WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 ||

2 = n · 2 - 2n2 · 1, (..) где n+1 n+ 1 = Mi, 2 = Mi2 (..) i=0 i=и Mi, 0 i n + 1, –– матрицы, соответствующие n + 2 попарно касающимся шарам в n.

Чтобы понять ситуацию в общем случае, рассмотрим следующую конфигурацию. Пусть {B0}1 k n –– семейство попарно касающихся k шаров в n. Попробуем описать все двусторонние последовательности шаров {Bj}j, обладающие такими свойствами: Bj касается шара Bj±1 и всех шаров {B0}1 k n. Пусть dk означает кривизну граниk цы B0, а cj –– кривизну границы Bj.

k Из (..) следуют уравнения:

2 (cj + cj±1 + d1 +... + dn)2 = n · (c2 + c2 + d1 +... + dn).

j j± Глава. Многомерные ковры Аполлония Вычитая одно уравнение из другого, получаем:

2cj + cj+1 + cj-1 + 2d1 +... + 2dn = n(cj+1 + cj-1), или (n - 1)(cj+1 + cj-1) - 2cj = 2(d1 +... + dn). (..) Это неоднородное рекуррентное уравнение для последовательности {cj}. Сравнивая два таких уравнения для соседних значений j, можно получить однородное уравнение (n - 1)cj+1 - (n + 1)cj + (n + 1)cj-1 - (n - 1)cj-2 = 0. (..) Характеристический многочлен этого уравнения равен (n - 1)3 - (n + 1)2 + (n + 1) - (n - 1) (..) и его корни имеют вид 1 ± n(2 - n) 0 = 1, ±1 =. (..) n - Мы видим, что структура множества корней и, следовательно, поведение последовательности {cj} различны в случаях n = 2, n = 3 и n > 3.

Когда n = 2, характеристический многочлен имеет тройной корень = 1. Поэтому последовательность {cj} квадратична по j. (Левая часть (..) –– это третья разностная производная от {cj}.) В случае n = 3 характеристический многочлен имеет корни k = = -e2ki/3, k = -1, 0, 1, то есть три корня шестой степени из 1, которые не являются кубическими корнями из 1. Поэтому последовательность {cj} имеет период 6. Более того, не только последовательность кривизн, но и сама последовательность шаров имеет период 6. Есть еще одно обстоятельство: поскольку только три из шести корней из являются корнями характеристического многочлена, последовательность {cj} обладает дополнительным свойством: cj + cj+3 не зависит от j. Эти красивые геометрические факты были известны уже в Древней Греции (см. подробности в [Sod]).

У. Пусть B1, B2, B3 –– три попарно касающихся единичных шара в 3. Опишите шестерку шаров, касающихся всех Bk, k = 1, 2, 3.

П. Соответствующие кривизны равны 0, 0, 3, 6, 6, 3.

.. Трехмерный ковер Аполлония При n > 3 ситуация совершенно другая. Характеристический многочлен имеет один вещественный корень 0 = 1 и два комплексных 1 ± i n2 - 2n корня ±1 = на единичной окружности. Запишем их в n - форме ±1 = e±i. Тогда cos =.

n - П.. Все целочисленные положительные решения 2 m, n уравнения cos = исчерпываются следующими двумя: m = m n = n = 1; m = 6, n = 2.

Отсюда следует, что при n > 3 последовательность шаров {Bj}j в 3 имеет квазипериодический характер и самопересекается бесконечно много раз. Кроме того, из рекуррентного соотношения cj+1 = cj - cj-1 (..) n - мы заключаем, что при n > 3 кривизны границ Bj не могут быть целочисленными для всех j.

8.2. Т А Как мы видели выше, случай n = 3 является исключительным. Из каждого решения (c1,..., c5) уравнения Декарта мы можем изготовить пять новых решений, применяя операции si, i = 1,..., 5. Именно, операция si заменяет ci на cj - ci, оставляя остальные кривизны j=i неизменными. Операции si, как и ранее, являются инволюциями:

s2 = Id, но, кроме того, они удовлетворяют соотношениям (sisj)3 = Id i для i = j. Поэтому каждая пара (si, sj), i = j, порождает группу, изо морфную S3, –– группу Вейля алгебры Ли типа A2.

Еще более интересно, что любые три отражения (si, sj, sk) порождают так называемую аффинную группу Вейля для A2, изоморфную полупрямому произведению S3 2.

П.. Для любых трех попарно касающихся шаров B1, B2, B3 в 3 множество центров шаров, касающихся всех трех Bi, топологически представляет собой окружность. Можно так параметризовать эту окружность точками T = /2, что шары B() и B() с центрами в и будут касаться тогда и только тогда, когда - = ± mod 2.

П.. Для любых двух касающихся шаров B1, B2 в 3 множество центров шаров, касающихся B1 и B2, топологически является двумерной сферой. Можно так параметризовать эту сферу Глава. Многомерные ковры Аполлония точками 2, что шары B() и B() с центрами в и будут касаться тогда и только тогда, когда | - | = 1.

Мы оставляем читателю доказать эти предложения и связать их со структурой подгрупп si, sj и si, sj, sk.

З. Определить структуру группы = s1, s2, s3, s4, s5 и ее подгруппы si, sj, sk, sl.

Много полезной информации об этой задаче можно найти в книге [EGM]. См. также в [Con] очень интересное введение в теорию квадратичных форм.

Понятие совершенной параметризации кругов может быть обобщено на -мерный случай. Рассмотрим поле алгебраических чисел K = [], где = e2i/3 –– кубический корень из единицы. Общий элемент этого поля имеет вид k = +, где,, а черта означает комплексное сопряжение. Можно рассматривать K как двумерное пространство над полем с базисом и. Операция умножения на - - k в этом базисе записывается матрицей M(k) =. Опре - делим след и норму числа k K как след и определитель M(k) соответственно:

tr k = k + k = +, k 2 = |k|2 = kk = 2 - + 2. (..) K Через E мы обозначим подмножество K, выделяемое условиями,. Элементы E –– это целые числа поля K. Существует шесть обратимых целых чисел: ±1, ±, ±. Они характеризуются условием k = 1 и называются единицами поля K. Известно, что каждое целое число однозначно (по модулю единиц) разлагается в произведение простых чисел, то есть таких, которые делятся только на себя и на единицы. Что касается простых чисел, они бывают двух сортов:



обычные простые числа вида p = 3m - 1 и такие комплексные числа k = a + b с целыми a, b, для которых квадрат нормы равен или обычному простому числу вида 3m + 1.

Начало списка простых чисел поля K имеет вид 2, -, 5, 2 -, 11, 3 -, 17, 3 - 2, 23, 29, 5 -, 4 - 3,...

Из сказанного следует, что каждый элемент k K может быть однозначно (по модулю единиц) записан в виде несократимой дроби p k =, где p, q E не имеют общих множителей, не считая единиц.

q l + m Можно также записать k в виде k =, где l, m, n –– обычные цеn лые числа с НОД(l, m, n) = 1.

.. Трехмерный ковер Аполлония О.. Пусть D –– трехмерный шар в целочисленном -мерном ковре Аполлония. Параметризация множества D точками 2 называется совершенной, если точки касания D с остальными шарами в точности соответствуют точкам K 2.

p Пусть Dk означает шар, касающийся D в точке k = K. (Есq ли q = 0, k = K.) Т.. Совершенные параметризации существуют и обладают следующими свойствами:

p а) Пусть K k =. Кривизна ck границы шара Dk дается формулой q ck = |p|2 + pq pq + |q|2 +, (..) + где,,.

б) Существует такая координатная система (x1, x2, x3) в окружающем 3, что i|p|2 + i pq i pq + i|q|2 + i + xi =. (..) |p|2 + pq pq + |q|2 + + pi в) Пусть ki =, i = 1, 2. Шары Dk и Dk касаются тогда и только 1 qтогда, когда |k1 - k2| =. (..) |q1q2| Мы оставляем читателю в качестве нелегкой самостоятельной работы доказать сформулированную теорему и найти ее матричный аналог.

В заключение мы проиллюстрируем теорему. двумя примерами совершенных параметризаций в -мерном ковре Аполлония.

Введем в 3 ортогональный базис 1, i, j. Шару с центром x + iy + + jz и радиусом r > 0 мы поставим в соответствие эрмитову кватер a b x + iy + jz x - iy - jz нионную матрицу, где c =, b =, b =, a = b c r r r x2 + y2 + z2 - r=.

r Наш ковер будет -мерным аналогом ковра-ленты на плоскости. В него входят два обобщенных шара, один из которых –– полупространство z 1, а другой –– полупространство -z 1. Они соот 2 j ветствуют матрицам M± =. Далее, наш ковер содержит ± j счетное множество единичных шаров, соответствующих матрицам Глава. Многомерные ковры Аполлония | |2 -, где вектор пробегает решетку V, порожденную - векторами 2 и 2.

Первый пример совершенной параметризации –– это параметри зация всех шаров, касающихся плоскости z = 1, элементами K. А p именно, точке k = K мы ставим в соответствие матрицу q 4|p|2 + |q|2 - 2 2pq (1 - |q|2) j + Mk =. (..) 2pq - (1 - |q|2) j |q| Соответствующий шар касается плоскости в точке p tk = -2 + 1 - j q |q|и имеет радиус r =.

|q|Второй пример –– параметризация всех шаров, касающихся еди -1 ничного шара с матрицей M =. Здесь формула выглядит 0 так:

|p|2 + |q|2 + 1 2pq (|p|2 - |q|2) j + Mk =. (..) 2pq + (|q|2 - |p|2) j |p|2 + |q|2 - Соответствующий шар касается единичного шара в точке -2pq (|q|2 - |p|2) j + tk = |p|2 + |q|и имеет радиус r =.

|p|2 + |q|2 - Осень –– лето Л И Т Е Р А Т У Р А A. П, [Bar] M. Barnsley, Fractals everywhere, Academic Press Inc., Boston, MA,.

[LGRE] N. Lesmoir-Gordon, W. Rood, and R. Edney, Introducing fractal geometry, Icon Books, UK, Totem books, USA,.

[Sod] F. Soddy, The kiss precise, Nature (),.

[Ste] K. Stephenson, Circle packing: a mathematical tale, Notices Amer. Math. Soc.

(), no., –.

[Str] R. S. Strichartz, Analysis on fractals, Notices Amer. Math. Soc. (), no., –.

B. К [Bea] A. F. Beardon, The geometry of discrete groups, Graduate Texts in Mathematics, vol., Springer-Verlag, New York,.

Русский перевод: Бердон А. Геометрия дискретных групп. М.: Наука,.

[Con] J. H. Conway, The sensual (quadratic) form, With the assistance of Francis Y. C. Fung, Carus Mathematical Monographs, vol., Mathematical Association of America, Washington, DC,.

Русский перевод: Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях.

М.: МЦНМО,.

[Cox] H. S. M. Coxeter, Introduction to geometry, John Wiley & Sons Inc., New York,.

Русский перевод: Коксетер Г. С. М. Введение в геометрию. М.: Наука,.

[CH] R. Courant and D. Hilbert, Methods of mathematical physics. Vol. II, Wiley Classics Library, John Wiley & Sons Inc., New York,.

Русский перевод: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т..

М.-Л.: ГТТИ,.

[CM] H. S. M. Coxeter and W. O. J. Moser, Generators and relations for discrete groups, nd ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Neue Folge, Band, Springer-Verlag, Berlin,.

Русский перевод: Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука,.

[Edg] G. A. Edgar, Measure, topology, and fractal geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York,.

[EGM] J. Elstrodt, F. Grunewald, and J. Mennicke, Groups acting on hyperbolic space, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin,.

Русский перевод: Груневальд Ф., Меннике Й., Эльстродт Ю. Группы, действующие на гиперболическом пространстве. М.: МЦНМО,.

Литература [Kig] Jun Kigami, Analysis on fractals, Cambridge Tracts in Mathematics, vol., Cambridge University Press, Cambridge,.

[HL] Christina Q. He and Michel L. Lapidus, Generalized Minkowski content, spectrum of fractal drums, fractal strings and the Riemann zeta-function, Mem. Amer. Math. Soc.

(), no..

[Man] Benoit B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, W. H. Freeman and Co., San Francisco, Calif.,.





Русский перевод: Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований,.

[Thu] William P. Thurston, Three-dimensional geometry and topology. Vol., Princeton Mathematical Series, vol., Princeton University Press, Princeton, NJ,. Edited by Silvio Levy.

Русский перевод: Тёрстон У. Трехмерная геометрия и топология. М.: МЦНМО,.

C. Н [AS] D. Aharonov and K. Stephenson, Geometric sequences of discs in the Apollonian packing, Алгебра и анализ (), no., –; English transl., St. Petersburg Math. J. (), –.

[Bar] M. T. Barlow, Harmonic analysis on fractal spaces, Astrisque (), no., Exp.

No.,, –. Sminaire Bourbaki, Vol. /.

[Bro] R. Brooks, The spectral geometry of the Apollonian packing, Comm. Pure Appl. Math.

(), no., –.

[BL] A. F. Beardon and L. Lorentzen, Continued fractions and restrained sequences of Mbius maps, Rocky Mountain J. Math. (), no., –.

[DK] R. L. Dobrushin and S. Kusuoka, Statistical mechanics and fractals, Lecture Notes in Mathematics, vol., Springer-Verlag, Berlin,, pp. –.

[FS] M. Fukushima and T. Shima, On a spectral analysis for the Sierpiski gasket, Potential Anal. (), no., –.

[GLM+] R. L. Graham, J. C. Lagarias, C. L. Mallows, A. R. Wilks, and C. H. Yan, Apollonian circle packings: number theory, J. Number Theory (), no., –.

[KS] E. Kasner and F. Supnick, The Apollonian packing of circles, Proc. Nat. Acad. Sci.

U.S.A. (), –.

[Max] G. Maxwell, Sphere packings and hyperbolic reflection groups, J. Algebra (), no., –.

[McM] C. T. McMullen, Hausdorff dimension and conformal dynamics. III. Computation of dimension, Amer. J. Math. (), no., –.

[MT] L. Malozemov and A. Teplyaev, Pure point spectrum of the Laplacians on fractal graphs, J. Funct. Anal. (), no., –.

[Nev] E. H. Neville, The structure of Farey series, Proc. London Math. Soc. () (), –.

[Ram] R. Rammal, Spectrum of harmonic excitations on fractals, J. Physique (), no., –.

Литература [dR] G. de Rham, Sur les courbes limites de polygones obtenus par trisection, Enseignement Math. () (), –.

[dR] G. de Rham, Sur une courbe plane, J. Math. Pures Appl. () (), –.

[dR] G. de Rham, Un peu de mathmatiques propos d’une courbe plane, Elemente der Math. (), –, –.

[dR] G. de Rham, Sur quelques courbes definies par des equations fonctionnelles, Univ. e Politec. Torino. Rend. Sem. Mat. (/), –.

[Sal] R. Salem, On some singular monotonic functions which are strictly increasing, Trans.

Amer. Math. Soc. (), –.

[Str] R. S. Strichartz, Taylor approximations on Sierpinski gasket type fractals, J. Funct.

Anal. (), no., –.

[Tep] A. V. Teplyaev, Gradients on fractals, J. Funct. Anal. (), no., –.

D. М http://en.wikipedia.org/wiki/fractal http://classes.yale.edu/fractals/ http://www.faqs.org/faqs/fractal-faq/ О Г Л А В Л Е Н И Е В Часть I. К О В Е Р С Е Р П И Н С К О Г О Глава 1. О.. Возникновение и наивное определение.....................

Схолия A. Метрические пространства...........................

A.. Определение метрического пространства (). A.. Сжимающие отображения (). A.. Компактные пространства ().

.. Самоподобные фракталы..................................

Схолия B. Хаусдорфова мера и хаусдорфова размерность........

Глава 2. О Л С Схолия C. Оператор Лапласа и гармонические функции..........

C.. Анализ на римановом многообразии (). C.. Оператор как отношение двух квадратичных форм (). C.. Оператор Лапласа на римановом многообразии ().

.. Оператор Лапласа на n...................................

.. Сравнение спектров n и n-1.............................

.. Спектр оператора Лапласа на n...........................

Глава 3. Г С.. Основные свойства гармонических функций................

.. Базисные функции,,,...............................

.. Продолжение и вычисление функций (t) и (t)...........

Схолия D. Производные и интегралы дробного порядка..........

.. Некоторые арифметические свойства основных функций....

.. Функции x(t), y(t) и y(x)..................................

.. Гармонический образ ковра.............................

.. Многомерные аналоги ковра............................

Оглавление Схолия E. Числовые системы...................................

E.. Стандартные системы (). E.. Нестандартные системы (). E..

Непрерывные дроби (). E.. Обобщенные числовые системы ().

.. Применения обобщенных числовых систем.................

Часть II. К О В Е Р А П О Л Л О Н И Я Глава 4. К.. Теорема Декарта...........................................

Схолия F. Конформная группа и стереографическая проекция....

F.. Стереографическая проекция (). F.. Конформная группа ().

F.. Малые размерности ().

Глава 5. С А.. Основные факты..........................................

Схолия G. Числа Фибоначчи....................................

.. Ковры с неограниченными размерами кругов...............

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 ||










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.