WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 15 |

П. Используя равенство 1 1 1 1 1 1 - + - + - +... =, 2 4 8 16 32 64 покажите, что 2n-1 1 2 2n 1 - =, + =, 3 3 · 4n 2n+1 3 3 · 4n 2n+.. Рациональная параметризация окружности где n –– n-е число Фибоначчи, задаваемое формулой n - (-)-n n =, + - 5 + где = 1,618... –– «золотое сечение» (см. схолию G).

1 3 - О. = ; 1 = 0.

3 2 З. Верно ли, что (x) = 0 для всех рациональных чисел, кроме a(n) k Мы можем резюмировать полученный результат следующим образом: существует монотонная параметризация всех рациональных чисел отрезка [0, 1] с помощью более простого множества двоично-рациональных чисел на том же отрезке. Если отбросить ограничение r [0, 1], мы получаем параметризацию рациональной проективной прямой с помощью двоично-рациональной проективной прямой, которая сохраняет циклический порядок точек.

З. Существует интересная геометрическая интерпретация рядов Фарея и функции Минковского. Она была обнаружена Жоржем де Рамом [dR].

Рассмотрим квадрат [-1, 1] [-1, 1] 2. Разделим каждую сторону квадрата на три равные части. Затем соединим соседние точки деления. Мы получим восьмиугольник с равными углами, но неравными сторонами. Продолжим эту процедуру; разделим каждую сторону восьмиугольника на три равные части и соединим соседние точки деления. В результате получится выпуклый -угольник, который содержится в -угольнике. Продолжая таким образом, мы построим семейство вложенных выпуклых многоугольников n, n 1, с 2n+1 сторонами. Пересечение всех этих многоугольников будет выпуклой областью D, ограниченной некоторой кривой C (см. рис.

.). Де Рам обнаружил также, что граничная кривая принадлежит классу C2, то есть выглядит локально как график функции, имеющей непрерывную вторую производную. В частности, имеет смысл говорить о касательной и кривизне в каждой точке кривой. Основной результат де Рама можно сформулировать так.

а) Середины сторон каждого n принадлежат предельной кривой C. Занумеруем те из этих точек, которые принадлежат верхней k половине кривой, числами rk =, -2n k 2n.

2n б) Пусть верхняя половина C является графиком функции y= f (x), |x| 1, и пусть xk означает x-координату точки с номером rk. Тогда Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония Рис... Кривая де Рама f (xk) = - sign(rk) fr, то есть значения производной функции f на отk резке возрастания являются членами ряда Фарея.

6.4. С, Пусть –– ковер Аполлония. Выберем какой-нибудь круг D и пусть M –– соответствующая эрмитова матрица. Рассмотрим все круги в, которые касаются D.

Точки касания этих кругов с D образуют счетное множество T D. Мы построим такую параметризацию множества T элементами, что циклический порядок на T, индуцированный ориентацией D, совпадает с циклическим порядком на, определенным выше.

Пусть Dr означает круг из, касающийся D в точке tr T, и пусть Mr –– соответствующая эрмитова матрица.

Мы скажем, что параметризация r tr множества T совершенна, если она имеет следующие свойства:

p. Если r = –– несократимая дробь, то q Mr = Ap2 + 2Bpq + Cq2 - M, где A, B, C –– фиксированные эрмитовы матрицы.

p. Круг Dr касается круга Dr, если и только если числа r = и q p r = близки, то есть если |pq - pq| = 1.

q Разумеется, условия и очень сильные и содержат всю информацию о касающихся кругах. Поэтому следующий результат очень важен.

Т.. Совершенные параметризации существуют и обладают дополнительным свойством: пусть 0, 1, 2, 3 –– векторы.. Совершенные параметризации кругов, касающихся данного в 1,3, соответствующие матрицам A + C, B, A - C, M. Тогда матрица Грама их скалярных произведений имеет вид 1 0 0 0 -1 0 G = ( i, j) =. (..) 0 0 -1 0 0 0 -П : -. Пусть D = { :

Im 0}, D = { : Im 1}. Пусть D0, D1 –– круги диаметра 1, касающиеся круга D в точках 0, 1, а круга D –– в точках i, i + 1 (см.

рис..).

2 1 1 1 1 -1 - - - 0 3 3 3 2 Рис... Совершенная параметризация кругов в ковре-ленте Тогда D =, T =. Тавтологическая параметризация T совершенна и справедливы равенства:

0 i 2p2 -2pq -i 2pq+i M =, Mp/q =, Dp/q : -.

-i 0 -2pq +i 2q2q2 2qВ :. Пусть D = { : | | 1} –– дополнение к открытому единичному кругу, 1 1 1 D0 задан условием -, D –– условием +, а D1 –– 2 2 2 2i условием -.

3 Здесь D –– единичная окружность, а T –– рациональная единичp + iq ная окружность. Совершенная параметризация имеет вид tr = p - iq Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония (0, 1) 3 4 2 + i, = 5 5 2 - i 14 cp/q = 1 + p2 + q6 11 p + iq tp/q = p - iq (-1, 0) (1, 0) 2 11 6 14 (0, -1) Рис... Совершенная параметризация внешней окружности в прямоугольном ковре p для r =, так что q -1 0 p2 + q2 - 1 -(p + iq)M =, Mr =, 0 1 -(p - iq)2 p2 + q2 + (p + iq)Dp/q : -.

p2 + q2 + 1 p2 + q2 + Д 6.4. Пусть D0, D1, D –– любые три круга из, касающиеся данного круга D и друг друга. Занумеруем числами 0, 1 и точки касания этих кругов с D в циклическом порядке, определенном ориентацией D.

Тогда, в предположении, что совершенная параметризация существует, мы можем вычислить матрицы A, B, C из равенств M = A - M, M0 = C - M, M1 = A + 2B + C - M.

Мы получим A = M + M, C = M + M0, B = (M1 - M - M0 - M).

Теперь, используя свойства матриц M0, M1, M и M, мы можем проверить соотношения (..). Из них легко следует второе утверждение теоремы, если определить Mr согласно первому утверждению.

.. Целочисленные ковры Аполлония Практически совершенные параметризации определяются шаг за шагом. А именно, допустим, что для двух близких чисел r1 и r2 круги Dr и Dr уже построены так, что они касаются D и друг друга. Тогда 1 мы определяем круг Dr, r = r1 r2, как круг, касающийся Dr, Dr и D в 1 точке, лежащей между tr и tr.



1 С. Кривизна граничной окружности круга, касающегоp ся D в точке с номером r = (несократимая дробь), выражается q квадратным многочленом от p, q:

c(p, q) = (c + c) · p2 + (c1 - c0 - c - c) · pq + (c0 + c) · q2 - c, (..) где ci (c) –– кривизна граничной окружности круга Di (D).

В частности, если четыре попарно касающиеся круга в ковре Аполлония имеют целочисленные кривизны граничных окружностей, то все круги этого ковра обладают тем же свойством.

У. Для треугольного ковра Аполлония вычислите кривизны всех окружностей, которые касаются внешней окружности.

2(p2 - pq + q2) О. c(p, q) = + 1.

У. Опишите совершенную параметризацию кругов, касающихся внешней окружности в треугольном ковре Аполлония.

П. Обозначьте через 0, 1, точки касания трех максимальных кругов с внешней окружностью.

6.5. Ц А Существует много вариантов ковра Аполлония на 2, для которых кривизны всех окружностей –– целые числа. Мы будем называть такие ковры целочисленными. Для каждого такого ковра существует (не обязательно единственная) четверка попарно касающихся кругов с кривизнами граничных окружностей (c1 c2 c3 c4), для которой c1 принимает наименьшее возможное значение. Мы назовем такую четверку базисной.

Л.. Для базисной четверки справедливы соотношения c4 0, |c4| c3 1 + |c4| 2,1547... · |c4|.

Д. Пусть Di, 1 i 4, –– базисная четверка попарно касающихся кругов с кривизнами ci, 1 i 4, упорядоченными по убыванию.

Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония Рассмотрим уравнение Декарта (..) как квадратное уравнение относительно c1 с данными c2, c3, c4. Корни этого уравнения имеют вид c1 = c2 + c3 + c4 ± 2 c2c3 + c3c4 + c4c2. (..) Покажем, что для базисной четверки мы должны в формуле (..) выбрать для c1 знак минус. В самом деле, в противном случае второй корень квадратного уравнения был бы меньше c1. Геометрический смысл второго корня –– это кривизна другой окружности C, касающейся кругов D2, D3, D4 (отличной от границы D1). В этом случае мы могли бы заменить круг D1 на круг с границей C и получить новую четверку с меньшим c1.

Неравенство c1 c2 вместе с (..) дает c3 + c4 2 c2c3 + c3c4 + c4c2, или (c3 - c4)2 4c2(c3 + c4) (c3 + c4)2. Это возможно лишь при c4 0.

Наконец, для неположительного c4 мы имеем (c3 - c4)2 4c2(c3 + c4) 4c3(c3 + c4), или 3c2 + 6c3c4 + c2 4c2. Это дает 3(c3 + c4) -2c4, следовательно, 3 4 2 + c3 |c4|.

Мы приведем здесь список базисных четверок с малыми значениями кривизн, упорядоченный по возрастанию величины |c4|:

c4 = 0 (1, 1, 0, 0);

c4 = -1 (3, 2, 2, -1);

c4 = -2 (7, 6, 3, -2);

c4 = -3 (13, 12, 4, -3), (8, 8, 5, -3);

c4 = -4 (21, 20, 5, -4), (9, 9, 8, -4);

c4 = -5 (31, 30, 6, -5), (18, 18, 7, -5);

c4 = -6 (43, 42, 7, -6), (15, 14, 11, -6), (19, 15, 10, -6);

c4 = -7 (57, 56, 8, -7), (20, 17, 12, -7), (32, 32, 9, -7);

c4 = -8 (73, 72, 9, -8), (24, 21, 13, -8), (25, 25, 12, -8);

c4 = -9 (91, 90, 10, -9), (50, 50, 11, -9), (22, 19, 18, -9), (27, 26, 14, -9);

c4 = -10 (111, 110, 11, -10), (62, 60, 12, -10), (39, 35, 14, -10), (27, 23, 18, -10);

c4 = -11 (133, 132, 12, -11), (72, 72, 13, -11), (37, 36, 16, -11), (28, 24, 21, -11).

Схолия I. Формула обращения Мёбиуса Полное описание всех базисных четверок неизвестно. Я приведу здесь три формулы, каждая из которых позволяет построить бесконечное число базисных четверок (в том числе большинство из приведенных в списке).

c4 = -km (k2 + km + m2, k(k + m), m(k + m), -km);

c4 = 1 - 2k (2k2, 2k2, 2k + 1, 1 - 2k);

c4 = -4k (2k + 1)2, (2k + 1)2, 4(k + 1), -4k.

Много других интересных фактов о целочисленных коврах и базисных четверках можно найти в работе [GLM+].

С I. Ф М В теоретико-числовых подсчетах часто используется так называемая формула обращения Мёбиуса. Мы объясним здесь, откуда она происходит и как работает.

Пусть задано частично упорядоченное множество X со свойством:

для каждого элемента x X существует лишь конечное число элементов, меньших x. Пусть f –– любая вещественная или комплексная функция на X. Определим новую функцию F на X формулой F(x) = f ( y). (..) y x Вопрос: можно ли восстановить функцию f, зная F Оказывается, что ответ на этот вопрос всегда положительный и дается простой формулой.

П I.. Существует единственная функция µ на X X со свойствами ) µ(x, y) = 0, если x y;

) µ(x, x) = 1;

) если функция F получена из f по формуле (..), то f восстанавливается по F следующим образом:

f (x) = µ(x, y)F( y). (..) y x Часто в этой ситуации присутствует дополнительная структура.

А именно, множество X является полугруппой положительных элементов A+ в некоторой абелевой группе A, а отношение порядка инвариантно относительно групповых сдвигов: x y a + x a + y для всех a A. В этом случае функция µ также инвариантна отно сительно сдвигов и выражается через функцию одной переменной:

µ(x, y) = µ(x - y), где µ(x) = µ(x, 0).

Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония Формула обращения принимает вид f (x) = µ(x - y)F( y) (..) y x (формула обращения Мёбиуса).

Мы оставляем доказательство заинтересованному читателю, а здесь рассмотрим только некоторые примеры, которые понадобятся дальше.

П. Пусть A = со стандартным порядком. Тогда формула (..) принимает вид F(n) = f (m), а формула обращения выгляm n дит так: f (n) = F(n) - F(n - 1).

Мы видим, что предложение I. в этом случае справедливо и функция µ дается формулой 1, если n = 0, µ(n) = -1, если n = 1, 0 в остальных случаях.





П. A = A1 A2 и порядок на A является произведением порядков на A1 и на A2, то есть (g1, g2) > (0, 0) g1 > 0 & g2 > 0.

Тогда функция µ для A –– просто произведение функций µ для A1 и A2.

Отметим, что если A1 и A2 –– упорядоченные группы, то A = A1 Aявляется всего лишь частично упорядоченной.

П. A = –– мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел. Частичный порядок определяется так: r1 r2, если rчисло целое. Таким образом, в этом случае X = + с отношением rпорядка m n m | n (m является делителем n).

Легко видеть, что эта частично упорядоченная группа изоморфна прямой сумме счетного множества копий с обычным порядком.

В самом деле, каждый элемент A единственным образом записывается в виде nk r = pk, k где через pk обозначено k-е простое число, nk и только конечное множество чисел nk отлично от нуля. Число r целое, если и только 1 Стандартный оборот речи, который не всегда уместен. Читателю решать, как обстоит дело в этом случае.

Схолия I. Формула обращения Мёбиуса если все nk неотрицательны. Поэтому функция µ является произведением функций из примера. Точное определение таково:

1, если n = 1, µ(n) = (-1)k, если n –– произведение k различных простых чисел, 0 в остальных случаях.

Соотношение (..) в этом случае –– это классическая формула обращения Мёбиуса:

n f (n) = µ(d) F. (..) d d|n В качестве приложения мы выведем здесь формулу для -функции Эйлера.

Рассмотрим все натуральные числа k n и разобьем их на группы k n согласно величине d = НОД(k, n). Ясно, что НОД, = 1. Отсюда d d n следует, что в группе с номером d ровно чисел. Мы получаем d тождество n n =.

d d|n Применяя формулу обращения Мёбиуса, имеем:

(n) µ(d) n (n) = µ(d) ·, или =. (..) d n d d|n d|n Некоторые вычисления. Хорошо известной нерешенной задачей является вычисление размерности Хаусдорфа для ковра Аполлония, а также меры Хаусдорфа разных его модификаций (например, сферического или треугольного ковра). Нужно пояснить, что имеется в виду под термином «вычисление». В работе [McM] показано, что искомая размерность равна d = 1,305688..., но мы ничего не знаем о природе этого числа. Например, рационально оно или нет Можно ли его выразить с помощью логарифмов натуральных чисел, как для канторова множества или ковра Серпинского Имеет ли оно какиенибудь арифметические свойства Другая нерешенная задача –– найти сумму площадей всех кругов в ковре Аполлония, которые касаются данного круга D, например, внешнего обобщенного круга в прямоугольном или треугольном ковре.

Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония Здесь, для примера, мы решим более простую задачу. Рассмотрим первый основной пример –– ковер-ленту. Мы хотим сосчитать общую площадь всех кругов в ковре-ленте, которые касаются вещественной оси на отрезке [0, 1]. Более естественным вопросом, который к тому же имеет более красивый ответ, является вопрос о площади той части единичного квадрата с вершинами 0, 1, 1 + i, i, которая покрыта кругами, касающимися нижней стороны квадрата.

m Мы знаем, что диаметр круга с точкой касания [0, 1] равен n. Поэтому площадь этого круга равна. Всего имеется (n) кру2n2 4nгов такого размера. Таким образом, интересующая нас площадь дается выражением:

(n) A = ·. (..) nn Оказывается, можно выразить эту величину через значения -функции Римана в точках и.

Для этого мы воспользуемся формулой (..) для (n), полученной в схолии I. Выражение (..) принимает вид A = · µ(d).

n3d n d|n n Обозначим через m и произведем суммирование по d и m. Мы поd лучим:

µ(d) µ(d) A = · = · ·.

4 m3d4 m3 dd 1 m 1 m 1 d Сумма является по определению значением (3). С другой mm µ(d) стороны, сумма может быть переписана как dd 1 1 (-1)k · (pi pi... pi )-4 = 1 - = =.

1 2 k pi4 1 (4) k 0 1 i1

(3) 45(3) A = · = 0,76.

4 (4) Общая площадь всех кругов, касающихся внешней окружности в прямоугольном ковре, дается суммой ·.

(p2 + q2 + 1)НОД(p, q)=Схолия I. Формула обращения Мёбиуса Она может быть выражена через значения -функции, связанной с гауссовским полем [i].

У. Пусть m означает сумму. По(k2 + l2)m 2\{(0, 0)} кажите, что m = (..) (2m) (p2 + q2)m НОД(p, q)=и m · m+= (-1)m-1. (..) (2m + 2) (p2 + q2 + 1)НОД(p, q)=1 m=Глава Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И Й И Т Е О Р Е Т И К О - Г Р У П П О В О Й П О Д Х О Д Ы С J. П Л ( ) Гиперболическим называют пространство, которое удовлетворяет всем аксиомам евклидова пространства, кроме знаменитого 5-го постулата, утверждающего единственность параллельных линий.

В гиперболическом пространстве существует много прямых линий, проходящих через данную точку и не пересекающих данной прямой.

Такое пространство существует в каждой размерности, но мы в основном будем использовать двумерное гиперболическое пространство L, называемое также плоскостью Лобачевского. Существуют три наиболее удобных реализации L.

J.. Первая модель Пуанкаре. Пусть –– комплексная плоскость с комплексной координатой z = x + iy. Обозначим через H открытую верхнюю полуплоскость в, заданную условием Im z > 0. Первая модель Пуанкаре отождествляет L как множество с H. Группа конформных преобразований обоего рода (см. схолию F) действует на H и является, по определению, полной группой симметрий L.

Согласно философии Клейна (высказанной в его Эрлангенской программе), геометрические свойства L –– это те, которые инвариантны относительно группы.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.