WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |

Глава. Круги на сферах OOO1 OРис... К доказательству формулы Декарта уравнение и/или некоторые его следствия были известны уже математикам Древней Греции более чем две тысячи лет тому назад.

В более близкое для нас время это уравнение было явно выписано Рене Декартом, знаменитым французским математиком и философом первой половины XVII столетия.

Если вместо радиусов ri рассматривать обратные величины ci := ri-1, 1 i 4, то уравнение Декарта выглядит совсем просто:

(c1 + c2 + c3 + c4)2 - 2(c2 + c2 + c2 + c2) = 0. (..) 1 2 3 Геометрический смысл величины ci –– это кривизна окружности с радиусом ri.

Мы оставляем любителям геометрии дать доказательство формулы Декарта, используя сведения, еще недавно входившие в обычную школьную программу. Следующее упражнение, а также рис.. будут для этого полезными.

У. Найдите общую формулу, пригодную для вычисления площади треугольника O1O2O3, введенного выше, в случаях а) и в).

П. Используйте формулу Герона S = p(p - a)(p - b)(p - c).

1 Причина, по которой кривизны ведут себя проще, чем радиусы, будет объяснена позже, когда мы введем теоретико-групповой подход к нашей задаче.

.. Теорема Декарта rrr 2 r1r3 2 r2r 2 r1rРис... Вырожденное уравнение Декарта О. S = r1r2r3(r1 + r2 + r3). Заметим, что выражение под знаком корня всегда положительно.

Существует частный случай теоремы Декарта, который гораздо легче доказать, чем общий случай. А именно, предположим, что одна из четырех окружностей вырождается в прямую линию. Пусть, например, c4 = 0, так что зависимость между оставшимися кривизнами имеет вид (c1 + c2 + c3)2 - 2(c2 + c2 + c2) = 0. (..) 1 2 По счастью, левая часть (..) разлагается на простые множители, которые легко выражатются через кривизны. Чтобы увидеть это, рассмотрим левую часть как квадратичный многочлен от c1:

-c2 + 2c1(c2 + c3) - c2 + 2c2c3 - c2.

1 2 Этот многочлен имеет корни c1 = c2 + c3 ± 2 c2c3 = ( c2 ± c3 )2.

Поэтому он может быть записан как - (c1 - ( c2 + c3)2)(c1 - ( c2 - c3)2) = ( c1 + c2 + c3) (- c1 + c2 + c3)( c1 - c2 + c3)( c1 + c2 - c3).

Отсюда следует, что (..) справедливо тогда и только тогда, когда при подходящем выборе знаков выполнены следующие равенства:

c1 ± c2 ± c3 = 0, или r2r3 ± r1r2 ± r1r3 = 0. (..) Глава. Круги на сферах rr1 r2 - rrd Рис... Вырожденная тройка с d = 2 r1rПравильный выбор знаков зависит от относительных размеров радиусов. Если, например, мы занумеруем радиусы так, что r r2 r3 > > 0, то правильное равенство имеет вид r1r2 = r2r3 + r3r1. Вы можете сами доказать это равенство, используя рис.. и..

В следующем разделе мы докажем более общее утверждение, используя матричную алгебру и геометрию пространства Минковского.

Но перед этим мы должны исправить неаккуратности в нашем первоначальном изложении и дать точную постановку задачи.

До сих пор мы не учитывали знак кривизны, а это может привести к ошибочному истолкованию формулы Декарта. Рассмотрим, например, четыре окружности, показанные ниже на рис...

Если мы здесь положим c1 = 1, c2 = c3 = 2, c4 = 3, то придем к неверному равенству 64 = (1 + 2 + 2 + 3)2 = 2(1 + 4 + 4 + 9) = 36.

Но если мы будем считать кривизну внешней окружности равной -1, то получим верное равенство 36 = (-1 + 2 + 2 + 3)2 = 2(1 + 4 + 4 + 9) = 36.

Еще раз взглянув на рисунок., мы видим, что внешняя окружность находится в особом положении: остальные окружности касаются ее изнутри. А мы уже говорили, что в этом случае удобно считать кривизну отрицательной величиной.

Чтобы сделать изложение строгим, есть две возможности: либо ввести ориентацию окружностей, либо рассматривать вместо окружностей двумерные круги, ограниченные этими окружностями. Оба подхода на самом деле эквивалентны. В самом деле, каждый круг наследует ориентацию у двумерной плоскости (или сферы), на которой.. Теорема Декарта r1 =1 r2 = r3 = 2 r4 = Рис... «Нарушение» уравнения Декарта он находится, а граница ориентированного круга сама имеет выделенную ориентацию. В нашем случае она определяется известным «правилом левой руки»: когда мы обходим границу в положительном направлении, область должна оставаться слева.

В частности, внешняя окружность на рис.. является границей области, дополнительной к единичному кругу. Поэтому ее ориентация противоположна ориентациям других окружностей, которые ограничивают обычные круги.

Возникает вопрос, нужно ли вообще рассматривать неограниченные области и их границы и нельзя ли обойтись обычными кругами. Ответ здесь –– твердое «нет». Дело в том, что после перехода от плоскости 2 к расширенной плоскости 2 разница между ограниченными и неограниченными областями стирается (потому что бесконечно удаленная точка теряет свое привилегированное положение и уравнивается в правах со всеми остальными точками).

Таким образом, мы окончательно установили, что является основным предметом наших исследований: это –– множество кругов на двумерной сфере S2, или на расширенной плоскости 2, или на рас1 Разумеется, можно держаться старых убеждений и настаивать на «особом положении» бесконечно удаленной точки. При этом тоже получается непротиворечивая теория. Но формулы этой теории сильно проигрывают в простоте и ясности –– как сложная теория циклов Птолемея уступает простой и понятной теории Коперника.

Глава. Круги на сферах ширенной комплексной плоскости. Каждому такому кругу соответствует ориентированная окружность на сфере (окружность или прямая линия на 2 или ).

Будем говорить, что два круга касаются, если они имеют ровно одну общую точку. В терминах ориентированных окружностей или прямых это означает «отрицательное» касание: в общей точке ориентации двух границ противоположны. Теперь становится понятно, почему мы исключили конфигурации, показанные на рис..: они дают примеры «положительного» касания и не соответствуют конфигурациям четырех попарно касающихся кругов.



Теперь разберемся с понятием кривизны. Пусть C –– ориентированная окружность с (обычным) радиусом r на. Мы приписываем окружности C положительную кривизну c = r-1, если C ограничивает, по правилу левой руки, обычный диск. Если же C –– граница дополнения к обычному диску, то мы считаем, что кривизна окружности C отрицательна и равна c = -r-1. Кривизна прямой линии считается равной нулю.

Оказывается, при таком понимании касания и кривизны формула Декарта верна без всяких исключений.

З. Посмотрим более внимательно на знаки чисел ci, 1 i 4, составляющих решение уравнения (..). Заметим, что если четверка (c1, c2, c3, c4) является решением, то противоположная ей четверка (-c1, -c2, -c3, -c4) –– тоже решение. Однако мы увидим вскоре, что из двух противоположных четверок только одна реализуется как набор кривизн для четверки границ попарно касающихся кругов.

Уравнение (..) может быть переписано в форме 2(c1 + c2)(c3 + c4) = (c1 - c2)2 + (c3 - c4)2. (..) Отсюда мы видим, что либо c1 + c2 0 и c3 + c4 0, либо c1 + c2 0 и c3 + c4 0. Предположим, что нумерация чисел {ci} выбрана так, что c1 c2 c3 c4.

Тогда в первом случае мы имеем |c4| c3 c2 c1, а во втором c4 c3 c2 -|c1|.

Читатель убедится сам, что только первый случай соответствует четверке кривизн границ попарно касающихся кругов. Поэтому только такие решения мы будем рассматривать в дальнейшем. При этом мы не теряем информации об остальных решениях уравнения Декарта: они состоят из противоположных четверок.

Таким образом, начиная с этого места мы предположим, что имеет место одна из следующих возможностей:

Схолия F. Конформная группа и стереографическая проекция а) все числа ci положительны, или б) три числа положительны, а четвертое отрицательно и по абсолютной величине меньше каждого из остальных, или в) три числа положительны, четвертое равно нулю, или, наконец, г) два числа положительны и равны друг другу, а остальные два равны нулю.

Этот результат отражает очевидный геометрический факт: из четырех попарно касающихся обобщенных кругов по крайней мере два являются обыкновенными ограниченными кругами.

С F. К F.. Стереографическая проекция. В этом разделе мы рассматриваем общий n-мерный случай. Однако все рассуждения и вычисления практически одинаковы во всех размерностях. Поэтому читатель, незнакомый с предметом, может для начала полагать, что n = 1 или.

Пусть n –– множество, получаемое из n добавлением бесконечно удаленной точки. Топология в n определяется так, что xk в топологии n xk в смысле обычного анализа.

Существует замечательное взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между n-мерной сферой Sn и n. Оно называется стереогрaфической проекцией. Здесь мы дадим определение этого соответствия и укажем его основные свойства.

Пусть n+1 –– евклидово пространство с координатами (0, 1,...

..., n). Единичная сфера Sn n+1 задается уравнением 2 + 2 +...

0... + 2 = 1. Точку P = (1, 0,..., 0) Sn мы будем называть северным n полюсом.

Пусть n –– другое евклидово пространство с координатами (x1, x2,..., xn). Удобно считать, что n –– подпространство в n+1, состоящее из точек с координатами (0, x1,..., xn).

Определим отображение s из Sn \ {P} на n по формуле:

1 2 n s() = 0,,,...,. (..) 1 - 0 1 - 0 1 - Обратное отображение имеет вид:

|x|2 - 1 2x1 2x2 2xn s-1(x) =,,,...,, (..) |x|2 + 1 1 + |x|2 1 + |x|2 1 + |x|2 2 где |x|2 = x1 + x2 +... + xn.

Глава. Круги на сферах У. Проверьте, что точки P, = (0, 1,..., n) и s() = (0, x1(), x2(),..., xn()) лежат на одной прямой в n+1.

Таким образом, геометрически отображение s является проекцией Sn \ {P} из северного полюса на координатную плоскость n n+1, определяемую уравнением 0 = 0.

Как аналитическое, так и геометрическое определения неприменимы к самому северному полюсу. Мы постановим отдельно, что s(P) = n. Так определенное отображение s будет, очевидно, биекцией Sn на n. Эта биекция непрерывна по определению топологии на n.

Одно из замечательных свойств стереографической проекции –– ее конформность. Это значит, что углы между пересекающимися кривыми сохраняются.

Второе замечательное свойство состоит в том, что все окружности на Sn переходят при стереографической проекции в окружности или прямые на n. Более того, все k-мерные сферы на Sn переходят в k-мерные сферы или k-мерные плоскости на n. При этом k-мерные шары на Sn переходят в обобщенные k-мерные шары на n.

Мы дадим здесь доказательство последнего свойства для n-мерных шаров на Sn. Любой такой шар D Sn можно рассматривать как пересечение Sn с полупространством в n+1, заданным в координатах 0, 1,..., n линейным неравенством p00 + p11 +... + pnn + pn+1 0. (..) Заметим, что гиперплоскость p00 + p11 +... + pnn + pn+1 = 0 пересекает единичную сферу Sn по нетривиальной (n - 1)-мерной сфере тогда и только тогда, когда 2 2 2 pn+1 - p0 - p1 -... - pn < 0. (..) Мы видим, что естественно рассматривать вектор p как элемент пространства 1,n+1 (см. ниже с. ) и писать левую часть неравенства (..) как |p|2. Поскольку умножение p на положительный множитель не меняет смысла неравенства (..), мы можем нормализовать p условием |p|2 = -1.





Выражая {i} через координаты {xj} точки s(), мы запишем неравенство, задающее s(D), в виде p0(|x|2 - 1) + 2p1x1 +... + 2pnxn + pn+1(|x|2 + 1) 0.

1 Не спутайте вектор p 1,n+1 с вектором n, который будет определен ниже.

p Схолия F. Конформная группа и стереографическая проекция В терминах скалярного произведения в n это значит a + 2( ) + c| |2 0, (..) p, x x где a = pn+1 - p0, c = pn+1 + p0, = (p1,..., pn) и = (x1,..., xn).

p x Теперь мы используем равенство |p|2 = ac - | |2 и нормализацию p |p|2 = -1, чтобы придать нашему неравенству окончательную форму p c · x + c-1. (..) c Это неравенство при c > 0 задает замкнутый шар в n с центром в точ p ке - и с кривизной c. В этом случае исходный диск D не содержит c северного полюса.

Если же c < 0, то (..) задает дополнение к открытому шару с цен p тром в точке - и радиусом -. Мы условились считать кривизной c c границы этого обобщенного шара отрицательную величину c. В этом случае исходный шар D содержит северный полюс внутри.

Наконец, если c = 0, то (..) не имеет смысла, а (..) задает замкнутое полупространство в Rn. В этом случае северный полюс лежит на границе исходного шара D.

F.. Конформная группа. Существует большая группа Confn (или, короче, Cn) так называемых конформных преобразований, действующая на Sn и на n так, что стереографическая проекция s является Cn-ковариантным отображением. Это значит, что для любого g Cn следующая диаграмма коммутативна:

s Sn - n -- g g (..) Sn - n, --s где g означает действие g Cn на Sn и на n.

Напомним, что диаграмма, состоящая из множеств и отображений, называется коммутативной, если для любого пути, составленного из стрелок диаграммы, произведение соответствующих отображений зависит только от начальной и конечной точек пути. В нашем случае есть два пути, ведущих из левого верхнего угла в правый нижний угол диаграммы, и коммутативность значит, что s g = g s.

Группа Cn может быть определена многими способами. Мы дадим здесь три эквивалентных определения.

Глава. Круги на сферах Г (только для n > 1). Напомним, что гладкое отображение g : n n имеет в каждой точке x n производную g(x), которая является линейным оператором g(x): n n. Мы говорим, что g конформно, если g(x) в каждой точке x является композицией вращения и подобия.

Таким образом, в бесконечно малом конформные отображения сохраняют форму фигур. Это объясняет происхождение термина «конформный».

В случае n = 1 группа конформных в этом смысле отображений слишком велика (бесконечномерна). А именно, она совпадает с группой всех гладких отображений S1.

В случае n = 2 группа всех конформных преобразований расширенной плоскости уже конечномерна: каждое взаимно однозначное конформное преобразование является дробно-линейным (см.

ниже).

Теперь мы дадим другое, теоретико-групповое определение, которое для n > 1 эквивалентно геометрическому и задает конечномерную группу в любой размерности n.

Пусть En( ) –– группа всех движений n, то есть вращений и параллельных переносов. Действие этой группы на n естественно продолжается на n так, что бесконечно удаленная точка остается неподвижной.

Назовем инверсией, или отражением в единичной сфере, преобразование In : n n, задаваемое формулой:

x, если x = 0,, |x|In (x) = (..), если x = 0, 0, если x =.

Т -. Сначала мы определим так называемую расширенную конформную группу Confn как группу, порожденную En( ) и In.

Группа Confn состоит из двух связных компонент. Преобразования из одной компоненты сохраняют ориентацию n. Они являются композицией движений и четного числа инверсий: g1 In g2 In... g2n In. Эта компонента сама является группой и, по определению, называется конформной группой Confn.

Преобразования из другой компоненты обращают ориентацию n. Они иногда называются конформными преобразованиями второго рода (в случае n = 2 это антианалитические отображения).

Схолия F. Конформная группа и стереографическая проекция Общий элемент второй компоненты является произведением движений и нечетного числа инверсий: g1 In g2 In... g2n+1 In.

Наконец, наиболее рабочее определение –– это следующее, которое мы назовем матричным определением.

Пусть 1,n+1 означает вещественное векторное пространство с координатами (x0, x1,..., xn+1) и со скалярным произведением, заданным симметричной билинейной формой B(x, y) = x0 y0 - x1 y1 -... - xn+1 yn+1.

Группа линейных преобразований, сохраняющих эту форму, называется псевдоортогональной группой и обозначается O(1, n + 1; ). Относительно выбранного базиса элементы этой группы задаются блоч a bt ными матрицами вида g =, где a –– вещественное число, b, –– c D c t вектор-столбцы размера n + 1, индекс означает транспонирование, а D –– матрица порядка n + 1. Тот факт, что g O(1, n + 1; ), выражается уравнениями a2 = 1 + | |2, DtD = 1n+1 + t, Dt = ba, (..) c bb c где 1n+1 означает единичную матрицу порядка n + 1.

Из (..) следует, что a и D обратимы (проверьте самостоятель b bt но, что D-1 = 1n+1 - ). Поэтому группа O(1, n + 1; ) разбива1 + |b|ется на четыре части согласно знакам a и det D. На самом деле эти части являются связными компонентами. Более точно, наша группа диффеоморфна произведению O(n, ) Sn 2: каждой четверке (A,,, ±1) соответствует элемент ch · sh t g = ± O(1, n + 1; ) (..) sh · A ch · A и, обратно, каждая матрица из O(1, n + 1; ) записывается в такой форме.

Псевдоортогональная группа действует на пространстве 1,n+1, сохраняя конус 2 2 C : x0 = x1 +... + xn+1.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.