WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |

1 + 5 1 - = 1,618... и - -1 = = 1 - -0,618...

2 Первое из них получило специальное название золотого сечения, поскольку прямоугольник с таким отношением сторон считается наиболее приятным для человеческого глаза.

Для использования в дальнейшем мы введем также величины 3 + 5 1 + c = 2 = = + 1 и = =.

2 Собственные векторы оператора T являются геометрическими прогрессиями = n и = (-)-n. Они линейно независимы и n n образуют базис в пространстве V. Поэтому каждый вектор V является линейной комбинацией и. В частности, n-е число Фибоначчи может быть записано как n = · n + · (--1)n для подходящих и.

1 Из начальных условий 1 = 2 = 1 мы находим = - = =.

+ -1 Поэтому 2k - -2k - c-k ck+1/2 + c-k-1/2k+1 + -2k-ck 2k = = ; 2k+1 = =.

5 5 5 (..) Обратно, n+1 + n-1 - n 5 2n+1 + 2n-1 + 2n n = (-1)n ; cn =. (..) 2 Отметим также, что -2n = -2n; -2n-1 = 2n+1.

Отсюда следует, что при больших n n n+n и lim =. (..) n n Числа Люк даются еще более простой формулой: Ln = n + (--1)-n.

Они выглядят так:

n: -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Ln : -29 18 -11 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7 11 18.. Ковры с неограниченными размерами кругов 5.2. К Рассмотрим четверку q1 попарно касающихся кругов на расширенной плоскости, один из которых является нижней полуплоскостью, а кривизны граничных окружностей остальных трех образуют геометрическую прогрессию. Запишем четыре кривизны в форме 0 < x-1 < 1 < x. Из уравнения Декарта следует, что число x удовлетворяет уравнению (x + 1 + x-1)2 = 2(x2 + 1 + x-2), или x2 - 2(x + x-1) + x-2 = 1.

(..) Полагая y := x + x-1, мы получаем квадратное уравнение для y: y2 - 2 y - 3 = 0. Оно имеет два корня: и. Только второе значение y 3+ 5 приводит к вещественному значению x. А именно, x = =, 3- что совпадает с величиной c, введенной в схолии G.

Ковер 1, порожденный четверкой q1, имеет следующее свойство: после растяжения в c раз он переходит в свое зеркальное отражение в вертикальной прямой. А если его растянуть в c2 раз, он переходит в ковер, получаемый из начального параллельным переносом в горизонтальном направлении, см. рис.. и. (здесь и далее на рисунках для части кругов указана кривизна их границ).

c-c-c cРис... Ковер Глава. Строгое определение ковра Аполлония Это легко вывести из того, что ковер 1 инвариантен относительно преобразования -c. Последнее свойство вытекает из того, что 1 и -c · имеют три общих попарно касающихся круга.

В частности, ковер 1 содержит последовательность кругов Dk с кривизнами границ ck, k. Соответствующие круги задаются неравенствами ck + (-1)k + i 1, (..) а соответствующие эрмитовы матрицы имеют вид 4 c-k (-1)k - i Mk = = (-1)k + i ck 4 - i(-1)k (-)-k 0 (-)k = · ·, (..) 0 k 2 + i(-1)k 1 0 k где := c 1,618034... –– знаменитое золотое сечение (см. схолию G).

Каждое из равенств (..) и (..) имеет следствием тот факт, что преобразование -c · переводит Dn в Dn-1 и, следовательно, сохраняет ковер 1.

У. Найдите матрицу g SL(2, ), которая переводит ковер 1 в ковер-ленту.

П. Найдите матрицу g, которая сохраняет вещественную ось и переводит круг D0 в горизонтальную прямую. Покажите, что образы g · Dk расположены как на рис...

DD2 D1 D D -1 -D3 D -D D4 D -Рис... Образ ковра 1 в ковре-ленте.. Ковры с неограниченными размерами кругов c-c-1 c-1 c c cРис... Ковры 1 и c · Другой интересный ковер 2 с неограниченными кривизнами можно определить так. Попробуем найти четверку попарно касающихся кругов q2, для которой все четыре кривизны образуют геометрическую прогрессию (1,, 2, 3), где для определенности > 1. Из уравнения Декарта получаем:

(1 + + 2 + 3)2 = 2(1 + 2 + 4 + 6). (..) Упрощая это уравнение, перепишем его в форме 0 = 1 - 2 - 2 - 43 - 4 - 25 + 6, или 4 + ( + -1) + 2(2 + -2) = (3 + -3).

Введем новую неизвестную величину u = + -1 и получим 4 + u + 2(u2 - 2) = (u3 - 3u), или u3 - 2u2 - 4u = 0.

Это уравнение имеет три корня: u = 0, 1 - 5, 1 + 5. Только последний корень дает вещественное значение для, которое равно = + = + 2,890054...;

-1 = - = - 0,346014...

Так же, как и в предыдущем примере, начальные круги включаются в бесконечную двустороннюю последовательность Dk, образующую спираль. Когда k -, спираль стремится к некоторой конечной точке a. Если мы возьмем a в качестве начала координат, наша Глава. Строгое определение ковра Аполлония спираль будет инвариантна относительно умножения на некоторое комплексное число с || =. Обозначим аргумент через 2. Тогда соответствующие матрицы Mk должны иметь вид ak be2ik Mk =, ac - |b|2 = -1. (..) be-2ik c-k Условие, что круги Dk и Dk+m касаются, имеет вид det(Mk + Mk+m) = 0.

Это условие в действительности не зависит от k и равносильно уравнению |b|2 m + -m + =.

ac eim + e-im + Положим s = ln. Тогда правая часть уравнения будет 1 + ch 2ms ch ms =.

1 + cos 2m cos m Мы знаем, что D0 касается Dm для m = 1, 2, 3. Таким образом, справедливы равенства |b| ch s ch 2s ch 3s = = =. (..) |cos ac | |cos 2| |cos 3| Поскольку ch 3s = ch s(2 ch 2s - 1) и cos 3 = cos (2 cos 2 - 1), мы заключаем, сравнивая второй и последний члены в (..), что 2 ch 2s - 1 = |2 cos 2 - 1|.

Это возможно лишь при 2 cos 2 - 1 < 0. Поэтому мы получаем 2 ch 2s - 1 = 1 - 2 cos 2, или ch 2s = 1 - cos 2, что возможно лишь при cos 2 0.

Используя соотношение ch 2s = 1 - cos 2, мы получаем, сравнивая второй и третий члены в (..), cos · (1 - cos 2) ch s = ±.

cos Теперь тождество 2 ch2 s = ch 2s + 1 приводит к уравнению:

cos · (1 - cos 2) 2 = 2 - cos 2.

cos.. Ковры с неограниченными размерами кругов Обозначим cos 2 через x и перепишем уравнение в алгебраической форме:



(x + 1)(1 - x)= 2 - x, или (x + 1)(1 - x)2 = 2x2 - x3, xили 2x3 - 3x2 - x + 1 = 0.

Оно имеет корень x = 1/2, и это позволяет нам переписать его в простой форме (2x - 1)(x2 - x - 1) = 0. Таким образом, другие два корня –– это и --1 = 1 -. Только один из трех корней отрицателен: x = --1.

Окончательно получаем cos 2 = --1, ch 2s =. Следователь но, + -1 = 2 и = + 2 - 1 = +. Заодно мы получаем |b| = 2, поэтому ac 2 -|b|2 =, ac =. (..) 5 Таким образом, мы знаем матрицы Mk с точностью до комплексного сопряжения, а также сопряжения диагональной матрицей. Геометрически это значит, что мы знаем ковер 2 с точностью до поворотов, растяжений и отражений в прямой линии. В частности, можно положить -1 · k · e2ik Mk =, (..) · e2ik -1 · -k так что 1 1 + 2 D0 = : + 1 +. (..) Далее, найдем число, определенное с точностью до комплексного сопряжения.

Мы имеем 2 sin2 = 1 - cos 2 = и 2 cos2 = 1 + cos 2 = 1 - -1 = -2.

-Поэтому sin2 = -1 и sin 2 = ±. Таким образом, мы имеем -e2i = cos 2 + i sin 2 = --1 ± i. Наконец, - = e2i = -(1 + )(1 i ). (..) Соответствующая картинка показана на рис...

Глава. Строгое определение ковра Аполлония -Рис... Ковер 5.3. Т Символом 1,3 обычно обозначают -мерное вещественное векторное пространство с координатами t, x, y, z и с индефинитным скалярным произведением (p1, p2) = t1t2 - x1x2 - y1 y2 - z1z2. (..) В физической литературе это пространство называют пространством Минковского в честь замечательного немецкого математика и физика Германа Минковского.

Вектор p 1,3 называется времениподобным, световым или пространственноподобным, если его квадрат положителен, равен нулю или отрицателен. Световые векторы, кроме того, делятся на векторы будущего, для которых t > 0, и векторы прошлого, для которых t < 0.

Физический смысл вектора p –– это событие, которое происходит в момент времени t в точке (x, y, z) 3.

1 Скалярное произведение называют индефинитным, если скалярный квадрат вектора может быть и положительным, и отрицательным.

.. Три интерпретации множества Физики называют полной группой Лоренца L группу всех линейных обратимых преобразований пространства 1,3, сохраняющих скалярное произведение (..). Эта группа состоит из четырех связных компонент; та из них, которая содержит единицу, сама является группой и называется собственной группой Лоренца L0. В математических текстах те же группы обозначаются O(1, 3) и SO+(1, 3) соответственно.

Принцип относительности утверждает, что все физические законы инвариантны относительно собственной группы Лоренца.

Алгебраически элементы g O(1, 3) задаются вещественными матрицами gi j формата 4 4, у которых строки (столбцы) –– попарно ортогональные векторы из 1,3, причем первая строка (первый столбец) имеет скалярный квадрат, а остальные строки (столбцы) имеют скалярный квадрат -1.

Мы кратко напомним факт, объясняемый в схолии F: матрица g O(1, 3) принадлежит собственной группе Лоренца, если выполнены два дополнительных условия: det g = 1 и g0,0 > 0.

Теперь мы покажем, как использовать пространство Минковского для параметризации множества всех кругов на двумерной сфере.

Каждый круг на S2 можно определить как пересечение S2 с подходящим полупространством Hu,, задаваемым линейным (неоднородным) неравенством Hu, = { 3 : (u, ) + 0}, где u S2 и (-1, 1). (..) Вместо пары (u, ) S2 (-1, 1) мы можем использовать один пространственноподобный вектор p = (t, x, y, z) 1,3, задаваемый формулой p = · (, u).

1 + В терминах этого вектора полупространство Hu, принимает вид Hp = { 3 : x 1 + y 2 + z 3 + t 0}. (..) Ясно, что Hp = Hp тогда и только тогда, когда p1 = c · p2 для некото1 рого c > 0. Поэтому мы можем нормализовать p условием |p|2 = -1.

Итак, множество кругов на сфере отождествляется с множеством P-1 всех пространственноподобных векторов p 1,3 с |p|2 = -1.

1 Сравните со свойством ортогональных матриц: их строки (столбцы) попарно ортогональны и имеют длину.

Глава. Строгое определение ковра Аполлония Хорошо известно, что P-1 –– однополостный трехмерный гиперболоид в 4 и что группа L0 SO+(1, 3; ) действует транзитивно на нем.

Стабилизатором точки (0, 0, 0, 1) является группа SO+(1, 2; ), естественно вложенная в SO+(1, 3; ).

Это и есть первая интерпретация множества.

У. Покажите, что гиперболоид P-1 1,3, определенный уравнением |p|2 = -1, диффеоморфен S2.

П. Вспомните о параметрах u,, введенных выше.

Вторая интерпретация множества использует комплексные матрицы второго порядка. Мы начнем с неравенства (..) и построим a b из его коэффициентов матрицу M =.

b c Напомним, что мы наложили на коэффициенты a, b, c условие ac - |b|2 < 0. Поэтому M –– эрмитова матрица с отрицательным определителем. Снова мы можем и будем нормализовать эту матрицу условием det M = -1.

Таким образом, множество отождествляется с совокупностью H-1 всех эрмитовых матриц M формата 2 2 с det M = -1.

У. Покажите, что две построенные интерпретации связаны следующим образом: вектору p = (t, x, y, z) 1,3 соответ a b ствует матрица M =, в которой b c a = t - z, b = x + iy, c = t + z. (..) П. Сравните (..) и (..).

Третья интерпретация описывает как однородное пространство.

Мы уже знаем, что группа G = PSL(2, ) действует на дробно-линейными преобразованиями. Более того, согласно предложению F., G действует на.

С другой стороны, группа SL(2, ) действует на множестве H эрмитовых матриц второго порядка по правилу:

g : M gMg. (..) Это действие сохраняет определитель матрицы и, следовательно, переводит в себя множество H-1 эрмитовых матриц с определителем -1. (Фактически это действие группы G, поскольку центр C группы SL(2, ) действует тривиально.).. Три интерпретации множества Т.. Существует такой гомоморфизм : SL(2, ) L0 SO+(1, 3; ), что следующая диаграмма коммутативна:





G - -- p SL(2, ) H-1 - H--- L0 P-1 - P-1.

--Здесь p означает естественную проекцию SL(2, ) на PSL(2, ) G, а горизонтальные стрелки означают действие группы на множестве.

Мы оставляем читателю проверку деталей, но приведем явную формулу для гомоморфизма.

У. Покажите, что гомоморфизм дается формулой:

a b = c d |a|2 +|b|2 +|c|2 +|d|2 |b|2 -|a|2 -|c|2 +|d| Re(a+cd) Im(b+cd) b 2 Re(a+bd) Re(ad+b Im(d- Re(bd -a c c) bc) c) =.

Im(a+bd) Im(ad+b Re(d- Im(bd -a c c) bc) c) |c|2 -|a|2 -|b|2 +|d|2 |a|2 -|b|2 -|c|2 +|d|Re( Im( cd-b) cd-b) 2 З. Обратное отображение SO+(1, 3; ) PSL(2, ) также определено, но поднять его до отображения в SL(2, ) можно только с точностью до знака. Это –– так называемое спинорное представление группы SO+(1, 3; ).

В частности, все попарные произведения матричных элементов вида 2a, 2a... и т. д. однозначно определены и приводятся в табb, лице..

У. Опишите образ при гомоморфизме следующих подгрупп группы G: а) PGL(2, ); б) PSU(2, ); в) PSU(1, 1; ).

П. Используйте тот факт, что все эти подгруппы являются стабилизаторами некоторых векторов.

О : а) (PGL(2, )) = Stab(0, 0, 1, 0) SO+(1, 2; );

б) (PSU(2, )) = Stab(1, 0, 0, 0) SO(3, );

в) (PSU(1, 1; )) = Stab(0, 0, 0, 1) SO+(1, 2; ).

Интересной проблемой является сравнение -образа подгруппы SL(2, + i ) SL(2, ) с подгруппой SO+(1, 3; ) SO+(1, 3).

= = = = Глава. Строгое определение ковра Аполлония Таблица.

Попарные произведения матричных элементов b 2a g00 - g03 - g30 + g33 g01 - g31 + i(g32 - g02) 2b g01 - g31 + i(g02 - g32) g00 + g03 - g30 - g2c g10 - g13 + i(g23 - g20) g11 - g22 - i(g12 + g21) 2d g11 + g22 + i(g12 - g21) g10 + g13 - i(g20 + g23) c d 2a g10 - g13 + i(g20 - g23) g11 + g22 + i(g21 - g12) 2b g11 - g22 + i(g12 + g21) g10 + g13 + i(g20 + g23) 2c g00 - g03 + g30 - g33 g01 + g31 - i(g02 + g32) 2d g01 + g31 + i(g02 + g32) g00 + g03 + g30 + g5.4. О Д Пусть Di, 1 i 4, –– четыре попарно касающихся круга на сфере.

Обозначим через pi соответствующие пространственноподобные векторы с |pi|2 = -1 и через Mi соответствующие эрмитовы матрицы с det Mi = -1.

Л.. Круги D1 и D2 касаются тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:

а) p1 + p2 –– световой вектор будущего;

б) (p1, p2) = 1 и p1 + p2 имеет положительную t-координату;

в) det(M1 + M2) = 0 и tr(M1 + M2) > 0.

Д. Сначала мы покажем, что ориентированные окружности Ci = Di, i = 1, 2, отрицательно (соответственно положительно) касаются тогда и только тогда, когда |p1 ± p2|2 = 0, или, что эквивалентно, когда det(M1 ± M2) = 0.

Используя подходящее мебиусово преобразование, мы можем предполагать, что C1 –– это вещественная ось со стандартной ориентацией. Соответствующие вектор и матрица имеют вид p1 = (0, 0, -1, 0) 0 -i и M1 =.

i Пусть C2 –– ориентированная окружность, касающаяся C1. Обоc значим точку касания через a. Тогда преобразование a - с вещественным параметром c сохраняет C1 и при подходящем c переводит C2 в горизонтальную прямую 2i + с некоторой ориента.. Обобщенная теорема Декарта цией. Соответствующие вектор и матрица будут p2 = ±(1, 0, -1, 1) 2 -i и M2 = ±, где знак плюс соответствует стандартной ориенi тации, а минус –– противоположной. Мы видим, что условия леммы выполняются.

Обратно, если условия леммы выполняются, то мы можем сделать такое преобразование Мёбиуса, что векторы p1 и p2 примут указанную выше форму. Тогда данные окружности касаются нужным образом.

Доказательство леммы следует той же схеме. Заметим только, что знак координаты t для световых векторов сохраняется под действием группы G и то же самое справедливо для следа tr M, если det M = 0.

Вернемся к теореме Декарта. Рассмотрим матрицу Грама скалярных произведений векторов pi. Согласно лемме. она дается формулой:

Gi j := (pi, pj) = 1 - 2i j. (..) Хорошо известно, что определитель матрицы Грама равен квадрату определителя матрицы, составленной из координат этих векторов. То же самое верно с точностью до знака и в псевдоевклидовом пространстве, например, в 1,3.

В нашем случае квадрат матрицы G равен 4 · 14 и det G = 16. Отсюда следует, что векторы pi линейно независимы и, следовательно, образуют базис в 1,3.

Для любого вектора 1,3 мы определим два сорта координат:

• ковариантные координаты i, j • контравариантные координаты по формулам j i = (, pi); = · pj. (..) j=Найдем соотношения между этими координатами. Подставляя второе равенство (..) в первое и учитывая (..), мы выводим:

4 4 j j j i = · pj, pi = Gi j = - 2 i. (..) j=1 j=1 j=Суммируя последнее равенство по i, мы получаем:

4 4 4 j j i = 4 - 2 i = i=1 j=1 i=1 j= Глава. Строгое определение ковра Аполлония и, окончательно, 1 j = i - j. (..) 2 i=Из (..) мы также выводим выражение для | |2 в терминах координат:

2 1 j j | |2 = - 2 ( )2 = i - i2. (..) 4 j j i i Отсюда следует, что для любого светового вектора мы имеем равенство i - 2 i2 = 0. (..) i i Положим, в частности, = (1, 0, 0, -1). Тогда i = (, pi) = ti + zi = ci, и (..) дает в точности утверждение теоремы Декарта. Если же положить = (1, 0, 0, 1), то мы получим 2 ai = 2 a2.

i i=1 i=Тот же подход позволяет доказать больше.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.