WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

При практической реализации на ЭВМ многих методов нелинейного программирования, таких, как метода штрафных функций, метода модифицированной функции Легранжа и т.д., значительная доля машинного времени тратится на обеспечение строгого выполнения требований допустимости. Алгоритм МСД позволяет улучшить значение оптимизационного критерия (масса, объём) как за счёт информации, полученной в допустимых точках пространства решения, так и за счёт информации, которую удаётся получать при прохождении через некоторые точки, лежащие вне допустимой области, но являющиеся близкими к допустимым. Интервал, в пределах которого точки можно считать почти допустимыми, в ходе оптимизационного поиска постепенно сокращается, и в пределе по мере приближения к искомому решению, учитываются только допустимые точки.

При такой стратегии оптимизационного поиска задача получения конструкции минимальной массы (объёма) методом МСД формулируется следующим образом:

– минимизировать V(h), h D ; (2.8) – при ограничении Ф(k) - Т(h) 0, (2.9) где Ф(k) – значение критерия скользящего допуска на k-м этапе поиска, определяемое соотношением:

r + m +k) Ф(k) = minФ(k -1); hi(k) - hi(+ r +, (2.10) i= Ф(О) = 2(m +1) t где t – величина шага вычислений; r = (n-m) – число степеней свободы целевой функции массы (объёма); n – число независимых переменных;

m – число ограничений в виде равенств; T(h) – представляет собой положительно определённый функционал над множеством всех функций, задающих ограничения как в виде равенств Hi(h), так и в виде неравенств Gi(h), определяемый соотношением:

1 p m T(h) = (h)+ Gi2(h), (2.11) Hi Ui i =1 i=m+ где Ui – оператор Хевисайда, обладающий следующими свойствами:

Ui = 0 при Gi (h) 0; Ui = 1 при Gi (h) < 0.

Общая схема работы алгоритма МСД показана на рис. 1.5. Условие прекращения оптимизационного поиска по МСД является T(h(k +1)) Ф(k), (2.12) где – произвольно малое положительное число, принимаемое 10–5…10–3.

Программа "FLEXIPRESS" решения задачи по определению конструкции минимальной массы на языке BASIK для персональных ЭВМ методом МСД приведена в прил. (Программа 6).

Так как рассматриваемый здесь метод оптимизации МСД позволяет находить только локальный минимум, то при решении задачи выбираются не одна, а несколько стартовых точек hi(0) (i = 1, 2, …).

Разумеется, такой подход не гарантирует достижения глобального минимума в найденной точке, однако вероятность этого несколько увеличивается при увеличении стартовых точек. Целесообразным является также использование известных приёмов, применяемых в проектной практике, как, например, рассмотрение элементов типа оболочек и стержней в безмоментном напряжённом состоянии; упрощение расчётной схемы; приведение двумерных задач к одномерным; использование нормативных требований; использование данных о прототипах конструкций и т.п.

Кроме того, по мнению и опыту многих авторов, целевая функция корректно сформулированной задачи оптимизации реальных физических процессов является достаточно хорошей и обладает единственным экстремумом.

В качестве примера рассмотрим задачу по оптимизации конструкции трёх типов прессов: колонного, рамного и челюстного.

2.2. ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЁХКОЛОННОГО ЛИТЬЕВОГО ПРЕССА УСИЛИЕМ 6300 кН. ПРИМЕР Исходные данные: 2Р0 = 6300 кН; а = 1120 мм; b = 1000 мм;

d = 500 мм; l2 = 2000 мм; []1 = []2 = []3 =110 МПа; Е = 2 105 МПа;

µ = 0,3; материал плит и колонн Сталь 45Л, нагрузка – пульсирующая.

В качестве искомых проектных параметров пресса принимаем:

толщину верхней плиты х1 = h1; толщину нижней плиты х3 = h3; диаметр колонн х2 = d.

Ограничения на проектные параметры: а1 h1 b1; а2 h2 b2;

а3 h3 b3, где а1 = а3 = 250 мм, а2 = 100 мм; b1 = b3 = 450 мм; b2 = 200 мм.

1. Определение оптимальных параметров пресса из условия дискретно-равнопрочного проекта.

Для нахождения проектных параметров пресса итерационным методом запишем систему уравнений (2.5) для трёх ограничений:

K1(x1, x2, x3)-1 = K2(x1, x2, x3)-1 = 0, (2.13) K3(x1, x2, x3)-1 = где 3a 3a 32lP0 + + 3 3 (b max (1) - d0)x1 bx3 x э K1 = = ;

12 12 64l2 - d0)[]x[] (b + + 3 3 (b - d0)x1 b x3 x2a 3a 3a 32l P0 + + 3 3 (b max (2) 2P0 a - d0) x1 bx3 x2 э K2 = = + - ;

P 2 12 12 64l2 x[] x2[] [] + + 3 3 (b - d0) x1 bx3 x2a 3a 3a 32lP0 + + 3 3 (b max(3) - d0) x1 bx3 x э K3 = =, 12 12 64l2 b[]x[] + + 3 3 (b - d0) x1 bx3 x2a где max эj – максимальные эквивалентные напряжения по IV гипотезе прочности в верхней, нижней плитах и колоннах пресса ( j = 1, 2, 3).

Для решения системы уравнений (3.91) используем итерационную формулу (3.85) при ограничениях на параметры:

250 х1 450 мм; 100 х2 200 мм; 250 х3 450 мм.

Условия прекращения итерационного процесса:

(p) K (X )-1 = 0,05, ( j = 1, 2, 3).

j В результате решения задачи построены кривые ограничения Kj (х1, х2, х3) = 1 (рис. 2.3.) и получены значения параметров пресса x1, x2, x3, соответствующие дискретно-равнопрочному проекту:

~ ~ ~ ~ ~ ~ x1 = h1 = 430 мм ; x2 = h2 = 180 мм ; x3 = h3 = 304 мм.

Итерационный процесс по формуле (2.13) сходится за 50 итераций. При этом объём (масса) конструкции пресса, соответствующий дискретно-равнопрочному проекту составил ~ d0 ~ ~ ~ ~ V (x1, x2, x3) = x1ab - x1 + x2l2 + x3 ab = 939 106 мм3 = 0,939 м3.

На рисунке 2.3. изображены кривые ограничения по прочности K1 = 1; K2 = 1; K3 = 1 и область допустимых решений D (Kj < 1). Из анализа полученных кривых видно, что функции ограничений нелинейны.

Кривая ограничения K2 = 1 почти вертикальная. Это говорит о том, что все кривые ограничения имеют общую вершину, являющуюся опти~ ~ ~ мальной точкой для дискретно-равнопрочного проекта ( h1, h2, h3 ).

2. Определение оптимальных параметров пресса из условия проекта минимального объёма (массы).

Дискретно-равнопрочная конструкция пресса будет конструкцией минимального объёма (массы), если помимо выполнения ограничений по прочности и геометрических параметров выполняется условие минимального объёма (массы):

d0 V(x1, x2, x3)= minV(x1, x2, x3)= x1ab - + x2 l2 + x3ab ;

x 1(h1), мм x3(h3) Области допустимых решений D K1 = А K1 < ~ vmin = const x1 = K2 = ~ K3 < K3 = B x3 = v min = const x2(h2), мм 0 100 200 300 400 ~ ~ x2 = x2 = Рис. 2.3. Кривые ограничения и оптимальные точки для колонного пресса при ограничениях в виде неравенств:

– по прочности:

g1 (х1, х2, х3) = 1 - K1 0, g2 (х1, х2, х3) = 1 - K2 0, g3 (х1, х2, х3) = 1 - K3 0;

– по геометрическим параметрам:

а1 х1 b1, а2 х2 b2, а3 х3 b3.

Для получения проекта минимального объёма используется метод скользящего допуска (МСД) при следующих данных: размер шага вычис( лений t = 10 мм; начальная стартовая точка x1(0)= 150 мм, x20) = 150 мм;

( x30) = 150 мм; число, определяющее окончание процесса поиска оптимального решения = 10–3;

В результате решения поставленной задачи на ЭВМ с использованием Программы 5 (МСД) (прил.) получены следующие значения оптимальных проектных параметров пресса:

x1 = h1 = 431 мм ; x2 = h2 = d = 175 мм ; x3 = h3 = 305 мм.

При этом минимальный объём конструкции составил Vmin = 0,932 м3.

Анализ методов расчёта (дискретно-равнопрочных проекций и проект минимальной массы) показывает, что задача одноэкстремальна и дискретно-равнопрочный проект почти совпадает с проектом минимальной массы (объёма). Это объясняется тем, что колонны пресса работают в основном на растяжение, и поэтому верхняя и нижняя плиты практически не связаны изгибной жёсткостью колонн.

В противном случае, при большей изгибной жёсткости колонн параметры пресса для обоих проектов могут значительно отличаться и, как правило, в качестве окончательных оптимальных параметров принимаются параметры из условия проекта минимального объёма (массы).

Итак, при проектировании колонного литьевого пресса ПЛВ-необходимо принимать следующие оптимальные параметры:

h1 = 431 мм ; h2 = d = 175 мм ; h3 = 305 мм, при минимальном объёме конструкции Vmin = 0,932 м3.

2.3. ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ГИДРОПРЕССА РАМНОГО ТИПА С НОМИНАЛЬНЫМ УСИЛИЕМ 2500 кН. ПРИМЕР Исходные данные [7]: 2Р = 2500 кН; l1 = 1850 мм; l2 = 1160 мм;

l3 = 150 мм; l4 = 430 мм; l5 = 242 мм; l6 = 333 мм; материал рамы пресса сталь Ст3, E = 200 000 МПа; µ = 0,3; []1 = []2 = []3 = []= 110 МПа P (цикл пульсирующий), q = = 36700 Н/мм.

lВ качестве искомых проектных параметров пресса принимаем:

высоту сечения верхнего пояса h1 = x1 ; высоту сечения нижнего пояса h3 = x3; ширину сечения вертикальных стоек h2 = x2 (см. рис. 2.2).

При этом в расчётах приняты следующие ограничения на размеры проектных параметров:

500 x1 700 мм; 300 x2 500 мм; 500 x3 700 мм.

1. Определение оптимальных параметров пресса из условия дискретно-равнопрочного проекта.

Система уравнений для ограничений прочности (2.14) для определения параметров x1, x2, x3 имеет вид max -1 = [] max -1 = 0, (2.14) [] max -1 = [] где max1, max2, max3 – максимальные напряжения соответственно в верхнем поясе, боковых стойках и нижнем поясе рамы пресса, определяемые из уравнений:

Mmax 1 = 0,516x1, 0,0121xql6 l4 + M0 + N0 lqlmax 2 = 0,26x2 +, 4 0,00081x2 0,08xql6 (l5 + 0,5l6 - l4) max 3 = 0,8x3.

0,0108xЗдесь M0, N0 – изгибающий момент и нормальная сила в среднем сечении верхнего пояса рамы, определяемые по формулам:

3 q l6 l4 q l6 l4 l1 q l6 3 2 2 l1 l1 l - + + l2 - l6 + 2J1 J2 6J3 4 3J2 2J M0 = + 2 3 l1ll1 l2 l1 l2 l1 l1 l + - + + + 2J1 2J3 2J1 J2 2J3 3J2 2J q l6 l4l1 q l6 l1 3 2 2 l1 l1 l + l - l6 + 2J2 6J3 4 2J2 2J + ;

q l6 l4l1 q l6 l1 3 2 2 l2 l1 l - + l - l6 + + 2J2 6J3 4 2J1 J2 2J N0 = + 2 3 l1ll1 l2 l1 l2 l1 l1 l + - + + + 2J1 2J3 2J1 J2 2J3 3J2 2J q l6 l4 ql6 l4 l1 q l6 3 2 2 l1 l1 l + + l2 - l6 + 2J1 J2 6J3 4 2J2 2J +, 4 4 где J1 = 0,0121 x1 ; J2 = 0,00081 x2 ; J3 = 0,0108 x3 – момент инерции сечений рамы пресса.

Решение системы уравнений (2.14), проводится итерационным способом по формуле (2.13) за 50 итераций. На рисунке 2.4 представлены кривые ограничения и получены параметры пресса, соответствующие дискретно-равнопрочному проекту:

~ ~ ~ ~ ~ ~ x1 = h1 = 600 мм ; x2 = h2 = 419 мм ; x3 = h3 = 700 мм.

Объём конструкции при этом составил ~ ~ ~ V = F1l2 + 2 F2l1 + F3l2 = 1,797 105 мм3 = 1,797 10–4 м3, ~ ~ ~ 2 2 где F1 = 0,118 x1 ; F2 = 0,08 x2 ; F3 = 0,151 x3 – площади сечений элементов рамы пресса.

2. Определение оптимальных параметров пресса из условия проекта минимального объёма.

V( x1, x2, х2, x2 ) = minV (x1, x2, x3) = 0,118 x1 + 2 + 20,080,08 x2 + 0,151 x3.

x1(h1), мм x3(h3) Области допустимых K2 = решений D K3 = А ~ x3 = vmin = const B ~ x1 = vmin = const O 300 0 400 400 400 400 400 x2(h2), мм ~ ~ x2 = x2 = 390,Рис. 2.4. Кривые ограничения и оптимальные точки для рамного пресса Как и в примере 1, для получения проекта минимального объёма используется метод МСД при следующих данных: размер шага вычис( ( ления t = 5 мм; начальная стартовая точка x10) = 400 мм; x20) = 400 мм;

( x30) = 400 мм; число, определяющее окончание процесса поиска оптимального решения = 10–3.

Результаты расчёта по МСД позволяют определить оптимальные значения проектных параметров для рамного пресса:

x1 = h1 = 588 мм; x2 = h2 = 415 мм; x3 = h3 = 692 мм.

Минимальный объём составил Vmin = 1,704 105 мм3 = 1,704 10–4 м3.

Как и в примере 1, имеет место совпадение параметров дискретно-равнопрочного проекта и проекта минимальной массы. Этого и можно было ожидать, так как на практике размеры вертикальных колонн или стоек, как правило, подбираются из условия прочности на растяжение, а изгибные напряжения в них незначительны.

2.4. ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЧЕЛЮСТНОГО ПРЕССА УСИЛИЕМ 1000 кН. ПРИМЕР Исходные данные: Р = 1000 кН; а = 580 мм; b = 260 мм;

Материал рамы пресса Ст. 3, Е = 2 105 МПа, µ = 0,3; [] = 110 МПа (цикл пульсирующий).

В качестве искомых проектных параметров пресса принимаем:

высоту сечения верхнего ригеля h1 = x1; высоту сечения нижнего ригеля h3 = h1 = x1; ширину сечения вертикальной стойки рамы h2 = x2.

Схема общего вида рамы челюстного пресса вместе с геометрическими размерами представлена на рис. 2.5.

Конструкция челюстного пресса представляет собой статически определимую самоуравновешенную раму. В расчётах приняты следующие ограничения на размеры сечений проектных параметров:

500 x1 600 мм; 600 x2 650 мм; 500 x3 600 мм;

Согласно [25], дискретно-равнопрочный проект для статически определимых систем совпадает с проектом минимальной массы. Поэтому все проектные размеры находим из условия дискретно-равнопрочного проекта.

А А 320 А–A b = 0,05h1 0,05hP А a = P А M = Pa max 260 M = Pb P xa Б–Б Б Эпюра "N" Б P Mmax MA P x2 = hРис. 2.5. Общий вид челюстного пресса и его расчётная схема x h = x 0,h 0,h x Система уравнений для ограничений по прочности (2.14) для определения геометрических параметров x1, x2, x3 записывается в виде max -1 = [] max -1 = 0, (2.15) [] max -1 = [] где max1, max2, max3 – максимальные напряжения соответственно в верхнем ригеле, стойке и нижнем ригеле рамы, определяются следующими уравнениями:

Pb P Pa max 1 = max 3 = ; max 2 = +.

3 2 0,017x1 0,1x1 0,017hТак как рама статически определимая, то решение системы уравнений (2.15) является независимым.

Применяя к уравнениям (2.15) итерационный способ (2.13), получаем следующие параметры сечения пресса из условия дискретно-равнопрочного проекта:

x1 = x3 = 515 мм; 1 = = 0,05x1= 26 мм;

x2 = 630 мм; = 0,05 x2 = 31 мм.

Примечание: систему уравнений (2.15) можно решить, не прибегая к итерационному способу, а используя обычный аналитический приём решения кубического уравнения, например, применив формулу Кардано [26].

Определим размеры сечения пресса из условия жёсткости, приняв допустимый вертикальный прогиб в точке приложения нагрузки равным [ у ] = 2мм.

Условие жёсткости для рамы пресса будет иметь вид Pa2 (p) ymax = a + l [y], (2.16) EJ где J – момент инерции сечения рамы, определяемый по формуле 0,05x1xJ = 2 = 0,00834x1.

Тогда размер сечения рамы из условия жёсткости определится 120Pa2 x1 a + l. (2.17) E [y] Подставляя в (2.17) исходные данные для пресса, получаем:

x1 = 670 мм; 1 = 0,05x1 = 33,5 мм.

Итак, размеры пресса определяются его жёсткостью.

На рисунке 2.6 представлена конструкция челюстного пресса с оптимальными конструктивными параметрами, найденными из условия дискретно-равнопрочного проекта.

Сравнение массы конструкций прессов, спроектированных из условия прочности по допускаемым напряжениям, с прессами, рассчитанными из условия оптимального проектирования, представлено на рис. 2.7 – 2.9.

A A–A P а 26 h2 = x2 = P = 1000 кН A P = 1000 кН Рис. 2.6. Оптимальная дискретно-равнопрочная конструкция пресса h = x = При одинаковой прочности и жёсткости, масса оптимального варианта пресса колонного типа (рис. 2.7, б) на 25% меньше массы конструкции колонного пресса, спроектированного из условия прочности по допускаемым напряжениям в наиболее опасном сечении (разработка АО НИИРТмаш, г. Тамбов, рис. 2.7, а).

При одинаковой прочности и жёсткости, масса оптимального варианта (рис. 2.8, б) на 60% меньше массы существующей конструкции рамного пресса (рис. 2.8, а), рассчитанного по допускаемым напряжениям в наиболее опасном сечении.

При одинаковой прочности и жёсткости масса оптимального варианта челюстного пресса (рис. 2.9, б) на 40% меньше массы существующей конструкции челюстного пресса (рис. 2.9, а), рассчитанного по допускаемым напряжениям в наиболее опасном сечении.

а) б) Рис. 2.7. Конструкция колонного пресса:

а – разработка АО НИИРТмаш; б – оптимальный вариант колонного пресса ПЛВМ – 42 а) б) Рис. 2.8. Конструкция рамного пресса:

а – существующая разработка; б – оптимальный вариант а) б) Рис. 2.9. Конструкция челюстного пресса:

а – существующий вариант; б – оптимальный вариант Все примеры расчётов размеров конструктивных элементов прессового оборудования проведены:

а) для дискретно-равнопрочного проекта – Программа "ITERAPRESS";

б) для проекта минимальной массы (объёма) – Программа "FLEXIPRESS".

Инструкция к программам и тексты программ на языке Quick BASIC для ПЭВМ приведены в приложении.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.