WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
УДК 539.26 Министерство образования и науки Российской Федерации ББК В361я73 Омский государственный университет О 62 Рекомендовано к изданию на заседании бюро редакционно-издательского совета ОмГУ 21.05.2004 г.

О 62 Определение индексов отражающих плоскостей: Описание лабораторной работы по курсу «Рентгеноструктурный анализ» / Сост.: Т.В. Панова, В.И. Блинов. – Омск: Омск. гос.

ун-т, 2004. – 20 с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ В работе даются основы методов индицирования порошковых ОТРАЖАЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ рентгенограмм поликристаллов.

Приводятся необходимые теоретические сведения, определен Описание лабораторной работы порядок выполнения работы, представлен список контрольных вопо курсу «Рентгеноструктурный анализ» просов, включен список рекомендуемой литературы.

Для студентов IV курса физического факультета.

УДК 539.26 ББК В361я73 Издание Омск © Омский госуниверситет, 2004 ОмГУ 2004 2 Лабораторная работа Так как числа, образующие индексы hkl, не могут иметь общего делителя, то, зная индексы HKL данной линии, мы можем опреОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ делить, за счет отражения какого порядка и от каких плоскостей ОТРАЖАЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ получилась эта линия. Так, линия с индексами HKL, равными (200), получилась в результате отражения второго порядка от плоскостей Цель работы: ознакомиться с методами индицирования по(100), а линия (400) – благодаря отражению четвертого порядка от рошковых рентгенограмм; определить индексы отражающих плостех же плоскостей. Линия (420) – результат отражения второго покостей кристаллов кубической и гексагональной сингоний.

рядка от плоскостей (210), и т. д.

Принадлежности: дифрактометр «ДРОН-3М», образцы с куОпределение индексов интерференции производится «метобической и гексагональной сингонией, компьютер PENTIUM.

дом проб» разными способами для разных сингоний. Исходной формулой для определения HKL во всех случаях является формула ВульОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ фа – Брэгга Под индицированием линий рентгенограммы понимают опе2dHKL sin =.

рацию определения индексов интерференции (HKL) каждой линии Подстановкой в эту формулу значений dHKL различных для рентгенограммы. Установление индексов всех линий на рентгеноразных сингоний (см. таблицы приложения [2]), получают соответграмме поликристалла позволяет рассчитать размеры и форму элествующие равенства для каждой сингонии, которые называют квадментарной ячейки. Индицирование рентгенограмм при неизвестной ратичными формами (табл. 1).

кристаллографической системе представляет задачу, не всегда решаемую однозначно. Задача индицирования существенно облегчается, Таблица если известен структурный тип анализируемого вещества или хотя Сингония Межплоскостные расстояния dHKL бы его кристаллическая система. Однако по рентгенограмме поли2 Кубическая 1 H +K +Lкристалла возможно определить и сингонию, к которой относится ве= щество, и индексы интерференции для всех линий. Как правило, при d a2 индицировании рентгенограммы неизвестного вещества желатель- Тетрагональная 1 H +K L= + но, чтобы на ней присутствовало не менее 20–40 линий во всем диа- d a2 cпазоне углов дифракции, полученных при отражении К-излучения.

2 Ромбическая 1 H K L = + + d a2 b2 cИндицирование рентгенограмм, снятых по методу порошка 2 Ромбоэдрическая 1 (H +K +L2 )sin2б+2(HK+KL+HL)(cos2б-cos ) = Индексы дифракционных линий на порошковой рентгеноd a2(1-3cos2б+2cos3б) грамме вещества с кубической решеткой определяются очень легко.

2 Гексагональная Сложнее индицировать рентгенограммы веществ с гексагональной и 1 4 (H + KH + K ) L= + тетрагональной решетками; в этом случае применяют графические d 3 a2 cметоды. Еще более сложно индицировать рентгенограммы веществ 2 Моноклинная 1 H K L2 2HLcosв = + + - с ромбической, моноклинной или триклинной решетками.

d a2sin2 в b2 c2sin2 в acsin2 в Индексы интерференции (HKL) равны произведению индекТриклинная 1 2 сов семейства плоскостей (hkl), благодаря отражению от которых по= [ s11H +s22K +s33L2+s12HK+s23KL+s13HL ] 2 d V лучилась данная линия на рентгенограмме, на порядок отражения n:

Н = nh; K = nk; L = nl.

3 Таблица Таким образом, каждому значению sin, а следовательно, и dHKL, соответствуют определенные значения индексов интерференИндексы интерференции первых десяти линий рентгенограммы ции HKL. Обратное положение о том, что каждой тройке индексов HKL соответствует определенное значение dHKL и sin справедливо только для некоторых примитивных решеток. В случае сложных решеток с базисом некоторые отражения гасятся закономерно и линии с соответствующими индексами HKL на рентгенограмме отсутствуют.

Законы погасания Закономерности погасания зависят от симметрии решетки и расположения атомов в элементарной ячейке (т. е. от типа решетки) и определяются из условий равенства нулю структурного фактора интенсивности.

В случае объемноцентрированной решетки гасятся линии, для которых сумма квадратов индексов (Н2 + К2 + L2) есть число нечетное.

В случае гранецентрированной решетки гасятся линии, для 1 1 100 2 100 3 111 3 111 10.которых индексы Н, К и L есть числа разной четности.

2 2 110 4 200 4 200 8 220 00.В случае кубической решетки типа решетки алмаза гасятся 3 3 111 6 211 8 220 11 311 10.линии, для которых Н, К и L числа разной четности, и те линии с 4 4 200 8 220 11 311 16 400 10.четными индексами, сумма которых не делится на 4.

5 5 210 10 310 12 222 19 331 11.В случае гексагональной компактной решетки гасятся линии, 6 6 211 12 222 16 400 24 422 10.для которых индекс L есть число нечетное, а сумма Н + 2К кратна 7 8 220 14 321 19 331 27 333, 11.трем, и линии вида 00L при нечетном L.



Систематика всех возможных погасаний дана в таблицах при8 9 300, 16 400 20 420 32 440 20.ложения [2]. Возможные индексы интерференции для первых десяти линий наиболее важных решеток приведены в табл. 2. 9 10 310 18 411, 24 422 35 531 20.Не следует рассматривать значения (H2 + K2 + L2} как нату10 11 311 20 420 27 333, 40 620 10.ральный ряд целых чисел, так как в натуральном ряду имеются числа, разложить которые на сумму целых квадратов невозможно. Таковы числа 7; 15; 23; 28; 31; 39; 47 и т. д. Данные табл. 2 показаны графически на рис. (с. 7), на котором виден также характер взаимного расположения линий для веществ с рассмотренными решетками.

5 ка (К 6) компактная Кубическая алмаза (К 4) решетка типа Примитивная решетка (Г 12) решетка (К 12) Гексагональная Гранецентрирокая решетка (К 8) рованная кубичесванная кубическая кубическая решетвозрастания угла Номер линии в порядке Н + К + L HKL Н + К + L ОбъемноцентриHKL Н + К + L HKL Н + К + L HKL HKL Индицирование рентгенограмм веществ с кубической решеткой Из квадратичной формы для кубической сингонии следует, что отношения квадратов синусов углов отражения для разных линий рентгенограммы должны быть равны соответственному отношению сумм квадратов индексов и, следовательно, отношению целых чисел:

sin2i Hi2+Ki2+Li = = Q.

2 sin2k Hk +Kk +Lk Справедливым будет также выражение dH Kk Lk Hi2+Ki2+Lk i = = Q.

2 dH Hk +Kk +Lk iKiLi Из данных табл. 2 следует, что ряд отношений Q для всех линий рентгенограммы в порядке возрастания углов (где i – угол данной линии, a k – угол первой линии) должен представлять собой строго определенный ряд чисел, различный для решеток разного типа.

Задача индицирования сводится к тому, чтобы найти значения sin2 для всех линий рентгенограммы (по одной из волн, обычно sin2k К-излучению) и ряд отношении = Qk и сопоставить полуsinченный ряд данными табл. 3.

Таблица Ряд Q для кубических решеток 2 Hk +Kk +Lk Qk = Тип решетки H12+K12+LПримитивная (К 6) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; Объемноцентрированная (К 8) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; Гранецентрированная (К 12) 1; 1,33; 2,66; 3,67; 4; 5,33;

Схемы рентгенограмм веществ с различной решеткой:

6,33; 6,67; 8; 1 – примитивная кубическая структура; 2 – объемноцентрированная кубическая структура; 3 – гранецентрированная кубическая структура; Тип алмаза (К 4) 1; 2,66; 3,67; 5,33; 6,33; 8; 9;

4 – структура алмаза; 5 – гексагональная компактная структура 10,67; 11,67; 13, 7 Значения индексов (HkKkLk) данной линии находятся затем по Так, для гексагональной сингонии выражение, связывающее индек2 сы плоскости с межплоскостным расстоянием, представляет собой сумме ( Hk +Kk +L2 ), которая определяется из произведения k многочлен (табл. 1) 2 2 2 2 Hk +Kk +L2 = Qk ( H1 +K1 +L1 ), k 2 1 4 ( H +KH +K ) L2 2 = +.

где ( H1 +K1 +L1 ) в соответствии с табл. 2 равно: 1 – для простого куd 3 a2 cба (К6), 2 – для ОЦК (К 8), 3 – для ГЦК (К 12) и решетки типа алмаПоэтому отношение за (К 4). dk sin2i На первый взгляд существует известная неопределенность для = = Q di2 sin2k решеток (К6) и (К8). Действительно, ряд отношений Qk совпадает для решеток обоих типов и поэтому остается неясно, что принимать 2 2 не равно отношению целых чисел. В частных случаях для плоскоза сумму ( H12+K1 +L1 ) – единицу или двойку. Эту неопределенность стей вида НК0 или 00L квадратичная форма превращается в однолегко устранить, применив один из следующих способов:

член и для этих систем плоскостей отношения окажутся пропорцио1. Относительная интенсивность линий рентгенограммы с близнальными отношению целых чисел. Ряды этих отношений Q привекими углами определяется прежде всего их множителем повторяедены в табл. 4.

мости Р. Для линий (100) и (200), с одной стороны, и (110) – с дру- Таблица гой, множитель Р равен, соответственно, 6 и 12. Таким образом, для решетки К6 из первых двух линий на рентгенограмме более интенРяды Q для средних сингоний сивной должна быть вторая, а для решетки К8 – первая. Сравнив на рентгенограмме интенсивность первых двух линий от -излучения, Симметрии решетки Величина Q можно таким образом однозначно установить тип решетки.

sin2. Если для седьмой -линии по счету со стороны малых углов d HK Для систем плоскостей НК0 при = = QHK 2 2 2 значение Q7 оказалось равным 7, то ( H1 +K1 +L1 ) должно быть равно sin2100 dHK 0 2 2 (а не 1), и (НКL) – (110), так как ( H +K +L2 ) не может быть равно Гексагональная (а также ромбоэд- 1; 3; 4; 7; 9; 12; 13; 16; 19; 7. Следовательно, решетка кубическая является объемноцентрирорическая в гексагональных осях) ванной.

Тетрагональная 1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 13; 16; 17;

Если Q7 равно 8, то решетка простая кубическая и (H1K1L1) – 18; (100).

Среди чистых металлов решетка К6 почти не встречается.

sind 00L Для систем плоскостей 00L при = = Q00L sin2001 d00L Индицирование рентгенограмм веществ с решеткой, принадлежащей к средним сингониям (тетрагональной, Гексагональная, тетрагональная и 1; 4; 9; 16; 25; 36; … гексагональной и ромбоэдрической) ромбоэдрическая Из квадратичных форм для средних сингоний следует, что отТаким образом, рассчитав ряды QHKO, можно отличить рентношения квадратов синусов углов отражения или отношение обратгенограмму гексагонального вещества от тетрагонального (в первом ных квадратов межплоскостных расстояний для разных линий рентслучае второй член ряда QHKO равен 3, а во втором – 2). Однако для генограммы не могут быть приравнены к отношению целых чисел.





9 целей фазового анализа аналитическое индицирование непримени- Логарифмируя последнее выражение, имеем мо, так как оно оставляет неучтенным большинство линий рентге нограммы. 1 1 1 2 2 2 lg = lg( + )+lg H +K -( H +K -L2 ).

Помимо этого, положение линии (100) на рентгенограмме оп- c dHKL a2 c( )2+ределяется отношением с/а исследуемой решетки, так что часто a неизвестно, к какой из первых линий рентгенограммы относить ряд 1 Так как lg( + ) = const, то для данной рентгенограммы поQHKO. Следует также иметь в виду, что само наличие линии (100) a2 cопределяется правилами погасаний, и, следовательно, во многих лучим случаях ряд QHKO не может быть построен. То же может быть сказа но и о ряде QOOL. Поэтому индицирование рентгенограмм средних 1 2 2 2 lg = const+lg H +K -( H +K -L2 ) ;

сингоний производится графически.

c dHKL ( )2+Для построения номограмм графического индицирования квад a ратичные формы следует преобразовать так, чтобы обратная велиlg = const + FHKL HKL чина квадрата межплоскостного расстояния Q'HKL явилась функцией или отношения с/а.

lg – lg = const + FHiKiLi – FHkKkLk.

HiKiLi HkKkLk Так, для тетрагональной сингонии 2 Так как индексы интерференции числа целые, то при данном 1 H +K L= +.

2 отношении с/а функция FHKL прерывна. Однако значение FHKL вполd a2 cHKL не определено, и оно может быть нанесено на координатную плос2 H +K Следовательно, прибавив к обеим частям равенства, кость как некоторая точка с абсциссой FHKL и ординатой с/а или clgc/а (последнее необходимо для охвата большего интервала ордиполучим нат). Для одних и тех, же значений HKL и для разных с/а функция 1 1 1 1 1 FHKL непрерывна. Соединяя точки FHKL для одних и тех же значений 2 2 2 = ( + )+K ( + )-( H +K -L2 ), dHKL H a2 c2 a2 c2 c2 HKL и разных значений с/а, получают номографические кривые, расстояние между которыми по горизонтали будет, очевидно, равно или разности логарифмов обратных величин квадратов межплоскостных расстояний. Для данных HKL эта разность будет функцией только 1 1 2 2 2 2 c= ( + ) +K -( H +K -L2 ), H 2 одного переменного с/а. Поэтому для индицирования следует, от1 dHKL a2 c( + ) ложив на масштабной линейке в масштаба номограммы значения a2 c lgdHKL, наложить эту линейку на номограмму горизонтально, т. е.

или при с/а = const так, чтобы точка lgdHKLmax масштабной линейки сов пала с номографической кривой с наименьшими индексами. Далее 1 1 1 2 2 2 = ( + ) +K -( H +K -L2 ).

H необходимо двигать масштабную линейку вдоль избранной кривой c dHKL a2 c( )2+до совмещения всех значений lgdHKL с кривыми номограммы. До a бившись совпадения точек lgdHKL с кривыми номограммы, каждому значению dHKL приписывают индексы HKL, принадлежащие той кривой, которая пересеклась с отметкой dHKL номографической линейки.

11 Для гексагональной сингонии справедливо На рентгенограммах веществ с тетрагональной объемноцентрированной решеткой погашаются линии с нечетной суммой ин 4 1 1 1 4 дексов интерференции.

2 2, lg = lg( + ) + lg (H + HK + K ) - (H + HK + K ) - L c dHKL a2 c2 3 3 На рентгенограммах веществ с ромбоэдрической структурой, ( )2 + a проиндицированных в гексагональных осях, погашаются линии, lgQ'HKL = const + FHKL индексы интерференции которых удовлетворяют неравенству или +Н – К + L 3 n.

lg Q' Li - lg Q' Kk Lk = FHiKi Li - FH k Kk Lk, Ряд других погасаний может возникнуть вследствие наличия в HiKi H k некоторых структурах элементов симметрии с трансляцией. Тем не так что изменяется лишь функция разложения F'HKL, а техника индименее следует стремиться проиндицировать рентгенограмму в наицирования остается той же. Номограммы Бьерстрема для тетрагоменьших индексах, т. е. добиваться совмещения линейки с номональной и гексагональной сингонии даны в таблицах приложения граммой в правой ее части.

[2]. Соответствующие масштабные линейки dHKL даны внизу под ноГрафическое индицирование части рентгенограммы с больмограммами. Так как шими брэгговскими углами может при жестком излучении окаlim = заться невозможным или мало достоверным. В таком случае следует c c ( )2 +для высших порядков рассчитать теоретическую рентгенограмму по a a значениям периодов решетки, полученным из отражений с меньшии ми углами.

Периоды решетки рассчитываются решением системы раlim = 1, c c 0 венств из двух квадратичных форм для двух последних проиндици( )2 +a a рованных линий рентгенограммы. Рекомендуется пользоваться слекривые номограммы Бьерстрема складываются в пучки, тяготеющие дующими формулами:

при с/а к lg(H2+K2) и при с/а0 к lgL2 для тетрагональной синдля тетрагональной сингонии гонии и соответственно к lg(4/3) (Н2 + НК + К2) и lgL2 для гексагоАВ2 - А2В1 AB2 - A2B1 нальной сингонии. а2 = ; c2 =, В2 B1 A1 AПри практическом выполнении графического индицирования - 22 dH1K1L1 dH2K2L2 dH2K2L2 dH1K1Lнеобходимо иметь в виду, что каждая отметка dHKL должна совпасть с какой-либо кривой, тогда как не каждая кривая обязательно должгде A = H2 + К2; В = L2;

на совпасть с какой-либо отметкой. Некоторые кривые могут оказаться вне отметки. Это означает, что линия с соответствующими для гексагональной сингонии индексами (HKL) на рентгенограмме решетки данного типа погаша4 АВ2 - А2В1 AB2 - A2B1 ется. Так, на рентгенограммах веществ с решеткой Г12 погашаются а2 = ; c2 =, В2 B1 A1 Aлинии, индексы интерференции которых удовлетворяют требовани- dH2K2L2 dH1K1LdH1K1L1 dH2K2Lям Н + 2К = 3 n (кратно трем) и L = 2n + 1 (нечетное число).

К числу погашаемых линий, таким образом, относятся (001), где А = Н2 + НК + К2; В = L2.

(003), (111), (113) и др.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.