WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 15 |

Она действует также на проективном пространстве, связанном с 1,n+1. Поскольку скалярные матрицы действуют тривиально, мы имеем фактически действие соответствующей проективной группы Глава. Круги на сферах PO(1, n + 1; ) = O(1, n + 1; )/{±1}, которая является факторгруппой O(1, n + 1; ) по ее центру {±1n+2}. Эта группа имеет только две связные компоненты PO±(1, n + 1; ), различаемые знаком величины det(a-1D).

Проективизация конуса C (с выброшенной вершиной) может xi быть отождествлена со сферой Sn с помощью координат i =, xxj i n + 1, и с n с помощью координат j =, 1 j n.

x0 - xn+Обратно, координаты точки конуса могут быть восстановлены, с точностью до пропорциональности, по формулам:

2 j + 1 j - j j x0 =, xj = j для 1 j n, xn+1 =. (..) 2 Следующий факт хорошо известен, и мы используем его для матричного определения конформной группы.

Т F.. Группа PO(1, n + 1; ), действующая на Sn (или на n), совпадает с Confn, а ее связная подгруппа PO+(1, n + 1; ) совпадает с Confn.

У. Инверсия In Confn в последней реализации соответствует некоторому элементу PO(1, n + 1; ), то есть паре матриц ±g O(1, n + 1; ). Найдите эту пару.

П. Используйте (..).

О. g = diag(1, 1,..., 1, -1).

F.. Малые размерности. В основном тексте мы рассмотрим подробнее случай n = 2, а также n = 3, n = 4. Во всех этих случаях конформная группа имеет дополнительные свойства, которые мы обсудим здесь.

Случай n = 2. Группа Conf2 изоморфна PO+(1, 3; ), а также группе Мёбиуса PSL(2, ). Расширенная конформная группа Conf2 изоморфна PO(1, 3; ), а также расширенной группе Мёбиуса.

Напомним, что группа Мёбиуса действует на расширенной комплексной плоскости так называемыми дробно-линейными, или мёбиусовыми, преобразованиями:

+, где SL(2, ). (..) + Расширенная группа Мёбиуса содержит также комплексное сопряжение и, следовательно, все преобразования вида +, где SL(2, ). (..) + Схолия F. Конформная группа и стереографическая проекция Среди этих преобразований выделяются так называемые отражения r, обладающие свойством r2 = 1 и имеющие в качестве множества неподвижных точек окружность или прямую линию. Обозначим это множество Mr и назовем его зеркалом, а преобразование r –– отражением в этом зеркале. Обратно, для каждой окружности или прямой линии M существует единственное отражение r, для которого Mr = M; мы обозначим его rM.

Если зеркало M является прямой линией l, преобразование rM является обычным евклидовым отражением в прямой l.

Если M –– единичная окружность C с центром в начале координат, то rM совпадает с инверсией In, определенной формулой (..).

В общем случае отражение в окружности M можно задать формулой rM = g In g-1, где g Conf2 –– любое конформное преобразование, переводящее C в M.

У. Покажите, что все отражения образуют один класс сопряженности в группе Conf2.

П. Проверьте, что Conf2 действует транзитивно на.

У. Покажите, что группа Conf2 порождается отражениями.

П. Используйте хорошо известный факт, что SL(2, ) порождается элементами 1 t 0 g(t) =, t, и s =. (..) 0 1 -1 У. Покажите, что классы сопряженных элементов в Conf2 –– это в точности множества уровня I(g) = const для функции (tr g)I(g) := - 4 (..) det g с единственным исключением: множество I(g) = 0 является объединением двух классов: {e} и класса, содержащего жорданов блок J2.

У. Покажите, что все инволютивные отображения в Conf2 образуют два класса сопряженных элементов: единичный класс и класс, состоящий из вращений сферы S2 на 180 вокруг какойнибудь оси.

У. Покажите, что все инволюции в PO-(1, 3; ), которые не являются отражением в окружности или прямой, образуют один класс сопряженных элементов, содержащий антиподальное отображение S2.

Мы приведем здесь два основных свойства группы Мёбиуса G.

Глава. Круги на сферах П F.. Для любых троек различных точек (z1, z2, z3) и ( 1, 2, 3) на существует единственное преобразование g G такое, что g(zi) = i, i = 1, 2, 3.

Д. Сначала проверим это утверждение для случая 1 = 0, 2 = 1, 3 =. Соответствующее преобразование gz,z2,zможет быть выписано явно:

z - z1 z2 - zgz,z2,z3(z) = :. (..) z - z3 z2 - z-В общем случае искомое преобразование g равно g = g, 2, 3 gz,z2,z3.

П F.. Любая окружность или прямая линия переходит после преобразования g G в окружность или прямую линию.

(Или: любой круг переходит в круг.) Для доказательства нам понадобится Л F.. Пусть a, c –– вещественные числа, b –– комплексное число такие, что ac - |b|2 < 0. Тогда неравенство a + b + b + c 0 (..) задает круг D. Более точно, это:

b а) замкнутый круг с центром - и радиусом r = c-1, если c > 0;

c b б) дополнение к открытому кругу с центром - и радиусом c r = -c-1, если c < 0;

в) замкнутая полуплоскость, если c = 0.

Более того, каждый обобщенный круг D задается неравенством вида (..).

Д. Это –– частный случай (..).

Предложение F. следует из леммы F., поскольку неравенство (..) сохраняет свою форму при преобразованиях вида (..), следовательно, при всех дробно-линейных преобразованиях.

З. Множество Conf2 \ Conf2 конформных преобразований второго рода не образует группы. Оно является двусторонним смежным классом в Conf2 относительно Conf2.

Стоит отметить, что это множество преобразований обладает обоими свойствами, упомянутыми в предложениях F. и F.: оно действует просто транзитивно на тройках различных точек в и сохраняет обобщенные окружности и диски.

Случай n = 3. Группа Conf3 = PSO+(1, 4; ) изоморфна группе PU(1, 1; ), которая является факторгруппой кватернионной псевдоунитарной группы U(1, 1; ) по ее центру {±12}.



Схолия F. Конформная группа и стереографическая проекция Группа U(1, 1; ) состоит из кватернионных матриц второго по a b рядка g =, удовлетворяющих соотношениям:

c d |a|2 = |d|2 = 1 + |b|2 = 1 + |c|2, b = cd.

Положим a = u ch t, d = ch t, где t, а u, –– кватернионы единичной нормы. Тогда существует такой кватернион единичной нормы, что b = sh t и c = u sh t.

Если матрица g не диагональна, параметры u,, и t определены однозначно. Для диагональных матриц мы имеем t = 0 и значение не влияет на g. Таким образом, наша группа является объединением S3 S3 S3 ( \ {0}) и S3 S3.

Группа U(1, 1; ) действует на двумерном правом кватернионном qпространстве 2. Элементы 2 –– вектор-столбцы с двумя кваqтернионными координатами; умножение на числа (кватернионы) производится справа, а действие группы –– умножением слева на матрицу из нашей группы.

Это действие сохраняет конус |q1|2 - |q2|2 = 0 и переносится на его кватернионную проективизацию, которая изоморфна сфере S3. Явный вид последнего действия дается формулой: u (au + b)(cu + d)-1.

a b У. Проверьте, что если |u| = 1 и матрица c d U(1, 1; ), то |(au + b)(cu + d)-1| = 1.

Случай n = 4. Группа Conf4 = PO+(1, 5; ) изоморфна другой проективной кватернионной группе PGL(2, ) = GL(2, )/ · 12.

Явная формула действия снова имеет вид дробно-линейного преобразования q (aq + b)(cq + d)-1. Но теперь наша группа действует на кватернионной проективной прямой 1( ) 4 S4.

Глава С Т Р О Г О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е К О В РА А П О Л Л О Н И Я 5.1. О Рассмотрим четыре попарно касающихся круга на двумерной сфере S2. Если мы удалим из сферы внутренние точки всех четырех кругов, то останется четыре криволинейных треугольника. Впишем в каждый из них максимальный возможный круг и удалим его внутренние точки. Вместо каждого криволинейного треугольника останется меньших треугольника, а всего –– треугольников. Опять впишем в каждый из них максимальный возможный круг и удалим его внутренние точки. Останется треугольников...

Продолжая этот процесс, мы удалим из сферы счетное множество открытых кругов. Оставшееся замкнутое подмножество имеет фрактальную природу и называется ковром Аполлония в честь древнегреческого математика Аполлония Пергского, жившего в III–II столетиях до нашей эры. Разумеется, можно было бы заменить сферу на 2 или на ; получаемое множество также именуется ковром Аполлония.

Согласно сложившейся практике, термином «ковер Аполлония» пользуются также для обозначения множества кругов (открытых и замкнутых) и множества окружностей, участвующих в построении.

Посмотрим, насколько различные формы может иметь ковер Аполлония. На первый взгляд, различные выборы начальных четырех кругов приводят к разным и непохожим друг на друга коврам. Тем не менее, все получаемые картины в определенном смысле эквивалентны.

Чтобы понять это, рассмотрим группу G конформных преобразований расширенной комплексной плоскости (см. формулу (..)).

У. Покажите, что любые две неупорядоченные четверки попарно касающихся кругов на сфере могут быть преобразованы одна в другую с помощью конформного отображения.

П. Покажите, что тройка попарно касающихся кругов на сфере однозначно определяется тройкой точек касания (воспользуйтесь предложением F.). Затем покажите, что тройка попарно касающихся окружностей может быть ровно одним способом дополне Глава. Строгое определение ковра Аполлония на до четверки попарно касающихся окружностей и что эти две четверки перводятся одна в другую конформным преобразованием.

Таким образом, с точностью до конформного преобразования существует только один ковер Аполлония.

Т.. Ковер Аполлония однозначно определяется любой тройкой попарно касающихся кругов в нем. (Другими словами, если два ковра Аполлония имеют общую тройку попарно касающихся кругов, то они совпадают.) Утверждение теоремы выглядит достаточно очевидным, и я рекомендую читателю попробовать придумать собственное доказательство. То, которое придумал я и которое приводится ниже, довольно длинно и основано на специальной нумерации кругов в.

Нумерация, о которой идет речь, подсказывается самой процедурой построения ковра. Именно, назовем начальные четыре круга D1, D2, D3, D4 кругами уровня 0. После удаления из S2 внутренних точек четырех кругов останется объединение четырех замкнутых криволинейных треугольников; назовем их треугольниками уровня и обозначим их T1, T2, T3, T4 так, чтобы Ti не имел общих точек с Di.

Впишем в каждый из этих треугольников максимальный возможный круг; назовем эти круги кругами уровня 1 и обозначим их Di.

После удаления из Ti внутренности круга Di останется объединение трех треугольников. Мы будем называть их треугольниками уровня и обозначать Tij, j = i. В каждый из треугольников уровня впи шем максимальный возможный круг; эти круги будем обозначать Dij и называть кругами уровня 2.

Продолжим эту процедуру до бесконечности. На n-м шаге мы рассматриваем треугольник Ti i2...in-1, вписываем в него максимальный возможный круг Di i2...in-1 и удаляем его внутренность. Остается объединение трех треугольников уровня n, обозначаемых Ti i2...in-1in, in = in-1.

Заметим, что два различных круга одного и того же уровня n никогда не касаются.

Итак, мы пронумеровали все треугольники (или круги) уровня n 1 последовательностями вида i1i2...in, где ik принимают значения 1, 2, 3, 4 и ik = ik+1 (рис..). Наряду с кругами уровня 1 имеются только четыре исходных круга Di, 1 i 4.

Л.. Пусть D, D, D, D –– четыре попарно касающихся круга на S2. Если три из них принадлежат некоторому ковру, то и четвертый принадлежит тому же ковру.





Д. Предположим: что круги D, D, D принадлежат ковру и имеют в нем уровни m, m, m соответственно; можно.. Основные факты TDTDTTT4 DTDTTDTDDTTDDDTTDDDD4 DDDDTDTDDDDDTРис... Нумерация кругов Глава. Строгое определение ковра Аполлония считать, что m m m. Поскольку диски одного уровня касаться не могут, возможны следующие четыре случая: ) 0 < m < m < m; ) 0 = = m < m < m; ) 0 = m = m < m; ) 0 = m = m = m.

В первом случае можно считать, что D = Di i2...im, D = Dj j2... jm, 1 и D = Dk k2...km. По построению круг D вписан в в треугольник Tk k2...km, ограниченный дугами трех кругов. Один из них –– круг Dk k2...km-1 уровня m - 1; уровни двух других обозначим через p и q, причем можно считать, что p q < m - 1 (равенство возможно только при p = 0).

Из конструкции ковра ясно, что уровни всех кругов, касающихся D, кроме трех упомянутых выше, превосходят m. Однако же нам известно, что D и D касаются D. Стало быть, m = p, m = q и три круга, касающихся D, суть D, D и Dk k2...km-1. Отсюда вытекает, что круг Dk k2...km-1 касается кругов D, D и D. Кроме того, этих кругов касается круг Dk k2...km km-1, имеющий уровень m + 1. Тем самым оба круга, касающиеся D, D и D, принадлежат ковру.

В остальных случаях доказательство аналогично, но проще. Например, круг, касающийся D1, D2 и D34, совпадает либо с D3, либо с D343 и тем самым принадлежит ковру.

Д. Пусть и ковер, и ковер содержит три попарно касающихся круга D, D и D. Обозначим их уровни в ковре через l m n. Докажем включение индукцией по n.

Если n = 0, то три наши круга суть исходные круги D1, D2 и D3 для. Поскольку эти три круга принадлежат, лемма. показывает, что D4 and D4 также принадлежат.

Чтобы показать, что всякий круг из ковра принадлежит, проведем индукцию по уровню. Именно, если это верно для всех кругов уровня n - 1, то всякий диск уровня n также принадлежит, по скольку он касается трех дисков уровня n - 1, принадлежащих.

Вернемся к исходной индукции. Предположим, что доказано следующее утверждение: если три диска из условия имеют уровень < n в, то они принадлежат. Пусть теперь D, D и D –– попарно касающиеся диски из, имеющие уровни k l < n. Из доказательства леммы. видно, что среди дисков, касающихся D, D и D, найдется диск D уровня n - 1. По предположению индукции D, D и D принадлежат ; следовательно, D принадлежат ввиду леммы.

Итак,. Но условия теоремы симметричны относительно и. Поэтому и, следовательно, эти ковры совпадают.

Л.. Треугольник Ti i2...in содержится в Tj j2... jm, если и толь1 ко если m n и ik = jk для 1 k m.

.. Основные факты Д. Заметим, что два разных треугольника одного уровня могут иметь не более одной общей точки, так что первый из наших треугольников может содержаться только в одном треугольнике уровня m. Поскольку он содержится в Ti i2...im и Tj j2... jm, лемма 1 отсюда следует.

Есть три наиболее симметричных выбора для начальной четверки попарно касающихся кругов на плоскости. Соответствующие ковры Аполлония показаны на рис..,.,..

Рис... Ковер-лента Рис... Прямоугольный ковер Глава. Строгое определение ковра Аполлония Рис... Треугольный ковер Все эти ковры являются стереографическими проекциями наиболее симметричного ковра на сфере S2, порожденного тремя попарно касающимися кругами одинакового размера. См. рис...

Рис... Сферический ковер Есть также несколько других интересных реализаций ковра Аполлония, из которых мы отметим две. При их исследовании используются некоторые свойства так называемых чисел Фибоначчи.

Схолия G. Числа Фибоначчи С G. Ч Ф Знаменитый итальянский математик Леонардо Пизанский, известный также под именем Фибоначчи, жил в XIII столетии. Среди прочих вещей он исследовал последовательность целых чисел {k}, удовлетворяющую рекуррентному уравнению k+1 = k + k-1 (..) и начальному условию 1 = 2 = 1. Она выглядит следующим образом:

n: -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n : 13 -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 Позднее эти числа появлялись во многих алгебраических и комбинаторных задачах и получили имя числа Фибоначчи. Мы коротко опишем основные факты из теории таких последовательностей.

Рассмотрим совокупность V всех двусторонних последовательностей { n}n, удовлетворяющих рекуррентному уравнению вида (..), то есть n+1 = n + n-1. Это –– вещественное векторное пространство, в котором операции сложения и умножения на число определены покомпонентно:

( + )n = n + n, (c · )n = c · n.

Размерность этого пространства равна, поскольку каждая последовательность из V однозначно определяется своими начальными значениями и эти значения можно выбирать произвольно. Мы можем, следовательно, рассматривать числа 1, 2 как координаты последовательности { n} в V. Например, последовательность Фибоначчи как точка из V имеет координаты (1, 1). Другая известная последовательность чисел Люк имеет координаты (1, 3).

Пусть T означает преобразование пространства V, переводящее последовательность { n} в последовательность { n+1} (также принадлежащую V, –– проверьте!). Наглядный смысл T –– сдвиг всей последовательности на один номер влево.

Это –– линейный оператор в пространстве V. Найдем спектр этого оператора. Если число принадлежит спектру, то для некоторой ненулевой последовательности { n} мы имеем n+1 = · n для всех n. Отсюда n = c · n, c = 0, и рекуррентное условие дает квадрат ное уравнение на : 2 = + 1. Мы видим, что спектр состоит из двух Глава. Строгое определение ковра Аполлония чисел:

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.