WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |

Л.. Группа PSL(2, ) действует просто транзитивно на множестве X всех упорядоченных пар близких чисел. Группа PGL(2, ) действует на X транзитивно с нетривиальным стабилизатором точки, изоморфным 2.

Д. Предположим, что (r1, r2) –– пара близких чиpi сел. Пусть для определенности ri =, i = 1, 2. Мы должны провеqi рить, что существует единственный элемент PSL(2, ), который переводит данную пару (r1, r2) в стандартную пару (, 0). Пусть a b g = –– представитель элемента в SL(2, ). Тогда мы имеc d b a ем: (0) =, () =. Из условий () = r1, (0) = r2 следует, что d c (a, c) = k1 · (p1, q1), (b, d) = k2 · (p2, q2). Поэтому 1 = det g = ad - bc = = k1k2 · (p1q2 - p2q1)-1 = k1k2 и k1 = k2 = ±1. Значит, матрица g = p1 p= ± определена с точностью до знака и определяет единq1 qственный элемент PSL(2, ).

Стабилизатор пары (, 0) в PGL(2, ) состоит из классов матриц 1.

0 ±У. Найдите все рациональные числа, которые близки: а) к 0; б) к ; в) к 1.

Мы определим расстояние между точками следующим образом.

Для данных двух чисел r = r назовем расстоянием между ними наи меньшее n +, для которого существует цепочка r = r0, r1,..., rn-1, rn = r такая, что rk близко к rk±1 для всех k. Мы обозначим это расстояние d(r, r). Если r = r, мы полагаем d(r, r) = 0.

У. а) Покажите, что (, d) является дискретным метрическим пространством, на котором группа PGL(2, ) действует, сохраняя расстояние.

б) Найдите стабилизатор точки.

О. б) Группа Aff(1, ) аффинных преобразований r ar + b, a = ±1, b.

У. Вычислите расстояния:

а) d(, n); б) d(0, n); в) d 0,.

О. а) 1; б) 0 для n = 0; 1 для n = ±1; 2 для |n| > 1; в).

Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония У. а) Покажите, что для всех r, r расстояние d(r, r) конечно.

б) Ограничено ли пространство О. а) См. теорему. ниже; в) нет.

Довольно интересные и нетривиальные задачи возникают при изучении геометрии шаров и сфер в. Как обычно, мы определяем шар с центром a и радиусом r как множество Br(a) = {b : d(a, b) r}.

Аналогично, сфера с тем же центром и радиусом –– это множество Sr(a) = {b : d(a, b) = r}.

Т.. Шар Bn() состоит из и всех рациональных чисел, которые могут быть записаны в виде непрерывной дроби длины n, то есть как r = k1 +, (..) k2 + k3 +... + kn где ki –– любые целые числа (положительные или отрицательные).

Д. Прежде всего, покажем, что для каждого числа r вида (..) расстояние d(, r) не превосходит n.

Для n = 1 это следует из упражнения. Предположим теперь, что утверждение доказано для всех непрерывных дробей длины n - 1, и рассмотрим дробь длины n, заданную формулой (..). Обозначим через r число. Ясно, что r записывается непрерывной дробью r - kдлины n - 1, поэтому d(, r) n - 1. Теперь, ввиду инвариантности расстояния относительно сдвигов r r + k, k, и относительно инверсии r r-1, мы заключаем d(, r) = d(, r - k1) = d(0, r) d(0, ) + d(, r) 1 + (n - 1) = n.

Первое неравенство –– это просто неравенство треугольника, а второе следует из упражнения а) и из предположения индукции.

Теперь проверим обратное утверждение: все точки шара Bn() записываются в виде (..). Случай n = 1 опять сводится к упражнению, а общий случай также рассматривается с помощью индукции. Ключевое соображение: для каждой точки r Bn() существует точка r Bn-1(), близкая к r.

Строение сфер –– это более сложный вопрос. «Сложность» сферы возрастает с ростом ее радиуса.

.. Рациональная параметризация окружности Например, S1() =. Это –– однородное пространство относительно группы Aff(1, ), которая играет роль «группы вращений» вокруг бесконечной точки –– см. упражнение а).

Сфера S2() состоит из точек k1 +, где k1, k2 и k2 = 0, ±1.

kПод действием группы Aff(1, ) она распадается на бесконечное число орбит m, нумеруемых числом m = |k2| 2. Стабилизатор точки k + m тривиален при m > 2 и содержит один нетривиальный m элемент r 2k + 1 - r для m = 2.

З. Описать орбиты Aff(1, ) на сфере Sk() для k > 2.

6.3. Р Хорошо известно, что окружность как вещественное алгебраическое многообразие рационально эквивалентна вещественной проективной прямой. Это значит, что можно установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и проективной прямой с помощью рациональных функций.

Например, окружность x2 + y2 = 1 отождествляется с проективной прямой с однородными координатами (t0 : t1) по формуле 2 t1 - t2t0t1 t1 y 1 + x x =, y = ; t = = =. (..) 2 2 2 t1 + t0 t0 + t1 t0 1 - x y В частности, когда проективный параметр t пробегает, соответствующая точка (x, y) пробегает все рациональные точки окружности.

Отсюда можно вывести хорошо известное описание всех примитивных целочисленных решений уравнения x2 + y2 = z2. Именно, в каждом примитивном решении ровно одно из чисел x, y четно; если это y, то x = a2 - b2, y = 2ab, ±z = a2 + b2, (..) где a, b –– взаимно простые числа.

Аналогично, проективизация будущего светового конуса –– это просто двумерная сфера, рационально эквивалентная расширенной плоскости 2. Поэтому все будущие световые векторы с целыми коэффициентами с точностью до пропорциональности даются формулой t = k2 + l2 + m2, x = 2km, y = 2lm, z = ±(k2 + l2 - m2). (..) 1 То есть точки с рациональными координатами (x, y).

Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония Я не знаю, верно ли, что любой целочисленный световой вектор может быть записан в виде (..) для некоторых целых взаимно простых k, l, m.

Теперь мы учтем, что на вещественной проективной прямой есть естественная ориентация. Для наших целей удобно будет рассматривать ориентацию как циклический порядок для каждой тройки различных точек x1, x2, x3. Геометрически, это понятие ориентации связано с обычным (то есть выбором положительного направления обхода) следующим образом: двигаясь от x1 в положительном направлении, мы встречаем x2 раньше, чем x3. Мы также будем использовать выражение «x2 лежит между x1 и x3».



П. Наше понятие «между» отличается от стандартного, которое существует на прямой, но не существует на окружности. Кроме того, наше понятие не симметрично: если x2 лежит между x1 и x3, то x2 не лежит между x3 и x1! Зато наше понятие «между» инвариантно относительно циклических перестановок трех точек.

У. а) Покажите, что в случае, когда все три точки x1, x2, x3 конечны, утверждение «x2 лежит между x1 и x3» эквивалентно неравенству (x1 - x2)(x2 - x3)(x3 - x1) > 0.

б) Какие из следующих утверждений верны:

(i) лежит между и ;

(ii) лежит между и ;

(iii) -1 лежит между и Теперь мы определим новую операцию «вставки» на. Эта операция сопоставляет паре рациональных чисел (r1, r2) третье рациональное число, обозначаемое r1 r2, так, что выполняются условия:

существуют такие целые p1, p2, q1, q2, удовлетворяющие условиям НОД(p1, q1) = НОД(p2, q2) = 1, что p1 p2 p1 + pr1 =, r2 =, r1 r2 = ; (..) q1 q2 q1 + qточка r1 r2 лежит между r1 и r2. (..) 1 Как я узнал от Р. Борчердса, в Англии эту операцию называют «сложением дробей для филологов». Она также служит предметом одного из анекдотов, часто цитировавшихся на семинаре Гельфанда.

.. Рациональная параметризация окружности У. Покажите, что условие (..) определяет две разных точки в зависимости от четырех разных выборов знаков pi и qi. Проверьте, что ровно одна из этих точек удовлетворяет (..).

У. Вычислите следующие выражения:

1 а) 0 ; б) 0; в) -2; г) 1 2; д) 2 1; е) -.

2 О. а) ; б) -1; в) -3; г) ; д) ; е) -2.

Операция имеет особенно интересные свойства, когда r1 и rблизки. В этом случае r1 r2 близко к обоим числам r1 и r2.

У. Покажите, что для близких чисел r1, r2 число r1 r2 –– это единственное рациональное число между (в нашем смысле) r1 и r2, которое близко к обоим числам.

Эти рассмотрения приводят к понятию так называемых рядов Фарея. Стандартный ряд Фарея Fn ранга n по определению состоит из p всех рациональных чисел 0 < < 1 с 1 q n, написанных в возрастаq n ющем порядке. Число членов в Fn равно (k), где (k) –– функция k=Эйлера, дающая количество натуральных чисел, меньших k и взаимно простых с k. Она дается формулой (n) = n · (1 - p-1), p|n где p пробегает все простые делители n. Например, ряд Фарея F5 содержит (2) + (3) + (4) + (5) = 1 + 2 + 2 + 4 = 9 членов и выглядит так:

1 1 1 2 1 3 2 3,,,,,,,,.

5 4 3 5 2 5 3 4 Мы отсылаем читателя к [Nev] по поводу многих известных свойств рядов Фарея и перечислим здесь только те, которые нам нужны.

У. Покажите, что соседние члены ряда Фарея –– близкие числа.

Для наших целей удобно несколько изменить понятие ряда Фарея.

А именно, назовем модифицированным рядом Фарея подмножество F(n), определяемое индуктивно следующим образом.

Ряд F(0) состоит из трех чисел: 0, 1 и с данным циклическим порядком. Ряд F(n+1), n 0, получается из F(n) с помощью вставки между каждой парой последовательных чисел a, b числа a b. Таким образом, общее число членов удваивается и модифицированный ряд Фарея F(n) содержит 3 · 2n циклически упорядоченных членов. Мы обо(n) значим через fk, 1 - 2n k 2n+1, k-й член ряда F(n). Таким образом, (n) (n) (n) для любого n мы имеем равенства f0 = 0, f2 = 1, f2 =.

n n+ Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония Модифицированные ряды Фарея ранга 3 показаны ниже:

k : 0 1 0 1 fk(0) :

1 1 k : -1 0 1 2 3 1 0 1 1 2 fk(1) : 1 1 2 1 1 k : -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 1 1 0 1 1 2 1 3 2 3 fk(2) : - - 1 1 2 1 3 2 3 1 2 1 1 k : -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2 3 1 2 1 1 0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 5 2 5 3 4 fk(3) : - - - - - - 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 5 2 5 3 4 1 3 2 3 1 2 1 1 (n) Найти явную формулу для чисел fk –– нетривиальная задача. Мы обсудим ее ниже.

(n) (n+1) (n) У. Покажите, что fk = f2k, так что fk фактически зависит не от k и n в отдельности, а только от двоично-рациоk (n) нального числа r =. Поэтому мы часто будем писать fr вместо fk.

2n Чтобы упростить изложение, мы временно рассмотрим только часть F(n), лежащую между и, то есть члены fr с 0 r 1.

Заметим, что если бы мы изменили процедуру построения F(n) и вставляли между двумя числами a, b не a b, а их среднее арифметиa + b ческое, мы получили бы на n-м шагу арифметическую прогрессию с 2n + 1 членами, которая начинается с 0 и кончается 1. Вместо k (n) fk мы получили бы a(n) =, или, в обозначениях, введенных выше, k 2n ar = r.

Теперь мы вполне готовы к определению замечательной функции, впервые введенной Германом Минковским, который назвал ее функцией (функцией «вопросительный знак») –– см. схолию E в первой части.

Т (Минковского). Существует единственная непрерывная и монотонно возрастающая функция : [0, 1] [0, 1] такая, что (a) + (b) (a b) = для всех близких чисел a, b [0, 1]. (..) С. Формула (..) показывает, что если (n) искомая функция существует, она должна иметь свойство ( fk ) = = a(n). Другими словами, ( fr) = r для всех r [0, 1].

k.. Рациональная параметризация окружности 1 1 1 3 1 5 3 7 16 8 4 8 2 8 4 8 (x) 1 1 1 2 1 3 2 3 x 0 5 4 3 5 2 5 3 4 Рис... График функции С другой стороны, мы можем определить функцию на [0, 1] по формуле ( fr) = r. Поскольку каждое из множеств { fk(n)} и {a(n)} плотно в [0, 1], наша функция продолжается единственным обk разом на [0, 1] с сохранением монотонности. А именно, мы полагаем (x) = lim (xn), (..) n где {xn} –– любая монотонная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x.





Функция p, обратная к, решает поставленную выше задачу о вы(n) числении fk. А именно, fr = p(r).

На множестве [0, 1] двоично-рациональных чисел функция p(x) может быть вычислена шаг за шагом, используя свойство 2k + 1 k k + p = p p, (..) 2n 2n 2n+которое следует из (..). Этот способ вычисления по существу повторяет конструкцию модифицированного ряда Фарея.

Т.. Функция p := -1 следующие свойства:

имеет p(x) x 1 + x. а) p(1 - x) = 1 - p(x); б) p = ; в) p =.

2 1 + p(x) 2 2 - p(x). (p) k = для любых n и k, 0 k 2n.

2n Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония. Для любого рационального, но не двоично-рационального числа r [0, 1] значение p(r) является квадратичной иррациональностью, то есть имеет вид r1 + r2 для некоторых рациональных r1, r2.

. Имеет место замечательная формула:

p 0,0...0 1...1... 0...0 1...1... =, (..) k1 + k1 l1 kn ln l1 +.

.

.

kn + ln +.

.

.

где в левой части используются бесконечные двоичные дроби, а в правой части –– бесконечные непрерывные дроби. Формула (..) остается верной и для конечных двоичных дробей (угадайте правильную форму правой части в этом случае).

С. Соотношения а)–в) могут быть выведены с помощью следующего полезного факта.

a b Л.. Пусть g = GL(2, ). Тогда преобразование c d множества по формуле ar + b r g · r := cr + d перестановочно с операцией вставки, то есть (g · r1) (g · r2) = g · (r1 r2). (..) Мы оставляем проверку этого факта читателю и сделаем только два полезных замечания, каждое из которых можно положить в основу доказательства.

. Преобразования, о которых идет речь, переводят близкие числа в близкие.

. Группа GL(2, ) порождается двумя элементами:

1 1 0 g1 =, g2 =.

0 1 1 Теперь мы докажем а). Рассмотрим следующую диаграмму x 1-x [0, 1] - [0, 1] -- p (..) p x 1-x [0, 1] - [0, 1].

--.. Рациональная параметризация окружности Соотношение a) равносильно коммутативности этой диаграммы.

Чтобы это проверить, выберем в качестве x [0, 1] двоично-рациоk нальное число r = = ar.

2n Левая вертикальная стрелка переводит это число в p(ar) = fr, а нижняя горизонтальная стрелка посылает fr в 1 - fr.

С другой стороны, верхняя горизонтальная стрелка переводит r в 1 - r = a1-r, а правая вертикальная стрелка посылает a1-r в f1-r.

Таким образом, соотношение а) верно для любого двоично-рационального числа. По непрерывности оно верно всюду.

Рассмотрим теперь соотношение б). Оно эквивалентно коммутативности диаграммы x x/[0, 1] ---- 0, p p (..) x x 1+x [0, 1] - 0,.

--Начнем с точки r = ar [0, 1]. Верхняя горизонтальная стрелка переводит эту точку в ar/2, а затем правая вертикальная стрелка посылает ее в fr/2.

С другой стороны, левая вертикальная стрелка переводит ar в fr, fr а затем нижняя горизонтальная стрелка посылает результат в.

1 + fr fr Таким образом, мы должны проверить равенство = fr/2. Для 1 + fr x этого мы заметим, что преобразование x переводит отрезок 1 + x [0, 1] в отрезок 0,. Поскольку это преобразование принадлежит группе PGL(2, ), оно переводит ряд Фарея в себя, причем f0 и fпереходят в f0 и f1/2 соответственно. Индукцией по n мы выводим, n n+что fk/2 переходит в fk/2.

Соотношение в) доказывается так же, используя диаграмму 1+x x 2 [0, 1] -, -- p p (..) x 2-x [0, 1] -, 1.

--Общая часть всех этих доказательств состоит в использовании двух фактов: аффинные преобразования сохраняют полусуммы, а Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония преобразования из PGL(2, ) сохраняют вставки. Я рекомендую читателю сформулировать и доказать другие свойства функций и p с помощью подходящих диаграмм.

Полезно также расширить область определения и p на все множество, используя тождества:

1 p = ; p(-x) = -p(x). (..) x p(x) Свойство достаточно проверить в точке x = 0. Общий случай, коk гда x =, рассматривается аналогично, а также формально сводится 2n к случаю x = 0 с помощью а)–в).

1 Итак, пусть x = 0. Мы имеем p(0) = 0, p =. Таким обра2n n + 1 1 1 1 2n-1 p 2n зом, если x, то p. Поэтому 2n n + 1 n n + 1 x n 2n-1 для x и p(0) = +.

2n 2n-Утверждение следует из формулы (..). Что касается самой этой формулы, она проверяется по индукции для конечных дробей, используя свойства рядов Фарея. Общий случай следует по непрерывности (или монотонности). Отметим еще, что в конце части I мы использовали формулу (..) для определения функции.

З. Рассмотрим теперь функцию p := -1 как функцию распределения вероятностной меры µ на [0, 1]: мера отрезка [a, b] равна p(b) - p(a). Эта мера является слабым пределом последовательности дискретных мер µn, n 1, сосредоточенных на (n) подмножестве F(n) [0, 1] так, что точка fk имеет массу для 2n 1 k 2n. Ясно, что носителем меры µ является весь отрезок [0, 1] (то есть мера любого интервала (a, b) [0, 1] положительна). В то время как для обычного ряда Фарея мера, определенная аналогичным образом, равномерна, в нашем случае это не так. Подробное изучение этой меры и соответствующей случайной величины было бы очень интересно (см., например, [dR]).

У. Найдите значения (x) и (x) в точке x =.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.