WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

Задача 11 В результате экспериментальных наблюдений за работой технологического объекта были получены n значений его наработок на отказ. Проверить возможность использования нормального закона распределения для оценки полученной наработки на отказ. Уровень значимости принят равным. Проверку произвести по критерию согласия Пирсона и подтвердить гипотезу по критерию согласия Романовского.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 17 приложения.

На практике для предварительной оценки закона распределения по экспериментальным данным часто пользуются вероятностной бумагой распределения. Она служит для нанесения на нее отдельных точек, определяемых, например, по табл. 18 приложения, и позволяет определить возможность аппроксимации эмпирических данных с помощью соответствующего закона. Получающееся графическое изображение при этом способе проверки дает такую же наглядную картину как гистограммы или полигоны, характеризующие особенности распределения.

Гистограмма – это ступенчатый график, состоящий из прямоугольников, у которых основаниями служат частные интервалы (наработок на отказ), а площади равны числу случаев (частостям) попадания в этот интервал наработок.

После нанесения точек на вероятностную бумагу закона распределения по методу наименьших квадратов проводят прямую. Если точки достаточно хорошо ей соответствуют, то это дает основание полагать, что принятая к расчету гипотеза правильна. Используя координатную сетку с проведенной аппроксимирующей прямой, можно непосредственно по графику оценить параметры распределения.

Часто для более надежного выявления закона распределения и исключения ошибок, вызванных субъективными причинами, пользуются специальными вероятностными координатными сетками с подтверждением возможности принятия закона распределения с помощью критерия согласия Колмогорова. Для этого на вероятностной сетке находят точку с наибольшим отклонением от прямой и вычисляют критерий согласия.

В этом случае выявление закона распределения осуществляют в следующей последовательности.

1 Подготавливается сводная таблица экспериментальных данных в форме табл. 19 приложения.

2 Строится гистограмма отказов в виде функции hi = f(ti).

3 Проводятся построения на вероятностных координатных сетках (рис. 7 – 11). Используют следующие наиболее распространенные вероятностные сетки, которые в случае получения на них прямой линии будут характеризовать определенные законы распределения:

1) нормальное распределение; 2) усеченное нормальное распределение; 3) логарифмически нормальный закон распределения; 4) экспоненциальное распределение; 5) распределение Вейбулла – Гнеденко.

4 Проверяется принятая гипотеза о применении выбранного закона распределения при помощи критерия согласия Колмогорова.

4.1 На вероятностной сетке, соответствующей выбранному закону распределения, определяется точка, наиболее отклонившаяся от аппроксимирующей прямой.

4.2 Вычисляется отклонение точки от прямой Dmax.

4.3 Рассчитывается критерий согласия Колмогорова = Dmax k 1, где k – общее количество интервалов наработок.

На основании критерия Колмогорова принимается решение о применимости принятого закона распределения.

Задача 12 Опытная партия образцов неремонтируемого невосстанавливаемого оборудования была подвергнута ускоренным испытаниям на надежность. В ходе испытаний фиксировалось время функционирования изделия до отказа. По окончании весь интервал времени, в течение которого проводились испытания, разбили на равные участки ti = сonst и для каждого из участков было определено количество происшедших в них отказов ni. Определить закон распределения, достаточно точно описывающий наработку изделий на отказ, с использованием вероятностных координатных сеток и критерия согласия Колмогорова.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 20 приложения.

Hi 1 n 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,t, ч Рис. 7 Вероятностная координатная сетка нормального закона распределения Hi 1n 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 0,5 1 5 10 50 100 500 t 10 j, ч Рис. 8 Вероятностная координатная сетка усеченного нормального распределения Hi 1n 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,t, ч Рис. 9 Вероятностная координатная сетка логарифмически нормального закона распределения Hi 1n 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,t, ч Рис. 10 Вероятностная координатная сетка экспоненциального закона распределение Hi 1 n 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1 0,2 0,3 0,40,5 0,7 1,0 2 3 4 5 6 78910 20 30 4050 70 t 10 j, ч Рис. 11 Вероятностная координатная сетка закона распределения Вейбулла – Гнеденко СХЕМЫ ДЛЯ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ при нормальном распределении нагрузки по системам Если рассеяние нагрузки по системам пренебрежительно мало, то несущие способности элементов независимы друг от друга, а отказы элементов статистически независимы и поэтому вероятность безотказной работы последовательной системы с несущей способностью R при нагрузке F0 равна произведению вероятностей безотказной работы элементов.

Ниже предлагается достаточно точный метод упрощенной оценки надежности последовательной системы для случая нормального распределения нагрузки по системам. Идея метода состоит в аппроксимации закона распределения так, чтобы нормальный закон был близок к истинному в диапазоне пониженных значений несущей способности системы, так как именно эти значения определяют величину показателя надежности системы.

Сравнительные расчеты на ЭВМ по точному и предлагаемому упрощенному методу показали, что его точность достаточна для инженерных расчетов надежности систем, у которых коэффициент вариации несущей способности не превышает 0,1... 0,15, а число элементов системы не превышает 10... 15. Сам метод заключается в следующем:



– задаются двумя значениями FA и FB – фиксированных нагрузок; проводят расчет вероятностей безотказной работы системы при этих нагрузках; нагрузки подбирают с тем расчетом, чтобы при оценке надежности системы вероятность безотказной работы системы получилась в пределах PA = 0,45... 0,60 и PB = 0,95... 0,99, т.е. охватывали бы представляющий интерес интервал; ориентировочные значения нагрузок можно принимать близкими значениям: FA (1+ 3F )mF, FB (1+ F )mF ;

– по табл. 8 приложения находят квантили нормального распределения uPA и uPB, соответствующие найденным вероятностям;

– аппроксимируют закон распределения несущей способности системы нормальным распределением с параметрами математического ожидания и коэффициента вариации;

– вероятность безотказной работы системы для случая нормального распределения нагрузки по системам с параметрами математического ожидания и коэффициента вариации находим обычным путем по квантили нормального распределения; квантиль вычисляют по формуле, отражающей тот факт, что разность двух распределенных нормально случайных величин (несущей способности системы и нагрузки) распределена нормально с математическим ожиданием, равным разности их математических ожиданий, и средним квадратическим, равным корню из суммы квадратов их средних квадратических отклонений.

Применительно к одноступенчатому редуктору, состоящему из последовательно соединенных: зубчатой передачи, подшипников входного вала и выходного вала, а также входного и выходного валов (рис. 12), расчет надежности будет выглядеть следующим образом.

5 Рис. 12 Одноступенчатый редуктор:

1 – зубчатая передача; 2 – подшипники входного вала; 3 – подшипники выходного вала; 4 – входной вал;

5 – выходной вал 2 4 1 1 Задаемся нагрузками – значениями FA и FB в первом приближении, предполагая, что эти значения дадут близкие к требуемым значениям вероятностей безотказной работы систем при фиксированных нагрузках FA (1+ 3F )mF ;

FB (1+ F )mF.

2 Вычисляем квантили нормального распределения элементов, соответствующие вероятностям безотказной работы при нагрузках FA и FB FA - mRi u =, pAi Ri mRi FB - mRi u =, pBi Ri mRi где i = 1, 2, 3,..., 7 – индекс элемента редуктора.

3 По квантилям нормального распределения из табл. 8 приложения находим вероятности безотказной работы элементов PAi и PBi.

4 Вероятности безотказной работы редуктора PA и PB при фиксированных нагрузках FA и FB оцениваем как произведение вероятностей безотказной работы элементов PA = ;

P Ai i=PB =.

P Bi i=5 Сопоставляя полученные значения PA и PB с диапазонами допустимых значений (PA = 0,45... 0,60 и PB = 0,95... 0,99), определяем, правильно ли сделаны первые приближения нагрузок FA и FB. Если PA < 0,45, то необходимо уменьшить нагрузку FA, если PA > 0,60 – увеличить. Аналогично, если PВ < 0,95, то необходимо уменьшить нагрузку FВ, если PВ > 0,60 – увеличить. Такие итерации необходимо делать до тех пор, пока вычисленные значения вероятностей безотказной работы не будут удовлетворять условиям 0,45 PA 0,60 ;

0,95 PB 0,99.

6 Определяем математическое ожидание несущей способности редуктора FB - FA mR = FA - u, pA u - u pB pA где u, upB – квантили нормального распределения, соответствующие вероятностям безотказной работы PA и PB.

pA 7 Вычисляем коэффициент вариации несущей способности редуктора FB - FA R =.

FAu - FBu pB pA 8 Вычисляем квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности безотказной работы редуктора n -u = -, p (n R )2 + F где n – условный запас прочности по средним значениям несущей способности и нагрузки mR n =.

mF 9 По табл. 8 приложения находим искомую вероятность безотказной работы, соответствующую квантили up.

Задача 13 Требуется оценить вероятность безотказной работы одноступенчатого редуктора, если известно, что математические ожидания несущей способности его элементов составляют: зубчатой передачи mR1 = a1 mF, подшипников входного вала mR2 = mR3 = a2 mF, подшипников выходного вала mR4 = mR5 = a3 mF, выходного и входного валов mR6 = mR7 = a4 mF. Задано, что несущие способности передачи, подшипников и валов нормально распределены с коэффициентами вариации R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7. Нагрузка по редуктору распределена также нормально с коэффициентом вариации F.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 21 приложения.

СИСТЕМЫ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ Система с параллельным соединением элементов не выходит из строя, пока не отказали все элементы. Блок-схема для анализа надежности системы с параллельным соединением элементов показана на рис. 13.

Вероятность безотказной работы системы вычисляется следующим образом. Если Qs – вероятность отказа системы, то Qs = P[E1 E2 K En], где En и En – взаимно дополнительные события. Полагая, что все эти события независимы, имеем Qs = P(E1)P(E2) K P(En), или n Qs = Pi ).

(1i=Тогда вероятность безотказной работы системы определяется как дополнение вероятности до единицы, и n Ps =1- Pi ).

(1i=Если интенсивности отказов элементов постоянны, то n Ps(t)=1- (1- e-it).

i=Среднее время безотказной работы n T0 = (t)dt = (1- e-it)dt = s P 1- i=0 1 1 1 1 = + +K+ - + +K+ 1 2 n 1 + 2 1 + 1 + + +K+(-1)n+1 1.





1 + 2 + 3 1 + 2 + 4 n i i=В случае одинаковых элементов это выражение принимает вид n 1 T0 =.

i i=При анализе системы с параллельным соединением элементов подразумевается, что при включении системы включаются все подсистемы и что отказы не влияют на надежность подсистем, продолжающих работать.

Задача 14 Реактор непрерывного действия снабжен 6 центробежными насосами, работающими в системе с резервированием, причем если один из них выходит из строя, то другие способны работать при полной системной нагрузке. Найти вероятность безотказной работы системы в течение продолжительности выполнения технологического задания t, ч при условии, что интенсивности отказов насосов составляют 1, ч–1, 2, ч–1, 3, ч–1,..., 6, ч–1. Отказы насосов статистически независимы и все насосы начинают работать в момент времени t = 0.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 22 приложения.

НЕНАГРУЖЕННЫЙ РЕЗЕРВ Рассмотренное выше параллельное соединение называется чисто параллельным включением, и, как уже говорилось, оно нетипично. Во многих случаях используются другие способы параллельного соединения. В действительности в системах с параллельным соединением элементов, особенно в механических, чаще используется включение по схеме ненагруженного резерва и параллельное соединение с распределением нагрузки.

При резервировании подобного рода один элемент находится под нагрузкой, а остальные n элементов используются как ненагруженный резерв. В отличие от системы с параллельным соединением элементов, в которой функционируют все элементы, элементы ненагруженного резерва бездействуют S (рис. 14).

В системе с ненагруженным резервом ненагруженный элемент не вклюПереключатель чается, пока не выйдет из строя нагруженный элемент. Переключатель S мо...

жет представлять собой автоматический датчик либо просто условно означать, что оператор заменяет элемент 1 элементом 2, 3,..., n.

n Вероятность безотказной работы системы, состоящей из (n + 1) элементов, один из которых функционирует, а n остальных находятся в состоянии Рис. 14 Система с ненагруженным ненагруженного резерва до момента выхода из стоя нагруженного элемента, резервом определяется как n (t)i e-t Pst (t)=.

i! i=Это выражение справедливо, если переключающее устройство является идеальным; все элементы идентичны; интенсивности отказов элементов постоянны; резервные элементы имеют такие же характеристики, как и новые; отказы элементов статически независимы.

Задача 15 Система состоит из n идентичных устройств, одно из которых функционирует, а другие находятся в режиме ненагруженного резерва. Интенсивности отказов всех устройств постоянны. Кроме того, предполагается, что в начале работы резервные устройства имеют такие же характеристики, как и новые. Определить вероятность безотказной работы системы в течение t часов при условии, что интенсивности отказов устройств составляют, ч–1.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 23 приложения.

Сочетание параллельного и последовательного соединений элементов Простые комбинации подсистемы с параллельным и последовательным соединением элементов можно легко проанализировать путем последовательного объединения подсистем в группы параллельно или последовательно соединенных эквивалентных элементов.

При рассмотрении комбинаций последовательно и параллельно соединенных элементов применимы прямые методы вычислений, используемые в случае простых систем с последовательным и параллельным соединением элементов. Таким образом, для анализа систем с комбинациями последовательных и параллельных соединений элементов основные формулы применяются последовательно.

Задача 16 Технологический аппарат состоит из 10 основных узлов и представлен структурными схемами на рис. 15. Рассчитать надежность функционирования технологического аппарата, если надежность каждого узла составляет Pi.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 24 приложения.

Задача 17 Вероятность безотказной работы технологического аппарата, состоящего из 10 элементов, равна PS. Найти вероятность безотказной работы каждого элемента, если известно, что они одинаковы.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 24 приложения.

5 6 9 а) 4 1 2 3 5 б) 1 2 3 4 6 7 8 9 в) 2 5 1 4 7 3 6 г) Рис. 15 Структурные схемы технологического аппарата Система с k исправными элементами из n В такой системе используется еще одна форма резервирования, которая обычно реализуется в тех случаях, когда для обеспечения успешного функционирования системы необходимо, чтобы определенное число устройств сохраняло свою работоспособность. Частными случаями данной системы при k = n и k = 1 являются соответственно системы с последовательным и параллельным соединением элементов.

Вероятность безотказной работы такой системы находится с помощью биноминального распределения. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при функционировании k из n независимых и одинаковых элементов, имеет вид n n Pk / n = Pi(1- P)n-i.

i i=k При постоянной интенсивности отказов элементов это выражение принимает вид n n i n-i Pk / n(t) = (e-t ) (1- e-t ).

i i=k Задача 18 Система состоит из n элементов. Рассчитать вероятность безотказной работы такой системы, сохраняющей работоспособность при функционировании k из n независимых и одинаковых элементов в течении t часов, если известно, что интенсивность отказов элементов постоянна и составляет, ч–1.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 25 приложения.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.