WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 15 |

На полпути к катку он подумал, что лучше пойти в кино. Однако на полпути к кинотеатру он снова передумал и свернул к школе. Куда придет мальчик Петя, если он будет продолжать двигаться таким образом Каток Дом Кинотеатр Школа Рис... Ленивый Петя A.. Компактные пространства О A.. Метрическое пространство (M, d) называется компактным, если каждая последовательность {xn} точек в M содержит сходящуюся подпоследовательность.

О A.. Подмножество S M называется -сетью в M, если для любой точки m M найдется точка s S, для которой d(m, s) <.

Глава. Определение и основные свойства Т (об -сети). Метрическое пространство (M, d) компактно тогда и только тогда, когда оно полно и для каждого > в M существует конечная -сеть.

У. Докажите, что подмножество X в, в 2 или в 3 компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

П. Если подмножество X не замкнуто или не ограничено, легко построить последовательность {xn} точек в X, которая не содержит сходящихся подпоследовательностей.

Если X ограничено, то оно содержится в каком-нибудь отрезке (квадрате, кубе) размера R для достаточно большого R. Из теоремы об -сети можно вывести, что каждое замкнутое подмножество отрезка (квадрата, куба) компактно.

1.2. С Теперь мы можем ввести главное техническое средство для работы с фрактальными множествами.

Пусть M –– метрическое пространство. Обозначим через (M) совокупность всех непустых компактных подмножеств в M. Мы хотим определить расстояние между двумя подмножествами так, чтобы (M) было также метрическим пространством. Для этого мы сначала определим расстояние d(x, Y ) между точкой x и компактным непустым множеством Y :

d(x, Y ) := min d(x, y). (..) yY Расстояние между двумя компактными непустыми множествами X и Y определяется формулой d(X, Y ) := max d(x, Y ) + max d( y, X). (..) xX yY Более прямое определение, не использующее промежуточных понятий, выглядит более громоздко:

d(X, Y ) := max min d(x, y) + max min d(x, y) (..) xX yY yY xX Однако если подумать немного, как определить расстояние между двумя подмножествами так, чтобы выполнялись все три аксиомы, вы увидите, что (..), или (..), является простейшим выбором.

1 Знак :=, который мы используем здесь, читается «равно по определению». Он означает, что правая часть уравнения является определением левой части. Аналогичный смысл имеет знак =:.

.. Самоподобные фракталы C A D B X Y Рис... Хаусдорфово расстояние На рисунке. первое и второе слагаемые в (..) –– это длины отрезков AB и CD соответственно.

У. Докажите, что минимум в (..) и максимум в (..) действительно достигаются.

П. Используйте компактность X и Y.

У. Подсчитайте расстояния: а) между границей квадрата со стороной и его диагональю; б) между единичной окружностью и единичным кругом, ограниченным этой окружностью.

1 + О. а) ; б).

Т.. Если метрическое пространство M полно (соответственно компактно), то пространство (M) тоже полно (соответственно компактно).

П. Пусть {Xn} –– последовательность компактных непустых подмножеств в M, которая образует фундаментальную последовательность точек в (M). Рассмотрим совокупность X таких точек x M, для которых существует последовательность {xn}, обладающая свойствами: xn Xn и lim xn = x.

n Докажите последовательно, что X непусто, компактно и является пределом последовательности {Xn} в (M).

В доказательстве первого и третьего утверждений полезна задача б), а в доказательстве второго –– теорема об -сети.

Предположим, что задано семейство сжимающих отображений { f1, f2,..., fk} из M в себя. Определим отображение F : (M) (M) с помощью формулы F(X) = f1(X) f2(X)... fk(X). (..) Глава. Определение и основные свойства Т.. Отображение F –– сжимающее, и, следовательно, существует единственное непустое компактное множество X M, обладающее свойством F(X) = X.

О.. Множество X из теоремы. называется однородным самоподобным фрактальным множеством или, короче, самоподобным фракталом. Семейство функций f1,..., fk обычно называют порождающей системой функций, определяющей фрактал X.

Иногда используется более общее определение. А именно, вместо (..) зададим отображение F формулой F(X) = f1(X) f2(X)... fk(X) Y, (..) где Y –– фиксированное компактное подмножество в M. Новое отображение F будет также сжимающим. Это легко вывести из следующего факта.

У. Покажите, что «постоянное» отображение fY, которое переводит любое множество X (M) в Y (M), является сжимающим.

Значит, для любого X (M) последовательность {Xn}n 1, где Xn := Fn(X) := F(F(... F(X0)...), сходится в (M) и ее предел X является неподвижной точкой для преобразования F в (M).

О.. Множество X, определенное выше, называется неоднородным самоподобным фракталом.

Теперь пора от общих слов перейти к конкретным примерам.

. Канторово множество C. В этом случае M = [0, 1], f1(x) = x, x + f2(x) =. Поучительно, как множество C, которое является неподвижной точкой для отображения F, приближается последовательностью множеств {Cn}, определенных рекуррентным соотношением Cn+1 = F(Cn).

Положим сначала C1 = [0, 1]; тогда 1 C2 = 0,, 1, 3 1 2 1 2 7 C3 = 0,,,, 1,...

9 9 3 3 9 Последовательность {Cn} –– убывающая: Cn+1 Cn и предельное мно жество в этом случае –– это просто пересечение C = Cn. (Напомn ним, что пересечение любого семейства непустых компактных множеств компактно и непусто.).. Самоподобные фракталы Теперь положим C1 = {0, 1}. Тогда 1 2 1 2 1 2 7 C2 = 0,,, 1, C3 = 0,,,,,,, 1,...

3 3 9 9 3 3 9 Последовательность {Cn} –– возрастающая: Cn+1 Cn. В этом случае мы могли бы ожидать, что предел –– это объединение C := Cn. Од n нако это объединение не замкнуто, следовательно, не является точ кой (M) и не может быть пределом {Cn}. Но это легко поправить:



оказывается, что искомый предел является замыканием C.

На этом примере хорошо видно основное свойство самоподобных фракталов: если мы рассматриваем кусок канторова множества под микроскопом, увеличивающим в 3n раз, мы видим в точности ту же картину, что и невооруженным глазом.

. I-фрактал. Пусть Y –– отрезок на плоскости 2, заданный усло виями x = 0, -1 y 1. Выберем вещественное число 0, и определим отображения f1(x, y) = (- y, x + 1); f2(x, y) = (-y, x - 1). (..) Неоднородный самоподобный фрактал, определяемый этими отображениями и подмножеством Y, показан на рис...

Название этого фрактала происходит из того, что его первое приближение Y f1(Y ) f2(Y ) для малых выглядит как заглавная латинская буква I.

I Рис... I-фрактал для = 0, Глава. Определение и основные свойства У. Вычислите:

а) диаметр D множества I как подмножества метрического пространства 2 (то есть наибольшее возможное расстояние между точками I);

б) максимальную возможную длину L несамопересекающегося пути в I.

1 + О. а) D = 2 ; б) L =.

1 - 1 -. Ковер Серпинского. Пусть M = –– комплексная плоскость с обычным расстоянием d(z1, z2) = |z1 - z2|.

Обозначим через := ei/3 корень шестой степени из. Определим z z + z + f1(z) =, f2(z) =, f3(z) =.

2 2 О.. Самоподобный фрактал, определенный с помощью { f1, f2, f3}, называется ковром Серпинского.

Это –– один из двух главных примеров, изучаемых в нашей книге.

Есть три наиболее естественных выбора начального множества, которые мы обозначим соответственно 1, 1, 1. Как следует из общей теории, предел аппроксимирующей последовательности не зависит от выбора начального множества. Но сами последовательности выглядят по-разному.

Сначала выберем в качестве начального множества сплошной треугольник с вершинами 0,, 1, который мы обозначим 1. Тогда последовательность n = Fn-1( 1) убывающая и ее пределом явля –– ется пересечение = lim n = n, см. рис...

n Рис... Приближение.. Самоподобные фракталы Следующий кандидат в начальное множество –– обычный (пустой) треугольник 1 с теми же вершинами 0,, 1. Тогда последовательность n = Fn-1( 1) –– возрастающая и ее пределом является замыкание объединения = n.

n У. Пусть Vn, En, Fn означают соответственно число вершин, ребер и пустых треугольников в n. Подсчитайте Vn, En, Fn, доказав предварительно рекуррентные соотношения Vn+1 = 3Vn - 3, En+1 = 3En, Fn+1 = 3Fn + 1.

Наконец, примем в качестве начального множества 1 три точки 0,, 1. Тогда последовательность n = Fn-1( 1) –– возрастающая и состоит из конечных множеств. В этом случае, как и в предыдущем, предел является замыканием объединения = n. Заметим, n что последнее множество счетно и состоит из всех вершин во всех множествах n, n 1.

Мы будем называть аппроксимации { n}, { n} и { n} соответственно двумерными, одномерными и нульмерными. Двумерные аппроксимации приближают наше множество сверху, а одномерные и нульмерные –– снизу.

З. Глядя на рис.., можно подумать, что некоторые точки 6 имеют соседей. Такова, например, точка P –– средняя в третьем ряду. Однако сравнение с рис.. показывает, что из этих точек только соединены ребрами с P. Поэтому только они являются настоящими соседями. Отметим также, что при включении 6 в 7 и P Рис... Приближение 6 Рис... Приближение Глава. Определение и основные свойства в последующие приближения точка P будет иметь ровно ближайших соседа.

Таким образом, свойство «быть соседом» сильнее свойства «находиться на кратчайшем расстоянии».

С B. Х Мы оцениваем размер кривой с помощью ее длины, размер поверхности с помощью ее площади, а размер трехмерного тела с помощью его объема. А как измерить величину фрактала Решение этой проблемы было найдено в году немецким математиком Ф. Хаусдорфом. Он предложил для каждого вещественного числа p > 0 следующее определение p-мерной меры.

Пусть X –– компактное подмножество в n с обычным расстоянием. Тогда для каждого > 0 существует конечная -сеть для X. Другими словами, мы можем покрыть X конечным числом шаров радиуса. Обозначим через N() наименьшее число шаров радиуса, которыми можно покрыть X. Ясно, что N() растет при уменьшении и, как правило, стремится к бесконечности, когда стремится к нулю.

Вопрос: какова скорость этого стремления Предположим, что рост N() имеет степенной характер, а именно что существует предел c = lim N() · p. (..) В этом случае мы пишем N() c · -p. Константа c, возникающая = здесь, называется p-мерной мерой Хаусдорфа множества X и обозначается µp(X).

Мы не будем обсуждать здесь общее понятие меры. Для наших целей достаточно знать, что мера Хаусдорфа имеет следующие свойства:

) монотонность: если X Y, то µp(X) µp(Y ).

) полуаддитивность: если X Yk, то k= µp(X) µp(Yi); (..) k=) аддитивность: если Xi, 1 i m, –– компактные множества и µp(Xi Xj) = 0 для i = j, то m m µp Xi = µp(Xi); (..) i=1 i=Схолия B. Хаусдорфова мера и хаусдорфова размерность ) однородность: если X n, то для любого справедливо равенство µp( · X) = ||p · µp(X). (..) Здесь · X означает множество, полученное из X умножением всех его точек на.

На самом деле первое свойство является частным случаем второго, но мы предпочли сформулировать его отдельно ввиду его простоты и важности.

Если p-мерная мера множества X конечна, мы говорим, что X имеет хаусдорфову размерность p.





Если эта мера положительна, мы говорим, что X имеет хаусдорфову размерность p.

У. Покажите, что если X имеет хаусдорфову размерность d, то предел (..) равен для p > d и бесконечности для p < d.

З. Имеется много вариантов определения p-мерной меры и соответствующей размерности. Например, вместо шаров радиуса можно использовать любые множества диаметра, или, в случае M = n, n-мерные кубы со стороной.

Можно также рассматривать покрытия X подмножествами раз Xk p p ных размеров k и вместо N() исследовать величину k.

k Эти подходы могут на практике приводить к различным значениям p-мерной меры, но для «приличных» множеств, включая самоподобные фракталы, дают эквивалентные определения хаусдорфовой размерности.

Во многих случаях нелегко доказать, что предел (..) существует, и еще труднее вычислить этот предел. Но часто выполняется более слабое условие, которое легче проверить:

N() = O(-p), (..) то есть 0 < c · -p N() C · -p < для достаточно малого.

В этом случае мы также будем считать, что множество X имеет хаусдорфову размерность p. Константы c и C в (..) дают нижнюю и верхнюю оценку для меры µp(X), если эта мера определена.

У. Покажите, что хаусдорфова размерность множества X, если она существует, может быть задана формулой ln N() dH(X) = - lim. (..) ln Глава. Определение и основные свойства У. Покажите, что хаусдорфова размерность отрезка вещественной оси равна, размерность квадрата на плоскости равна, а размерность куба в пространстве равна.

Таким образом, во всех этих случаях хаусдорфова размерность совпадает с обычной.

П. Вычислим хаусдорфову размерность самоподобных фракталов, определенных выше. Во всех этих случаях мы предположим, что не только хаусдорфова размерность существует, но и соответствующая хаусдорфова мера определена. Этот факт не очевиден, но настойчивый читатель может попытаться доказать его самостоятельно.

После этого мы используем простое соображение, которое проиллюстрируем на примерах.

. Канторово множество C. Предположим, что C имеет хаусдорфову размерность d и конечную ненулевую d-меру µd(C).

Множество C состоит из двух частей, подобных самому C с коэффициентом. Из однородности d-меры следует, что каждая из этих частей имеет d-меру µd(C). Теперь из аддитивности меры мы полу3d d чаем уравнение 2 · = 1, из которого следует, что 3d = 2, или ln d = log3 2 = 0,63093...

ln Заметьте, что в этом рассуждении точное значение хаусдорфовой меры не участвует. Вы можете попытаться найти это значение, но его геометрическая интерпретация не так наглядна (и не так важна), как обычная длина, площадь или объем, потому что нет естественного эталона d-мерного множества, такого как единичный отрезок, квадрат или куб.

. I-фрактал. Чтобы вычислить хаусдорфову размерность I, мы используем ту же схему. Предположим, что для некоторого числа d мы имеем 0 < µd(I) <. Напомним разложение I = f1(I) f2(I) Y.

1 Чтобы читатель оценил это с виду простое замечание по достоинству, я замечу, что так называемая «обычная размерность» строго определяется только в специальных курсах топологии или (для очень специальных множеств) в курсах линейной алгебры. Так что подход Хаусдорфа полезен не только для изучения фракталов, но и в других разделах математики.

Схолия B. Хаусдорфова мера и хаусдорфова размерность Поскольку множества f1(I) и f2(I) подобны I с коэффициентом, мы приходим к уравнению µd(I) = 2dµd(I) + µd(Y ).

Заметим, что 1 d 2, поскольку I содержит отрезок Y хаусдорфовой размерности и содержится в квадрате хаусдорфовой размерности. Предположим сначала, что d > 1. Тогда, согласно упражнению, µd(Y ) = 0; поэтому мы приходим к уравнению 2 · d = 1 и получаем ln d = log 1 = -. (..) 2 ln Если d = 1, то хаусдорфова мера –– обычная длина, и из рекуррентной формулы вытекает, что µ(I) = 2 + 2µ(I), то есть µ(I) =, что 1 - согласуется с прямым определением длины как суммы отрезков. При = длина бесконечна, но размерность по-прежнему равна.

Правая часть (..) удовлетворяет неравенству 1 d 2 в точно 1 сти тогда, когда, (см. определение I).

У. Докажите, что (..) дает правильное значение 1 хаусдорфовой размерности I, когда,.

Мы оставляем читателю разобрать самостоятельно случаи =, 1 1 = и,.

/ 2 Глава О П Е РАТ О Р Л А П Л А С А Н А К О В Р Е С Е Р П И Н С К О Г О Мощным математическим методом изучения данного множества X является рассмотрение пространств функций на этом множестве.

Например, если X –– конечное множество, полезно ввести линейное пространство всех вещественных или комплексных функций на X; если X –– топологическое пространство, можно изучать пространство непрерывных функций на X; если X –– область в n или, более общо, гладкое многообразие, то уместно рассмотрение всех гладких функций на X; если X –– многообразие, на котором действует группа G, то особый интерес представляют функции, которые инвариантны относительно G или преобразуются известным образом.

Этот последний случай подробно изучается в теории представлений.

Если M –– гладкое многообразие, то на нем часто определены естественные дифференциальные операторы, и тогда представляет интерес изучение собственных функций таких операторов. Результаты такого изучения широко используются в прикладных задачах.

В последние полстолетия возникло новое обширное математическое направление –– так называемая спектральная геометрия. Главный объект этого направления –– изучение спектров естественных (то есть геометрически определенных) дифференциальных операторов.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.