WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |

В частности, расстояние d(z1, z2) между двумя точками z1, z2 H должно быть -инвариантным. Оказывается, это свойство, вместе с предположением, что L –– риманово многообразие, определяет расстояние однозначно, с точностью до выбора единицы длины.

Чтобы получить явную формулу для расстояния, мы можем поступить так. Любой паре различных точек p = (z1, z2) из H мы сопоставим четверку q(p) = (z1, z2, точек на. Соответствие p q(p) z1, z2) инвариантно относительно группы G = PSL(2, ), поскольку она дей1 Это, в частности, значит, что в любой локальной системе координат выполняется n равенство d2(x, 0) = gi j xi x + o(|x|2).

j i, j= Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы ствует дробно-линейными преобразованиями с вещественными коэффициентами.

С другой стороны, хорошо известно, что для любой четверки q = (z1, z2, z3, z4) точек из так называемое двойное отношение z4 - z3 z1 - z(q) := :

z4 - z2 z1 - zне меняется при действии даже б группы PSL(2, ) всех дробольшей но-линейных преобразований с комплексными коэффициентами.

Это следует из геометрического смысла двойного отношения:

(q) –– это та точка, куда z4 переходит под действием дробно-линейного преобразования, переводящего z1 в, z2 в и z3 в.

Введем величину - z1 - |z1 - z2|z2 z1 z(p) := (q(p)) = : =. (..) - z2 z1 - z2 4 Im z1 Im zzЭта функция от пары точек p в H положительна, симметрична и инвариантна относительно группы. Выясним, как она связана с искомым расстоянием на H. Для этого ограничим наше рассмотрение мнимой полуосью T = {ie, }. Множество T инвариантно относительно однопараметрической группы подобий: z etz (или + t) и на нем имеется единственное, с точностью до масштаба, расстояние, инвариантное относительно группы подобий и такое, что T является римановым многообразием относительно этой метрики. А именно, 1 d(ie, ie ) = |1 - 2|.

С другой стороны, мы имеем 1 - (e1 - e2)1 2 1-2-(ie, ie ) = = (e - 2 + e ) = sh2.

4e1+2 4 Мы приходим к соотношению d(z1, z2) (z1, z2) = sh2, (..) которое справедливо на T T, причем обе части равенства G-инвариантны.

У. Покажите, что G · (T T) = H H. Более точно, любая пара точек (z1, z2) на H получается движением g G из пары точек (i, ie) на T при подходящем.

Схолия J. Плоскость Лобачевского (гиперболическая плоскость) Из упражнения следует, что (..) верно повсюду. Простое вычисление приводит к окончательной формуле d(z1, z2) = 2 ln (z1, z2) + (z1, z2) + 1. (..) Известно, что площадь области L и длина кривой C L даются интегралами (dx)2 + (dy)dx dy площадь() =, длина(C) =. (..) y y C Первое подынтегральное выражение является единственной, с точностью до множителя, дифференциальной -формой на L, инвариантной относительно действия G. Эта форма не инвариантна отно сительно : конформное преобразование второго рода меняет знак формы.

Второе подынтегральное выражение –– это квадратный корень из единственной, с точностью до множителя, дифференциальной квадратичной формы (то есть метрики) на L, инвариантной относительно действия G.

У. Покажите, что геодезические, то есть кривые наименьшей длины, –– это полуокружности, ортогональные к вещественной оси (включая предельные случаи вертикальных лучей).

П. Используйте тот факт, что любая пара точек p, q на L определяет единственную геодезическую, проходящую через эти точки. Поэтому любое преобразование g G, сохраняющее (неупорядоченную) пару p, q, переводит в себя и геодезическую, и середину ее отрезка [p, q]. Примените это соображение к паре p = i, q = ir и преобразованию s: z -rz-1.

Существует замечательное соотношение между площадью треугольника, ограниченного дугами геодезических, и его углами:

площадь(ABC) = - A - B - C. (..) У. Проверьте формулу (..) для треугольника с тремя нулевыми углами, который задается неравенствами -a x a, x2 + y2 a2.

У. Покажите, что круг на плоскости Лобачевского, то есть множество Br(a) = {z L: d(z, a) r}, –– это обычный круг с центром a и радиусом r. Выразите a и r через a и r.

О. a = Re a + i ch r · Im a, r = sh r · Im a.

Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы У. Рассмотрим евклидов круг D на H, заданный неравенством (x - a)2 + ( y - b)2 r2. Вычислите его диаметр d и его площадь A в смысле гиперболической геометрии.

b + r b О. d = ln ; A = 2 - 1 = 4 sh2 d.

b - r b2 - rJ.. Вторая модель Пуанкаре. Иногда удобнее рассматривать другой вариант модели Пуанкаре. Именно, преобразование Мёбиуса - i h: переводит вещественную ось в единичную окружность + i и верхнюю полуплоскость H во внутреннюю часть D0 единичного круга D : x2 + y2 1. Все, что мы говорили выше об H, может быть повторено для D0 mutatis mutandis.

В частности, группа, действующая на верхней полуплоскости, заменяется группой = h · · h-1, действующей на D0. Связная ком понента единицы в –– это группа h · PSL(2, ) · h-1 = PSU(1, 1; ).

Каждой паре точек p = ( 1, 2) D0 D0 мы ставим в соответствие (G-инвариантным образом) четверку q(p) = ( 1, 2, -1, -1). За 1 тем мы определяем функцию | 1 - 2|(p) := (q(p)) =. (..) (1 - | 1|2)(1 - | 2|2) Подгруппа растяжений H, состоящая из преобразований с матри e/2 цами g =, переходит в подгруппу матриц вида 0 e-/ ch /2 sh / g = h · g · h-1 =.

sh /2 ch /Эта подгруппа сохраняет интервал h · T = T = (-1, 1) D0. Если ввеt сти на интервале T локальный параметр t так, что x = th, то пре образование g примет простую форму t t +. Поэтому инвариантное расстояние на T –– это просто d(t1, t2) = |t1 - t2|.

С другой стороны, t1 t2 th - th t1 t2 2 2 t1 - t th, th = = sh2.



t1 t2 2 1 - th2 1 - th2 1 Напомним, что диаметром произвольного множества D называется максимальное расстояние между точками этого множества.

Схолия J. Плоскость Лобачевского (гиперболическая плоскость) Тогда (..) и (..) принимают форму d( 1, 2) ( 1, 2) = sh2, (..) d( 1, 2) = 2 ln( ( 1, 2) + ( 1, 2) + 1). (..) Формулы (..) заменяются на 2 (dx)2 +(dy)4 dx dy площадь() =, длина(C) =.

(1- x2 - y2)2 1- x2 - y C (..) Геодезическими являются дуги окружностей, ортогональных к D (включая диаметры D). Формула (..) остается в силе.

У. Покажите, что множество точек {z L: d(z, a) r} (гиперболический круг) является обычным кругом с центром a и радиусом r. Выразите a и r через a и r.

a (a + a-1) О. a =, r =.

a th r + a-1 cth r a2 + 1 ch r У. Вычислите для круга Dr(a, b) в D0, заданного неравенством (x - a)2 + ( y - b)2 r2, диаметр d и площадь A.

b + r b О. d = ln ; A = 2 - 1 = 4 sh2 d.

b - r b2 - r J.. Модель Клейна. Расширенная группа Мёбиуса изоморфна группе PO(2, 1, ) PGL(3, ) (см. схолию F). Поэтому существует еще одна модель плоскости Лобачевского L. Она называется моделью Клейна, и мы опишем ее здесь.

Группа O(2, 1; ) по определению действует на вещественном векторном пространстве 2,1 с координатами X, Y, Z, сохраняя конус X2 + Y = Z2. Рассмотрим вещественную проективную плоскость P := P2( ) с однородными координатами (X : Y : Z) и локальными X Y координатами x =, y =. Соответствующее проективное действие Z Z группы PO(2, 1; ) на P сохраняет окружность x2 + y2 = 1 и открытый круг D0 : x2 + y2 < 1. Это и есть модель Клейна.

Явная формула группового действия имеет вид ax + b y + c ax + b y + c x, y, (..) ax + by + c ax + by + c Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы где a b c g = a b c a b c принадлежит O(2, 1; ) GL(3, ).

Мы знаем, что g O(2, 1; ), если и только если gtIg = I, где I = = diag(1, 1, -1), или, подробнее, (a)2 + (a)2 = a2 + 1, ab + ab = ab, (b)2 + (b)2 = b2 + 1, bc + bc = bc, (..) (c)2 + (c)2 = c2 - 1, ca + ca = ca.

У. а) Покажите, что группа O(2, 1; ) имеет четыре связных компоненты, различаемые знаками det g и c.

б) Покажите, что PO(2, 1; ) имеет две связных компоненты, различаемые знаком величины ab - ab: PSO+(2, 1; ) и PSO-(2, 1; ).

Отметим, что модель Клейна использует то же множество D0 и ту же абстрактную группу PO(2, 1; ), что и вторая модель Пуанкаре, но групповые действия различны.

Однако эти действия сопряжены в большей группе всех диффеоморфизмов D0. Более точно, существуют гладкое обратимое отобра жение f : D0 D0 и изоморфизм : PO(2, 1; ) такие, что следующая диаграмма коммутативна:

конформное действие D0 ----------- D f f проективное действие PO(2, 1; ) D0 - ----------- D0.

Чтобы описать гомоморфизм, рассмотрим сначала связную компоненту единицы G, которую мы отождествим с группой PSU(1, 1; ). Оказывается, ограничение гомоморфизма на эту подгруппу индуцируется гомоморфизмом : SU(1, 1; ) SO+(2, 1; ), который имеет вид Re(a2 + b2) - Im(a2 + b2) 2 Re(ab) a b g = (g) = Im(a2 + b2) Re(a2 - b2) -2 Im(ab). (..) b 2 Re(b) -2 Im(b) |a|2 + |b| Вторая связная компонента группы является двусторонним классом смежности по подгруппе G, то есть определяется одним эле ментом c, в качестве которого можно взять отображение.

Схолия J. Плоскость Лобачевского (гиперболическая плоскость) Но в группе PO(2, 1; ) есть элемент c, действующий по правилу x x, y - y. Он задается матрицей diag(-1, 1, -1) SO-(2, 1; ).

Из соотношения c · g · c = мы выводим, что (c) совпадает с c.

Далее, горизонтальный диаметр D0 является множеством неподвижных точек для инволюции c = (c), следовательно, это геодезическая в модели Клейна. Разумеется, это верно и для всех остальных диаметров и, более общо, для всех образов этого диаметра под действием группы PO(2, 1; ). Поскольку группа действует проективными преобразованиями, она переводит прямые в прямые. Мы приходим к замечательному свойству модели Клейна: все геодезические являются интервалами обычных прямых.

Теперь обратимся к отображению f. Чтобы его найти, мы воспользуемся следующими частными случаями формулы (..):

cos 2 -sin 2 ei 0 sin 2 cos 2 :

0 e-i 0 0 и ch 2t 0 sh 2t ch t sh t 0 1 :.

sh t ch t sh 2t 0 ch 2t Мы видим, что повороту на угол 2 в модели Пуанкаре соответствует такой же поворот в модели Клейна.

Напротив, группа сдвигов вдоль диаметра x ch t + sh t x (или, если x = th, + t) x sh t + ch t переходит в ту же группу, но с удвоенным параметром:

x ch 2t + sh 2t x (или + 2t).

x sh 2t + ch 2t Мы приходим к заключению, что искомый диффеоморфизм f в полярных координатах (r, ) для модели Пуанкаре и (, ) для модели Клейна имеет вид f (r, ) = (, ), где =, = th(2 th-1(r)). (..) У. Покажите, что соотношение (..) между r и может быть записано также в форме равенств:

1 + 1 + r а) = ; б) =. (..) 1 - 1 - r r + r- Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы = f (r) r (0, 0) Рис... Диффеоморфизм f Геометрически диффеоморфизм f означает «выпрямление» всех дуг окружностей, перпендикулярных границе, то есть замену их соответствующими хордами (см. рис..).

Модель Клейна наряду с описанным преимуществом (геодезические –– отрезки прямых) имеет и недостатки. Во-первых, она не конформна: углы на модели не равны углам в геометрии Лобачевского.

Во-вторых, формулы для расстояния, площади области и длины кривой выглядят сложнее, чем в модели Пуанкаре. Последние в полярных координатах имеют вид:





2 d d площадь() =, (1 - 2) 1 + (..) (d)2 + 2(1 - 2)(d )длина(C) =.

1 - C У. Покажите, что переход от модели Клейна ко второй модели Пуанкаре может быть получен следующей геометрической конструкцией.

Пусть S2 означает нижнюю (южную) полусферу единичной сферы, не включая экватора. Стереографическая проекция s переводит S2 в открытый единичный круг D0, ограниченный экватором. Обозначим через p вертикальную проекцию S2 на D0. Тогда отображение s p-1 : D0 D0 задает изоморфизм между моделями Клейна и Пуанкаре.

1 Сказочное описание этого изоморфизма содержится в книге С. Боброва «Волшебный двурог» (М.: МЦНМО, ).

.. Действие группы и ковры Аполлония 7.1. Д А Здесь мы рассмотрим подробнее действие расширенной группы Мёбиуса в связи с коврами Аполлония.

Под действием конформного преобразования (первого или второго рода) данный ковер Аполлония переходит в другой такой ковер. Более того, мы знаем, что любой ковер Аполлония получается таким образом из одного фиксированного ковра. Значит, множество всех ковров Аполлония является однородным пространством отно сительно действия группы. Обозначим через Aut( ) подгруппу в, состоящую из преобразований, переводящих в себя. Через Aut( ) мы обозначим пересечение Aut( ) G. Тогда множество можно представить как = /Aut( ) = G/Aut( ).

Т.. Подгруппы Aut G и Aut( ) дискретны.

Д. Пусть D1, D2, D3 –– три попарно касающихся круга из. Выберем три внутренние точки 1 D1, 2 D2, 3 D3.

Затем выберем окрестность единицы U G, достаточно малую для того, чтобы для всех g U выполнялось условие g · i Di, i = 1, 2, 3.

С другой стороны, если g Aut, то круги g · D1, g · D2, g · D3 тоже принадлежат ковру. Но круги Di и g · Di имеет общую внутреннюю точку g · i и, следовательно, совпадают. Мы видим, что любой элемент g U Aut( ) сохраняет каждый из кругов D1, D2, D3. Поэтому он имеет три неподвижные точки –– точки касания кругов и, значит, равен единице. Это и означает дискретность Aut( ) в G.

Дискретность Aut( ) следует из того же доказательства, если мы выберем окрестность U G так, чтобы она не содержала конформных преобразований второго рода.

Мы хотим теперь исследовать строение групп Aut( ) и Aut( ), которые являются стабилизаторами точки в группах G и.

Основное техническое средство для этого –– рассмотрение множеств троек и четверок попарно касающихся кругов на как однородных пространств относительно группы. При этом полезно рассматривать как упорядоченные, так и неупорядоченные тройки и четверки.

Введем соответствующие обозначения:

T (соответственно T) –– множество неупорядоченных (соответственно упорядоченных) троек попарно касающихся кругов на ;

Q (соответственно Q) –– множество неупорядоченных (соответственно упорядоченных) четверок попарно касающихся кругов на.

Глава. Геометрический и теоретико-групповой подходы Выберем начальную точку в, например, ковер-ленту, показанный на рис.., и обозначим его 0. Кроме того, закрепим обозначения D1, D2, D3, D4 для следующих (обобщенных) кругов из 0:

• D1 –– полуплоскость Im 1, • D2 –– полуплоскость Im -1, • D3 –– круг | - 1| 1, • D4 –– круг | + 1| 1.

Назовем эту упорядоченную четверку кругов базисной четверкой в 0 и обозначим ее q0. Ту же четверку, рассматриваемую как неупо рядоченную, мы обозначим q0.

Т.. Группа действует просто транзитивно на мно жестве Q упорядоченных четверок.

На множестве Q неупорядоченных четверок стабилизатором точки q0 является группа, изоморфная S4 и действующая на четверке qперестановками кругов.

Д. Пусть q = (D1, D2, D3, D4) –– любая упорядо ченная четверка. Существует единственный элемент g G, переводя щий упорядоченную тройку t0 = (D1, D2, D3) в тройку t = (D1, D2, D3), поскольку упорядоченная тройка кругов вполне определяется упорядоченной тройкой точек касания.

Круг g(D4) –– это один из двух кругов, касающихся кругов из тройки t. Второй круг, обладающий тем же свойством, получается из g(D4) отражением в зеркале, ортогональном ко всем кругам из тройки t. (Аналогичное утверждение для тройки t0 очевидно. Поэтому оно верно для всех троек.) Таким образом, ровно один из элементов g, g переводит q0 в q. Мы доказали транзитивность действия на q. Покажем, что стабилизатор точки q0 сводится к единице. Действительно, любой элемент этого стабилизатора имеет по крайней мере неподвижных точек: 0,, ±1 ± i (точки касания четырех кругов). Но любой неединичный элемент G имеет не больше трех неподвижных точек. Что касается преобразований второго рода, заметим, что если такое преобразование имеет три неподвижные точки, то оно сохраняет зеркало (обобщенную окружность), проходящее через эти точки, и является отражением в этом зеркале.

Это противоречит тому, что наши точек не лежат на одной окружности.

Остается проверить, что стабилизатор q0 в действует на этой четверке всеми возможными перестановками. Но мы уже знаем, что для любой перестановки s S4 существует gs, переводящий четверку q0 в (Ds(1), Ds(2), Ds(3), Ds(4)). Группа W, образуемая элементами.. Действие группы и ковры Аполлония 34 24 Рис... Отражения из группы W gs, s S4, изоморфна S4 и порождена тремя отражениями 12, и 34 (см. рис..). Теорема доказана.

Существует четыре четверки qi, 1 i 4, имеющие с базисной чет веркой q0 общую тройку ti = q0 \ {Di}. Обозначим через Di тот круг в qi, который не входит в q0 и через si –– отражение, переводящее Di в Di и сохраняющее остальные круги в q0. См. рис...

Т.. Группа, порожденная базисными отражениями i, 1 i 4, изоморфна группе 4, введенной в схолии H.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.