WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |

Самой известной публикацией спектральной геометрии стала статья Марка Каца «Можно ли услышать форму барабана». Этот вопрос на строгий математический язык переводится так:

Можно ли восстановить форму плоской области, если известен спектр оператора Лапласа на ней В последние лет спектральная геометрия включает в себя анализ на фрактальных множествах. Мы отсылаем читателя к прекрасным обзорам [Str, Tep] и оригинальным статьям [Str, MT, Ram] по поводу деталей. В книге мы только кратко коснемся этой теории и сосредоточимся на изучении гармонических функций, то есть собственных функций оператора Лапласа, отвечающих нулевому собственному значению.

Глава. Оператор Лапласа на ковре Серпинского С C. О Л C.. Анализ на римановом многообразии. В этом разделе мы предполагаем, что читатель знаком с элементами дифференциальной геометрии на римановых многообразиях (достаточно, например, знания теории двумерных поверхностей в трехмерном пространстве).

Формально содержание этого раздела не используется в дальнейшем, но оно дает мотивировку для изучения оператора Лапласа и гармонических функций на фракталах.

Один из самых известных дифференциальных операторов, если не самый известный, –– это оператор Лапласа на n, определенный формулой n f = f. (..) xk k=Замечательным свойством этого оператора является его инвариантность относительно группы En всех движений n (и даже относительно группы всех изометрий n, включающей движения и отражения).

Оператор второго порядка с такими свойствами можно определить на любом римановом многообразии M. Пусть x1, x2,..., xn –– локальная система координат на M; для краткости через k мы обозна чим оператор взятия частной производной по переменной xk.

xk Касательный вектор к многообразию M в какой-нибудь точке x M, покрываемой выбранной системой координат, имеет вид n = kk, (..) k=где { k} –– координаты векторa.

Векторное поле в области, покрываемой системой координат, имеет тот же вид (..), но теперь { k} –– уже не числа, а функции от координат x1, x2,..., xn точки x.

Пусть g = gi j(x) –– координаты метрического тензора на M, образующие вещественную симметрическую положительно определенную матрицу порядка n = dim M. Длина касательного векторa = { k} в 1 2 n точке x0 M с координатами x0, x0,..., x0 определяется формулой j | |2 = gi j(x0) i.

i, j 1 По традиции в дифференциальной геометрии координаты обычно снабжаются верхними, а дифференцирования –– нижними индексами. Подробнее о том, почему это удобно и важно, будет сказано ниже.

Схолия C. Оператор Лапласа и гармонические функции Как известно, это выражение дает одно и то же значение для | | при любом выборе локальной системы координат.

Рассмотрим теперь матрицу, обратную к gi j, и обозначим ее gi j. Геометрический смысл этой матрицы –– это квадратичная форма в так называемом кокасательном пространстве, двойственном к касательному пространству. Можно также интерпретировать gi j как матрицу симметричного линейного оператора из кокасательного в касательное пространство.

Дифференциал гладкой функции f на M является гладким ковекторным полем. В каждой локальной системе координат он имеет вид n df (x) = k f dxk. (..) k=Используя оператор, мы можем «поднять индекс» и преобразовать ковекторное поле df в векторное поле с координатами n k(x) := gk, j(x)(j f )(x).

j=Это векторное поле называется градиентом функции f и обозначается grad f. Таким образом, n n grad f = (grad f )kk = gk, jj f k.

k=1 j=С другой стороны, на пространстве векторных полей на римановом многообразии M определена естественная операция дивергенция, которая ставит в соответствие векторному полю функцию div. Эта операция выглядит особенно просто, если выбрать локальную систему координат так, что det gi j(x) 1 (такие системы называют унимодулярными; известно, что любую систему можно сделать унимодулярной, изменив одну координату). В унимодулярной системе координат дивергенция определяется формулой div = k k.

k Наконец, мы формулируем главное в этом разделе 1 То есть совпадающего со своим двойственным; для понимания этого утверждения освежите свои знания линейной алгебры или просто читайте дальше.

Глава. Оператор Лапласа на ковре Серпинского О C.. Оператор Лапласа––Бельтрами на римановом многообразии M задается формулой f = div grad f.

В каждой точке многообразия оператор Лапласа––Бельтрами может быть записан в простейшем виде (..) за счет выбора подходящей локальной системы координат. Однако такое выражение в целой окрестности данной точки, вообще говоря, невозможно. Препятствием служит кривизна метрики на M.

Существует другое, более геометрическое определение оператора Лапласа––Бельтрами. Рассмотрим -окрестность U(x0) точки x0. Интеграл функции f по этой окрестности при 0 допускает следующее асимптотическое выражение:

f (x) dnx = ann · f (x0) + bnn+2 · ( f )(x0) + o(n+2), (..) U (x0) n/где n –– размерность многообразия, an = –– объем единично(1 + n/2) n го шара в n, а bn = an. Таким образом, мы можем определить n + значение ( f )(x0) как предел ( f )(x0) = lim f (x) - f (x0) dnx, (..) 0 bnn+U (x0) который заведомо существует для любой функции с непрерывными вторыми частными производными.

О C.. Функция f на римановом многообразии, удовлетворяющая уравнению f = 0, называется гармонической.

Известно, что на каждом римановом многообразии постоянной кривизны (например, на евклидовом пространстве n, на сфере Sn или на пространстве Лобачевского Hn) гармонические функции характеризуются свойством f (x) dnx = f (x0), vol(U(x0)) U(x0) то есть среднее по любой сферической окрестности равно значению в центре. Это свойство имеет очень важное следствие.



Схолия C. Оператор Лапласа и гармонические функции Т C. (принцип максимума). Предположим, что M –– связное риманово многообразие с границей. Тогда любая непостоянная гармоническая функция на M может достигать максимума только на границе M.

Известно также, что если M компактно, имеет гладкую границу M и –– любая непрерывная функция на M, то существует единственная гармоническая функция f на M, для которой f |M =.

Более того, для каждой точки m M существует такая вероятност ная мера µm на M, что f (m) = (x) dµ(x). Эта мера называется M мерой Пуассона и задается гладкой плотностью на многообразии M.

Имеется красивая и простая физическая интерпретация гармонических функций (как равновесных распределений тепла) и вероятностная интерпретация меры Пуассона µm(A) (как вероятности выхода на границу в данной области A M при случайном блуждании по M с начальной точкой m M).

C.. Оператор как отношение двух квадратичных форм. Возможен чисто алгебраический подход к определению оператора Лапласа.

Предположим, что на вещественном линейном пространстве V заданы две квадратичные формы Q0 и Q1. Предположим также, что Q0 положительна: Q0( ) > 0 для всех = 0, а Q1 –– неотрицательна:

Q1( ) 0.

Тогда мы можем ввести в V скалярное произведение Q0( 1 + 2) - Q0( 1) - Q0( 2) ( 1, 2) :=. (..) Если V бесконечномерно, мы предположим дополнительно, что оно полно относительно нормы 2 := (, ) = Q0( ). Таким образом, V –– вещественное гильбертово пространство. На самом деле условие полноты легко выполнить: достаточно заменить V его пополнением V относительно введенной нормы.

Другая квадратичная форма Q1 определена только на плотном подпространстве V V. Из теории операторов в гильбертовых пространствах мы знаем, что в рассматриваемом случае справедливо П C.. Существует такой симметричный неотрицательный оператор A в V с областью определения Dom(A), что Q1( ) = (A, ) для всех Dom(A) V.

З. Иногда A называют отношением квадратичных форм Q1 и Q0. В самом деле, любая квадратичная форма Q определяет Глава. Оператор Лапласа на ковре Серпинского симметричную билинейную форму BQ : V V V по формуле:

Q( 1 + 2) - Q( 1) - Q( 2) BQ( 1, 2) :=. (..) Всякая билинейная форма B, в свою очередь, может рассматри ваться как отображение B: V V. А именно, вектору V ставится в соответствие линейный функционал f V по формуле f ( ) = Q(, ). (..) Таким образом, из двух квадратичных форм мы получаем два ли нейных оператора из V в V: BQ и BQ.

0 Мы предоставляем читателю убедиться, что рассматриваемый оператор A можно записать как отношение A = B-1 BQ.

Q0 В случае, когда V конечномерно, мы можем применить стандартную теорему анализа об условном экстремуме к задаче отыскания экстремумов формы Q1 на множестве, определяемом условием Q0( ) = 1. В качестве результата мы получаем С. Собственные значения и собственные векторы оператора A являются в точности критическими значениями и критическими точками функции Q1( ) на сфере Q0( ) = 1.

В случае бесконечномерного V аналогичный результат также имеет место при дополнительном ограничении: сфера Q0( ) = 1 компактна в топологии, определяемой формой Q1.

C.. Оператор Лапласа на римановом многообразии. Применим общую схему, описанную выше, в следующей ситуации. Пусть M –– гладкое компактное риманово многообразие с границей. Возьмем в качестве V пространство гладких функций на M, удовлетворяющих некоторому граничному условию (см. ниже).

На V имеются две квадратичные формы:

Q0( ) = 2(m) dm и Q1( ) = |grad |2 dm, (..) M M где мера m на M и скалярный квадрат |grad |2 определяются метрическим тензором.

1 Эквивалентная формулировка: собственные значения и собственные векторы оператора A –– это в точности критические значения и критические точки функции Q1( ) Q( ) := на V \ {0}.

Q0( ) Схолия C. Оператор Лапласа и гармонические функции Согласно общей схеме, существует оператор A на V = L2(M, dm) такой, что (grad 1, grad 2) dm = A 1(m) · 2(m) dm. (..) M M С другой стороны, прямое вычисление с помощью формулы Стокса дает для интеграла в левой части выражение 1 2 dn - 1(m) · 2(m) dm, (..) M M где –– производная в направлении внутренней нормали к границе, а dn –– мера на границе M, рассматриваемой как риманово многообразие с метрическим тензором, наследуемым от M.

Предположим, что граничные условия выбраны так, что интеграл по границе обращается в нуль. Тогда оператор A = B-1 BQ совпадает Q0 с оператором -.

Два частных случая этой ситуации хорошо известны: задача Дирихле, когда граничное условие имеет вид |M = 0, (..) и задача Неймана с граничным условием |M = 0. (..) В обоих случаях интеграл по границе обращается в нуль и оператор - является неотрицательным самосопряженным оператором в L2(M, dm). Область определения Dom() состоит из непрерывно дифференцируемых функций на M, удовлетворяющих граничному условию и таких, что L2(M, dm) в смысле обобщенных функций.

Описанная здесь связь оператора с вариационными задачами дает замечательное физическое истолкование собственных значений и собственных функций оператора Лапласа––Бельтрами. А именно, многообразие M рассматривается как упругая мембрана в n+1.

Собственные значения определяют частоту малых колебаний этой мембраны, а собственные функции –– форму этих колебаний.





Вопрос, каким может быть спектр оператора Лапласа––Бельтрами на компактном гладком римановом многообразии, является одним из основных в спектральной геометрии. Поскольку фракталы играют все бльшую рoль в современных исследованиях, в последние годы стало популярным изучение аналогов оператора Лапласа––Бельтрами на фракталах. Мы отсылаем читателя к обзорам [Tep, Str] и оригинальным статьям, которые там указаны.

Глава. Оператор Лапласа на ковре Серпинского 2.1. О Л n В первоначальном варианте этой книги я попытался привести точное определение операторов Лапласа на n и, а также описать подробно их спектр. Потом я обнаружил, что эта программа уже реализована независимо несколькими физиками и математиками (см., например, [Ram, FS, HL]). По этой причине я решил не повторять еще раз одни и те же результаты, а сосредоточиться на других, менее известных задачах. Таким образом, здесь я ограничиваюсь кратким описанием довольно интересной техники, используемой при изучении спектра.

Чтобы определить аналог оператора Лапласа––Бельтрами на ковре Серпинского, мы рассмотрим сначала его конечное нульмерное приближение n. Попробуем следовать описанной выше схеме. Обозначим через Vn линейное пространство всех вещественных функций 3n + на n. Поскольку n состоит из точек, размерность Vn равна 3n + dn =.

Определим на Vn две квадратичные формы:

Q0( ) = (s)2; Q1( ) = ( (s) - (s), (..) s n ss где первая сумма распространяется на все точки n, а вторая –– на все пары соседних точек.

Ясно, что эти квадратичные формы являются прямыми аналогами форм, определенных в (..). Как и в случае обычного оператора Лапласа, мы используем форму Q0 для определения скалярного произведения в Vn:

( f1, f2) = f1(s) f2(s).

s n Тогда вторая форма может быть записана как Q1( f ) = (n f, f ), где (n f )(s) = k(s) f (s) - f (s). (..) ss Здесь k(s) означает число точек, соседних с s, то есть k(s) = 4 для внутренних точек и k(s) = 2 для точек границы. Стоит отметить, что граница n в этом случае состоит из трех точек, образующих первое приближение 1.

Введем два типа граничных условий.

.. Оператор Лапласа на n Условие Дирихле дается формулой f (s) = 0 для s n. (..) Пространство функций, удовлетворяющих этому условию, обознача3n - (D) ется Vn. Его размерность равна dn - 3 =. Оператор (D) дейn (D) ствует в Vn по формуле ((D) f )(s) = 4 f (s) - f (s), s n \ n. (..) n ss Условие Неймана дается формулой 2 f (s) = f (s) + f (s), s n, s, s –– соседи s. (..) Пространство функций, удовлетворяющих условию Неймана, обозна3n - (N) чается Vn. Его размерность также равна dn - 3 =. Оператор (N) (N) действует в Vn по той же формуле (..).

n Оба оператора (D) и (N) самосопряжены и их спектры хорошо n n известны (см., например, [FS]).

Чтобы дать читателю представление об этих результатах, мы рассмотрим более подробно случай n = 2.

(D) Пусть сначала V = V2. Это –– трехмерное пространство функций на 2, значения которых показаны на рис...

y x 0 z Рис... Функции на 2 с условием Дирихле Оператор (D) переводит тройку значений (x, y, z) в новую тройку (4x - y - z, 4y - x - z, 4z - x - y). Относительно естественного 4 -1 - базиса этот оператор имеет матрицу -1 4 -. Собственные -1 -1 значения этой матрицы легко сосчитать, используя следующий полезный факт.

Глава. Оператор Лапласа на ковре Серпинского Л.. Пусть матрица A размера n n имеет элементы a, если i = j, ai j = b, если i = j.

Тогда спектр A состоит из собственного значения a - b с кратностью n - 1 и еще одного собственного значения a + (n - 1)b.

В нашем случае мы получаем двукратное собственное значение и простое собственное значение. Двумерное собственное подпространство состоит из векторов (x, y, z) с x + y + z = 0, а простое собственное подпространство –– из векторов (x, y, z) с x = y = z.

Это значит, что соответствующая мембрана (с закрепленной гра ницей) имеет две частоты колебаний с отношением 1,581.

(N) Пусть теперь V = V2. Значения функций из этого пространства показаны на рис...

x+ y y x x+z y+z z Рис... Функции на 2 с граничным условием Неймана Я оставляю читателю проверку того, что (N) переводит тройку 3 3 (x, y, z) в тройку 3x - ( y + z), 3 y - ( y + z), 3z - ( y + z). Мат2 2 3 -3/2 -3/-3/2 3 -3/рица оператора тем самым имеет вид. Спектр -3/2 -3/2 состоит из двукратного собственного значения 41 и простого собственного значения.

Это значит, что мембрана с незакрепленной границей имеет одну частоту колебаний (несколько ниже, чем в первом случае) и одно равновесное состояние x = y = z.

.. Сравнение спектров n и n-2.2. С n n-Вычисления, которые мы проделываем в этом разделе, довольно скучны и громоздки, но они необходимы для получения в дальнейшем глубоких и красивых результатов о спектре оператора Лапласа.

Обозначим через Vn пространство функций на n, удовлетворяющих условию (4 - ) f (s) = f (s) (..) ss во всех внутренних точках s n.

() Выберем функцию f Vn и предположим, что ее значение в некоторой точке s n-1 равно x = 0. Рассмотрим подробнее часть n, окружающую точку s. На прилагаемом рисунке надписаны значения f в точке s и в близких точках. Значения, не используемые в наших вычислениях, помечены знаком «».

y z u q r b p x t c Поскольку f Vn, мы имеем систему уравнений (4 - )x = p + q + r + t;

(4 - )u = b + y + p + q; (4 - ) = c + z + r + t;

(..) (4 - )p = b + u + q + x; (4 - )q = y + u + p + x;

(4 - )r = z + + t + x; (4 - )t = c + + r + x.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.