WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |

Значения функций (k), 36(k) и их разностных производных 1 k (k) 2 36(k) 36 k (k) 2 36(k) 3 1 1 1 729 729 34 3745 -11 9985 2 5 1 1215 486 35 3965 5 10191 3 12 2 1620 405 36 4200 -2 10400 4 25 1 2025 405 37 4429 -11 10597 5 41 1 2403 378 38 4625 5 10755 6 60 2 2700 297 39 4836 26 10916 7 85 5 2997 297 40 5125 1 11125 8 125 1 3375 378 41 5417 -23 11331 9 168 -2 3744 369 42 5640 -2 11480 10 205 1 4005 261 43 5857 17 11617 11 245 5 4239 234 44 6125 5 11775 12 300 2 4500 261 45 6408 -2 11936 13 361 1 4761 261 46 6685 17 12085 14 425 5 4995 234 47 7013 53 12255 15 504 14 5256 261 48 7500 2 12500 16 625 1 5625 369 49 7993 -47 12745 17 749 -11 5991 366 50 8345 -11 12915 18 840 -2 6240 249 51 8664 14 13064 19 925 5 6453 213 52 9025 1 13225 20 1025 1 6675 222 53 9389 -11 13383 21 1128 -2 6888 213 54 9720 14 13520 22 1225 5 7065 177 55 10093 53 13669 23 1337 17 7251 186 56 10625 5 13875 24 1500 2 7500 249 57 11172 -33 14084 25 1669 -11 7749 249 58 11605 1 14245 26 1805 1 7935 186 59 12041 41 14403 27 1944 14 8112 177 60 12600 14 14600 28 2125 5 8325 213 61 13201 1 14809 29 2321 1 8547 222 62 13805 41 15015 30 2520 14 8760 213 63 14532 122 15260 31 2761 41 9009 249 64 15625 1 15625 2 32 3125 1 9375 366 65 16721 -119 159893 1 33 3492 -38 9740 365 66 17460 -38 162333 Схолия D. Производные и интегралы дробного порядка k Например, полагая t =, 0 k 16, мы получаем:

(48 + k) + (48 - k) =.

Такая же симметрия наблюдается для :

1 1 1 + t + - t = 2 для |t|. (..) 4 4 4 Все это подводит к задаче о минимальных «волнушках», из аффинных образов которых могут быть составлены графики всех основных функций.

Кандидатами в волнушки являются куски графика функции на 1, 1 и графика на, 1.

2 Я горячо рекомендую читателю поискать другие закономерности в этой таблице и доказать соответствующие общие утверждения.

Например, посмотрите на значения функции в точках 2n, 2n ± 1, 2n + 2n-1 и 2n + 2n-1 + 1.

Очень интересно также исследовать p-адическое поведение функции (n) и возможное продолжение (n) до функции из 2 в 5.

Наконец, я советую нарисовать график функции k (k) на отрезке [2n + 1, 2n+1] и подумать, что происходит при n.

С D. П Производная порядка n определяется обычно как n-я итерация x первой производной. Иногда определенный интеграл f (t) dt с переменным верхним пределом называют антипроизводной, или производной порядка -1. Можно также определить производную порядка -n как n-ю итерацию антипроизводной. Явная форма этой операции такова:

x t1 tn-(-n) f (x) = dt1 dt2... f (tn) dtn.

0 0 Этот повторный интеграл может быть записан в виде n-мерного интеграла f (tn) dt1 dt2...dtn, x где x –– симплекс в n с координатами t1, t2,..., tn, подчиненными 1 Перевод В. И. Арнольда термина «wavelets».

Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского неравенствам 0 t1 t2... tn x.

Изменяя порядок интегрирования, можно свести этот интеграл к другому одномерному интегралу x x (x - t)n-f (tn) dt1 dt2...dtn = vol x(t) f (t) dt = f (t) dt.

(n - 1)! x 0 (..) Здесь x(t) –– (n - 1)-мерный симплекс, который получается пересечением симплекса x с гиперплоскостью tn = t.

(x - t)n-Теперь заметим, что выражение имеет смысл не только (n - 1)! для n, но и для любого вещественного n. Поэтому мы заменим обозначение n на и определим антипроизводную порядка, или производную порядка -, формулой x x (x - t)-t-(-) f (x) = f (t) dt = f (x - t) dt. (..) () () 0 Разумеется, мы должны уточнить, какой класс функций мы будем рассматривать и как понимать интеграл для этого класса функций. Для начала будет достаточно предположить, что наши функции определены и гладки на (0, ), а также обращаются в нуль с достаточно большой кратностью в начале координат.

x-У. Обозначим через (x) функцию. Покажи() те, что (-)(x) = -(x). (..) П. Используйте B-функцию Эйлера, задаваемую формулой B(, ) = t-1(1 - t)-1 dt, и ее свойство:

()() B(, ) =.

( + ) Отметим связь дробного дифференцирования с операцией свертки на группе + для функций с носителем на положительной полуоси:

x ( f1 f2)(x) = f1(t) f2(x - t) dt.

А именно, производная порядка –– это свертка с -, а интеграл порядка –– это свертка с.

.. Некоторые арифметические свойства основных функций 3.4. Н Как показано в разделе., функция (t) принимает целые значения в целых точках. Такие функции часто имеют интересные арифметические свойства.

Остальные основные функции,, мы также продолжим на положительную полуось по формулам (t) + (t) 3(t) - (t) (2t) = (t), (t) =, (t) =. (..) 3 2 Можно рассматривать эти функции как граничные значения гармонических функций на бесконечном ковре Серпинского, ограниченном x лучами x 0, y = 0 и x 0, y =.

Рис... Бесконечный ковер Серпинского Изучим локальное поведение гармонических функций в окрестноk сти некоторой двоично-рациональной точки r =.

2n Мы начнем с функции. Ввиду соотношений (..) достаточно рассмотреть только случай n = 0 и нечетные положительные k = 2m + 1.

Т.. Для любого нечетного положительного k и любого [0, 1] мы имеем (k ± ) = (k) + 2 · () ± 1 · 2() + 3(), (..) k+1 k- - (k - 1) + (k + 1) - 2(k) 2 где 2 =, 1 =.

2 Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского С. Для любого n, любого k и любого нечетного положительного l < 2n мы имеем (2nk + l) (2nk - l) mod 2(l) + 3n+1(l) (..) и (2nk + l) + (2nk - l) - 2(2nk) 0 mod (l). (..) Некоторые частные случаи полученных сравнений:

а) n = 1, k = 2m + 1, l = 1: (4m + 3) (4m + 1) mod 11;

б) n = 2, k = 2m + 1, l = 3: (8m + 7) (8m + 1) mod 84;



в) k = 1: (2n + l) (2n - l) mod 2(l) + 3n+1(l) (на самом деле это не только сравнение, но даже равенство, поскольку в этом случае 21 = 1).

Д. Рассмотрим треугольный кусок бесконечного ковра, опирающийся на отрезок [k - 1, k + 1]. Он показан на рис...

c b- b+ a a- a+ k - 1 k k + Рис... Фрагмент бесконечного ковра Серпинского Обозначим значения функции в точках k - 1, k, k + 1 через a-, a, a+ соответственно. Тогда значения b+, b-, c, принимаемые в остальных вершинах, как показано на рис.., могут быть вычислены из равенств:

5a = 2a- + 2a+ + c, 5b± = 2a± + 2c + a.

В результате этого вычисления получаем:

3a + 2a+ 2a+ + 3a - c = 5a - 2a- - 2a+, b+ = 2a -, b- = 2a -.

5 1 Заметим, что 3n+1(l) –– целое число, когда l < 2n.

.. Некоторые арифметические свойства основных функций Введем в рассмотрение функции g± : (k ± ). Зная граничные значения соответствующих гармонических функций на выбранном куске, мы можем написать:

a± + b± - 2a a± - b± g±() = a + · () + · ().

2 Для доказательства теоремы остается заметить, что a± + b± - 2a = ± (a+ - a-) = ±3 · 2 и a± - b± a + a+ - 2a - = ± (a+ - a-) = 2 ± 21.

2 2 l Д. Положим = в (..). Тогда 2n мы получаем l l (2nk + l) - (2nk - l) = 5n k + - k - = 2n 2n l l = 2 · 5n1 2 + 3 = 2 · 1 · 2(l) + 3n+1(l).

2n 2n Поскольку 21, мы доказали (..). Сравнение (..) доказывается так же.

В заключение этого раздела мы введем и начнем изучать еще одну целочисленную функцию натурального аргумента. А именно, положим (k - 1) - 2(k) + (k + 1) D(k) :=. (..) По существу, это вторая разностная производная функции, поделенная на 3. Значения D(k) для малых k приведены в таблице..

Эта таблица дает еще больше поводов для наблюдений и открытий, чем таблица.. Например, уже имеющиеся данные позволяют предположить, что функция D обладает свойством D(2k) = D(k). (..) Это заметно сокращает ее вычисление: достаточно вычислить значения в нечетных точках.

Далее, более тонкое наблюдение позволяет решить и эту задачу:

функция D удовлетворяет соотношению D(2k - 1) + D(2k + 1) = 3D(k). (..) Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского Таблица.

Значения D(k) k (k) (k) 2(k) D(k) 0 1 1 3 2 5 3 3 12 6 4 25 3 5 41 3 6 60 6 7 85 15 8 125 3 9 168 -6 -10 205 3 11 245 15 12 300 6 13 Мы оставляем читателю доказать свойства (..) и (..) функции D(k). Пользуясь этими свойствами, легко продолжить таблицу значений D(k) как угодно далеко.

Оказывается, в отличие от функции (k), функция D(k) растет заметно медленнее, примерно как k, = log2 3, и большие значения сосредоточены «кластерами» вблизи степеней двойки. Я очень советую читателю поразмышлять и поэкспериментировать на эту тему.

Например, интересно описать прообраз D-1(n) для разных n, начиная с n = 1.

3.5. Ф x(t), y(t) y(x) Теорема. и приведенное выше ее следствие заставляют задуматься над тем, что, возможно, координата t является не лучшим выбором аргумента для функций uac. Более естественный выбор аргуb мента x и функции y(x) таков:

x = + - 1 = + - 1; y = - = - = -. (..).. Функции x(t), y(t) и y(x) Когда t меняется от до, x возрастает от -1 до, в то время как y растет от значения 0 до максимума при x = 0, а потом убывает опять до 0.

Альтернативное (эквивалентное) определение: x = u-10, y = u01.

1 Т.. Величина y является дифференцируемой функцией dy от x. Более точно, производная y = существует и является непреdx рывной строго убывающей функцией x.

Мы вернемся к этому вопросу в части II.

Следующие три проблемы открыты.

З. Подсчитать моменты mn := xn y dx. (..) -З. Подсчитать коэффициенты Фурье cn := e-inx y dx. (..) -З. Исследовать дробные производные основных функций.

Например, интересно найти производную порядка = log2 5 от функции (t) и производную порядка = log2 5 от функции (t) в окрестности нуля.

Все базисные функции легко выражаются в терминах x и y:

x + 1 - 3 y x + 1 - y x + 1 + y x + 1 + 3 y =, =, =, =.

2 2 2 (..) Другое преимущество величин x и y заключается в их простом поведении относительно оператора T: Tx = -x, Ty = y.

Недостатком является более сложное поведение относительно операторов A0 и A1. Именно, если мы введем вектор-функцию h(t) = = (x(t), y(t), 1)t, то законы преобразования базисных функций (..) переходят в несколько более сложные формулы:

t h = C0 1 + t = C1 (..) h(t), h h(t), 2 где 5 3 -5 5 -3 1 1 3 1 1 -1 3 C0 =, C1 =. (..) 10 0 0 10 0 0 Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского Обе величины x и y первоначально были функциями от t [0, 1].

Поскольку x задает биекцию [0, 1] [-1, 1], мы можем рассматривать отображение := y x-1 : [-1, 1] [0, 1].

Часто мы не будем делать различия между y и и писать просто y(x). Утверждение, что x –– лучший параметр, чем t, подтверждается сформулированной выше теоремой.. На мой взгляд, лучший способ доказательства этой теоремы –– показать, что y является вогнутой функцией от x, то есть обладает свойством x1 + x2 y(x1) + y(x2) y >. (..) 2 У. Докажите, что y(x) удовлетворяет уравнениям 3 y(x(t)) + 1 3 y(x(t)) - t 1 + t y x =, y x =. (..) 2 3 y(x(t)) + 5 2 5 - 3 y(x(t)) П. Докажите и используйте равенства t 1 3 1 t 1 3 x = x(t) + y(t) - ; y = x(t) + y(t) + ;

2 2 10 2 2 10 10 1 + t 1 3 1 1 + t 1 3 x = x(t) - y(t) + ; y = - x(t) + y(t) -, 2 2 10 2 2 10 10 (..) которые следуют из (..) и (..).

Соотношения (..) позволяют явно найти производную y(x) в некоторых точках (если заранее известно, что производная существует).





Например, если мы положим t = 0 в первом соотношении (..), мы получим уравнение для производной в точке -1:

3 y(-1) + y(-1) =, или 3 y(-1)2 + 2 y(-1) - 1 = 0.

3 y(-1) + Это квадратное уравнение имеет два корня: и -1. Поскольку y(-1) = 0 и y(-1 + ) > 0, только первый корень дает правильное значение для производной. Таким образом, мы получаем y(-1) =.

Аналогично, полагая t = 1 во втором соотношении (..), мы получаем y(1) = -.

.. Функции x(t), y(t) и y(x) Графики функций y(x) и y(x) показаны на рис...

y y(x) x -1 y(x) Рис... Графики функций y(x) и y(x) Использованный здесь метод нахождения производной применим для вычисления y(x) для любой точки x вида x(t) с рациональным t.

В самом деле, любое рациональное число r может быть записано в виk де смешанно-периодической двоичной дроби. Тогда r =, где 2m(2n - 1) n –– длина периода двоичной дроби, представляющей r, а m –– число цифр до начала периода.

5 Например, для = 0,11010101... = 0,1(10) =.

2(22 - 1) k Число r = является неподвижной точкой одного из преобра2n - зований вида := i i...i (см. раздел.). А само число r является 1 2 n образом r относительно другого преобразования := j j...j то1 2 m го же вида.

Геометрически преобразование –– это сжатие в 2n раз к точке 2-n. Отсюда следует, что функции x - x(r) и y - y(r) преобразуются линейно с помощью некоторой матрицы формата 2 2 с рациональными коэффициентами. Это дает квадратное уравнение для производной y(x) в точке x(r). Значение y(x(r)) может быть найдено из (..).

5 У. Найдите x, y и значение y(x) в точке 6 x.

Следующая проблема открыта.

З. Пусть 2 –– график функции y(x). Он содержит большое множество X точек с рациональными координатами. Например, таковы все точки, соответствующие рациональным значениям параметра t. Очень интересно найти замыкание множества X в pадической топологии.

Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского 3.6. Г Заканчивая первую часть книги, я хочу показать, что ковер Серпинского связан с другим замечательным фракталом –– ковром Аполлония, который станет главным сюжетом второй части.

Рассмотрим комплексную гармоническую функцию fac на. Она b задает отображение в комплексную плоскость, при котором три граничные точки переходят в точки a, b, c. Легко видеть, что для разных троек a, b, c, не лежащих на одной прямой, образы отличаются лишь аффинным преобразованием. Рассмотрим простейшее из таких отображений, при котором граничные точки остаются на месте, то есть a = 0, b = 1, c =. Образ в этом случае показан на рис...

Мы обозначим его.

Рис... Гармонический образ ковра Серпинского Мы видим, что этот образ похож на кусок так называемого ковра Аполлония –– см. часть II. Правда, кривые, составляющие, не являются окружностями. Например, нижняя граница –– это кривая, заданная параметрическими уравнениями (t) + (t) (t) - (t) x = u01/2 =, y = u0 3/2 = 3 ·. (..) 1 2 Вспоминая определение функций x(t) и y(t), мы видим, что эта кривая –– аффинный образ графика функции y(x). Как мы видели выше, функция y(x) имеет лишь две производные, так что наша кривая заведомо не является окружностью. Все остальные дуги кривых, об разующие, являются аффинными образами граничной кривой и, следовательно, тоже не являются окружностями.

.. Многомерные аналоги ковра Тем не менее, очень близок к ковру Аполлония и, возможно, имеет ту же хаусдорфову размерность. Мы рассмотрим ковер Аполлония более подробно во второй части. Здесь я только сформулирую общую проблему.

З. Использовать близость фракталов и, чтобы лучше понять каждый из них.

3.7. М Ковер Серпинского имеет естественные аналоги в высших размер(n) ностях. Это –– самоподобные фракталы в n, задаваемые системой сжатий x + pi fi(x) =, (..) где точки pi n, 1 i n + 1, не лежат в одной гиперплоскости.

Контрольный вопрос: что такое одномерный ковер Серпинского Нетрудно вычислить, что n-мерный ковер Серпинского имеет хаусдорфову размерность log2(n + 1).

У. Постройте проекцию (2n - 1)-мерного ковра Серпинского на n-мерную плоскость так, чтобы образом являлся n-мерный выпуклый многогранник и почти все его точки имели (2n-1) единственный прообраз в.

Теория гармонических функций на многомерных коврах Серпинского вполне аналогична теории, описанной выше. Обсудим некотоРис... Трехмерный ковер Серпинского Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского рые факты этой теории. Мы выбираем одно из одномерных ребер первоначального n-симплекса {p1, p2,..., pn+1}, скажем p1 p2, отождествляем его с отрезком [0, 1] и ограничиваем все гармонические функции на это ребро.

Л.. Ограничение гармонической функции f на ребро p1 pn+ зависит только от значений f (p1), f (p2) и от суммы f (pk).

k=П. Используйте инвариантность ограничения относительно группы перестановок вершин p3,..., pn+1.

(n) С. Ограничения гармонических функций на на любое ребро pi pj образуют -мерное векторное пространство.

(n) Пусть fac означает любую гармоническую функцию на с граb n+ ничными значениями f (p1) = a, f (p2) = b и f (pk) = c. Тогда ограk=ничение этой функции на отрезок [p1, p2] [0, 1] однозначно определено числами a, b, c. Мы обозначим это ограничение uac (t).

b Определим базисные функции формулами (t) = u0-1 (t), (t) = u00 (t), (t) = u0n-1 (t), (t) = u0n (t), 1 1 1 (..) а также функции x, y соотношениями x(t) = u-10 (t), y(t) = u01 (t). (..) 1 Тогда - x = + - 1 = + - 1, y = - = - =.

n - Отметим, в частности, что u1n-1 (t) 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.