WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 |

С. Благодаря универсальному свойству 4 мы имеем гомоморфизм : 4, определенный на образующих правилом: (si) = i, 1 i 4. Ясно, что это –– эпиморфизм. Посмотрим, каким может быть ядро.

В схолии H мы ввели нумерацию элементов группы 4 словами в алфавите {1, 2, 3, 4}, не содержащими повторяющихся букв. Назовем такие слова приведенными.

Напомним также, что l( ) означает длину слова, а W(k) означает множество всех приведенных слов длины k. Таким образом, W(0) содержит только пустое слово, соответствующее единице группы;

Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы s2 s3 s1 sРис... Базисные зеркала группы множество W(1) содержит четыре слова {i}, i = 1, 2, 3, 4, соответствующих образующим si группы; множество W(2) содержит слов {i j}, i = j, соответствующих произведениям sisj, и т. д.

Для любого элемента 4 вида si si... si, k 1, мы обозначим 1 2 k через D() круг, в который переходит Di под действием -1, то есть D() := i i · i Di = i i · i Di. (..) k k 1 1 k k k-Ясно, что имеет место равенство D(12) = -1 · D(1) (..) для всех 1 = 2 = e. Если неединичный элемент принадлежит ядру, то, согласно (..), D() = ()Di = Di.

1 Однако мы покажем ниже, что все круги D(), = e, различны и лежат вне начальной четверки q0. Я рекомендую читателю попытаться найти собственное доказательство, поскольку приводимое ниже довольно длинно.

Разобьем группу 4 на частей: единицу и четыре подмножества (i), i = 1, 2, 3, 4, в зависимости от первой буквы слова, соответствующего данному элементу. Для удобства изложения будем считать, что все неединичные элементы группы 4 покрашены в четыре разные цвета.

.. Действие группы и ковры Аполлония Теперь покажем, что можно раскрасить все круги в 0 четырьмя цветами так, что в любой четверке попарно касающихся кругов встречаются все четыре цвета. Действительно, сначала раскрасим четырьмя цветами круги, входящие в начальную четверку q0. Далее, множество S2 \ q0 состоит из четырех треугольников, каждый из которых ограничен тремя кругами разного цвета. Мы можем продолжить раскраску, присвоив новому кругу, вписанному в треугольник, единственный цвет, отличный от цветов соседей. В новой картинке опять каждая четверка содержит все четыре цвета и мы можем опять продолжать раскраску.

Действие группы 4 сохраняет раскраску, поскольку этим свойством обладают образующие элементы i (проверьте!). Отметим также простое правило: цвет круга D() совпадает с первой буквой слова, соответствующего, и, стало быть, с цветом самого элемента.

Теперь мы построим нумерацию кругов в 0. Именно, рассмотрим все конечные непустые слова в алфавите {1, 2, 3, 4}, не содержащие повторяющихся букв. Каждому слову = {i1i2...ik} длины k мы поставим в соответствие элемент = i i...i длины k в 4 и 1 2 k круг D := D( ) в 0.

Наша цель –– доказать, что все эти круги различны и лежат вне начальной четверки q0. Для этого мы сравним построенную здесь нумерацию с той, которая была построена в разделе.. Оказывается, эти нумерации просто совпадают! Я не хочу приводить формальное доказательство, а просто предлагаю читателю прочитать параллельно описание обеих нумераций и убедиться, что они одинаковы. Отсюда, разумеется, вытекает нужное нам утверждение.

Продолжим изучение действия группы на кругах.

У. а) Найдите все преобразования g, сохраняющие неупорядоченную тройку D1, D2, D3 попарно касающихся кругов.

б) Тот же вопрос относительно неупорядоченной четверки D1, D2, D3, D4.

П. а) Рассмотрите точки касания: 1 ± i и.

б) Посмотрите, какие из преобразований а) сохраняют круг D4.

Из упражнения можно вывести следующий результат.

Т.. а) Стабилизатор S G любой неупорядоченной тройки попарно касающихся кругов в содержится в Aut( ) и изоморфен группе S3: все перестановки кругов возможны.

б) Стабилизатор S любой неупорядоченной тройки попарно касающихся кругов в содержится в Aut( ) и изоморфен группе Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы DDРис... Стабилизатор пары {D1, D2} S3 S2; центральный элемент, порождающий S2, является отражением в зеркале, ортогональном к D1, D2, D3.

в) Стабилизатор в G любой неупорядоченной четверки попарно касающихся кругов в содержится в Aut( ) и изоморфен A4: все четные перестановки кругов возможны.

г) Стабилизатор в любой неупорядоченной четверки попарно касающихся кругов в содержится в Aut( ) и изоморфен S4: все перестановки кругов возможны.

д) Группа Aut( ) действует просто транзитивно на множестве всех упорядоченных четверок в. Относительно действия группы Aut( ) множество всех упорядоченных четверок образует две орбиты.

Для упорядоченной тройки t стабилизатор в G тривиален, поэто му элемент g G вполне определяется упорядоченной тройкой g · t.

По этой же причине элемент g вполне определяется упорядоченной четверкой g · q.

Теперь мы рассмотрим множество всех пар касающихся кругов в 0. Они образуют однородное пространство относительно группы Aut( ). Стабилизатор пары {D1, D2} изоморфен группе 2 2 Aff(1, ). В самом деле, искомый стабилизатор состоит из преобразований ± + k, k, и свободно порождается двумя отражениями s1( ) = -, s2( ) = 1 - (см. рис..).

Наконец, рассмотрим стабилизатор в Aut( ) круга D1 0. Удобно заменить ковер 0 аффинно эквивалентным ему ковром 1 = = ( 0 + 1 - i), так что D1 становится верхней полуплоскостью, а точки касания D1 с D3 и D4 будут 0 и 1.

Т.. Стабилизатор D1 в G совпадает с PSL(2, ).

.. Действие группы на ковре Аполлония 7.2. Д А Пусть опять q0 означает начальную четверку (см. текст перед теоремой.), a si, 1 i 4, означает отражение, сохраняющее три круга из q0, исключая Di. Результат предыдущих рассуждений можно резюмировать в виде теоремы.



Т.. а) Группа, порожденная s1, s2, s3, s4, изоморфна 4. Действие этой группы на множестве всех кругов из имеет четыре орбиты, каждая из которых содержит ровно один из кругов D1, D2, D3, D4 начальной четверки.

б) Стабилизатор круга D1 в порожден отражениями s2, s3, s4 и изоморфен 3. Действие этого стабилизатора на множестве кругов из, касающихся D1, имеет три орбиты, каждая из которых содержит ровно один из кругов D2, D3, D4.

в) Стабилизатор пары D1, D2 в порожден отражениями s3, s4 и изоморфен 2. Действие этого стабилизатора на множестве кругов из, касающихся D1, D2, имеет две орбиты, каждая из которых содержит ровно один из кругов D3, D4.

г) Стабилизатор тройки D1, D2, D3 в порожден отражением sи изоморфен 1. Действие этого стабилизатора на множестве кругов из, касающихся D1, D2, D3, имеет одну орбиту, состоящую из кругов D4, D4.

Иллюстрацией к первому утверждению теоремы служит рис.., где четыре -орбиты раскрашены разными цветами.

Группа 4 имеет еще одно действие на множестве всех упорядоченных четверок попарно касающихся кругов из. А именно, определим действие образующей si, 1 i 4, на четверке q = {D1, D2, D3, D4} как отражение q в зеркале, ортогональном окружностям из {D1, D2, D3, D4}, за исключением Di. Ясно, что это преобразова ние инволютивно: s(s(q)) = q. (Проверьте, что s1(q) = {D1, D2, D3, D4}, где D1 –– второй круг (кроме D1), касающийся D2, D3, D4.) В силу универсального свойства 4 существует единственный гомоморфизм : 4 Aut( ), продолжающий действие образующих.

Это действие обладает следующим замечательным свойством.

Л.. Допустим, что кривизны граничных окружностей для четверки кругов q равны c1, c2, c3, c4. Тогда для четверки s1(q) соответствующие кривизны равны c, c2, c3, c4, где c = 2c2 + 2c3 + 2c4 - c1. (..) 1 Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы Рис... Орбиты группы Д. Согласно уравнению Декарта, мы имеем:

(c1 + c2 + c3 + c4)2 = 2(c2 + c2 + c2 + c2), 1 2 3 (c + c2 + c3 + c4)2 = 2(c 2 + c2 + c2 + c2).

1 1 2 3 Вычитая из первого равенства второе, получаем:

(c - c1)(c1 + c + 2c2 + 2c3 + 2c4) = 2(c2 - c 2), 1 1 1 или c1 + c + 2c2 + 2c3 + 2c4 = 2(c1 + c ), 1.. Действие группы на ковре Аполлония что и утверждалось.

Таким образом, группа 4 действует линейно в пространстве 4 по правилу -1 2 2 2 1 0 0 2 -1 2 0 1 0 (s1) =, (s2) =, 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (..) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 (s3) =, (s4) =.

2 2 -1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2 -Замечательное свойство, о котором говорилось выше, состоит в том, что это действие согласовано с действием () коммутативной диаграммой:

() q - q --- c c 4 - 4, --() где c означает отображение, ставящее в соответствие упорядоченной четверке q q точку в 4 с координатами (c1, c2, c3, c4), равными кри визнам окружностей, ограничивающих круги из q.

З. а) Описать образ группы при линейном представлении.

б) Показать, что –– точное представление (то есть его ядро состоит только из единичного элемента).

Есть еще одна интересная группа, порожденная отражениями и действующая на ковре Аполлония. А именно, пусть hi j –– отражение в зеркале, которое проходит через точку касания ti j кругов Di и Dj и ортогонально двум другим кругам начальной четверки. Ясно, что это отражение переставляет Di и Dj и сохраняет два остальных круга.

Обозначим через H группу, порожденную шестью отражениями hi j.

Мы оставляем cчитателю доказать, что эта группа совпадает с группой W, определенной в конце пункта..

Т.. Полная группа Aut(A) конформных автоморфизмов (обоего рода) ковра Аполлония 0 является полупрямым произведением H подгруппы H и нормального делителя.

С. По определению, группа H переставляет круги из начальной четверки. Поэтому сопряжение элементами Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы h H переставляет образующие группы. Следовательно, H нормализует подгруппу. Далее, согласно теореме. группа может перевести любую неупорядоченную четверку q в начальную четверку q0. С помощью подходящего элемента H можно произвольно менять порядок кругов в q0. Таким образом, группа H действует транзитивно на множестве упорядоченных четверок из 0. Пусть теперь g –– любой элемент группы Aut(A). Он переводит q0 в некоторую четверку q. С помощью подходящего элемента g H мы можем вернуть q в q0. Композиция g g сохраняет q0, следовательно, является единицей. Поэтому g = (g)-1 принадлежит H.

У. Пусть означает множество всех зеркал, отражение в которых сохраняет 0. Является ли однородным пространством:

а) для группы ;

б) для группы Aut( );

в) для группы Aut( ) Рассмотрим подробнее линейное представление группы, определенное формулами (..).

Л.. Преобразования (si) являются отражениями и сохраняют квадратичную форму (c0 + c1 + c2 + c3)Q(c) = - (c2 + c2 + c2 + c2);

0 1 2 следовательно, они переводят каждое решение уравнения Декарта в другое (или то же) решение.

Д. Гиперплоскость Mi, заданная уравнением ci = = cj, инвариантна относительно (si), поскольку для точек этой гиj=i перплоскости мы имеем c = 2ci - ci = ci (см. лемму.). Значит, (si) i является отражением в Mi в направлении i-й координатной оси.

Напомним, что выше мы использовали замену координат (..), которая переводит целочисленные решения уравнения Декарта в целочисленные световые векторы пространства Минковского 1,3 с координатами t, x, y, z. Таким образом, представление эквивалентно некоторому представлению в 1,3 псевдоортогональными преобразованиями.





У. Покажите, что (si) действуют в 1,3 по формулам 2(, i) si( ) = - i, (..) (i, i).. Действие группы на ковре Аполлония где i, 0 i 3, –– вектор-столбцы матрицы 1 1 1 1 1 -1 -, 1 -1 1 -1 -1 -1 которая приводит форму Q(c) к диагональному виду.

П. Используйте тот факт, что преобразования (..) в пространстве 4 с координатами (c0, c1, c2, c3) являются отражениями.

Скажем еще немного о строении группы.

Л.. Группа изоморфна полупрямому произведению F3, где F3 –– свободная группа с тремя образующими, а нетривиальный элемент подгруппы 2 действует на F3 внешним автоморфизмом, обращающим все генераторы.

Д. В самом деле, мы знаем, что = s0, s1, s2, s3 | s2 = 1.

i Введем новые образующие: s := s0 и i := s0si, i = 1, 2, 3. Тогда s2 = 1, sis = -1 и мы должны только проверить, что i не связаны никаi кими соотношениями. Это можно сделать, используя явную реализацию, построенную выше.

В терминах новых образующих представление имеет вид 5 -4 2 2 5 2 -4 4 -3 2 2 2 1 -2 (1) =, (2) =, 2 -2 1 4 2 -3 2 -2 0 1 2 0 -2 (..) 5 2 2 -4 2 -1 -1 -2 1 0 -2 1 0 -1 - (3) =, (s) =.

2 0 1 -1 -1 0 -4 2 2 -3 1 -1 -1 Первые три матрицы унипотентны с жордановой структурой (3, 1).

Интересно было бы найти прямое геометрическое доказательство дискретности этой группы и найти ее фундаментальную область (см., например, [CM]).

Глава М Н О Г О М Е Р Н Ы Е К О В Р Ы А П О Л Л О Н И Я 8.1. О Рассмотрим следующий аналог проблемы Декарта: найти соотношение между радиусами n + 2 попарно касающихся шаров в n.

Здесь опять лучше перейти от радиусов к кривизнам, а также расширить n, добавив бесконечно удаленную точку. Расширенное пространство n топологически эквивалентно единичной сфере Sn, заданной уравнением n 2 = k k=в пространстве Rn+1 с координатами 0,..., n.

Пусть n означает совокупность всех обобщенных шаров в n.

Мы дадим здесь несколько параметризаций множества n. Поучительно сравнить этот общий результат со случаем n = 2, изучавшимся в предыдущих разделах.

П. Пусть 1,n+1 означает (n + 2)-мерное вещественное векторное пространство с координатами (p0,..., pn+1), снабженное квадратичной формой |p|2 := (p0)2 - (p1)2 - (p2)2 -... - (pn+1)2. (..) Каждому вектору p 1,n+1 мы поставим в соответствие полупространство Hp n+1, заданное неравенством n+ Hp := n+1 : p0 + pkk 0. (..) k=У. Покажите, что пересечение Sn Hp • для |p|2 > 0 –– пусто;

• для |p|2 = 0 –– или вся сфера, или единственная точка (какая);

• для |p|2 < 0 –– замкнутый шар, который мы обозначим Bp.

1 Обобщенный шар –– это либо обычный замкнутый шар положительного радиуса, либо замкнутое полупространство, либо внешность непустого открытого шара.

Глава. Многомерные ковры Аполлония П. Рассмотрите проекцию n+1 на прямую, ортогональную к Hp.

Ясно, что для c > 0 полупространства Hp и Hcp совпадают. Значит, Bp = Bcp. Поэтому мы можем нормализовать p условием |p|2 = -1. Таким образом, множество n всех шаров в Sn параметризуется точками гиперболоида |p|2 = -1 в 1,n+1.

В. Определим стереографическую проекцию s: Sn n, как в схолии F. Это отображение устанавливает биекцию Sn на n и переводит шары в Sn в обобщенные шары в n.

Неравенство из (..) переходит в неравенство a + (b, x) + c(x, x) 0, (..) где x = (x1,..., xn), b = (p1,..., pn), a = p0 - pn+1, c = p0 + pn+1 и выполняется условие ac - |b|2 < 0.

Таким образом, n параметризуется тройками (a, b, c) n. Как и раньше, мы нормализуем вектор (p0,..., pn+1) (или тройку (a, b, c)) условием |p|2 = ac - |b|2 = -1.

У. Шары Bp и Bp касаются друг друга, если и толь1 ко если |p1 + p2|2 = 0.

У. Предположим, что Bp и Bp имеют общую 1 точку x. Найдите угол между радиусами Bp и Bp в точке x.

1 П. Используйте тот факт, что ответ практически не зависит от размерности n: достаточно рассмотреть двумерную плоскость, проходящую через центры шаров и через точку x. Поэтому общий случай сводится к случаю n = 2.

О.

cos = -(p1, p2). (..) Пусть теперь Bp, k = 1, 2,..., n + 2, –– попарно касающиеся шары в k n. Тогда, как и в разделе., мы имеем (pi, pj) = 1 - 2i j.

Это следует также из (..), так как для касающихся шаров cos = = cos = -1.

Введем матрицу Грама G попарных скалярных произведений:

Gi j = (pi, pj). Число -2 является собственным значением кратности n + 1, так как ранг матрицы G + 2 · 1 равен 1. Учитывая, что след матрицы Грама равен -(n + 2), мы видим, что (n + 2)-е собственное значение равно n. Поэтому матрица G невырождена и векторы pk, 1 k n + 2, линейно независимы. Следовательно, они образуют базис в 1,n+1.

.. Общие соображения Далее, для любого вектора 1,n+1 мы введем два набора координат: так называемые ковариантные координаты k = (, pk) и контравариантные координаты k, определяемые равенством = k pk.

Соотношения между двумя типами координат выводятся в точности так же, как для двумерного случая. Они выглядят так:

1 j j = i - 2, i = j - i. (..) 2n i j Основная квадратичная форма в этих координатах дается формулами 2 | |2 = i - 2 ( i)2 = i - n ( i)2. (..) 2n i i i i Рассмотрим вектор с ковариантными координатами (1, -1, 0,...

n+1..., 0, 0); тогда k = (, pk) = pk + pk = ck. Напомним, что ck –– это кривизна границы шара Bp. Поскольку | |2 = 0, мы получаем уравнеk ние ck = n · c2, (..) k k k которое является n-мерным аналогом уравнения Декарта.

У *. Докажите следующий n-мерный аналог обобщенного уравнения Декарта:

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.