WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 15 |

Основные соотношения между базисными функциями выводятся как в двумерном случае. Они имеют вид n + (2t) = (n + 3) · (t), (2t) = · (t); (..) n + (1 + ) + (1 - ) = 2 + (n + 1)(), (..) n + 1 (n - 1)(n + 2) (1 + ) - (1 - ) = 2 () + ();

n n n - (1 + ) + (1 - ) = 2 - (), n + (..) 2 (n - 1)(n + 2) (1 + ) - (1 - ) = () + ().

n n(n + 1) Схолия E. Числовые системы Эти соотношения позволяют развить арифметическую теорию базисных функций для любого целочисленного значения n аналогично случаю n = 2.

В частности, функция (t) всегда принимает целые значения в целых точках.

Некоторые значения n представляют особый интерес.

При n = 1 мы получаем (t) = t2, (t) = (t) = t, (t) = 2t - t2.

При n = 0 мы получаем y = 0, поэтому (t) = (t) = (t) = (t) и эта функция удовлетворяет равенствам (2t) = 3(t), (2m + k) + (2m - k) = 2 · 3m + (k). (..) Здесь, как и в двумерном случае, полезно ввести новую функцию D по формуле D(k) := (k + 1) - 2(k) + (k - 1) для любого целого k > 0.

(..) Т.. Функция D(k) обладает свойствами:

D(2k) = D(k), D(2n + k) + D(2n - k) = D(k) для 0 < k < 2n. (..) Детальное изучение функции D(k) очень интересно и может быть предметом самостоятельного исследования.

При n = -1 мы получаем (t) = t и неясно, как определить остальные базисные функции.

1, если k 0 mod 3, Наконец, при n = -2 мы получаем (k) = 0, если k 0 mod 3.

Аналогичные формулы справедливы для остальных базисных функций.

Мы оставляем читателю исследовать остальные значения n и поискать интересные примеры.

С E. Ч E.. Стандартные системы. Большинство вещественных чисел иррациональны, то есть не могут быть записаны как отношение двух целых чисел. Более того, вещественные числа образуют несчетное множество и поэтому не могут быть занумерованы словами, содержащими конечное число букв из конечного или счетного алфавита.

1 Я не знаю геометрической интерпретации этих функций для n 0.

Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского С другой стороны, есть много числовых систем, позволяющих записывать все вещественные числа, используя бесконечные (счетные) слова с буквами из конечного или счетного алфавита. Самые известные системы –– это обычная десятичная система и ее двоичный аналог.

Для построения системы S такого типа нужны следующие начальные данные:

• вещественное или комплексное число b, |b| > 1, называемое базой;

• множество D = {d1, d2,...} используемых цифр, которые могут быть любыми вещественными или комплексными числами, но обычно выбираются из натурального ряда, включая 0.

Каждой полубесконечной последовательности вида a = anan-1...a1a0,a-1a-2... a-n..., ak +, числовая система S ставит в соответствие число k=n val(a) = da · bk. (..) k В стандартных числовых системах базой является натуральное число m, а цифрами –– элементы множества Xm = {0, 1,..., m - 1}. Хорошо известно, что любое неотрицательное вещественное число x записывается в форме j=n x = val(a) = aj · mj. (..) Более точно, каждое неотрицательное целое число записывается в виде (..) однозначно и имеет дополнительное свойство: ak = для k < 0.

В то же время каждое вещественное число из отрезка [0, 1] почти однозначно записывается в виде (..) и имеет дополнительное свойство: ak = 0 для k 0. Неединственность возникает из тождества (m - 1) · m-k = 1.

k Общепринятый способ избежать этой неединственности –– запретить использование бесконечной последовательности цифр m - 1.

Руководствуясь этим примером, мы определим для любой числовой системы S такого типа множество Ц(S) целых чисел, которые обладают свойством ak = 0 для k < 0, и множество Д(S) дробных чисел, которые обладают свойством ak = 0 для k 0.

Для стандартных систем S мы имеем Ц(S) = +, Д(S) = [0, 1).

Схолия E. Числовые системы E.. Нестандартные системы. Нестандартные системы используются редко, но их свойства более интересны.

У. Рассмотрим числовую систему S с базой b = -и цифрами {0, 1}.

2 Проверьте, что для этой системы Ц(S) =, а Д(S) = -,. По3 кажите, что любое вещественное число –– положительное или отрицательное –– записывается в виде (..) почти однозначно.

У. Рассмотрим систему S с базой b = 1 + i и цифрами {0, 1}.

Покажите, что Ц(S) = [i] –– множество целых гауссовых чисел вида a + ib, a, b.

Что касается Д(S), то это –– компактное фрактальное множество размерности, определяемое свойством:

1 - i Д = · (Д (1 + Д)). (..) Здесь, как обычно, когда арифметические операции применяются к некоторому множеству чисел, это значит, что они применяются к каждому элементу множества. Изображение этого множества можно найти во многих книгах о фракталах (см., например, [Edg]) или построить самому, пользуясь равенством (..). Это множество показано на рис...

Рис... Множество Д(S) Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского У. = e2i/3 –– кубический корень из. Существует ли нестандартная числовая система с базой и цифрами из [], для которой Ц(S) = [] Каково множество Д(S) для такой системы E.. Непрерывные дроби. Существует еще более нестандартная числовая система, связанная с понятием непрерывной дроби. Пусть k = {k1, k2,...} –– конечная или счетная последовательность натуральных чисел. Мы поставим в соответствие этой последовательности число val(k) =, (..) k1 + k2 + k3 +... + kn если последовательность k конечна, или предел выражения (..) при n, если последовательность k бесконечна.

Хорошо известно, что предел в данном случае всегда существует.

Более того, любое иррациональное число x из интервала (0, 1) соответствует единственной бесконечной последовательности k. Говорят, что x является значением бесконечной непрерывной дроби, задаваемой последовательностью k.



Что касается рациональных чисел r (0, 1), то каждое из них является значением ровно двух конечных непрерывных дробей:

k = {k1,..., kn-1, 1} и k = {k1,..., kn-1 + 1}.

Существует простой алгоритм, как восстановить последовательность k по значению val(k). Именно, пусть [x] означает так называемую целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x. Через {x} обозначается дробная часть x, равная x - [x]. Для каждого числа x (0, 1) мы определяем последовательно 1 x1 =, k1 = [x1]; x2 =, k2 = [x2],..., x {x1} xn =, kn = [xn],...

{xn-1} Для рационального x этот процесс останавливается, когда для некоторого n мы получаем {xn+1} = 0. Тогда непрерывная дробь, соответствующая последовательности k = {k1,..., kn}, имеет значение x.

Для иррационального x процесс продолжается бесконечно и определяет бесконечную непрерывную дробь со значением x.

Схолия E. Числовые системы П. Пусть kn = 2 для всех n. Тогда x = val(k), очевидно, удовлетворяет уравнению = 2 + x. Поэтому x2 + 2x - 1 = 0 и x = -1 ± x ± 2. Поскольку x (0, 1), мы заключаем, что x = 2 - 1.

Таким образом, квадратный корень из задается выражением 2 = 1 +, 2 + 2 + 2 + 2 +...

следовательно, не является рациональным числом.

Этот результат был известен еще во времена Пифагора и держался в секрете, поскольку он мог подорвать веру в могущество (рациональных) чисел.

Есть несколько случаев, когда значение бесконечной непрерывной дроби выражается через известные функции одной переменной.

Я знаю два таких случая.

. Первый случай: исходная дробь k периодична или хотя бы смешанно-периодична.

В этом случае число val(k) удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами и может быть вычислено явно.

Обратное также верно: любой вещественный корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами может быть записан в виде смешанно периодической непрерывной дроби.

. Второй случай: последовательность {kn} является арифметической прогрессией или ее модификацией. Здесь я ограничусь тремя примерами:

e2 - 1 th 1 = = ;

e2 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +...

1 Более точно, его геометрическая интерпретация, показывающая, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

a + b 2 Все такие числа имеют вид, a, b, c, и называются квадратичными иррациc ональностями.

Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского 1 e - 1 th = = ;

2 e + 1 2 + 6 + 10 + 14 + 18 +...

e = 2 +.

1 + 2 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 6 +...

E.. Обобщенные числовые системы. Оказывается, все числовые системы, рассмотренные нами до сих пор, являются частными случаями следующей общей схемы. Выберем множество D возможных цифр. Каждой цифре d D соответствует вещественная или комплексная матрица Ad формата n n. Выберем также (n n)-матрицу.

Каждой полубесконечной последовательности цифр a = {a0, a1...} мы поставим в соответствие число val(a) = tr( · Aa · Aa ·...) (..) 0 в случае, когда бесконечное произведение имеет смысл.

Покажем, как эта конструкция связана с предыдущими числовыми системами.

m Пусть Aa =, 0 a m - 1. Тогда a mn+1 n Aa... Aa Aa =.

n 1 ajmj j= 0 Таким образом, если мы положим =, мы получим:

0 val(a0, a1..., an) = tr( · Aa... Aa ) = tr(Aa · Aa... Aa · ) = 0 n 0 1 n = a0 + a1m +... + anmn. (..) k Пусть теперь Ak =. Рассмотрим матрицы 1 k 1 kl + 1 k klm + m + k kl + Ak =, Ak Al =, Ak Al Am = 1 0 l 1 lm + 1 l.. Применения обобщенных числовых систем и сравним их с непрерывными дробями:

1 1 l 1 lm +, =, =.

k 1 kl + 1 1 klm + m + k k + k + l l + m Это сравнение подсказывает общее тождество:

Л E.. Значение непрерывной дроби k = {k1,..., kn} можно вычислить по формуле:

tr( · Ak1 · Ak2... Akn) val(k) = =, (..) 1 tr(0 · Ak1 · Ak2... Akn ) k1 + k2 + k3 +... + kn 1 где матрица определена выше и 0 =.

0 3.8. П Применение к ковру Серпинского. Мы начнем с параметризации точек, несколько отличной от той, которую мы ввели в начале этой главы.

Рассмотрим алфавит из трех букв: -1, 0, 1. Каждому конечному слову a = a1a2...an мы поставим в соответствие комплексное число a1 a2 an val(a) = + +... +, где = e2i/3. (..) 2 4 2n Пустой последовательности соответствует число.

Подумаем, какое множество заполняют значения val(a), когда a пробегает множество всех бесконечных последовательностей. Пусть сначала все члены последовательности a одинаковы и равны m. Тогда значения val(a) = m –– это три кубических корня из 1. Если последовательность a содержит только цифры 1 и -1, то вещественная часть 1 ряда (..) имеет вид - =. Значит, величины val(a) в этом 2k+1 k=случае лежат на прямой x =. Более внимательное рассмотрение показывает, что значения val(a) пробегают отрезок, соединяющий кубические корни и -1 =. Соображения симметрии (относительно умножения на ) показывают, что наше множество лежит внутри выпуклой оболочки точек 1, и. Я оставляю читателю доказать, что Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского на самом деле искомое множество –– это ковер Серпинского с вершинами в трех кубических корнях из 1.

У. Покажите, что значения val(a) для 3n последовательностей длины n расположены в центрах треугольников ранга n - 1, дополнительных к.

У. Покажите, что значения val(a) и val(a) для бесконечных последовательностей a и a совпадают, только если a получается из a заменой хвоста вида xyyyy... на хвост yxxxx...





У. Какие бесконечные последовательности a соответствуют: а) граничным точкам; б) точкам ребер, соединяющих граничные точки; в) вершинам n; г) точкам ребер, соединяющих вершины n Теперь поставим следующую основную задачу:

Вычислить значение гармонической функции на с данными граничными значениями b-1, b0, b1 в точке, соответствующей данной бесконечной последовательности a.

Ответ дается в следующей форме:

Существует обобщенная числовая система S, заданная тремя матрицами A-1, A0, A1 и матрицей = (b-1, b0, b1) формата 3 3, такая, что искомое значение равно val(a) в системе S.

Применение к функции «вопросительный знак». Так называемая функция «вопросительный знак» была определена Минковским в году для нумерации всех квадратичных иррациональностей на интервале (0, 1) с помощью рациональных чисел на том же интервале с сохранением непрерывности и порядка. Позже, в году, А. Данжуа дал определение этой функции на всей вещественной прямой.

Согласно одному из возможных определений (см. ниже), функция (·) переводит число a, заданное бесконечной непрерывной дробью a =, a1 + a2 + a3 +... + +...

ak в число, записываемое в двоичной системе как a1 a2 a (-1)k-(a) := = 0,0...0 1...1 0...0...

2a1+...+ak -k.. Применения обобщенных числовых систем 2 4 e2 - Например, = 0,11001100... =, = 2-k.

2 e2 + k Мы сможем сказать больше об этой функции во второй части книги. Здесь мы только заметим, что это еще одна функция, которая наиболее просто выглядит при использовании обобщенных числовых систем.

Часть II • К О В Е Р А П О Л Л О Н И Я В этой части книги мы рассмотрим другой замечательный фрактал –– так называемый ковер Аполлония. Он выглядит совсем по-другому, чем ковер Серпинского. Например, не является самоподобным фракталом, хотя для любого k 0 он может быть представлен как объединение 3k + 2 подмножеств, гомеоморфных.

Тем не менее, существует глубокая и красивая связь между обоими фракталами, и наша цель, только частично достигнутая здесь, состоит в том, чтобы понять и объяснить эту связь.

Многие факты, обсуждаемые ниже, относятся к элементарной геометрии. Однако в современном математическом образовании евклидова геометрия занимает неоправданно малое место, так что мы не можем полагаться на информацию, полученную в школе. Поэтому иногда нам приходится использовать более сложные средства для вывода нужных нам результатов.

Как и в первой части, мы изучаем фрактал с разных точек зрения: геометрической, теоретико-групповой и теоретикочисловой. Именно взаимодействие этих подходов делает нашу задачу очень интересной и многообещающей.

Глава К Р У Г И Н А С Ф Е РА Х 4.1. Т Д Мы начнем с простого геометрического вопроса:

Описать все конфигурации четырех попарно касающихся окружностей на плоскости.

Примеры таких конфигураций показаны ниже на рис... Мы включили сюда и те случаи, когда одна или две из наших окружностей вырождаются в прямую линию (которую можно рассматривать как окружность бесконечного радиуса), а также случаи, когда все окружности касаются одной изнутри. Впоследствии мы покажем, что в этом случае удобно рассматривать внешнюю окружность как окружность с отрицательным радиусом.

Рис... Четверки касающихся окружностей Наряду с этим существуют конфигурации, которые нам хотелось бы исключить, поскольку без них теория становится более простой и стройной. Несколько таких нежелательных конфигураций показано на рис... Во всех этих конфигурациях все четыре окружности имеют общую точку, конечную или бесконечно удаленную. Причина, по которой нужно исключить эти конфигурации, станет яснее, когда мы точнее сформулируем задачу и перейдем от окружностей к кругам.

Глава. Круги на сферах Рис... «Неправильные» четверки Оказывается, что полное и ясное решение нашей задачи использует сведения из разных областей математики. Более того, задача имеет естественное многомерное обобщение и требует более точной формулировки.

Мы начнем с того, что на вполне элементарном уровне покажем необходимость изменения и уточнения формулировки. Для этого сделаем шаг назад и рассмотрим вместо четверки тройку попарно касающихся окружностей. Имеются три типа таких троек –– см. ниже рис.

.. Эти три типа различаются по виду треугольника, образуемого точками касания. А именно, этот треугольник остроугольный в случае а), прямоугольный в случае б) и тупоугольный в случае в).

В случае а) довольно ясно, что наши три окружности могут иметь произвольные положительные радиусы r1, r2, r3. В самом деле, пусть O1, O2, O3 –– центры искомых окружностей. Мы всегда можем построить треугольник O1O2O3, поскольку длины его сторон известны:

|OiOj| = ri + rj и удовлетворяют неравенству треугольника:

|OiOj| + |OjOk| = (ri + rj) + (rj + rk) > ri + rk = |OiOk|. (..) В случае в) мы имеем |O1O2| = r1 + r2, |O2O3| = r3 - r2, |O3O1| = r3 - rи r1 + r2 < r3.

Оказывается, если заменить в наших формулах r3 на -r3, то можно объединить случаи а) и в) в одной общей формуле:

|OiOj| = |ri + rj|. (..) В случае б) центр O3 расположен в бесконечно удаленной точке.

Мы полагаем в этом случае r3 =, и равенство (..) при естественной его интерпретации также выполняется.

В случае, когда четыре окружности попарно касаются, их радиусы не произвольны, а удовлетворяют некоторому уравнению. Это.. Теорема Декарта Or3 rrrO1 r1 r2 OТройка касающихся окружностей типа а) Orr2 OrrТройка касающихся окружностей типа б) OrrOrrOТройка касающихся окружностей типа в) Рис...

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.