WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 15 |

Сложив последние равенства, мы получаем (4 - )(p + q + r + t) = (p + q + r + t) + (b + y + z + c) + 2(u + ) + 4x, (..) а сложив два предыдущих, получаем (4 - )(u + ) = (p + q + r + t) + (b + y + z + c). (..) Из (..), (..) мы можем выразить (p + q + r + t) и (u + ) через (b + y + z + c) и x. Тогда первое уравнение (..) дает ( - 6)(b + y + z + c) = ( - 6)(4 - )(1 - )x. (..) Мы приходим к альтернативе: или = 6, или ограничение функции Глава. Оператор Лапласа на ковре Серпинского µ f на n-1 принадлежит подпространству Vn-1, где µ находится из равенства 4 - µ = (4 - )(1 - ), или µ = (5 - ). (..) Первым важным следствием этой альтернативы является Т.. Если f –– гармоническая функция на n, то ее ограничение на n-1 –– тоже гармоническая функция.

В самом деле, для гармонических функций = 0, следовательно, µ = (5 - ) также равно нулю.

Этот факт приводит к естественному определению гармонических функций на.

О.. Функция на называется гармонической, если таково ее ограничение на каждое подмножество n.

2.3. С Л n Здесь мы рассмотрим кратко природу спектров операторов (D), n имея в виду построение оператора Лапласа (D) на.

Сначала исследуем динамику преобразования комплексной плоскости, заданного квадратичным многочленом P() = (5 - ). Для каждого вещественного числа µ мы назовем µ-орбитой любую последовательность {µk}k 0, для которой µ0 = µ, а остальные члены связаны соотношениями: P(µk) = µk-1 для k 1.

µn Если мы хотим продолжить ненулевую функцию f Vn на n+µn+так, чтобы продолженная функция принадлежала Vn+1, то из (..) мы видим, что это возможно, лишь если µn и µn+1 лежат на одной µ-орбите.

Обратно, для любой µ-орбиты {µk} мы можем построить такую функцию f на, что ее ограничение на n (которое может тождеn ственно обращаться в нуль!) принадлежит Vµ для всех n.

n Если мы хотим теперь продолжить построенную таким образом функцию f с до непрерывной функции на, мы должны убедиться, что f равномерно непрерывна на. В случае, когда это так, мы называем продолженную функцию f собственной функцией оператора Лапласа на всем. Соответствующее собственное значение является пределом ренормализованной подходящим образом последовательности {µn}.

В этой книге мы рассматриваем только очень частный случай µ = 0 (то есть гармонические функции на ). Зато мы делаем это подробно, используя весь математический аппарат: геометрию, анализ, арифметику и теорию вероятностей.

Глава ГА Р М О Н И Ч Е С К И Е Ф У Н К Ц И И Н А К О В Р Е С Е Р П И Н С К О Г О В этой главе мы изучим подробнее гармонические функции на ковре Серпинского. Заметим, что гармонические функции, удовлетворяющие условию Дирихле, обращаются в нуль, а гармонические функции, удовлетворяющие условию Неймана, должны быть константами. Поэтому здесь мы рассматриваем гармонические функции, на которые не налагается никаких граничных условий.

Напомним, что граничными точками ковра являются три точ 1 + i ки 0, 1, =. Отрезок [0, 1] вещественной оси принадлежит, и мы можем рассматривать ограничения гармонических функций на этот отрезок как обычные вещественные функции на [0, 1]. Оказывается, что эти функции имеют весьма нетривиальные аналитические и арифметические свойства.

3.1. О Начнем с рассмотрения гармонических функций на подмножествах n и. Мы видели выше, что каждая гармоническая функция на n продолжается единственным образом до гармонической функции на и удовлетворяет принципу максимума на каждой треугольной части ковра Серпинского, подобной самому ковру.

Л.. Множество ( ) всех гармонических функций на является трехмерным векторным пространством (вещественным или комплексным в зависимости от вида рассматриваемых функций).

Тремя естественными координатами функции f ( ) являются ее значения в трех граничных точках.

Д. Из линейной алгебры мы знаем, что если однородная система N линейных уравнений с N неизвестными имеет только тривиальное решение, то соответствующая неоднородная система разрешима при любой правой части и имеет единственное решение. В нашем случае условие гармоничности функции f на m –– 3m+1 - это N = линейных уравнений (по одному для каждой внут Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского ренней точки) с N неизвестными (значениями f во внутренних точках). Из принципа максимума следует, что однородная система имеет только нулевое решение, поэтому для любых граничных значений существует единственная гармоническая функция на m с такими граничными значениями.

Нам понадобится также следующее простое наблюдение.

Л 3.2. Пусть x, y, z –– три соседние точки на m, образующие правильный треугольник, обращенный вершиной вверх. Положим y + z x + y x + z =, =, =. Тогда,, 2 2 c также образуют правильный треугольник и являются соседними точками на m+1 (см. рис..). Для любой гармониче2a+b+2c a+2b+2c ской функции f на m+1 мы имеем:

5 f (x) + 2 f ( y) + 2 f (z) f () =, 2a+2b+c a b 2 f (x) + f ( y) + 2 f (z) (..) f () =, 2 f (z) + 2 f (y) + f (x) f () =.

Рис... Правило 1 : 2 : Неформальный смысл этого результата: соседняя точка оказывает вдвое большее влияние, чем противоположная.

Теперь мы можем доказать следующий важный факт.

Т.. Каждая гармоническая функция на равномерно непрерывна и, следовательно, имеет единственное продолжение по непрерывности на.

Д. Обозначим через fac гармоническую функb цию на с граничными значениями f (0) = a, f (1) = b, f () = c.



Назовем вариацией функции f на множестве X величину varX f = sup | f (x) - f ( y)|.

x,yX Из принципа максимума мы заключаем, что var fac = max |a - b|, |b - c|, |c - a|.

b.. Основные свойства гармонических функций Из леммы. с помощью индукции по n легко выводится, что для любых соседних точек x, y из n мы имеем:

n 3 | fac (x) - fac ( y)| var fac · const · d(x, y), = log2 3.

b b b Значит, функция fac принадлежит классу Гёльдера H. Следовательb но, она равномерно непрерывна и продолжается по непрерывности на. Мы сохраним то же обозначение fac для продолженной функb ции.

Теперь мы обсудим вопрос: что значит вычислить гармоническую функцию Для этого нужно каким-то образом параметризовать точки ковра Серпинского. Пример канторова множества подсказывает естественный способ нумерации точек бесконечными троичными дробями. А именно, пусть x ; тогда соответствующая дробь строится таким образом. Первый знак этой дроби (, или ) указывает, в какой трети ковра находится точка x (в левой, правой или верхней).

Затем эта треть делится опять на три части и следующий знак дроби указывает, в какой из них лежит точка x, и т. д. Обратно, если задана бесконечная троичная дробь, мы можем последовательно выбрать одну из трех частей сообразно с первым знаком дроби, затем третью часть этой трети сообразно со вторым знаком и т. д. Мы получим последовательность вложенных компактных подмножеств, которые имеют единственную общую точку. Она и соответствует данной троичной дроби.

На самом деле построенное соответствие не будет взаимно однозначным. В то время как бесконечная троичная дробь определяет точку x однозначно, обратное соответствие нарушает это свойство, когда наша точка лежит в. В этом случае мы имеем выбор: какому из двух треугольников с данной вершиной отнести нашу точку.

У. Покажите, что две троичные дроби, соответствующие одной точке, получаются друг из друга заменой «хвоста» вида xyyyy... на «хвост» вида yxxxx...

У. Покажите, что точка x, соответствующая дроби 0,a1a2a3..., вычисляется по формуле 0, если ak = 0, bk x =, где bk = 1, если ak = 1, 2k k=, если ak = 2.

Отметим специальный случай, когда троичная дробь содержит только цифры и. Тогда соответствующая точка x лежит на отрез Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского ке [0, 1] и наша троичная дробь фактически является двоичной и совпадает с двоичным представлением x.

3.2. Б,,, Обозначим через uac ограничение гармонической функции fac на b b отрезок [0, 1], который составляет горизонтальную сторону.

Следующие соотношения довольно очевидны и выводятся из действия группы перестановок S3 на и на ( ):

uac (t) = ubc (1 - t); uac (t) + uba (t) + ucb (t) a + b + c. (..) b a b c a Отсюда следует, что значения любой гармонической функции в любой точке m легко находятся, если известна единственная функция := u01 на [0, 1].

У. Выведите из (..), что uac (t) = c + (b - c)(t) + (a - c)(1 - t). (..) b Поэтому важно получить как можно больше информации о природе функции. Однако, как мы вскоре увидим, удобнее ввести наряду с три других функции:

(t) := u0-1 (t) = -1 + 2(t) + (1 - t), (t) := u01 (t) = 1 - (1 - t), (..) (t) := u02 (t) = 2 - (t) - 2(1 - t).

Мы будем называть эти функции базисными. Причина, по которой вводится четыре функции вместо одной, заключается в следующем. Пусть означает пространство всех вещественных функций на отрезке [0, 1], состоящее из ограничений гармонических функций на. Оно имеет размерность ; в качестве базиса можно взять константу и любые две функции из четверки,,,.

t Рассмотрим три отображения отрезка [0, 1] в себя: 0(t) =, 1 + t 1(t) = и (t) = 1 - t. Они порождают линейные операторы в пространстве C([0, 1]) непрерывных функций на отрезке:

t 1 + t (A0 f )(t) = f, (A1 f )(t) = f и (Tf )(t) = f (1 - t).

2 (..) Оказывается, все три оператора A0, A1 и T переводят в себя трехмерное подпространство C([0, 1]). Более того, операторы A0 и.. Базисные функции,,, A1 имеют в одинаковый спектр, состоящий из трех собственных 3 значений: 1,,. Соответствующими собственными функциями яв5 ляются 1,, для A0 и 1, 1 -, 1 - для A1.

Другими словами, если мы введем вектор-функции (x) (x) (x) (x) f (x) = и =, (..) g(x) 1 то справедливы равенства t 1 + t f = A0 (t), = A1 f (1 - t) = T (..) f g g(t), g(t), 2 где 3/5 0 0 3/5 0 2/5 -1 0 0 1/5 0 0 1/5 4/5 0 -1 A0 =, A1 =, T =.

0 0 1 0 0 1 0 0 (..) У. С помощью равенств (..), (..) заполните пустые места в таблице значений базисных функций,,, в точках k/8, k = 0, 1,..., 7, 8.

1 1 3 1 5 3 0 8 4 8 2 8 4 1 1 0 125 25 2 0 5 27 9 0 125 25 4 0 5 Из (..) мы выведем несколько удивительных свойств введенных выше функций. Например, мы исследуем поведение этих функk ций в окрестности любой двоично-рациональной точки r =.

2n Л.. Все четыре функции,, и строго монотонно возрастают от 0 до 1 на отрезке [0, 1].

Д. Достаточно проверить, что функции (t) и (t) + 2(t) (t) строго монотонно возрастают, поскольку (t) =, а Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского 2(t) + (t) (t) =. Пусть 0 t < s 1. Мы должны показать, что (t) < (s) и (t) < (s).

(t) (t) Введем вектор-функцию h(t) :=. Из (..) вытекают сле дующие правила преобразования h:





t h = B0 1 + t = B1 (..) h(t); h h(t), 2 где 3/5 1/5 0 1/5 0 4/ 0 1/5 B0 = 1/5 3/5 1/5 (..) ; B1 =.

0 0 1 0 0 Рассмотрим двоичную запись чисел t и s:

t = 0,t1t2...tk..., s = 0,s1s2...sk...

Мы можем предположить, что для некоторого m справедливы соотношения: ti = si для i < m, tm = 0, sm = 1.

Применяя несколько раз (..), получаем:

h(t) = Bt... Bt B0 = Bt... Bt Bh(z), h(s) h( ) 1 m-1 1 m-для некоторых z [0, 1), (0, 1]. Поскольку матрица Bi имеет неотрицательные коэффициенты, достаточно проверить, что B1 > h( ) > B0 (Здесь мы придерживаемся соглашения: > если первые h(z). a b, две координаты вектора больше, чем соответствующие координаты a вектора b.) Но 1/5 0 4/5 ( ) 0, B1 = 1/5 3/5 1/5( ) 0,h( ) >, 0 0 1 1 в то время как 3/5 1/5 0 (z) 0, 0 1/5 0(z) 0,B0 = <.

h(z) 0 0 1 1 Т.. Для всех x [0, 1] имеют место неравенства A-1x (x) Ax, B-1x (x) Bx, (..) где A =, = log2 5, B = 5, = log2 5.

3.. Базисные функции,,, 3 Д. Поскольку (x) 1 для x 1, мы за5 ключаем из первого равенства (..), что n+1 n 3 3 1 (x) для x.

5 5 2n 2n+Для данного значения мы также имеем n+1 n 3 3 1 x для x.

5 5 2n 2n+Отсюда следует первое утверждение теоремы. Второе доказывается тем же образом.

В качестве следствия теоремы мы получаем такое утверждение.

С. Если u –– одна из четырех базисных функций,,, k и если r = –– любое двоично-рациональное число из отрезка [0, 1], 2n то u(r) = + (..) за исключением ровно двух случаев: (0) = (1) = 0 (см. рис..).

0, 0, 0,0,0,2 0,4 0,6 0,8 Рис... Базисные функции,,, Довольно трудно представить себе (и еще труднее нарисовать) график функции, которая во всех двоично-рациональных точках имеет бесконечную производную.

С другой стороны, из теории функций известно, что любая монотонная функция на отрезке [0, 1] имеет почти всюду конечную производную. Как недавно показала студентка второго курса университета Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского Пенсильвании Талия Шамаш, справедливо равенство 1 = 0. Возможно, ее метод подсчета работает для всех рациональных точек.

З. Вычислить производную u(t) во всех случаях, когда это можно сделать (например, во всех рациональных точках).

Следующее интересное свойство функций u(t) –– это то, что можно явно вычислить интеграл от этих функций по отрезку [0, 1].

Л..

3a + 3b + c uac (t) dt =. (..) b Я оставляю доказательство читателю в качестве нетривиального упражнения на понимание природы гармонических функций (в частности, соотношений (..), (..)).

3.3. П (t) (t) Существует метод быстрого подсчета значений функции (t) в двоично-рациональных точках. Он основан на соотношениях:

2 + 3(t) 1 + t 1 - t (2t) = 5(t), + =, (..) 2 2 которые следуют из (..), (..). Еще более простой вывод этих соотношений состоит в проверке совпадения граничных условий для гармонических функций, стоящих в левой и правой частях искомого равенства. Например, для доказательства первого соотношения достаточно сравнить функцию u0-1 и ее ограничение на левую нижнюю часть ковра Серпинского с функцией u0-1/5.

1/Мы можем использовать первое равенство для продолжения функции (t) на всю положительную полуось, полагая (t) := 5N(2-N|t|), (..) где N достаточно велико, чтобы |t| 2N.

Геометрически настроенный читатель легко интерпретирует продолженную функцию как граничное значение гармонической функции на «бесконечном ковре Серпинского».

Аналитическим следствием первого равенства (..) является тот (t) факт, что отношение R(t) :=, где = log2 5 = 2,3219281..., облаt дает свойством R(2t) = R(t) и поэтому достаточно знать его, скажем, на отрезке, 1 или [1, 2]. После некоторых вычислений возникает.. Продолжение и вычисление функций (t) и (t) Г. Отношение R(t) достигает максимального значения 1,044... в точке tmax и минимального значения 0,912... в точке tmin.

k Далее, второе равенство (..) для t = можно переписать в 2n виде (2n + k) + (2n - k) - 2(2n) = 3(k) для 0 k 2n. (..) Напомним операцию второй разностной производной с шагом k для функций целого аргумента:

f (n + k) - 2 f (n) + f (n - k) (2 f )(n) =.

k Тогда мы можем написать (2)(2n) = 3(k) для 0 k 2n. (..) k Из (..) легко выводится следующее утверждение.

Т.. Для любого натурального k значение (k) является также натуральным числом. Более того, (k) k mod 3.

Значение этого наблюдения состоит в том, что мы теперь имеем дело с целочисленной функцией целого аргумента: продолженная функция принимает целые значения во всех целых точках. Таким образом мы автоматически попадаем в царство теории чисел.

Аналогичный подход возможен и в случае других основных функций. Например, для продолжения и изучения функции можно использовать равенства:

(2)(2n) = -1 (k) для 0 k 2n. (..) k В таблице. мы указываем значения (k) и значения (k) (умноженные на 36 = 729, чтобы сделать их целыми). Мы также приводим значения первой разностной производной (k) := (k) - (k - 1) для функции (k) и второй разностной производной 2(k) для функции (k).

Заметим, что первая разностная производная (k) демонстрирует симметрию значений на отрезках [2l, 2l+1]. Аналитическое выражение этой симметрии таково:

(3 + t) + (3 - t) = 2(3) = для |t| 1. (..) Глава. Гармонические функции на ковре Серпинского Таблица.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.