WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 12 |
УДК 621.396.6+517.442(075) Министерство образования и науки Российской Федерации З-81 Омский государственный университет Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом ОмГУ Рецензент – доктор технических наук, профессор, действительный член Академии транспорта РФ (завкафедрой прикладной математики Омского государственного университета транспорта) В.К. Окишев Золотарев И.Д.

З-81 Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательИ.Д. Золотарев ных систем: Учебное пособие. – Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. – 136 с.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, УПРОЩАЮЩЕГО ISBN 5-7779-0469-6 ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Излагается метод исследования переходных процессов в коПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ лебательных системах, позволяющий существенно упростить КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ наиболее трудоемкую операцию при нахождении решения дифференциального уравнения системы – обратное преобразование Рекомендовано Сибирским региональным отделением Лапласа. Показано, что при этом комплексный сигнал обеспечиучебно-методического объединения по образованию вает корректное определение огибающей и фазы реального сигв области энергетики и электротехники в качестве нала. Наглядность получаемых решений достигается привлечеучебного пособия для межвузовского использования нием спектрального метода. Приведены примеры расчета передля студентов, обучающихся по направлениям ходных процессов при проектировании радиоустройств.

654200 «Радиотехника», 654400 «Телекоммуникации», Для студентов, обучающихся по направлениям 010802 «Фунда645500 «Электротехника, электромеханика и электротехнология» ментальная радиофизика и физическая электроника», 210301 «Ра диофизика и электроника», 010800 «Радиофизика», 654200 «Радиотехника», 654400 «Телекоммуникации», 645500 «Электротехника, электромеханика и электротехнология», аспирантов, инженеров и научных сотрудников радио- и электротехнических специальностей, а также специалистов в области измерительной техники и автоматики, исследующих динамику колебательных систем.

УДК 621.396.6+517.442(075) © Золотарев И.Д., Издание Омск ISBN 5-7779-0469-6 © Омский госуниверситет, ОмГУ ВВЕДЕНИЕ Исследование ППР в системе с целью минимизации ошибки, вно симой переходными процессами в информативный параметр сигПри разработке радиоэлектронных устройств различного нала, является одним из необходимых этапов проектирования соназначения перед инженером часто возникает задача необходимо- временных РЭУ, функционирующих в динамическом режиме. Пости исследования прохождения импульсных радиосигналов через этому проблема разработки методов, упрощающих исследование линейные цепи. Для решения задачи во временной области широ- переходных процессов в радиоустройствах, всегда привлекала ко используется операционное исчисление на основе интеграль- серьезное внимание специалистов [l–6].

ных преобразований Лапласа. При рассмотрении задачи в частот- Наибольшее распространение при исследовании переходной области применяют спектральный метод на основе интеграль- ных процессов в радиосистемах нашел разработанный С.И. Евтяных преобразований Фурье. Оба эти пути исследования тесно свя- новым метод медленно меняющихся огибающих (ММО). В данзаны между собой и иногда их рассматривают как единый метод ном методе существенное снижение трудоемкости получения ре(метод трансформации Фурье). шения линейных дифференциальных уравнений (ДУ) при исслеПри нахождении реакции радиоэлектронного устройства довании ППР в колебательных системах достигается применением (РЭУ) на импульсное возбуждение применением операционного определенных упрощающих допущений (асимптотический метод исчисления наиболее трудоемкой операцией является выполнение малого параметра). При этом исходные ДУ, связывающие отклик обратного преобразования Лапласа (ОПЛ) [1]. Трудоемкость ОПЛ линейной системы с возбуждающим ее радиосигналом, преобраособенно возрастает для важных в радиотехнических приложени- зуется к укороченным символическим уравнениям относительно ях случаев воздействия на РЭУ радиоимпульсных сигналов, а так- ММО [2]. Чем более узкополосные сигналы и системы исследуже при наличии в сигнальном тракте РЭУ избирательных фильт- ются, тем более точными будут искомые решения, найденные меров (колебательных систем). Это обусловлено тем, что для радио- тодом ММО. В качестве меры узкополосности радиосигналов и импульсных сигналов и таких реализаций РЭУ изображающая систем обычно рассматривают отношения µ = с н и функция (ИФ) исследуемой реакции системы на входное возму = 2 н, где с – ширина спектра радиосигнала, н – р щение имеет комплексно-сопряженные пары (КСП) полюсов. В частота его высокочастотного (ВЧ) заполнения, 2н – ширина этих случаях даже для относительно простых ИФ существенно полосы пропускания колебательной системы, – резонансная увеличивается трудоемкость и громоздкость преобразований при р переходе из пространства изображений в пространство оригиначастота ее. Для узкополосных сигналов и систем имеем малые палов по сравнению с нахождением решений для вещественных пораметры µ и ( µ <<1, <<1). Для широкополосных и сверхшилюсов ИФ [2]. Между тем существующая тенденция предельного рокополосных систем эти параметры сравнимы с единицей.

увеличения скорости переработки информации в радиосистемах Метод С.И. Евтянова, хотя и позволяет существенно упроприводит к необходимости построения РЭУ, работающих в династить нахождение достаточно точного решения для огибающей мическом режиме, когда преобразования сигнала, съем и обработсигнала на выходе радиосистемы, не обеспечивает достоверного ка информативного параметра его происходят не после окончания описания тонкой (фазовой) структуры выходного радиосигнала.



переходных процессов (ППР) на выходе информативного канала, Имея в виду богатейшие возможности и преимущества фазовых а в течение этих процессов. В общем случае из-за неизбежного информационных радиосистем, работающих в динамическом реналичия ППР при возбуждении электронной системы импульсным жиме [7], отметим, что указанный недостаток метода ММО явсигналом форма его искажается. Данные искажения приводят к ляется весьма существенным.

разрушению информативного параметра сигнала (к возникновению соответствующих динамических ошибок работы системы).

3 Разработанный в [5–10] метод, упрощающий выполнение жанию. Поэтому наряду с АС рассматривались и другие формы обратного преобразования Лапласа, обеспечивает такое же умень- комплексного представления радиосигнала [14–16].

шение трудоемкости получения решения, как и метод ММО. Од- Рассмотренный в данном учебном пособии метод, упронако при использовании метода [5–10] получаем точное (с точ- щающий ОПЛ, позволяет получить огибающую и фазу радиосигностью до фазы) описание радиосигнала на выходе исследуемой нала, адекватную их физическому представлению и для сверхширадиосистемы. При этом не требуется вводить упрощающие до- рокополосных сигналов [9, 10, 17, 18]. Это важно, так как в соврепущения, свойственные асимптотическим методам, в том числе и менной радиоэлектронике наблюдается стремление перехода шиметоду ММО. рокополосным и сверхширокополосным сигналам в силу их более Помимо резкого упрощения нахождения решения методом высокой информативности [19, 20].

[5–10], его применение для важного случая исследования колеба- Приведенные примеры расчета переходных процессов в рательных процессов позволяет получить описание реакции систе- диосистемах направлены на усвоение приложения операционного мы в форме комплексного сигнала (КС). Это облегчает проведе- исчисления для исследования прохождения импульсных сигналов ние исследований динамических режимов радиосистем и обеспе- через сигнальный тракт РЭУ и, в частности, на приобретение начивает большую наглядность при интерпретации полученных ре- выка по применению метода, упрощающего ОПЛ. Общность спекзультатов. трального метода и операционного исчисления обусловила целеКомплексный сигнал используют для определения огибаю- сообразность их совместного рассмотрения в данном учебном пощей и фазы радиосигнала. При этом модуль комплексной функ- собии.

ции, описывающей радиосигнал, определяет огибающую, а аргумент ее – фазу радиосигнала. В качестве вещественной части КС принимается исходный физический сигнал. Но в такой постановке КС не определен, ибо можно найти бесчисленное число КС, удовлетворяющих одному и тому же вещественному сигналу. Для устранения неопределенности должен быть введен оператор, однозначно связывающий мнимую и вещественную часть КС. Огибающая и фаза, найденные из такого КС, должны соответствовать физическому содержанию этих параметров в исходном радиосигнале.

Задача однозначного определения огибающей и фазы радиосигнала является одной из фундаментальных проблем современной радиоэлектроники (проблема «Амплитуда, фаза, частота» – проблема АФЧ). В настоящее время популярным решением этой проблемы в радиоэлектронике является комплексное представление радиосигнала в форме аналитического сигнала (АС). АС определяется из исходного вещественного радиосигнала через интегральные преобразования Гильберта [11–13]. Существенным недостатком АС является некоторая неадекватность получаемых значений огибающей и фазы радиосигнала их физическому содер 5 1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Здесь множитель 1(t - t ) учитывает, что -я составляющая включается в момент (t - t ), т.е. он отсекает часть -й си1.1. Функция времени (сигнал) нусоидальной компоненты при t < t.

Часто вводят более общую форму записи сигнала, учитыПредставим сигнал суммой моногармонических составляювающую экспоненциальную форму огибающих синусоидальных щих компонент:

n n f (t) = A cos( t + ), (1.1) f (t) = A e t cos( t + )1(t -t ). (1.4) = =где – угловая частота -й составляющей, – начальная фаза, Еще более общая форма записи сигнала A – амплитуда -й компоненты сигнала. Если частота кратна n f (t) = A tk e t cos( t + )1(t - t ). (1.5) некоторой частоте 1, где 1 – частота первой гармонической со =ставляющей сигнала, то сигнал f (t) является периодической В дальнейшем запись = 1,n означает, что принимает целочис2 функцией времени с периодом T= =. В этом случае сумма ленные значения от 1 до n.

1 fВ формуле (1.5) считаем, что k принимает целые значения, (1.1) является рядом Фурье (р.Ф).

при этом величина k зависит от формы огибающей -й компоВ более общем случае каждая компонента сигнала включаненты сигнала. Полагаем, что огибающая -й компоненты описыется в какой-то момент времени t. Тогда (1.1) перепишем в форвается в (1.5) множителем ме A e ttk 1(t - t ). (1.6) n f (t) = A cos( t + )1(t -t ), (1.2) Очевидно формулу (1.4) получаем из (1.5), полагая в последней =k =0 (независимо от номера ). Формула (1.2) получается из где 1(t - t ) – единичный скачок, включаемый при t = t, т.е.

(1.4), если в последней положить = 0, независимо от номера.

0, t < t 1(t - t ) =. (1.3) Таким образом, формула (1.5) записи сигнала является наи1, t > t более общей. Выражения (1.2) и (1.4) могут быть получены из Это разрыв 1-го рода. Часто в точке разрыва t функцию доопре(1.5) как частные случаи.

деляют как Члены суммы (1.5) иногда называют секулярными функf (t - 0) + f (t + 0) циями времени [9]. Заметим, что формула (1.5) представляет в f (t ) =, общем случае решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения (ДУ).





где ±0 означает сколь угодно близко справа и слева от точки разрыва.

1.2. Постановка задачи при исследовании линейных систем Следовательно, в данном случае для скачка в произвольной точке t = t При исследовании и разработке электронных систем встре1(t - t - 0)t=t +1(t - t + 0)t=t 1(t - t )t=t = =. чаются две основные задачи: задача синтеза и задача анализа. По2 становку этих задач удобно рассматривать на основе рис. 1.1.

7 (например, электронную схему), которая удовлетворяет данному оператору. В отличие от задачи анализа задача синтеза неодно fвх (t) fвых (t ) линейная значна, так как одному и тому же оператору могут соответствосистема вать различные реализации системы (электронной схемы). Обычно задача синтеза рассматривается в контексте оптимизации системы по выбранному критерию. В целом задача синтеза системы Рис. 1.существенно сложнее задачи анализа и предполагает применение При решении задачи анализа по заданной линейной системе методов анализа в поиске оптимальной реализации ее [27,28].

и входному воздействию требуется определить сигнал на выходе Сосредоточим внимание на задаче анализа системы, т.е. засистемы. Математически система может быть задана некоторым даче, когда по данному входному воздействию и оператору преобоператором L, в качестве которого может рассматриваться дифразования ищется сигнал на выходе системы. В общем случае на ференциальное уравнение системы либо передаточная – К( p) или систему могут воздействовать несколько сигналов, приложенных частотная - К ( j) характеристики ее, либо временные характерив одной или нескольких точках системы. Аналогично выходной сигнал может сниматься с нескольких (или только с одной) точек стики системы. К временным характеристикам системы относятся:

системы. Тогда можно говорить, что на входе действует вектор 1) импульсная характеристика g(t), определяемая как реакx = [x1, x2,...xm ], где m – число входных воздействий (в другой зация системы на сигнал вида -функции;

2) передаточная характеристика h(t), рассматриваемая как писи x fвх = [ fвх1, fвх 2,... fвх m ]). На выходе также имеем вектор реакция системы на возмущение вида единичного скачка 1(t).

y = [y1, y2,...yl ], где l – число сигналов, снимаемых с выхода (выхоМежду ДУ данной системы и всеми этими характеристикадов) системы. При многомерных воздействиях и выходном сигнами существует единственная связь [26]. Отклик системы через ле имеем многомерный оператор системы L, т.е. y(t) = L{x(t)} временные характеристики находят применяя интеграл наложения (интеграл Дюамеля), представляющий свертку входного сигнала с (рис 1.2).

одной из временных характеристик системы [3,11]. Если для решения задачи анализа берется конкретная физическая схема, то х y оператор любого вида находят обычным путем, исходя из заданL ной схемной реализации (например, определяя по данной схеме частотную характеристику K ( j) или ДУ ее).

Рис. 1.Для сигналов на входе и выходе системы встречаются различные определения (синонимы). Для входного сигнала: возбуж- В этом случае оператор преобразования, например, может быть дение, возмущение, вход, входное воздействие; для выходного представлен системой уравнений. Для упрощения дальнейшего сигнала: реакция системы (схемы), отклик, выход. Здесь исполь- рассмотрения остановимся на системе с одним входом и одним зуются любые из этих терминов. выходом. Подобным образом могут быть исследованы и системы с При решении задачи синтеза системы по заданным входно- несколькими входами и выходами.

му возмущению и реакции системы требуется найти ее структуру. Пусть оператор L задан в форме обыкновенного дифференДля случая математического моделирования системы синтез ее циального уравнения. Тогда в общем виде связь между входом предполагает нахождение оператора системы. При синтезе физи- x(t) и выходом y(t) запишем в следующем виде:

ческой системы требуется определить конкретную структуру ее 9 n n-2.2. Прямое преобразование Лапласа d y d y dy an + an-1 +...+ a1 + a0 y = dtn dtn-1 dt (1.7) m m-1 Прямое преобразование Лапласа имеет вид d x d x = bm + bm-1 +...+ b0x.

dtm dtm-f ( p) = f (t)e- ptdt, (2.1) Или в компактном виде µ nm d y d x где p = c + i – комплексная переменная, c – абсцисса сходимости.

aµ = b. (1.8) В результате выполнения интегрального преобразования (2.1) поdtµ =0 dt µ =лучаем функцию переменной p, которая зависит от вида подынтеЗадача анализа сводится к решению дифференциального гральной функции f(t):

уравнения (1.7).

f ( p) f (t).

µ nm x(t) d y d x y(t) aµ = b Функцию f ( p) называют изображением функции f (t), а f (t) – dtµ =0 dt µ =оригиналом; символом обозначаем соответствие изображения и оригинала. Иногда применяют вместо (2.1) символическую запись Рис. 1.f ( p) = L{ f (t)}, где оператор L символизирует прямое преобразоСхематически «взаимоотношения» входсистемавыход при вание Лапласа. Между данным оригиналом и его изображением описании системы дифференциальным уравнением показаны на существует единственная связь (теорема о единственности изорис. 1.3.

бражения), т.е. каждому оригиналу соответствует единственное изображение. Более строго это положение формулируется «с точ2. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ностью до меры нуль оригинала», когда f (t) может иметь отДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ дельные точки вне «гладкого» описания функции (например, M1 и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ M2 на рис. 2.1).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.