WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |

(t - mt ) Для использования таблиц следует применять подстановку x =. При этом x называется квантилью нормированного норS мального распределения и обозначается up.

Плотность распределения, вероятность безотказной работы и вероятность отказа, соответственно, определяются как f (t)= 0(x)/ S;

Q(t)= F0(x);

P(t)= 1- F0(x), где 0(x), F0(x) – значения ординат плотности нормированного нормального распределения (табл. 7 приложения) и значения функции нормированного нормального распределения (табл. 6 приложения), соответственно.

В табл. 8 приложения приведены непосредственно значения P(t) в зависимости от x = u = (t - mt )/ S в употребительном диапаp зоне.

Задача оценки вероятности безотказной работы за данное время или за данную наработку решается следующим образом.

1 Находим квантиль нормального распределения t - mt u =, p S где mt – математическое ожидание ресурса работы оборудования, ч; t – ресурс по износу, ч; S – среднеквадратическое отклонение ресурса по износу, ч.

2 По табл. 8 приложения, зная квантиль нормального распределения определяем вероятность безотказного работы P(t).

Задача 6 Оценить вероятность безотказной работы P(t) в течение t, ч, изнашиваемого подвижного сопряжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному закону распределения с параметрами mt, ч, и S, ч.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 9 приложения.

Помимо задачи оценки вероятности безотказной работы за данное время или за данную наработку встречается обратная задача – определение времени или наработки, соответствующих заданной вероятности безотказной работы, которая решается следующим образом.

1. По табл. 8 приложения, зная вероятность безотказного работы P(t), определяем квантиль нормального распределения up.

2. Ресурс работы оборудования рассчитывается по формуле t = mt + u S.

p Задача 7 Оценить P(t)-й ресурс зубчатого колеса редуктора, если известно, что долговечность детали ограничена по износу, ресурс подчиняется нормальному распределению с параметрами mt, ч, и S, ч.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 9 приложения.

Усеченное нормальное распределение Усеченное нормальное распределение получается из нормального при ограничении интервала изменения случайной величины. Оно, в частности, вносит уточнение в расчеты надежности по сравнению с нормальным распределением при больших значениях коэффициента вариации.

При этом функция плотности распределения записывается так же, как плотность нормального распределения, но с коэффициентом пропорциональности c:

(t-t0 )c 2Sf (t)= e, S где t0 – значение случайной величины, соответствующей максимуму f (t), и называется модой.

Коэффициент c для распределения, ограниченного пределами изменения времени от a до b, определяется из условия b f (t)dt = 1 = c[F(b)- F(a)], a где F(a), F(b) – значения функции нормального распределения для предельных значений t. Тогда c = F(b)- F(a).

Если пользоваться функцией F0 нормального распределения нормированной и центрированной случайной величины, то можно записать c =.

b - t0 a - tF0 - F S S Основное применение усеченного нормального распределения имеет с коэффициентом c с параметрами a = 0 и b =, когда в задачах надежности отражается невозможность отказов при отрицательных значениях времени. Тогда c =.

t FS tВ этом случае значения коэффициента c можно выбрать в зависимости от соотношения S t0 / S 1,0 2,0 3,c 1,189 1,023 1,Вероятность безотказной работы t - t P(t) = 1- F0.

S Примером усеченных распределений может быть распределение параметра качества изделий после отбраковки части изделий по этому параметру.

Задача по нахождению параметров надежности по усеченному нормальному распределению может быть построена следующим образом.

1 Определяется коэффициент пропорциональности c =, b - t0 a - tF0 - F S S b - t0 a - tгде F0, F0 – значения функции, принимаемые по табл. 6 приложения в зависимости от значения аргумента S S (b - t0)/ S, (a - t0)/ S.

2 Вычисляется плотность распределения (t-t0 )2 c t - t c S 2S f (t)= e =, S S t - tгде – нормированная функция, значение которой принимаются по табл. 7 приложения в зависимости от значения S t - tаргумента.

S 3 Вероятность безотказной работы t - tP(t)=1- F0, S t - tгде F0 – значение нормированной функции, принимаемое по табл. 6 приложения в зависимости от значения аргу S мента (t - t0)/ S.

4 Интенсивность отказов f (t) (t)=.

P(t) Задача 8 Оценить вероятность безотказной работы изделия к моменту времени t, ч, ограниченного пределами изменения от a до b, если ресурс распределен по усеченному нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением наработки на отказ S и модой t0.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 10 приложения.

Логарифмически нормальное распределение В распределении данного типа логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Как распределение положительных величин оно несколько точнее, чем нормальное, описывает наработку до отказа деталей (рис. 5).

Его успешно применяют для описания наработки подшипников качения и скольжения, электроламп и других изделий.

Логарифмически нормальное распределение удобно для случайных величин, представляющих собой произведение значительного числа случайных исходных величин, подобно тому как нормальное распределение удобно для суммы случайных величин.

Плотность распределения (рис. 5, а) описывается зависимостью (ln t -µ)2S f (t) = e, St где µ и S – параметры, оцениваемые по результатам испытаний, - < µ <, S > 0.



P(t) 1, f(t) 0,µ = 0,µ = 1,µ = 2,µ = 0,0,t 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15, Наработка до отказа t а) б) (t) 1,0,µ = 1,Рис. 5 Характеристики логарифмически 0,нормального распределения:

µ = 2,а – плотность распределения наработки до 0,отказа при параметре = 1; б – вероятность безотказной работы при параметре распределения = 0,2; в – интенсивность 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,отказов при параметре распределения = 0,Наработка до отказа t в) Так при испытании N изделий до отказа 1 i lnt µ µ* =, S s = (lnti - µ*), N N -где µ* и s – оценка параметров µ и S.

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (табл. 6 приложеlnt - µ ния) в зависимости от значения аргумента.

S Расчет основных параметров надежности по логарифмически нормальному закону распределения производится следующим образом.

1 Плотность распределения lnt - µ (lnt-µ) 1 S 2Sf (t)= e =, St St lnt - µ где 0 – нормированная функция, значения которой принимаются по табл. 7 приложения в зависимости от S lnt - µ значения аргумента.

S 3 Вероятность безотказной работы lnt - µ P(t)= 1- F0, S lnt - µ где F0 – значение нормированной функции, принимаемое по табл. 6 приложения в зависимости от значения S lnt - µ аргумента.

S 4 Интенсивность отказов f (t) (t)=.

P(t) Задача 9 Наработка узла технологического аппарата имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами µ и S. Найти вероятность безотказной работы узла, интенсивность и частоту отказов при наработке, составляющей t, ч.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 11 приложения.

Распределение Вейбулла Это довольно универсальное распределение, охватывающее путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Наряду с логарифмически нормальным распределением оно удовлетворительно описывает наработку деталей и узлов технологического оборудования по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, электроламп и т.п. Оно применяется также для оценки надежности по приработочным отказам.

Распределение характеризуется следующей функцией вероятности безотказной работы (рис. 6) tm tP(t)= e.

Интенсивность отказов m (t)= tm-1.

tP(t) f(t) t0 = t0 = 1; m = 0,1,m = 0,t0 = 1; m = 1,0,t0 = t0 = 1; m = 2,0,m = 0,t0 = 0,5; m = 0,0,0,0,0,t0 = 0,m = 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4, t Наработка до отказа t а) б) 5,0 Рис. 6 Характеристики (t) распределения наработки 4,до отказа по закону Вейбулm > 2 m = 2,ла:

3,а – плотность распределения наработки до отказа; б – веро2,ятность безотказной работы m = 1,при параметре масштаба = 1;

1,в – интенсивность отказов при m = 0,параметре масштаба = 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,Наработка до отказа t в) Плотность распределения Вейбулла имеет вид tm m m-1 tf (t)= t e.

tРаспределение Вейбулла имеет два параметра: m – параметр формы; t0 – параметр масштаба;

m > 0, t0 > 0.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно определяются по формулам 1 m m mt = bmt0 ; St = cmt0, где bm, cm – коэффициенты, определяемые по табл. 12 приложения в зависимости от параметра формы.

Форма зависимости параметров надежности от времени в соответствии с распределением Вейбулла зависит от параметра формы.

При m < 1 функция (t) и f (t) наработки до отказа убывающие.

При m = 1 распределение превращается в экспоненциальное (t)= сonst и f (t) – убывающая функция.

При m > 1 функция f (t) одновершинная, функция (t) – непрерывно возрастающая при 1 < m < 2 с выпуклостью вверх, а при m > 2 – с выпуклостью вниз.

При m = 2 функция (t) является линейной и распределение Вейбулла превращается в так называемое распределение Рэлея.

При m = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.

Задача 10 Оценить вероятность безотказной работы, частоту и интенсивность отказов электроламп, входящих в систему освещения цеха химического производства, в течение t часов, если ресурс электроламп подчинен распределению Вейбулла с параметрами t0, ч и m.

Исходные данные для расчета представлены в табл. 13 приложения.

Оценка надежности на основе статистической информации Как уже отмечалось выше, вопрос о выборе закона распределения является одним из ключевых на конечной стадии расчета надежности при наличии статических данных. В частности, от принятия той или иной гипотезы будет зависеть достоверность полученных результатов, эффективность сделанных выводов и рекомендаций. К сожалению, фактические наблюдения показывают, что изменчивость законов распределений встречается весьма часто, причем для одних и тех же объектов. Бывает, что относительно небольшое изменение объема статических данных, условий или режимов эксплуатации или даже качества изготовления деталей (хотя и в пределах назначенных допусков) может повлиять на нулевую гипотезу, т.е. изменить либо параметры закона распределения, либо даже его вид.

Практические примеры показывают, что одних рекомендаций в принятии какого-то закона распределения оказывается недостаточно. В каждом случае, и даже для новой партии однотипных объектов, идентичных на первый взгляд предыдущей, необходимо производить тщательную проверку различными способами и по различным критериям.

Применение специальных методов проверки гипотезы о выдвинутом типе теоретического закона распределения должно носить всесторонний характер. Установлено, что для одной и той же выборки постоянного объема использование двух различных критериев иногда дает противоположные результаты, т.е. получается, что в равной степени можно принимать тот или другой закон. Соответствующими расчетами было показано, что для различных параметров законов возможно появление зон практически полного совпадения вероятности безотказной работы. Этим частично объясняется факт равновозможного принятия на некотором интервале наработки двух (или даже нескольких) законов.





Вместе с тем в силу специфических особенностей использования различных критериев проверки правильности выбора типа теоретического распределения одна и та же нулевая гипотеза, с одной стороны, может быть отвергнута, а с другой – принята.

Таким образом, не всегда можно получить однозначный ответ на вопрос о принятии конкретного закона распределения. В таких ситуациях наиболее правильный ответ может дать метод трех арбитров, как его условно называют. Его действие основывается на знании и использовании известных критериев и приемов, разработанных как в нашей стране, так и за рубежом.

Существует множество зависимостей и положений, которые лежат в основе методов проверки. Однако исследователь должен выбрать из них только три, по которым следует проверять конкурирующие гипотезы о возможности использования того или иного закона распределения. Если два из трех или тем более все три способа дадут подтверждение какого-либо закона, то его следует принять как верный. Если же соотношения количеств за и против у сравниваемых гипотез окажется одинаковым, то предпочтение может получить тот закон, который обеспечивает больший запас достоверности по применяемым критериям с использованием наименьшего уровня риска. Наконец, если ни одна из конкурирующих гипотез (двух сопоставляемых наиболее возможных законов распределений) не получила преимущества, то либо надо проанализировать подобную другую выборочную совокупность, либо просто попытаться подобрать другой закон.

Для быстроты обсчета по критериям метода трех арбитров, где под арбитром подразумевается один из выбранных приемов или критериев оценки применимости теоретического закона распределения, целесообразно использовать ЭВМ.

Рассмотрим отдельные наиболее часто встречающиеся способы проверки соответствия теоретического распределения эмпирическому. Для проверки возможности принятия закона распределения могут применяться следующие основные критерии.

Критерий согласия Пирсона 2. Он является особенно эффективным для больших объемов выборок при n > 100. Но при этом накладывается требование о том, чтобы интервалы вариационного ряда, содержащие менее пяти значений исследуемого признака, группировались с соседними так, чтобы их число в любом интервале было бы больше или равно пяти.

Для использования критерия согласия Пирсона 2 необходимо, чтобы эмпирическое распределение было задано в виде последовательности равноотстоящих признаков наблюдаемой случайной величины и соответствующих им частот.

Рассмотрим вариант, когда появляется необходимость проверки возможности использования, например, нормального закона распределения для оценки полученной в результате экспериментальных наблюдений наработки на отказ объекта. Проверка гипотезы должна проводится по следующей процедуре.

1 Весь интервал времени, в течение которого проводятся испытания, разбивается на равные участки ti = const, затем для каждого из участков определяется частота попаданий ni.

2 Вычисляется выборочное среднее время наработки на отказ n i t =, t n i=где ti – наработки на отказ объекта, ч; n – объем выборки или сумма всех частот.

3 Определяется выборочное среднеквадратическое отклонение n s = (ti - t).

n i=4 Находятся теоретические частоты nti mi = (ui ), s где (ui ) – табулированная функция, определяемая по табл. 15 приложения в зависимости от величины аргумента ui ti - t ui =.

s 5 Заполняется специальная форма (табл. 14 приложения).

6 Рассчитывается номинальный критерий Пирсона 2 = (ni - mi ).

mi 7 Из табл. 16 приложения для критических значений точек распределения 2 при выбранном уровне значимости и для числа степеней свободы находится критическая точка кр(,).

= k - 3, где k – число групп выборки или число временных интервалов.

8 Принимается решение о применимости нормального закона распределения. Если 2 н < кр, то нет оснований считать предположение о применимости нормального закона неверным, а имеющиеся некоторые расхождения в частотах появления признака случайны.

Если 2 н > кр, то гипотеза о нормальности распределения отвергается в силу существенных отличий теоретических и эмпирических частот.

Критерий согласия Колмогорова является менее жестким с точки зрения подтверждения согласованности выбранного теоретического распределения по отношению к фактическому эмпирическому. Считается, что соответствие удовлетворительное, если выполняется условие = Dmax n 1, где Dmax – наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной по модулю; n – общее число опытных точек.

Критерий согласия Романовского использует отношение вида 2 - k r =, 2k где k' – число степеней свободы k = = k - 3 ; k – число групп выборки или число временных интервалов.

Расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением считается несущественным, если r имеет абсолютное значение меньше трех, т.е. в этом случае нормальный закон может быть принят в качестве нулевой гипотезы.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.