WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ ПРОГРЕССИИ Учебно-методическое пособие для школьников © К. Л. Самаров, 2010 © ООО «Резольвента», 2010 Определение 1. Рассмотрим два произвольных числа a и d. Числовую последовательность a1, a2, a3,..., an,..., заданную формулами a1 = a, a2 = a1 + d, a3 = a2 + d,..., an+1 = an + d,..., (1) называют арифметической прогрессией, а число d называют разностью данной арифметической прогрессии.

В случае d > 0 арифметическую прогрессию называют возрастающей.

В случае d < 0 арифметическую прогрессию называют убывающей.

В случае d = 0 все члены арифметической прогрессии равны числу a, и арифметическую прогрессию называют стационарной.

Пример 1. Числовая последовательность 2, 5, 8,...,an,..., ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 1 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 заданная соотношениями a1 = 2, an = an-1 + 3, n = 2,3,..., является арифметической прогрессией, у которой a1 = 2, d = 3.

Пример 2. Числовая последовательность задана формулой an = 3 + 5n, n =1,2,3,...

Является ли эта последовательность арифметической прогрессией Решение. Поскольку an+1 = 3 + 5 n +1 = 3 + 5n + 5 = an + 5, ( ) то при всех значениях n =1,2,3,... для данной последовательности выполнены соотношения (1), и она является арифметической прогрессией, у которой a1 = 8, d = 5.

Ответ: данная последовательность является арифметической прогрессией.

Определение 2. Рассмотрим два произвольных числа b и q, удовлетворяющих условиям:

b 0, q 0, q 1.

Числовую последовательность b1, b2, b3,..., bn,..., заданную формулами b1 = b, b2 = b1q, b3 = b2q,..., bn+1 = bnq,..., (2) называют геометрической прогрессией, а число q называют знаменателем данной геометрической прогрессии.

В случае q > 0 все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком числа b.

В случае q < 0 знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

В случае -1< q <1 геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример 3. Числовая последовательность ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-2, 6, 18,..., bn,..., заданная соотношениями b1 = 2, bn = bn-1 3, n = 2,3,..., является геометрической прогрессией, у которой b1 = 2, q = 3.

Пример 4. Числовая последовательность задана формулой bn = 35n, n =1,2,3,...

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией Решение. Поскольку bn+1 = 35n+1 = 35n 5 = bn 5, то при всех значениях n =1,2,3,... для данной последовательности выполнены соотношения (2), и она является геометрической прогрессией, у которой b1 =15, q = 5.

Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией.

Для арифметической прогрессии с разностью d справедливы соотношения a2 = a1 + d = a1 + (2 -1)d, a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d = a1 + (3 -1)d, a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d = a1 + (4 -1)d, Таким образом, при всех значениях n =1,2,3,... выполнено равенство:

an = a1 + (n -1)d, (3) которое называют формулой для общего члена арифметической прогрессии.

Для геометрической прогрессии со знаменателем q справедливы соотношения b2 = b1q = b1q1 = b1q2-1, b3 = b2q = b1q2 = b1q3-1, b4 = b3q = b1q3 = b1q4-1, Таким образом, при всех значениях n =1,2,3,... выполнено равенство:

bn = b1qn-1, (4) ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-которое называют формулой для общего члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим теперь три любых последовательных члена арифметической прогрессии:

an-1, an, an+1.

Поскольку an = an-1 + d; an = an+1 - d, 2an = an-1 + d + an+1 - d = an-1 + an+1, то справедливо равенство:

an-1 + an+an =, (5) которое называют характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Рассмотрим три любых последовательных члена геометрической прогрессии:

bn-1, bn, bn+1.

Поскольку bn+bn = bn-1q; bn =, q bn+bn2 = bn-1q = bn-1 bn+1, q то справедливо равенство bn2 = bn-1 bn+1, (6) которое называют характеристическим свойством геометрической прогрессии.

Если для суммы n первых членов арифметической прогрессии ввести обозначение Sn = a1 + a2 +... + an, то будут справедливы следующие формулы:

a1 + an Sn = n, (7) ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-2a1 + (n -1)d Sn = n. (8) Действительно, из формулы (3) вытекают соотношения:

a1 + an = a1 + a1 + (n -1)d = 2a1 + (n -1)d, a2 + an-1 = a1 + d + a1 + (n - 2)d = 2a1 + (n -1)d, … an-1 + a2 = a1 + (n - 2)d + a1 + d = 2a1 + (n -1)d, an + a1 = a1 + (n -1)d + a1 = 2a1 + (n -1)d.

Поэтому Sn = a1 + a2 +... + an = a1 + a2 +... + an + an + an-1 +... + a1 = ( ) ( ) = a1 + an + a2 + an-1 +... + an + a1 = ( ) ( ) ( ) a1 + an 2a1 + (n -1)d = n = n, 2 что и требовалось доказать.

Если для суммы n первых членов геометрической прогрессии ввести обозначение Sn = b1 + b2 +... + bn, то будет справедлива формула:

qn -Sn = b1. (9) q -Действительно, из формулы (4) получаем:

Sn = b1 + b2 +... + bn = b1(1+ q + q2 +... + qn-1). (10) Поэтому Sn = b1(1+ q + q2 +... + qn-1), qSn = qb1(1+ q + q2 +... + qn-1) = b1(q + q2 +... + qn-1 + qn), qSn - Sn = b1(q + q2 +... + qn-1 + qn) - b1(1+ q + q2 +... + qn-1) = = b1 qn - b1 1 = b1(qn -1).

Следовательно, ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-qSn - Sn = (q -1)Sn = b1(qn -1), qn -Sn = b1, q -что и требовалось доказать.

Замечание. Из формул (9) и (10) вытекает соотношение:

qn -1 = q -1 qn-1 + qn-2 +... + q +1, (11) ( ) ( ) следствием которого является формула для разложения двучлена xn - yn на множители:

xn - yn = x - y xn-1 + xn-2 y + xn-3y2 +... + xyn-2 + yn-1. (12) ( ) ( ) Например, x2 - y2 = x - y x + y, ( )( ) x3 - y3 = x - y x2 + xy + y2, ( ) ( ) x7 - b7 = x - y x6 + x5y + x4 y2 + x3y3 + x2 y4 + xy5 + y6.

( ) ( ) Для доказательства формулы (12) совершим в формуле (11) подстановку:

x q =.

y В результате формула (12) примет вид:

xn x xn-1 xn-2 x -1 = -1 + +... + +1, yn y yn-1 yn-2 y откуда, при помощи умножения на yn, и получается формула (12).

Из формулы (12) вытекает формула для разложения двучлена x2m+1 + y2m+1 на множители ( m натуральное число):

x2m+1 + z2m+1 = x + z x2m - x2m-1z + x2m-2z2 -... - xz2m-1 + z2m. (13) ( ) ( ) Например, x3 + z3 = x + z x2 - xz + z2, ( ) ( ) x7 + z7 = x + z x6 - x5z + x4z2 - x3z3 + x2z4 - xz5 + z6.

( ) ( ) ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Для доказательства формулы (13) достаточно в случае n = 2m +1 совершить в формуле (12) подстановку y = -z.

Пример 5. Пятый член арифметической прогрессии равен 3. Найти сумму первых девяти членов прогрессии.

Решение. Воспользовавшись формулами (8) и (3), получаем:

2a1 + (9 -1)d 2a1 + 8d S9 = 9 = 9 = a1 + 4d 9 = a5 9 = 39 = 27.

( ) 2 Ответ: 27.

Пример 6. Сумма первого и второго членов арифметической прогрессии равна седьмому члену, а пятый член этой прогрессии равен 18. Найти первый член этой прогрессии.

Решение. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений:

a1 + a2 = a7, a1 + a1 + d = a1 + 6d, a1 = 5d, a5 =18 a1 + 4d =18 a1 + 4d = a1 = 5d, a1 = 5d, a1 =10, 9d =18 d = 2, d = 2.

Ответ: a1 =10.

Пример 7. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

Решение. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений:

a - a2 = a7, a1 + 3d - a1 - d = a1 + 6d, a1 = -4d, =1 + 6d =1 + 6d =a7 a1 aa1 = -4d, a1 = -2, a1 = -4d, 1 2d =d = 2, d = 2.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Ответ: a1 = -2.

Пример 8. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 351, а сумма следующих трех членов равна 13. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений:

b1 + b2 + b3 = 351, b + b1q + b1q2 = 351, (1+ q + q2) = 351, b 1 + b5 + b6 =b4 b1q3 + b1q4 + b1q5 =13 b1(1+ q + q2)q3 = 1 b (1+ + ) = 351, b1(1+ q + q2) = 351, b (1+ q + q2) = 351, 1 3 13 1 351q =13 q = 3 = 3 = q = 351 27 13 b = b1 = 351, = 243, 9 q = 1 q = 1.

3 Ответ: b1 = 243, q =..

Пример 9. Три числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Если из первого числа этой прогрессии вычесть 4, то полученные числа в том же порядке составят арифметическую прогрессию, сумма членов которой равна 9. Найти первый член полученной арифметической прогрессии.

Решение. Поскольку числа b1, b2, b3 в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию, то справедливо равенство:

b22 = b1b3.

Поскольку числа b1 - 4, b2, b3 в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию, то справедливо равенство:

b1 - 4 + bb2 =.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Поскольку сумма чисел b1 - 4, b2, b3 равна 9, то справедливо равенство:

b1 - 4 + b2 + b3 = 9.

Таким образом, возникает система уравнений:

b22 = b1b3, b1 + b2 + b3 =13, b1 + b2 + b3 =13, b1 - 4 + b, - 2b2 + b3 = 4, = 9, b = b 3b 2 1 b = b1b3 b = b1b2 2 - 4 + b2 + b3 = bb1 + b3 =10, b1 + b3 =10, b1 + b3 =10, = 3, = 3, = 3, b b b 2 2 b b3 = 9 b (10 - b1) = 9 b -10b1 + 9 = 1 b1 + b3 =10, b1 + b3 =10, b1 = 9, b1 =1, b b b b = 3, = 3, = 3, = 3, 2 2 2 b = 9 b =1 b =1 b = 9.

1 1 3 Поскольку числа b1, b2, b3 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, то b1 =1, b2 = 3, b3 = 9. Следовательно, первый член арифметической прогрессии b1 - 4, b2, b3 равен -3.

Ответ: -3.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 30.

Найти третий член прогрессии.

2. Сумма второго и восьмого членов арифметической прогрессии равна десятому члену, а пятый член этой прогрессии равен – 20. Найти первый член этой прогрессии.

3. Шестой член арифметической прогрессии равен 2,5 и равен четвертому члену, умноженному на 5. Найти первый член прогрессии.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-4. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 39, а сумма следующих трех членов равна 1053. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

5. Три числа составляют убывающую арифметическую прогрессию. Если к первому члену этой прогрессии прибавить 4, то полученные числа в том же порядке составят геометрическую прогрессию, произведение членов которой равно 27. Найти первый член арифметической прогрессии.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.