WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 15 |

Т. (обобщенная теорема Декарта). Матрицы Mi, отвечающие четырем попарно касающимся кругам, удовлетворяют соотношению Mi - 2 Mi2 = -8 · 14. (..) i i Д. Введем скалярное произведение в пространстве эрмитовых матриц формата 2 2, соответствующее квадратичной форме Q(M) := det M. Явный вид этого произведения такой:

det(M1 + M2) - det M1 - det M(M1, M2) =. (..) det(M + 1) - det M - 1 В частности, мы имеем: (M, 1) = = tr M.

2 Напомним также тождество Кэли, справедливое для любых матриц и в случае матриц порядка имеющее вид M2 - M · tr M + det M · 1 = 0. (..).. Обобщенная теорема Декарта Пусть теперь M1, M2, M3, M4 –– четыре эрмитовых матрицы, соответствующие четырем попарно касающимся кругам и нормализованные условием det Mi = -1. Тогда (..) принимает вид Mi2 = Mi · tr Mi + 1. (..) Введем обозначения:

4 1 := Mi, 2 := Mi2.

i=1 i=Мы видели выше, что (Mi, Mj) = (pi, pj) = 1 - 2i j. В частности, отсюда следует, что (1, Mi) = 2 и (1, 1) = 8. Далее, взяв скалярное произведение обеих частей равенства (..) с Mj и суммируя по i, мы получаем (2, Mj) = tr 1. (..) С другой стороны, мы имеем 2 = 1 · tr 1 - 8 · 1. Взяв опять скалярное произведение с Mj, мы получим (2, Mj) = 2 tr 1 - 4 tr Mj. (..) Вычитая из (..) удвоенное (..), окончательно получаем (2 - 22, Mj) = -8(1, Mj), или (2 - 22 + 8 · 1, Mj) = 0.

1 Поскольку матрицы Mi образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц второго порядка, мы получаем искомое равенство (..).

Соотношение (..) можно рассматривать как матричную форму теоремы Декарта. Оно дает нам информацию не только о радиусах касающихся кругов, но и об их взаимном расположении. Отметим одно следствие, полезное в вычислениях.

Т.. Пусть D+ и D- –– два касающихся круга на плоскости. Предположим, что некоторая последовательность кругов {Dk}, k, обладает следующим свойством: каждый круг Dk касается данных кругов D±, а также соседних кругов Dk±1.

Тогда последовательность соответствующих эрмитовых матриц {Mk}, k, зависит квадратично от параметра k:

Mk = A · k2 + B · k + C, (..) M1 - M -где A = M+ + M-, B =, C = M0.

Глава. Строгое определение ковра Аполлония Иллюстрации к этой теореме вы можете видеть на рис.. и..

1 9 16 25 Рис... Квадратичные последовательности кривизн Глава А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Е С В О Й С Т В А К О В Р О В А П О Л Л О Н И Я Мы рассмотрим здесь некоторые теоретико-числовые вопросы, возникающие при изучении кривизн граничных окружностей для кругов, составляющих данный ковер Аполлония.

6.1. Ц Д Сначала рассмотрим арифметические свойства множества решений уравнения Декарта (..). Сделаем замену переменных:

c0 + c1 + c2 + c3 c0 + c1 - c2 - ct =, x =, 2 (..) c0 - c1 + c2 - c3 c0 - c1 - c2 + cy =, z =.

2 Тогда мы получим:

(c0 + c1 + c2 + c3)t2 - x2 - y2 - z2 = - (c2 + c2 + c2 + c2), 0 1 2 и уравнение (..) примет вид t2 - x2 - y2 - z2 = 0. (..) Другими словами, решения уравнения Декарта в новых координатах являются световыми векторами в пространстве Минковского.

Л.. Целочисленные решения уравнения Декарта соответствуют целочисленным световым векторам в 1,3, то есть световым векторам с целыми координатами.

Д. Из (..) ясно, что суммы c0 ± c1 ± c2 ± c3 принимают всегда четные значения. Поэтому каждому целочисленному решению (..) соответствует световой вектор с целыми координатами. Обратно, из (..) следует, что суммы t ± x ± y ± z всегда четны.

Поэтому из равенств t + x + y + z t + x - y - z c0 =, c1 =, 2 t - x + y - z t - x - y + z c2 =, c3 = 2 Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония мы выводим, что каждый целочисленный световой вектор соответствует целочисленному решению (..).

Таким образом, мы приходим к задаче:

З. Описать множество целых точек на световом конусе в 1,3.

Решение аналогичной задачи для рациональных точек хорошо известно и довольно просто. Каждой рациональной точке (t, x, z) све y, y x z тового конуса соответствует рациональная точка,, единичt t t ной сферы S2. Стереографическая проекция на переводит эту точку x + iy в P1( [i]).

t - z Обратно, любая рациональная точка (r + is) P1( [i]) происходит из рациональной точки 2r 2s r2 + s2 -,, S2.

r2 + s2 + 1 r2 + s2 + 1 r2 + s2 + k m Полагая r =, s =, мы видим, что каждый целочисленный световой n n вектор пропорционален (но не обязательно равен!) вектору вида t = k2 + m2 + n2, x = 2kn, y = 2mn, z = k2 + m2 - n2 (..) с целыми k, m, n.

Заметим, что для каждого целочисленного светового вектора p все его кратные np, n, –– также целочисленные световые векторы.

Поэтому мы можем ограничиться изучением примитивных векторов, для которых наибольший общий делитель его координат равен.

Л.. Каждый примитивный целочисленный световой вектор имеет нечетную координату t и ровно одну нечетную координату среди x, y, z.

Д. Если t четно, то x2 + y2 + z2 делится на. Поскольку каждый квадрат имеет вычет 0 или 1 mod 4, мы видим, что все координаты x, y, z должны быть четны. Но тогда p не примитивен.

Если t нечетно, то x2 + y2 + z2 1 mod 4. Отсюда следует, что в точности одно из чисел x, y, z нечетно.

З. Найти удобную параметризацию всех примитивных целочисленных световых векторов.

Например, допустим, что t, z нечетны, а x, y –– четны. Верно ли, что в этом случае имеет место равенство (..) Теперь рассмотрим подгруппу группы Лоренца, которая сохраняет множество целочисленных световых векторов.

Схолия H. Структура групп, порожденных отражениями У. Покажите, что подгруппа совпадает с подгруппой SO+(1, 3; ), состоящей из целочисленных матриц в SO+(1, 3; ).

П. Пусть g. Покажите, что сумма и разность любых двух столбцов g является целочисленным вектором. Покажите, что целочисленный световой вектор имеет хотя бы одну четную координату.



Таким образом, группа действует на множестве целочисленных световых векторов и сохраняет множество P примитивных векторов.

У. а) Найдите индекс подгруппы PSL(2, [i]) в PGL(2, [i]).

б)* Каковы образы этих подгрупп в O+(1, 3; ) У. Покажите, что введенный выше гомоморфизм : PGL(2, ) SO+(1, 3; ) может быть продолжен до гомоморфизма : O+(1, 3; ).

П. Покажите, что диагональная матрица diag(1,1,-1,1) может быть выбрана в качестве образа комплексного сопряжения s при гомоморфизме.

З. Описать -орбиты в P.

С H. С, Теория групп, порожденных отражениями, –– большая и очень интересная область современной математики. Мы приведем здесь только несколько фактов из этой теории, которые нужны нам в связи с ковром Аполлония.

Сначала мы опишем структуру так называемой свободной группы Fn с n образующими x1, x2,..., xn. Эта группа однозначно определяется следующим свойством универсальности.

Для любой группы G с n образующими y1, y2,..., yn существует и единствен гомоморфизм : Fn G, для которого (xi) = yi, 1 i n.

Это определение имеет много достоинств (как мы увидим ниже), но не является эффективным. Единственность такой группы легко выводится из определения. В самом деле, предположим, что имеются две такие группы: Fn с образующими x1, x2,..., xn и F с образующими n x1, x2,..., xn. Тогда из свойства универсальности мы выводим, что су ществуют гомоморфизмы : Fn F и : F Fn такие, что (xi) = xi n n и (xi) = xi. Рассмотрим композицию. Это –– гомоморфизм Fn на себя, сохраняющий образующие. Согласно свойству универсальности, такой гомоморфизм должен быть тождественным. То же самое верно для композиции. Следовательно, Fn и F изоморфны.

n Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония Покажем теперь, что группа с искомым свойством действительно существует. Для этого мы рассмотрим совокупность Wn всех слов в -алфавите x1, x1,..., xn, x-1, удовлетворяющих условию n -() буквы xi и xi не могут стоять рядом.

Обозначим через l( ) длину слова, то есть число букв в этом слове.

Пусть W(k) означает множество слов длины k в Wn. Ясно, что W(0) n n содержит только пустое слово, а W(1) состоит из 2n однобуквенных n слов –– образующих и обратных к ним.

У. Покажите, что #(W(k)) = 2n(2n - 1)k-1 для n k 1.

Мы хотим определить на Wn структуру группы. Для этого мы определим произведение двух слов 1, 2 индуктивно по длине первого сомножителя. А именно, если l( 1) = 0, мы полагаем 1 2 := 2.

Теперь предположим, что произведение уже определено для всех пар 1, 2 с l( 1) < k, и рассмотрим случай l( 1) = k 1. Пусть последней буквой слова 1 является xi, 1 i n, 1 = ±1, а первой буквой слова 2 является x, 1 j n, 2 = ±1.

j Если i = j или i = j, 1 + 2 = 0, мы определяем произведение 1 просто приписывая слово 2 справа к слову 1. Это новое слово имеет длину l( 1) + l( 2) и удовлетворяет условию ().

Если же i = j и 1 + 2 = 0, мы обозначим через 1 (соответственно через 2) слово, получаемое из 1 отбрасыванием последней буквы (соответственно слово, получаемое из 2 отбрасыванием первой буквы). После этого мы полагаем 1 2 := 1 2.

-Например, если 1 = x1, 2 = x1 x2, то 1 =, 2 = x2 и 1 2 = x2.

Из этого определения легко выводится, что всегда l( 1 2) l( 1)+ + l( 2) и l( 1 2) l( 1) + l( 2) mod 2.

Теперь мы должны проверить, что Wn действительно является группой относительно введенной операции умножения. Это значит, что нужно проверить ассоциативность умножения, наличие единичного и обратного элемента. Первое делается опять индукцией по длине среднего сомножителя; роль единичного элемента играет пустое слово, а обратный элемент получается, если написать данное слово в обратном порядке и заменить все показатели на противоположные.

Традиционно этот труд поручается читателю.

Проверим теперь, что построенная таким образом группа обладает свойством универсальности. Пусть G –– любая группа, порожденная x1, x2,..., xn. Тогда существует единственный гомоморфизм Схолия H. Структура групп, порожденных отражениями : Wn G, для которого ({xi}) = xi. (Здесь {xi} означает однобук1 2 k венное слово.) А именно, слово = xi xi... xi обязано переходить 1 2 k 1 2 k в ( ) = xi · xi ·... · xi, где знак · означает умножение в группе G.

1 2 k С другой стороны, легко проверить, что определенное таким образом отображение является гомоморфизмом Wn на G.

Мы доказали существование свободной группы Fn и заодно доказали П H.. Любой элемент Fn единственным образом записывается в виде произведения 1 2 k g = xi xi... xi, (..) 1 2 k удовлетворяющего условию ().

Нам понадобится еще другое семейство групп n, n 1, которые свободно порождены n инволюциями s1,..., sn. По определению, группа n имеет следующее свойство универсальности:

Для любой группы G, порожденной n инволюциями t1,..., tn, существует единственный гомоморфизм группы n на G, для которого (si) = ti, 1 i n.

Существование и единственность (с точностью до изоморфизма) группы n доказывается аналогично тому, как мы это сделали для Fn. Единственное отличие состоит в том, что теперь множество Wn состоит из всех слов в алфавите s1,..., sn без повторения букв подряд.

П H.. Любой элемент n однозначно записывается в виде произведения g = si si... si, k 0, где ia = ia+1 для 1 a k - 1. (..) 1 2 k У. а) Покажите, что в этом случае 1 при k = 0, #(W(k)) = (..) n n(n - 1)k-1 при k 1.

б) Покажите, что n изоморфна Fn/J, где Fn –– свободная группа с образующими s1,..., sn, а J –– наименьшая нормальная подгруппа, содержащая s2,..., s2.





1 n Т H.. Всякая нетривиальная (то есть отличная от e) инволюция в n сопряжена в точности одной образующей s1,..., sn.

Д. Пусть g n –– инволюция. Согласно предложению H., она может быть записана в виде g = si si...si. Тогда 1 2 n g-1 = si si...si. Но g-1 = g, поэтому si = si для k = 0, 1,..., n - 1.

n n-1 1 n-k k+ Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония Если n = 2k четно, отсюда следует, что k = 0 и g = e.

Если n = 2k - 1 нечетно, мы получаем g = si -1, где = si...si.

k 1 k-Следовательно, g сопряжена с si.

k Наконец, покажем, что образующая si не сопряжена с sj при i = j.

Предположим противное. Тогда существует слово такое, что si = = sj. Пусть 0 –– наиболее короткое из таких слов. Из равенства 0si = sj 0 мы заключаем, что первой буквой 0 является sj, а последней –– si, так что 0 = sj si для некоторого слова. Но тогда sj = = si, что противоречит выбору 0, поскольку l( ) = l( 0) - 2 < < l( 0).

Для малых значений n группа n допускает более простое описание. Например, 1 совпадает с группой 2 = /2 порядка.

Группа 2 изоморфна группе Aff(1, ) аффинных преобразований целочисленной решетки. Она имеет матричную реализацию вида a b, где a = ±1, b. Мы оставляем читателю проверку того, 0 -1 0 -1 что матрицы и могут быть выбраны в качестве 0 1 0 образующих инволюций s1, s2.

Для n = 3 группа 3 может быть реализована как дискретная группа преобразований, действующая на плоскости Лобачевского (или гиперболической плоскости) L2. Рассмотрим, например, модель Пуанкаре, изображающую L2 в виде верхней полуплоскости y > 0 (см. схолию J ниже).

Три образующие инволюции для 3 –– это отражения в трех попарно касающихся зеркалах. Например, мы можем выбрать в качестве этих зеркал единичную (полу)окружность M0 и две вертикальные прямые (два луча) M±1: x = ±1, касающиеся M0. Эти три зеркала ограничивают на плоскости Лобачевского треугольник T конечной площади с тремя бесконечно удаленными вершинами. Для любого слова, составленного из s1, s2, s3 без повторений букв, обозначим через T образ T под действием элемента 3, соответствующего слову.

Можно доказать, используя индукцию по l( ), что все треугольники T различны, не имеют общих внутренних точек и покрывают всю плоскость Лобачевского. (См. рис...) Случай n = 4 –– более сложный. Однако именно этот случай встречается в нашем исследовании. Более того, группа 4 возникает при описании двух различных множеств: кругов, составляющих ковер Аполлония, и четверок попарно касающихся кругов из. Мы уже рассматривали эту ситуацию в разделе..

.. Структура множества Ts s1 Ts Ts Ts sTe 2 2 1 Ts s3 Ts Ts s2 3 Рис... Действие 3 на L6.2. С Здесь мы рассмотрим в деталях строение рациональной проективной прямой P1( ) =. Как множество, эта проективная прямая получается добавлением к множеству рациональных чисел бесконечно удаленной точки. Иногда эту проективную прямую называют рациональной окружностью.

Сначала подумаем, как удобнее всего параметризовать. Каждое p число r можно записать в виде r =, где p, q не обращаются q в нуль одновременно. Но такая запись неоднозначна. Мы можем наложить дополнительное условие: НОД(p, q) = 1, то есть потребовать, p чтобы p и q были взаимно просты, или, что то же, чтобы дробь q была несократима.

p Отображение : (p, q) является двукратным накрытием. А q p именно, прообраз точки r = состоит из двух пар взаимно простых q чисел: (p, q) и (-p, -q). К сожалению, нет никакого естественного способа выбрать единственного представителя из каждого прообраза. Хотя для всех конечных точек можно условиться считать q > 0, но ±для = этот способ не годится.

З. Для аналитически думающего читателя мы можем сказать, что ситуация здесь похожа на риманову поверхность двузнач ной функции f ( ) =. Отображение z = z2 имеет два прообраза для каждого, но эта двузначная функция не имеет аналитической (или хотя бы непрерывной) однозначной ветви.

Глава. Арифметические свойства ковров Аполлония З. Замечательный способ занумеровать все положительные рациональные числа обнаружили недавно Нил Калкин и Херберт Вилф.

Пусть b(n) –– число разбиений n 0 в сумму степеней двойки, в которых никакая степень не используется больше двух раз. Тогда отноb(n) шение rn = принимает каждое положительное рациональное b(n + 1) значение в точности один раз! Начальный кусок этой нумерации выглядит так:

n b(n) 1 1 3 2 1 4 3 5 2 rn 2 3 2 3 4 3 5 2 5 n b(n) 1 5 7 3 8 5 7 2 7 5 rn 4 5 4 4 7 3 8 5 7 2 7 n b(n) 5 rn 3 7 4 5 1 8 3 7 4 5 6 Интересно сравнить эту нумерацию с той, которая получается из рассмотрения рядов Фарея (см. ниже).

Наш следующий шаг в изучении –– введение естественного расстояния между точками. Далее мы всегда предполагаем, что рациональные числа (включая ) записаны в виде несократимой дроби.

pi Назовем два числа ri =, i = 1, 2, из близкими, если выполнены qi следующие эквивалентные условия:

а) |p1q2 - p2q1| = 1, б) |r1 - r2| =. (..) |q1q2| Стоит отметить, что отношение близости не является отношением эквивалентности: каждое целое число близко к бесконечности, но только соседние целые числа близки друг к другу.

1 N. Kalkin, H. Wilf. Recounting the rationals // The American Mathematical Monthly..

Vol.. P. –.

2 Как и в обычной жизни.

.. Структура множества Теперь мы отметим, что группа PGL(2, ) действует на дробно-линейными преобразованиями и это действие сохраняет отношение близости. Впоследствии мы будем часто использовать этот факт.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.