WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

Значения минимально допустимых коэффициентов запаса прочности на выносливость, kЗ, выбирают, исходя из следующих условий:

kЗ = 1,31,5 – при высокой однородности условий изготовления валов, наличии точных данных о механических характеристиках и высокой достоверности определения напряжений;

kЗ = 1,51,8 – при приближенной расчетной схеме и отсутствии точных данных о механических характеристиках материала, но при достаточной достоверности определения усилий и напряжений;

kЗ = 1,82,5 – при пониженной точности расчета и ориентировочной оценке механических свойств, а также при пониженной однородности металла и больших размерах вала (d > 250 мм).

Значения коэффициентов концентрации напряжений, k, в i-ом опасном сечении независимо от материала вала могут быть приняты следующими:

для галтелей с r/d > 0.1................................................................. 1.для поперечных отверстий........................................................... 2.для шпоночных канавок и скользящих насадок ступицы или подшипника................................................................................... 2.для шлицов..................................................................................... 2.для прессовых посадок ступицы кольца подшипника............... 3.Для более сложных случаев k находят в специальной литературе.

Выбор опасных по прочности сечений может быть произведен на основании эпюр суммарных изгибающих и крутящих моментов с учетом местных концентраций напряжений.

12. Проверка условия прочности Эi []i.

Если в каких либо опасных сечениях эти неравенства не выполняются, то значение диаметра di увеличивается и расчет повторяется с п. 6 разд. 9.6.1.

10. БЫСТРОВРАЩАЮЩИЕСЯ ДИСКИ И СОСУДЫ 10.1. Быстровращающиеся диски Рассмотрим вращающийся вокруг своей оси круглый диск (рис. 10.1), поверхность которого образована вращением кривой z = ± f (r) вокруг той же оси. Толщина диска – 2z. Считаем диск тонким, поэтому пренебрегаем перемещениями в осевом направлении. Вследствие симметрии силы и напряжения будут только функциями расстояния r от оси.

Вырежем из диска бесконечно малый элемент, ограниченный концентрическими цилиндрами радиусами r и r+dr и радиальными плоскостями, образующими угол d.

Напряжения, действующие на элемент:

- радиальные r – на нижней поверхности элеменРис. 10.та площадью rd·2z;

- r+dr – на верхней поверхности элемента площадью (r + dr)d 2(z + dz) ;

- кольцевые – t – на боковых поверхностях элемента площадью 2zdr.

Следовательно, на элемент действуют силы:

- по радиусу - rrd2z + (r + dr )d2(z + dz)(r + dr), - по кольцу t 2zdr, - центробежные dC = 2rdm = zrddr2r.

Условие равновесия элемента:

d - 2rrd2z + 2(r + dr )d2(z + dz)(r + dr) - 2t 2zdr sin + zrddr2r = 0.

После раскрытия скобок и отбрасывания бесконечно малых второго порядка получим d(r zr) - zt + 2r2z = 0. (10.1) dr Это уравнение с двумя неизвестными (r и t), которые независимы друг от друга, поэтому его можно преобразовать в уравнение с одним неизвестным. Для этого определим деформации в произвольной точке диска А (см. рис. 10.2). Перемещение АА/ будет лишь функцией AO=r, т.е. АА/=u=u(r).

Отрезок АВ=dr. Точка А передвигается в А/ на u(r), а точка В в В/ на расстояние ВВ/\=u(r+dr)=u+du. Таким образом, отрезок АВ после деформации займет положение А/В/. Тогда A'B'-AB AB + BB'-AA'-AB BB'-AA' du r = = = =.

AB AB AB dr Окружность с радиусом r перейдет в окружность с радиусом r+u. Поэтому 2(r + u) - 2r u t = =.

2r r По закону Гука 1 t = (r - t ); r = (t - r ), E E откуда E E Рис. 10.r = (r + t ); t = (t + r ).

1- 2 1- Заменим перемещения их функциями от u E du u ;

+ r = dr r 1- (10.2) t = E u + du.

r dr 1- d(rzr ) Продифференцируем величину из уравнения 10.1 и величину r из dr ур.10.2, получим d(rzr ) dr dz = rz + zr + rr ;

dr dr dr du r - u dr E d u dr = +.

dr 1- 2 dr2 r Производя подстановку в эти уравнения выражения величин из уравнения 10.2, и подставив их затем в уравнение 10.1, получим, обозначив 1- A = - 2, E d u 1 1 dz du 1 dz u + + + - = Ar. (10.3) r z dr dr r z dr r dr Получив значение и из уравнения 10.3, и подставляя его в уравнение 10.2, определим значения напряжений r и t в любой точке диска. В любой точке увеличение радиуса равно r ur = (t - r ).

E Уравнение 10.3 интегрируется в ограниченном числе случаев. Рассмотрим некоторые из них.

10.2. Диск постоянной толщины dr В этом случае 2z=d=const и = 0. Уравнение 10.3 примет вид dz d u 1 du u + - = Ar.

dr2 r dr rЭто уравнение можно привести к виду d 1 d(ur) = Ar. (10.4) dr r dr Интегрируя последовательно, получаем 1 d(ur) = Ar2 + 2С1;

r dr d(ur) = Ar3 + 2С1r ;

dr ur = Ar4 + С1r2 + C2 ;

1 Cu = Ar3 + 2С1r +.

8 r Определяем относительные деформации du 3 C r = = Ar2 + C1 - ;

dr 8 r t = u 1 Ar2 + C1 + C2.

= r r Подставляя их в уравнение 10.2, получим E 3 + C ;

Ar + (1+ )C1 - (1- ) r = 1- 2 8 r (10.5) = E 1+ 3 Ar + (1+ )C1 + (1- ) C2.

t 1- 2 8 r Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из условий на границах диска.

10.2.1. Сплошной диск По физическому смыслу напряжения в центре сплошного диска (рис.10.3) конечны. Поэтому при r=0 r0 и С2=0. Второе граничное условие:

E 3 + при r=R2 r =0. Тогда из (10.5) имеем AR2 + (1+ )C1 = 0. Отку 1- 2 3 + 1- да, с учетом выражения для A, получаем C1 = R2 2. Подставляя 1+ 8E значение C1, C2 и A в формулы (10.5), получим 3 + 2 r = 2 (R2 - r );



(10.6) t = 2 3 + (R2 - 1+ 3 r 2 ).

8 3 + Для величины u подстановка значений C1 и Cдает 1 3 + 2 Рис. 10.u = - Ar R2 - r.

8 1+ Максимальные напряжения будут при r=3 + r = t = 2R2.

Смещение на контуре при r=R2 будет 1- u = 2R2.

4E Допустим, что при =0 на контуре действует напряжение р. Следовательно, А=0. Тогда на контуре E 1 - (1 + )C1 = p; C1 = p ;

E 1 - u = - pr;

(10.7) E r = t = p = const.

Если же 0, то напряжения в диске будут равны сумме напряжений, определяемых по уравнениям 10.6 и 10.7.

Эквивалентные напряжения определяются по той или иной теории прочности. Условие прочности определяется, как обычно, - экв [].

10.2.2. Диск с центральным отверстием Радиальные напряжения на цилиндрических поверхностях диска (рис.10.4) R1 = R2 = 0.

3 + C AR1 + (1+ )C1 - (1- ) = 0;

R 3 + AR2 + (1+ )C1 - (1- ) C2 = 0.

R Откуда 3 + 3 + 2 2 2 C1 = A(R2 - R1 ); C2 = AR1 R2.

8 Тогда 2 Рис. 10. 3 + R1 r R1 - - r = 2R2 1+ ;

8 R2 R2 r 2 3 + R1 1+ 3 r R1 t = 2R2 1+ + ;

8 R2 3 + R2 r 2 1 3 + 3 + R1 R2 u = Ar3 - (R2 - R1 )r -.

8 1+ 1- r Максимальные напряжения будут при r=R 3 + 1- R max = t max = 2R2 1+.

4 3 + R Для тонкого кольца при R1Rr = 0; t = 2R2.

При очень маленьком отверстии, т.е. при R3 + max = 2R2, что в два раза больше, чем в центре сплошного диска.

Если на внешнем и внутреннем контурах заданы напряжения р1 и р(см. рис.10.5) соответственно, то с учетом знаков усилий будем иметь E C= - p2 ;

(1 + )C1 - (1 - ) R1 - E C 1 - 2 (1 + )C1 - (1 - ) R2 = p1, откуда 2 2 2 p1R2 R1 p2R1 R1 - 1 - ;

r = + 2 2 2 2 2 R2 - R1 R2 R2 - R1 R 2 2 2 p1R2 R1 p2R1 Rt = 2 2 1 + 2 + 2 2 1 + 2.

R2 - R1 R2 R2 - R1 R Если 0, то напряжения от вращения диска и нагруРис. 10.зок, как это сделано в нижеследующем примере, суммируются.

10.2.3. Пример расчета диска постоянной толщины Одной из задач проектирования вращающегося на валу круглого диска является проверка условия прочности экв, в котором для определения [ ] эквивалентного напряжения экв, сравниваемого с допускаемым напряжением [], необходимо определение действующих в диске напряжений. Если требуется оценить прочность диска, поверхность которого образована вращением кривой z = ± f (r) вокруг одноименной оси z (см. рис. 10.1), то, как показано в разд. 10.1, использование условия равновесия действующих на элемент диска сил и закона Гука, связывающего радиальные и окружные деформации с соответствующими напряжениями, действующими в диске, приводит к дифференциальному уравнению 1 1 u 1 u + + z + z - = A r, (10.8) u r z r z r где u – радиальная деформация диска в точке, удаленной от оси на рас стояние r; u,u - первая и вторая производные от u по r; z - первая производная от z по r; - коэффициент Пуассона для материала диска; A – константа диска, определяемая по формуле 1- A = - 2, (10.9) E где E, - модуль продольной упругости и плотность материала диска;

- угловая скорость вращения диска.

Для плоского диска постоянной толщины нормальные радиальные (r ) и окружные (t ) напряжения в диске после интегрирования определяются выражениями:

EArCr = )C1 - (1- ) + 3 + (10.10) ( ) ;

1-2 (1+ r2 E C2 Art = )C1 + (1- ) + (1+ 3). (10.11) 1- 2 (1+ r2 Краевые условия на его концах определяются значениями нормальных радиальных напряжений на внутреннем (R1) и наружном (R2) радиусах диска. При R = - p2, и R = p1 (см. рис. 10.5) из уравнения (10.10) получаем 1 E C2 AR(1- 2 )C1 - (1- ) R12 + + ) 8 = R ;

(1+ (10.12) E C2 AR (1- 2 (1+ )C1 - (1- ) R2 + + ) 8 = R.

Решая эту систему уравнений, находим постоянные интегрирования R (1- ) (1- )(R - R )R2 + )(R12 + R(3 )A 1 2 C1 = + - ; (10.13) E E(R2 - R12) 8(1+ ) (1+ )(R - R )R12R2 + )R12R2 A (2 C2 = -. (10.14) E(R2 - R12) 8(1- ) Вычисляя значения постоянных интегрирования и подставляя их значения в выражения (10.10) и (10.11), находим формулы для вычисления радиальных (r ) и окружных (t ) напряжений при любом значении радиуса диска (r). Чтобы найти эквивалентное напряжение (экв ), необходимо вычислить значения напряжений в промежутке между внутренним (R1) и наружным (R2) радиусами диска и, построив эпюры, найти максимальные значения напряжений (r ) и (t ).

Например, требуется оценить прочность стального диска постоянной толщины b=50 мм с радиусами R1 = 100 и R2 = 800 мм, имеющего плотность =8000 кг/м3 и нормативное допускаемое напряжение []=180 МПа. Диск с натягом посажен на вал (R = -25 МПа) и вращается с угловой скоростью 300 с-1, в результате чего нагружен по наружному радиусу растягивающим напряжением R = 30 МПа.

Ниже, в табл. 5, приведены результаты расчета данным аналитическим методом (см. Программу аналитического определения напряжений в диске в среде Mathematica 4.2) и результаты расчета по программе, реализующей решение дифференциального уравнения (10.8) численным методом прогонки, описанным в [19].

Программа аналитического определения напряжений в диске Вычисление констант интегрирования m=.3; r = 8000; w = 300; R1 =.1; R2 =.8; SR2 = 30 * 106; SR1 = - 25 * 106;

1 - m Em = 21011; A = - r w2;

Em SR1 HLHL R22 3 + m R22 + R1 - m 1 - m C1 = + HSR1L - A;

SR2 Em Em R22 - R12 1 + m HL R22 3 + m R22 R1 +m RC2 = HSR1L A;

SR2 - Em 1 - m R22 - RОпределение расчетных сечений Table@0.1, 0.8,.07< r,8 D r, 8, 0.17, 0.24, 0.31, 0.38, 0.45, 0.52, 0.59, 0.66, 0.73, 0.8< 0.Определение r в расчетных сечениях Em C2 A rTableAiHL-HL+HLy106,80.1, 0.8,.07< 1 +m C1 1 - m 3 +m r, E 1 - m r2 k { 8130.235, 164.116, 169.788, 164.003, 151.635, 134.518, 113.472, 88.9035, 61.0363, 30.< - 25., Определение t в расчетных сечениях Em C2 A rTableAiHL+HL+HmLy106,80.1, 0.8,.07< 1 +m C1 1 - m 1 + 3 r, E 1 - m r2 k { 8 304.086, 256.774, 233.083, 216.263, 201.441, 186.781, 171.464, 155.082, 137.412, 118.326< 468.166, Построение эпюры r=f(r) Em C2 A ri PlotA HL-HL+HLy106,80.1, 0.8< 1 +m C1 1 - m 3 +m r, E 1 - m r2 k { 0.2 0.4 0.6 0.Построение эпюры t=f(r) Em C2 A ri PlotA HL+HL+HmLy106,80.1, 0.8< 1 +m C1 1 - m 1 + 3 r, E 1 - m r2 k { 0.2 0.4 0.6 0.Определение максимального значения r Em C2 AriE MaxATableA HL-HL+HLy106, AbsA 1 +m C1 1 - m 3 +m 1 - m r2 kE { 80.1, 0.8,.0007< r, E 169.Определение максимального значения t Em C2 ArMaxATableAiHL+HL+HmLy106, AbsA 1 +m C1 1 - m 1 + 1 - m r2 kE { 80.1, 0.8,.0007< r, E E 468.Аналитический метод Численный метод (прогонки) r, м r, МПа t, МПа r, МПа t, МПа 0.10 -25.000 468.166 -25.00 468.0.17 130.235 304.086 130.66 304.0.24 164.116 256.774 164.22 256.0.31 169.788 233.083 169.77 233.0.38 164.003 216.263 163.97 216.0.45 151.635 201.441 151.55 201.0.52 134.518 186.781 134.42 186.0.59 113.472 171.464 113.45 171.0.66 88.9035 155.082 88.83 155.0.73 61.0363 137.412 60.92 137.0.80 30.000 118.326 30.00 118. Как видно из результатов расчета, эквивалентное напряжение, определяемое по третьей теории прочности, экв > [] (468.166 > 180). Следовательно, условие прочности диска при данных условиях не выполняется.





10.3. Гиперболический диск Толщина диска (рис.10.6) задается уравнением z = 2mr-, откуда имеем dz -(+1) = -2mr.

dr Тогда уравнение (10.3) примет вид d u 1- du (1+ ) + - u = Ar.

2 r dr dr r Интеграл этого уравнения s1 su = C1r + C2r + Br3, где A (1 - 2 )B = = ;

8 - (3 + ) E[8 - (3 + )] ± 2 + 4(1 + ) s1,2 =.

Рис. 10.u du Образуя выражения и и подставляя их в r dr уравнение (10.2), получим E s1-1 s2-[(3 + )Br2 + (s1 + )C1r + (s2 + )C2r ];

r = 1- (10.15) 2 s1-1 s2-t = E [(1+ 3)Br + (1+ s1)C1r + (1+ s2 )C2r ].

1- Рассмотрим случаи, когда при R1 и R2 r=2 s s2-(3 + )BR1 + (s1 + )C1R11-1 + (s2 + )C2R1 = 0;

2 s s (3 + )BR2 + (s1 + )C1R21-1 + (s2 + )C2R22-1 = 0.

Откуда 3 3-s2 3 3-s3 + R2-s2 - R1 3 + R2-s1 - RC1 = B; C2 = - B.

s s s s2-ss1 + s2 + R21-s2 - R11-s2 R22-s1 - RПодставляя значения постоянных интегрирования в уравнении (10.15), можно получить значения напряжений в любой точке на радиусе r.

10.4. Диск равной прочности Диск равной прочности – это такой диск, у которого напряжения равны и постоянны в любой точке, т.е.

r = t = = const.

Так как на свободной цилиндрической поверхности r=0, то в диске равной прочности необходимо обеспечить на этой поверхности действие удельной силы р=. Кроме того, такой диск должен быть сплошным, т.к. при r=R1 r0.

Основное уравнение (10.1) принимает вид dz = -2rz, dr откуда 2r dz = - dr и далее ln z = - r2 + lnC.

Если на оси при r=0 задано значение z=z0, то lnz=lnC. Окончательно получим уравнение кривой z = z0 exp- r2.

Далее получим 1- r = t = = ;

E 1- u = r.

E 10.5. Диск сложного профиля При расчете такого диска (рис.10.7) пользуются методом аппроксимации, когда реальный сложный профиль разбивают на несколько участков, каждый из которых представляет профиль, решение для которого известно. В частности, широко применяется разбивка на участки постоянной толщины.

Поскольку на i-том радиусе происходит скачок толщины диска zi, то напряжения в конце учаРис. 10.стка i-1, равные ri и ti, связаны с напряжениями * и * в начале i-го участка соотношениями ri ti zi-* = ri ;

ri zi * = ti(* - ri).

ti ri 10.6. Быстровращающиеся сосуды 10.6.1. Цилиндр, закрепленный по краю Под действием центробежной силы собственной массы цилиндра в нем возникают кольцевые напряжения, как в тонком кольце = v2 = 2R2, где v – окружная скорость на радиусе R;

- угловая скорость вращения цилиндра.

Относительное удлинение будет 2R = =.

E E Увеличение радиуса 2Rц = -R = -.

E Если цилиндр закреплен шарнирно, то на его краю возникает только краевая сила Р0, производящая прогиб P0, равный и обратный ц. Тогда на основе моментной теории оболочек уравнение совместности деформаций будет иметь вид 2R3 2k1R- - P0 = 0.

E sE Откуда 2Rs P0 = -.

2kДалее, пользуясь формулами моментной теории оболочек, можно определить силы и напряжения в любой точке цилиндра.

Если заделка оболочки жесткая, то кроме краевых сил Р0, возникают краевые моменты М0, которые можно определить из системы уравнений 2R3 2k1R2 2k1 R- P0 - M = 0;

E sE sE 2 2k1 R2 4k1 RP0 + M = 0.

sE sE Решая систему, получим 2Rs P0 = - ;

k2Rs M =.

2kДальнейшее решение аналогично ранее замеченному по моментной теории оболочек.

10.6.2. Цилиндр с днищем Если цилиндр имеет днище, например, в виде кольцевой пластинки (рис.10.8), то в сечении стыка возникают краевые силы и моменты, действующие в противоположном направлении.

Линейные и угловые перемещения для края цилиндра:

2k1R2 2k1 R P0 = P0 ; M 0 = M ;

s1E s1E 2 2k1 R2 4k1 R P0 = P0 ; M 0 = - M.

s1E s1E Радиальные перемещения края пластинки от краевой силы Р0 эквивалентны деформации диска под действием внешнего давления Pp =, Рис. 10.sприложенного к цилиндрической поверхности диска, и по аналогии с толстостенным цилиндром будут равны P0R P0 = - [(1- )R2 + (1+ )r ].

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.