WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Составитель канд. техн. наук доц. Л. А. Прокушев Государственное образовательное учреждение Рецензент канд. техн. наук доц. В. П. Попов высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ Даются методические указания к выполнению лабораторных работ, посвященных методам моделирования систем, подверженных влиянию случайных факторов. Рассмотрены методы статистического моделирования случайных величин с заданным законом распределения на языке высокого уровня с использованием программного обеспечения ЭВМ. Показаны способы получения выборки случайных чисел и построения статистического ряда, а также его визуализации в виде гистограммы на экране ЭВМ. Приведены формулы для получения оценок параметров распределения случайной величины и аппроксимации статистического распределения методом моментов. Рассмотрен способ проверки гипотезы о законе распределения случайной величиМАТЕМАТИЧЕСКОЕ ны с помощью критерия согласия Пирсона.

Предназначены для студентов специальности «Системы автоматиМОДЕЛИРОВАНИЕ зированного проектирования», изучающих дисциплину «Математическое моделирование в САПР».

В САПР Подготовлены кафедрой компьютерных систем проектирования и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом СанктМетодические указания Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

к выполнению лабораторных работ № 1–3 Редактор А. В. Подчепаева Верстальщик С.Б. Мацапура Подписано к печати 19.07.06. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,25 Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 150 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии Отдел оперативной полиграфии ГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67 Санкт-Петербург 2006 © ГОУ ВПО СПбГУАП, 2006 2 Лабораторная работа № 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ ВВЕДЕНИЕ Цель работы: получение выборки значений непрерывной слуПри проектировании технических объектов и систем возникают чайной величины, распределенной по нормальному закону, и позадачи оценки количественных и качественных закономерностей их строение гистограммы, визуально отражающей на экране компьюфункционирования. Ограниченные возможности экспериментальнотера статистическое распределение выборки случайных чисел.

го натурного исследования приборов и систем, а иногда и невозСодержание работы: разработка и отладка алгоритмов и проможность такого исследования в силу различных причин, вызывает граммных модулей получения случайных чисел, вычисления статинеобходимость использования математических моделей. Построестического ряда и представления его в виде таблицы, а также поние математических моделей приборов и систем позволяет в соотстроения его гистограммы.

ветствующей форме представить процессы функционирования объекта моделирования, что дает возможность при экспериментах с мо1.1. Методические указания к выполнению работы делью оценить характеристики исследуемых систем при их проекСтатистическим моделированием случайной величины Х с затировании.

данным распределением вероятностей называется процесс получеНа математической модели проектируемого объекта или систения последовательности выборочных значений xi (I = 1, 2, …, n) мы можно исследовать стохастический (случайный, вероятностный) этой случайной величины.

характер поведения элементов системы и их взаимовлияния с окруСлучайные величины с заданным законом распределения обычжающей средой.

но моделируют на компьютере не непосредственно, а на основе исЦикл лабораторных работ по дисциплине «Математическое мопользования базового распределения, удовлетворяющего требоваделирование в САПР » включает работы по моделированию случайниям простоты получения выборочных значений и удобства преобных факторов, которые необходимо оценить при проектировании разования в распределение с заданным законом. Этим требованиям систем с использованием такого инструмента проектировщика как удовлетворяет равномерное распределение [1, с. 31–34].

языки высокого уровня.

Пусть дана последовательность чисел, являющихся выборочными значениями случайной величины R, имеющей равномерное распределение в интервале [0, 1]. Конкретные значения ri (i = 1, 2, …) такой случайной величины принято называть случайными числами.

Для получения последовательностей случайных чисел на компьютере в библиотеке научных программ систем программирования имеется программный генератор (датчик) псевдослучайных чисел с квазиравномерным распределением. Например, в системе программирования языка С++ есть такой генератор-функция random(), который вырабатывает целые случайные числа в интервале [0, 32767].

3 Для получения случайных чисел следует воспользоваться вначале xi' = функцией randomize(), задающей начальное число. Равномерно распре- r j j=деленные целые числа получаются функцией random(RAND_MAX) в инхарактеристики аn = 6 и n = 1, при этом дисперсия Dn = n2 = 1 (татервале [0, RAND_MAX], где RAND_MAX = 32767. Равномерно распрекое нормальное распределение называется нормированным). Путем деленные вещественные числа из интервала [0, 1] можно получить, исцентрирования математического ожидания придем к стандартному пользуя выражение r = (float)random(RAND_MAX)/RAND_MAX.



Для проверки равномерности последовательности случайных нормальному распределению с характеристиками аn = 0, n = 1 и чисел {ri} можно воспользоваться следующими оценками: Dn = 1 со значениями, вычисляемыми по формуле:

среднего значения xi' = - 6. (1) N r j j=r = r = 0,i N i=График стандартного нормального распределения на декартовой и дисперсии плоскости с координатными осями (Х, Y) имеет вид колоколообразN ной кривой, симметричной относительно оси Y.

DR = r =1/ 3, Производя обратные операции, из полученной случайной велиi N i=чины можно получить нормально распределенную случайную велигде N – количество чисел.

чину с любыми заданными характеристиками (a, ) со значениями, В данной работе предусмотрено изучение случайных величин, вычисляемыми по формуле:

распределенных по нормальному закону. Способ преобразования xi = xi' + a. (2) равномерно распределенных чисел в числа с нормальным распредеДля оценивания законов распределения случайной величины Х лением базируется на использовании центральной предельной теовыборочная совокупность случайных чисел {xi } (I = 1, 2, …, n, где n ремы теории вероятностей [2]: пусть Х1, Х2, …, Хn – последователь– объем выборки) должна быть соответствующим образом обрабоность взаимно независимых случайных величин с одинаковым растана. Одним из способов такой обработки является построение стапределением, где каждая Хi имеет математическое ожидание а и тистического ряда.

среднее квадратическое отклонение, тогда при n сумма Х = С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений величины Х = Х1+ Х2+ …+ Хn имеет асимптотически нормальное распределение с делится на интервалы (разряды). Шаг h (длина интервала) опредематематическим ожиданием аn = n·a и средним квадратическим отляется из соотношения клонением n = n (при этом дисперсия Dn = n2).

h = (xmax – xmin) / k, (3) Для равномерно распределенной в интервале [0, 1] случайной где xmax, xmin – соответственно максимальное и минимальное значение xi величины R математическое ожидание а = 1/2 и среднее квадратичев выборке; k – число интервалов (k = 1015). Левая граница 1-го интерское отклонение =1/(2 3). Если выбрать в качестве слагаемых вала g0 = xmin, правая граница k-го (последнего) интервала gk = xmax, границы между интервалами gj = xmin + jh, (j = 1, 2, …, k–1).

случайные равномерно распределенные числа ri, получим следуюПо разделенной на разряды выборочной совокупности строится 1 n щие характеристики: an = n / 2, n =.

таблица, которая называется статистическим рядом. Задаются но2 мера разрядов j = 1, 2, …, k; их границы gj–1 – gj ; частота mj – колиНа практике можно получить достаточное приближение к норчество значений выборки xi, приходящихся на j-й разряд; относимальному распределению при n = 56, но для удобства вычислений тельная частота pj = mj / n; накопленная частота pj, причем ее знаположим n = 12. Тогда для суммы 5 чение в последней строке должно быть равно 1 (с точностью ма- 5. Представить на экране гистограмму относительных частот, шинных вычислений). задав градуировку и значения на осях X и Y.

Таблица 6. Исходные данные для моделирования необходимо вводить с Статистический ряд клавиатуры.

№ Границы Частота Относительная Накопленная разряда разрядов mj частота частота pj = mj/n pj 1 xmin – g1 m1 p1 p2 g1 – g2 m2 p2 p1+ p… j gj-1 – gj mj pj p1+…+ pj … k gk -1 – xmax mk pk p1+…+ pk Статистический ряд можно представить графически в виде гистограммы (ступенчатой диаграммы). Для этого на экране компьютера строится декартова плоскость с осям координат (Х, Y). Задав масштаб изображения в окне экрана, позволяющем занять гистограммой большую часть окна, по данным относительных частот (столбцы 1, 2, 4) на каждом разряде строится прямоугольник с высотой, соответствующей в принятом масштабе значению pj. Построенная гистограмма относительных частот является аналогом функции плотности f(x). При увеличении числа объема выборки и уменьшении длины интервалов гистограмма будет приближаться к графику функции плотности распределения случайной величины Х.

1.2. Порядок выполнения работы 1. Составить подпрограмму генератора получения значения равномерно распределенной величины и проверить последовательность таких чисел на равномерность, получив оценки среднего значения и дисперсии для N = 500800, и вывести результаты проверки.

2. Составить подпрограмму получения одного значения случайной величины, распределенной по нормальному закону с заданными характеристиками, согласно формулам (1, 2).

3. Получить выборочную совокупность случайных чисел заданного объема.

4. Обработать выборку и представить на экране статистический ряд.

7 ные значения называют также статистическим оценками соответствующих характеристик случайной величины.

Лабораторная работа № Аналогичным образом могут быть вычислены оценки и других моментов статистического распределения.

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ И АППРОКСИМАЦИЯ Во всяком статистическом распределении неизбежно присутстСТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ вуют элементы случайности, связанные с ограниченностью числа СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ наблюдений и конкретным выбором той или иной совокупности.

Цель работы: по выборке значений статистического распредеДля получения более точных сведений и для последующей боления вычислить выборочное среднее значение и дисперсию и, раслее удобной обработки можно выполнить аппроксимацию (выравсматривая их как моменты теоретического распределения случайнивание, сглаживание) статистического распределения путем подной величины, по этим параметрам построить выравнивающую крибора некоторой теоретической кривой, выражающей лишь существую на графике гистограммы.





венные черты статистического материала, а не случайности, связанСодержание работы: разработка и отладка программных модуные с недостаточностью объема экспериментальных данных. При лей для вычисления оценок характеристик случайной величины по этом, как правило, вид теоретической кривой выбирается заранее из выборке и построение выравнивающей кривой на гистограмме на соображений, связанных с существом задачи.

основе метода моментов.

Выравнивание сводится к рациональному выбору тех значений параметров, входящих в аналитическое выражение кривой распре2.1. Методические указания к выполнению работы деления, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями оказываются наилучшими.

По имеющейся выборке значений случайной величины Х {x1, x2, Для решения этой задачи чаще всего используются метод наи…, xn,} можно вычислить характеристики статистического распременьших квадратов и метод моментов. Рассмотрим метод моментов деления:

как более простой.

выборочное среднее Предположим (т.е. примем гипотезу), что экспериментальные n значения в выборке {x1, x2, …, xn} распределены по нормальному за x = (4) x i n i=1 кону, функция плотности которого выражается формулой:

и выборочную дисперсию (x-a)nn f (x) = e, (6) DX = (5) x - 1 x.

i i n n2 i=i=где параметры: а – математическое ожидание; – среднее квадраСогласно закону больших чисел при неограниченном увеличе- тическое отклонение; 2 – дисперсия.

нии числа наблюдений (объема выборки) эти характеристики будут Метод моментов сводится к такому подбору параметров выприближаться (сходиться по вероятности) к математическому ожи- бранной кривой закона распределения, чтобы несколько важнейших данию и дисперсии случайной величины Х. числовых характеристик (моментов) теоретического распределения При ограниченном числе опытов эти величины будут случай- были равны соответствующим статистическим характеристикам.

ными (для разных выборочных совокупностей они будут иметь раз- Для нормального распределения с двумя параметрами – матеные значения), тем не менее они могут быть приняты как приблиматическим ожиданием а и дисперсией 2 их следует определить женные оценки характеристик случайной величины Х, вычисленные так, чтобы на основе данной выборочной совокупности. Поэтому эти выбороч9 обеспечить равенство среднему выборочному x и выборочной дисперсии S2 = DX. Для этого примем а = x, 2 = S2 и подставим в Лабораторная работа № выражение (6) для функции плотности ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (x-x )СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 2S f (x) = e. (7) S Цель работы: проверить гипотезу о мере расхождения экспериЗатем вычисляем значения f(x) в пределах границ выборки стаментального и теоретического распределений с помощью критерия тистического ряда [xmin, xmax] и на графике гистограммы строим высогласия Пирсона.

равнивающую кривую.

Содержание работы: разработка и отладка программных модулей проверки гипотезы о законе распределения случайной величи2.2. Порядок выполнения работы ны.

1. Составить подпрограмму вычисления значений выборочного 3.1. Методические указания к выполнению работы среднего и выборочной дисперсии согласно формулам (4, 5) и вывода на экран.

При выравнивании статистического ряда принимается гипотеза 2. Составить подпрограмму вычисления значений функции о том, что закон распределения изучаемой выборочной совокупноплотности в пределах границ выборки по формуле (7) и вывода высти значений случайной величины имеет вид f(x), например, в нашей равнивающей кривой на графике гистограммы.

работе – нормальный закон (6). Однако между гипотетической теоретической кривой и статистическим распределением неизбежны явные расхождения. График плавной теоретической кривой накладывается на ступенчатую фигуру гистограммы, и при этом наблюдаются выбросы и провалы последней относительно графика функции. Методы проверки статистических гипотез называются критериями согласия [2].

Критерий согласия – это специально подобранная случайная величина H(x1, x2, …, xn,), являющаяся функцией выборки, определяющая меру расхождения экспериментального и теоретического распределений.

Гипотеза, которая проверяется, называется нулевой и обозначается Н0, а гипотеза, которая противопоставляется нулевой, называется альтернативной (или альтернативой) – Н1. Выделение гипотезы Н0 состоит в том, что нулевая гипотеза рассматривается как утверждение, которое более важно, если оно отвергнуто.

При проверке гипотез возможны два рода ошибок. Ошибка 1-го рода – когда отвергается верная гипотеза Н0. Ошибка 2-го рода – когда принимается неверная гипотеза Н0.

Вероятность ошибки 1-го рода принято обозначать = р (отвергается Н0 | неверна Н1 ) (символ | обозначает «при условии, что»).

11 Величина называется уровнем значимости критерия, и ее значения ского ряда, или, иначе говоря, между частотами mj и теоретическидолжны быть малыми ( = 0,1; 0,05; 0,01 и т.д.), так как ошибка 1-го ми данными npj.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.