 (12.50) j( -0)1()+ j( +0)1().

получаем Sa()= 2 S ()1()= 2[S1()+ S2()]1()= Комплексный сигнал для радиоскачка, согласно выражениf ям (12.26) и (12.27), запишем в форме * = 2[S1()+ S2(-)]1(). (12.48) f (t)= 2 f (t)= A01(t)exp j0t, (12.51).

y yОтсюда следует, что условие усеченности спектра АС присоответственно спектр КС – водит к замещению отсекаемой части спектра составляющей сиг Sy()= F{f (t)}= 2F{f (t)}= 2S1(). (12.52).

y y нала f1(t), которая «затекает» из области положительных частот в Тогда зависимость разности спектров АС и КС от частоты опредеобласть отрицательных комплексно сопряженной с ней частью ляется соотношением спектра сигнала f2(t), «затекающей» из отрицательной области S()= Sa()- Sy()= Aчастот в область положительных частот. Это вызывает ошибки в j( + 0 ). (12.53) определении огибающей A(t) и фазы Ф(t) [20, 36, 41].

Таким образом, если исходить из сопоставления спектральНайдем ошибку в определении спектра АС относительно спектра ного представления АС и КС, принимая КС за основу, видим: чем КС для простого примера усеченной косинусоиды-«радиоскачка» меньше 0 (т. е. чем более широкополосный сигнал), тем меньше f (t) = A0 1(t)cos(0t).

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.