WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 15 |
Летняя школа «Современная математика» А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах Издание второе, исправленное Москва Издательство МЦНМО УДК. Проведение летних школ «Современная математика» и издание ее материалов поддержано Московской городской ББК.

Думой и Департаментом образования г. Москвы, а также К фондом «Династия», фирмой «НИКС» и корпорацией Boeing.

Кириллов А. А.

К Повесть о двух фракталах. –– -е изд., исправленное. –– М.: МЦНМО,. –– с.

ISBN ---Эта брошюра, написанная по материалам лекций, прочитанных автором для школьников и студентов на летней школе «Современная математика», представляет собой введение в теорию фракталов –– новый, актуальный раздел математики. Начинаясь с основных определений, книга доходит до свежих результатов и нерешенных проблем.

Для студентов младших курсов и школьников старших классов.

ББК.

© А. А. Кириллов,, (исправления).

ISBN ---- © МЦНМО,.

Посвящается Бену (Коле) и Лизе В В Е Д Е Н И Е Эта книга посвящена обсуждению фрактальных множеств, или просто фракталов. Такие множества известны уже больше ста лет и появлялись в разных областях науки. Но только недавно (около лет тому назад) они стали предметом математического исследования.

Пионером теории фракталов был Б. Мандельброт. Его книга [Man] впервые появилась в году, а второе, расширенное издание вышло в году. После этого серьезные работы, обзоры, популярные статьи и книги о фракталах стали появляться десятками, если не сотнями. С года в издательстве World Scientific выходит специальный периодический журнал «Фракталы». Так зачем писать еще одну книгу о фракталах Во-первых, несмотря на обширную литературу, многие люди, включая студентов, аспирантов и значительную часть работающих математиков, имеют довольно смутное представление о фракталах.

Во-вторых, во многих популярных книгах читатель увидит массу цветных картинок и любопытных примеров, но не найдет ни точных определений, ни строго доказанных результатов. С другой стороны, работы профессиональных математиков, как правило, слишком трудны для начинающих. Они обычно посвящены довольно специальным вопросам и часто предполагают заранее известными все связи и мотивировки.

Последняя и, может быть, самая важная причина состоит в том, что самостоятельное изучение геометрии, анализа и арифметики фракталов, на мой взгляд, является одним из лучших способов для молодого математика активно и прочно овладеть основными математическими знаниями.

Мне кажется также, что это –– прекрасная возможность проверить свою способность к творческой работе в математике. Я имею в виду не только решение точно сформулированных задач, но и распознание скрытых закономерностей и постановку новых плодотворных вопросов.

Мой личный интерес к фракталам возник, когда я читал специальный курс о фракталах в году по просьбе нескольких студентов разных специальностей. Я повторял этот курс в, и г.

1 По определению Ю. И. Манина, творить в математике –– это вычислять, волнуясь.

Введение В и в году я имел возможность изложить часть этого материала в лекциях для участников летней математической школы в Дубне под Москвой, организованной для старшеклассников и младшекурсников. Я был приятно удивлен активностью аудитории и тем, как быстро слушатели воспринимали новую для них информацию.

В этой книге я намеренно ограничиваюсь только двумя примерами фрактальных множеств: коврами Серпинского и Аполлония. Мы рассматриваем и точно формулируем серию задач, возникающих при изучении этих фракталов. Большинство из них можно ставить и решать независимо от остальных, но только вся их совокупность дает реальное представление о мире фракталов.

Некоторые из этих задач являются просто упражнениями на понимание терминов и логики изложения, другие представляют сравнительно недавние результаты, а несколько наиболее интересных являются нерешенными проблемами неизвестной степени трудности.

Решение (и даже понимание формулировки) этих задач требует некоторых предварительных знаний. В частности, мы предполагаем известными:

• элементы анализа: функции одной вещественной переменной, дифференциальное и интегральное исчисление, числовые ряды и ряды функций;

• элементы линейной алгебры: вещественные и комплексные линейные пространства, размерность, линейные операторы, квадратичные формы, собственные значения и собственные векторы, координаты и скалярное произведение;

• элементы геометрии: прямые линии, плоскости, окружности, круги и сферы в 3, основные тригонометрические формулы, начала сферической и гиперболической геометрии;

• элементы арифметики: простые числа, взаимно простые числа, НОД (наибольший общий делитель), рациональные числа, понятие об алгебраических числах;

• элементы теории групп: подгруппы, нормальные подгруппы, однородные пространства, классы смежности, матричные группы.

Все это обычно входит в программу первых двух или трех лет университета. Разнообразие этих сведений и их взаимосвязь я рассматриваю как большое преимущество теории фракталов и как характерную черту современной математики.

Несколько слов о стиле изложения. Я старался избежать двух главных опасностей: сделать книгу скучной, объясняя слишком подробно Введение простые детали, и сделать ее непонятной, используя наиболее эффективную современную технику, которая порой слишком абстрактна.

Читателю судить, насколько это мне удалось.

Я также старался довести до читателей неформальное понимание математических методов, которое отличает (почти любого) профессионала от начинающего любителя. Иногда одна фраза объясняет больше, чем длинная статья или толстая книга. В моей практике это случалось, когда я пытался понять, что такое индуцирование в теории представлений, спектральная последовательность в алгебраической топологии, язык схем в алгебраической геометрии. Поэтому я иногда использую «высоконаучные» термины и понятия, объясняя всякий раз, что они значат, если «отбросить незабудки».



Дополнительная информация включена в текст в виде кратких вставок, именуемых «схолиями». Конец каждой схолии отмечен знаком.

Иногда я также привожу дополнительную информацию в замечаниях. Конец замечания отмечается знаком.

Конец доказательства или его отсутствие отмечено знаком.

Автор благодарен Институту Эрвина Шрёдингера (ESI) в Вене, где эта работа была начата, Институту Макса Планка (MPI) в Бонне и Институту высших научных исследований (IHES) во Франции, где она была завершена.

Я также благодарен моим студентам и аспирантам, настоящим и бывшим, за многочисленные замечания и TEXническую помощь.

Department of Mathematics, The University of Pennsylvania, Philadelphia, PA –, USA Институт проблем передачи информации РАН, Б. Каретный, д., Москва, ГСП–, Россия.

E-mail address: kirillov@math.upenn.edu 1 См. Козьма Прутков «Незабудки и запятки» (басня), а также «Избранные анекдоты и притчи семинара И. М. Гельфанда» (планируемая статья).

2 Что такое схолия, читатель может узнать, прочитав книгу С. Боброва «Волшебный двурог» (см. ссылку на с. ) или спросив у своих знакомых.

Часть I • К О В Е Р С Е Р П И Н С К О Г О Глава О П Р Е Д Е Л Е Н И Е И О С Н О В Н Ы Е С В О Й С Т В А 1.1. В Я не буду описывать первоначальные появления фракталов в естественных науках (такие как исследования длины береговой линии или границ немецких княжеств ХVII века, строения цветной капусты или формы снежинок и т. д.); по этому поводу есть достаточно примеров в популярных изложениях теории фракталов (см., например, [Man] или очень забавную недавнюю книжку [LGRE]).

Для математиков простейшим и наиболее известным примером фрактала является знаменитое канторово множество. Из него трудно сделать красивую картинку, но зато знакомство с канторовым множеством –– очень хороший тест, чтобы отличить тех, кто действительно понимает анализ, от тех, кто формально сдал экзамен. Мы не будем вдаваться в детали здесь, но в разделе. мы вернемся к этому примеру и покажем, что он является частью общей теории самоподобных фракталов.

Гораздо более интересные примеры фракталов существуют на плоскости 2. Мы начнем с подробного рассмотрения одного примера.

Многие слышали о так называемом треугольнике Паскаля, состо n ящем из биномиальных коэффициентов. Он выглядит так:

k 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7.............................................................

Очень легко продолжить этот треугольник, заметив, что каждое число в нем является суммой двух, стоящих над ним.

Глава. Определение и основные свойства Теперь давайте заменим эти числа их вычетами по модулю 2. Другими словами, поставим вместо каждого четного числа 0, а вместо нечетного числа 1. Мы получим следующую таблицу:

1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1.............................................................

Как можно описать эту картину Заметим, что весь наш треугольник со стороной содержит три одинаковых треугольника со стороной (левый, правый и верхний); каждый из них содержит три одинаковых треугольника со стороной, состоящих из трех единиц. Все остальные места заняты нулями.

Попробуем вообразить, что получится, если мы продолжим наш треугольник до 2N -го ряда, где N –– большое число. Если мы сожмем наш треугольник до размера книжной страницы и заменим единицы черными точками, а нули –– белыми, то мы получим такую картину:

Рис... Треугольник Паскаля mod Здесь целый треугольник состоит из трех треугольников половинного размера, которые выглядят подобно целой картине. Пространство, ограниченное этими треугольниками, заполнено белыми точками.

.. Возникновение и наивное определение Рис... Треугольная матрица Паскаля Довольно ясно, что когда N стремится к бесконечности, наша картина стремится к некоторому пределу. Этот предел –– так называемый ковер Серпинского, открытый в году польским математиком Вацлавом Серпинским.

Другой пример появления того же множества связан со следующей задачей линейной алгебры. Пусть EN –– матрица размером N N с элементами из простейшего конечного поля 2 = /2, заданная условиями:

1, если i < j, (EN)i j = 0 в противном случае.

Согласно общей теории, эта матрица приводится к жордановой нормальной форме, представляющей собой один блок JN, где 1, если j = i + 1, (JN )i j = 0 в противном случае.

Попробуем найти матрицу AN, которая устанавливает эквивалентность EN = AN JN A-1. Оказывается, что такая матрица может быть выN брана в виде, показанном на рис...

1 См. ниже схолию A по поводу строгого определения предела в этой ситуации.

Глава. Определение и основные свойства Мы оставляем читателю объяснить этот факт и найти связь между треугольником Паскаля и матрицей AN.

Прежде чем идти дальше, мы должны обобщить понятие предела –– основное понятие анализа –– так, чтобы оно было применимо не только к числовым последовательностям, но к последовательностям объектов другой природы. В частности, мы хотим придать точный смысл выражению «последовательность множеств {Xn} стремится к предельному множеству X».





Соответствующий раздел математики называется теорией метрических пространств. Используя эту теорию, мы можем определить фракталы (которые являются довольно сложными множествами) как пределы последовательностей более простых множеств.

С A. М Мы начнем с довольно общих и абстрактных определений, которые позже будут проиллюстрированы и объяснены на многих конкретных примерах. Возможно, некоторым читателям наше изложение покажется слишком абстрактным и трудным для понимания и запоминания. Но вы вскоре убедитесь, что новые понятия очень полезны во многих случаях. Они позволяют рассматривать с единой точки зрения много задач, которые выглядят совершенно различно.

A.. Определение метрического пространства О A.. Метрическое пространство –– это пара (M, d), где M –– множество, а d : M M –– функция, которая каждой паре точек x и y из M ставит в соответствие число d(x, y) –– расстояние между x и y. При этом требуется, чтобы следующие аксиомы были выполнены:

• положительность: для всех x, y M величина d(x, y) –– неотрицательное вещественное число, которое равно нулю тогда и только тогда, когда x = y;

• симметричность: d(x, y) = d( y, x) для всех x, y M;

• неравенство треугольника: d(x, y) d(x, z) + d(z, y) для всех x, y, z M.

Модельными примерами метрических пространств являются:

. Вещественная прямая (, d), где расстояние определено обычной формулой d(x, y) = |x - y|. (..) Схолия A. Метрические пространства. Плоскость ( 2, d) с обычным расстоянием между x = (x1, x2) и y = ( y1, y2):

d(x, y) = (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2. (..). Трехмерное пространство с обычным расстоянием d(x, y) = (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2 + (x3 - y3)2. (..) О A.. Мы говорим, что последовательность {xn} точек M сходится к точке a M, или имеет предел a, если d(xn, a) 0, когда n.

О A.. Последовательность {xn} называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если она обладает свойством:

lim d(xm, xn) = 0. (..) m,n Легко показать (попробуйте сами), что любая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Обратное не всегда верно.

Например, если наше метрическое пространство –– это луч >0, состоящий из всех положительных чисел, с обычным расстоянием (A.), то последовательность xn = фундаментальна, но не имеет предела.

n О A.. Метрическое пространство (M, d) называется полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем имеет предел.

В нашей книге мы рассматриваем, как правило, полные метрические пространства. Например, пространства (A.–) полны согласно известной теореме анализа.

О A.. Подмножество X в метрическом пространстве (M, d) называется замкнутым в M, если оно содержит все свои предельные точки (то есть пределы последовательностей {xn} X).

У. Пусть (M, d) –– полное метрическое пространство и X –– подмножество в M. Тогда (X, d) само является метрическим пространством.

Докажите, что это пространство полно тогда и только тогда, когда X замкнуто в M.

П. Это –– просто упражнение на знание и понимание определений. Сформулируйте аккуратно, что дано и что требуется доказать, и вы получите доказательство.

П. Если это упражнение кажется вам трудным, попробуйте еще раз и посоветуйтесь со своим преподавателем.

Следующие определение и упражнение полезны во многих случаях.

Глава. Определение и основные свойства О A.. Говорят, что последовательность {xn} в метрическом пространстве (M, d) имеет конечную длину, если ряд d(xn, xn+1) n=сходится.

У. Докажите, что а) каждая последовательность конечной длины фундаментальна;

б) каждая фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность конечной длины.

A.. Сжимающие отображения О A.. Отображение f из метрического пространства (M, d) в себя называется сжимающим, если для некоторого числа (0, 1) выполнено условие d f (x), f ( y) · d(x, y) для всех x, y M. (..) Нам понадобится следующая теорема.

Т. Пусть M –– полное метрическое пространство и f –– сжимающее отображение M в себя.

Тогда в M существует единственная неподвижная точка для отображения f, то есть такая точка, что f (x) = x.

Доказательство этой теоремы очень коротко и поучительно. Кроме того, оно дает простой метод для нахождения неподвижной точки.

Поэтому мы приведем доказательство здесь.

Д. Пусть x0 –– произвольная точка из M. Рассмотрим последовательность {xn}n 0, определяемую индуктивно формулой xn = f (xn-1) для n 1.

Оказывается, эта последовательность всегда сходится. А именно, мы покажем, что она является последовательностью Коши. В самом деле, пусть d(x0, x1) = d. Тогда из (..) мы заключаем, что d(x1, x2) · d, d(x2, x3) 2 · d,..., d(xn, xn+1) n · d.

n- m Поэтому для любых m < n мы имеем d(xm, xn) k · d · d.

1 - k=m Значит, lim d(xm, xn) m,n и фундаментальность {xn} доказана.

Схолия A. Метрические пространства Поскольку M полно, наша последовательность Коши имеет предел, который мы обозначим x. Далее, функция f, как всякое сжимающее отображение, непрерывна.

Поэтому f (x) = lim f (xn) = lim xn+1 = x, то есть x является n n неподвижной точкой.

Наконец, если бы существовали две неподвижные точки x и y, то было бы справедливо неравенство d(x, y) = d( f (x), f ( y)) · d(x, y).

Но это возможно лишь при d(x, y) = 0, следовательно, x = y.

Доказанная теорема, решает, в частности, следующую шуточную задачу, предлагавшуюся на некоторых математических олимпиадах для школьников.

З. Мальчик Петя вышел из своего дома и пошел в школу. На полпути к школе он решил прогулять школу и пойти на каток.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 15 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.