WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

m Общее решение этого дифференциального уравнения известно:

yд1 = Asin(t + ).

В качестве частного решения положим yд2 = C cost, т.е yд = Asin(t + ) + C cost.

Определим постоянную интегрирования С, продифференцировав дважды последнее уравнение по t и подставив значения производной в исходное дифференциальное уравнение:

yд = -A2 sin(t + ) - C2 cost ;

Pц - A2 sin(t + ) - C2 cost + A2 sin(t + ) + C2 cost = cost.

m После преобразований получим Pц Pц C(2 - 2 ) = или С =.

m m 2 - Преобразуем выражение для С:

Pц C = = 11Pц = yст, m2 2 1- 12 где – динамический коэффициент, определяющий динамический характер неуравновешенной центробежной силы (рис. 9.4).

При значении =1 и C, наступает явление резонанса. При конструировании полагают, что безопасно соотношение 1- > 0,5, т.е. <0,71 и >1,23.

С некоторым запасом берут Рис. 9. <0,7 и >1,3.

Поэтому область = (0,7 1,3) является запретной, хотя быстрый переход через нее возможен.

При установлении знака для коэффициента следует учитывать, что если <, то >0, а при > - <0.

Критической скоростью вращения вала называется скорость, при которой наступает явление резонанса. Число оборотов, соответствующее этой скорости, называется критическим. Тогда условие резонанса будет таким:

nкр = nраб, 30 при этом nкр = ; nраб =.

По аналогии с ранее рассмотренным 0,7nраб < nкр <1,3nраб.

При этом если n < 0,7nкр, то валы считаются жесткими, а при n > nкр - гибкими. Если nраб > 1,3nкр, то динамический коэффициент становится меньше единицы, при этом ось вала приближается к оси подшипников, его прогиб уменьшается и вал самоцентрируется.

9.2. Система с двумя степенями свободы Система с двумя степенями свободы, т.е. двухмассовая, имеет две частоты собственных колебаний: основную (низшую) и гармонику (высшую).

Рассмотрим такую систему, изображенную на рис. 9.5. Положим y1=уд1 и у2=уд2.

Для динамических прогибов можем записать y1 = 11(J1 + Pц cost) + 12J2;

y2 = 21(J1 + Pц cost) + 22J2, Рис. 9.где 11 – прогиб в точке 1 от единичной силы в точке 1;

12 – прогиб в точке 1 от единичной силы в точке 2;

21 – прогиб в точке 2 от единичной силы в точке 1;

22 – прогиб в точке 2 от единичной силы в точке 2.

По теореме зависимости перемещений 12=21. Тогда y1 = -11m1y1 + 11Pц cost - 12m2 y2 ;

y = -21m1y1 + 21Pц cost - 22m2 y2.

Откуда 11m1y1 + 12m2 y2 + y1 = 11Pц cost;

(9.1) m1y1 + 22m2 y2 + y2 = 21Pц cost.

Решение данной системы уравнений состоит из двух слагаемых - общего интеграла (решение однородных уравнений) и частных решений для полных уравнений.

Решение однородных уравнений дает частоты собственных колебаний системы 11m1y1 + 12m2 y2 + y1 = 0;

m1y1 + 22m2 y2 + y2 = 0.

Для системы с одной степенью свободы было ранее получено y = Asin(t + ).

Допустим, что и при двух степенях свободы точки 1 и 2 совершают подобные движения, но только с разными амплитудами:

y1 = A1 sin(t + );

= A2 sin(t + ).

yПодставим эти решения в исходные уравнения (11m-1)A1 + 12m22 A2 = 0;

m12 A1 + (22m22 -1)A2 = 0.

Так как А1 0 и А2 0, то определитель системы равен нулю:

(11m12 -1)(22m22 -1) - 12m1m24 = 0.

Полученное уравнение носит название векового по аналогии с уравнениями небесной механики при изучении вековых неравенств движения планет.

Решение векового уравнения дает две частоты собственных колебаний системы:

m111 + m222 (m111 - m222 )2 + 4m1m1,2 =.

2m1m2 (1122 - 12 ) Вид собственных колебаний для двухмассовой системы показан на рис. 9.6.

Рис. 9.6. Вид колебаний двухмассовой системы:

а – основная (низшая) частота; б – высшая частота (гармоника) Предположим в качестве частных решений уравнение (9.1) систему y1 = C1 cost ;

= C2 cost.

yПодставим частные решения в исходное уравнение (9.1):

(11m-1)С1 + 12m22С2 = -11Pц;

(9.2) -1)С2 = -21Pц.

m12С1 + (22mРешая полученную систему уравнений (9.2), находят значения амплитуд вынужденных колебаний в точке 1 и 2.

При повышении числа степеней свободы растет и число частот собственных колебаний системы. При непрерывном распределении массы число степеней свободы, как и число частот собственных колебаний системы, становится бесконечно большим.

9.3. Приближенный расчет низшей частоты собственных колебаний В расчетной практике наибольшее значение имеет самая низкая (первая) частота собственных колебаний, величину которой можно определить приближенными методами. Рассмотрим два из них без вывода.

Энергетический метод (метод Рэлея):

а) двухмассовая система m1y1 + m2 y2 = g, 2 m1y1 + m2 yгде у1 и у2 – статические прогибы балки под нагрузками массой m1 и m2;

б) система с n сосредоточенными массами n m yi i i=2 = g, n m yii i=где уi – статический прогиб балки под нагрузкой массой mi;

в) система с распределенной массой l mydx 2 = g, l my2dx где m – масса;

у – статический прогиб балки под нагрузкой.

Метод наложения (метод Дункерлея):

Основное уравнение n 1 =, 2 i=1 i причем 1 1 1 = ;... i = ;... n =.

m111(1) mi11(i) mn11(n) Предполагается, что между методами Рэлея и Дункерлея и истинным значением первой частоты собственных колебаний системы существует следующая связь D < < R.

В связи с этим можно рекомендовать рассчитать собственную частоту колебаний системы по двум приближенным методам, а затем взять за расчетную величину их среднеарифметическое значение.



9.4. Влияние различных факторов на критическую скорость вращения вала В ряде важных практических случаев формула = 11mдает лишь грубое приближение при расчете критической скорости вращения вала. Желательно при конструировании использовать более точные формулы, учитывающие влияние на критическое число оборотов таких факторов, как гироскопический эффект, вылет центра массы груза относительно точки его крепления к валу, упругость опорных подшипников, собственная масса вала и изменение по длине его поперечного сечения. Рассмотрим некоторые из указанных случаев.

9.4.1. Влияние гироскопического момента Если диск посажен на вал не в середине пролета, то при изгибе вала диск поворачивается на угол, в этом случае на вал действует центробежная сила Рц и гироскопический момент Мг. Из рис. 9.7 видно, что гироскопический момент препятствует изгибу вала при его прямой синхронной прецессии.

Рис. 9.Прогиб у и угол связаны соотношениями y = 11Pц - 12Mг ;

y = 21Pц - 22Mг, при этом Pц = m2 y; M = 2 (I - I ), г z x где Iz – осевой момент инерции диска;

Ix – его экваториальный момент инерции.

Тогда (1- 11m2 )y + 12 (I z - I x )2 = 0;

- 21m2 y +[1+ (I - I )2 ] = 0.

z x Учитывая, что по теореме взаимности перемещений при =кр величины y 0 и 0, приравняем нулю определитель системы для определения ненулевых решений:

2 1- 11mкр 12 (I - I )кр z x = 0.

2 - 21mкр 1+ (I - I )кр z x Раскрывая определитель, получим 4 Aкр - Bкр -1 = 0, где A = m(1122 - 12 )(I - I );

z x B = -11m + 22 (I - I ).

z x Отсюда, после решения биквадратного уравнения, получим B + B2 + 4A гир =.

кр 2A 9.4.2. Влияние вылета центра масс груза Барабаны центрифуг, распылительных сушилок и т.п. имеют значительную ширину, поэтому их центр масс оказывается практически смещенным относительно точки крепления к валу. Введем новые координаты влияния (рис.

9.8) 1C = 11 + 12lC ;

= 21 + 22lC.

2C Тогда y = 1Cm2 yC - 12 (Iz - Ix )2;

yC - Ix = 2Cm2 22 (Iz - )2.

Учитывая, что yC = y + lC, и приравнивая нулю определитель системы, получим, как и ранее, 4 Aкр - Bкр -1 = 0, Рис. 9.где A = m(Iz - Ix )(1C22 - 2C12 ) ;

B = 22(Iz - Ix ) m(1C + 2ClC ), знак «+» в последней формуле относится к обратной прецессии, а знак «–» - к прямой.

Решение биквадратного уравнения имеет вид B ± B2 + 4A C =.

кр 2A В случае если B > B2 + 4A, то система будет иметь две критические скорости С.

кр Увеличение вылета lC ведет к увеличению величин уС и, что значительно понижает С по сравнению с кр. Это особенно опасно для жестких кр валов. Для гибких валов, наоборот, это приводит к лучшему самоцентрированию вала.

9.4.3. Влияние упругости опор вала Реальные опоры вала не являются абсолютно жесткими, как это предполагалось ранее при выводе уравнений для расчета критического числа оборотов вала. За счет деформации корпуса и подшипников опоры обладают некоторой упругостью. Кроме того, для лучшего самоцентрирования роторы машин специально устанавливают на одну или две податливые опоры.

Пусть опора А (см. рис. 9.9) имеет коэффициент жесткости С1, а опора В – С2, соответственно. При этом С1, а С2=Сi. Тогда на прогиб уС влияет упругость вала и упругость опоры В. Поскольку влияние вылета известно, рассмотрим влияние упругости опоры при абсолютно недеформируемом вале. Осадка опор от единичной силы и единичного момента равны, соответстL2 венно, и. Найдем коэффициенты влияния:

C1L CiL / / 11 l2 / L2 12 l2 / L= ; 11 = ; = ; 12 = ;... и т.д.

L2 / CiL L Ci L2 1/ Ci L L Ci LОбщие коэффициенты влияния вала с податливой опорой L2 L1 Lп / 11 = 11 + 11 = + ;

CiL2 3EI L2 2L + 3Lп / 12 = 12 + 12 = + L1 ;

6EI Ci L/ п п = 21 + 21 = 12 ;

1 L + 3L/ п = 22 + 22 = +.

Ci L2 3EI Рис. 9.Переходя к уравнению частот, будем иметь в виду п п п 1С = 11 + 12lC ; п = п + п lC.

2С 21 п п Тогда y = 1Cm2 yC - 12 (I - I )2 ;

z x = п m2 yC - п (I - I )2.

2C 22 z x Учитывая, как и ранее, что y = yC + lC, получим 4 Aкр - Bкр -1 = 0, п п где A = m(I - I )(1Cп - п 12 ) ;

z xп 22 2C п п B = 12 (I - I ) - m(1C + п lC ).

z xп 2C Окончательно, решая биквадратное уравнение, получим B + B2 + 4A кр =.

2A В частном случае, при lC=0 и Iz=Ix, получим кр =.

п 11m Упругость вала часто мало влияет на критическое число оборотов при податливых опорах. Положив I = Iz = I и 11 = 22 = 12 = 0, получим x что А=0. Тогда - Bкр -1 = 0.

Решения этого уравнения для вала на одной жесткой, а другой податливой опоре, как для консольного, так и для однопролетного вала (рис. 9.1) Ci Lкр =.

I - I + mLx z Для однопролетного вала при двух податливых опорах при условии Iz=Ix и Мг=C1C2Lкр =.

m[C2 (L - L1)2 + C1LПри условии L1=0,5L и С1=С2=Сi 2Ci кр =.

m 9.5. Виброизоляция Защита машин и опорных конструкций от колебаний обычно преследует одну из трех целей:

а) уменьшение амплитуды колебаний и даже их полное устранение;

б) локализацию колебаний системы и затруднение передачи их несущим конструкциям;

в) устранение колебаний отдельных узлов и механизмов колеблющейся системы, например: контрольно-измерительных приборов, регуляторов и т.п.

Это достигается при помощи:

а) динамических поглотителей колебаний (демпферов);

б) активной виброизоляции;

в) пассивной виброизоляции.

9.5.1. Демпферы Демпферы могут быть трех типов. Первые – снижают амплитуду собственных колебаний системы и смещают ее относительно возмущающей силы, т.е. препятствуют появлению резонанса. Вторые – снижают амплитуду любых, в том числе и резонансных колебаний, введением дополнительного затухания. Третьи представляют собой комбинацию первого и второго типа.





Рассмотрим только демпферы первого рода, так называемые вибраторы.

Допустим, что основной груз массой m1, на который действует гармоническая сила P0 sin t, подвешен на пружине жесткостью k1 (см. рис. 9.10). Тогда частота собственных колебаний этого груза будет равна 1 g k1 = = =.

11 yст mПрикрепим к первому грузу массой m1 при помощи пружины с жесткостью k2 второй груз (вибратор) массой m2.

(Массой пружин при расчетах пренебрегаем.) Рис. 9.Дифференциальное уравнение полученной системы будет иметь вид m1y1 + m2 y2 + k1y1 = P0 sin t.

Для грузов m1 и m2 отдельно дифференциальные уравнения будут m1y1 + k1y1 + k2 (y1 - y2 ) = P0 sin t ;

m2 y2 + k2 (y2 - y1) = 0.

Отсутствие в уравнениях первых производных дает возможность искать решения в виде простых гармонических функций:

y1 = C1 sin t ;

y2 = C2 sin t.

После подстановки этих решений в исходные уравнения и определения С1 и С2, получим 1- m2 2 P0 sin t k y1 = ;

(k1 + k2 - m12 )1- m2 - k k P0 sin t y2 =.

(k1 + k2 - m12)1 - m2 - k k 1- Очевидно, что у1=0 при условии m2 = 0, т.е. масса m1 в этом случае k 2 kне будет колебаться. Это возможно при условии m2 = 1, или 2 =.

k2 mm2 Так как =, то условие отсутствия колебаний массы m1 будет k2 выполняться, если = 1, или щ = 2, т.е. частота собственных колебаний вибратора должна быть равна частоте возмущающей силы.

Анализ выражения для собственной частоты системы из двух грузов приводит к выводу, что вибратор эффективен лишь при постоянстве частоты возмущающей силы, т.е. при работе машины с постоянным числом оборотов и при редких ее пусках и остановках.

9.5.2. Активная виброизоляция Активная виброизоляция осуществляется, как и пассивная, путем включения в систему упругих элементов (амортизаторов) в виде прокладок, пружин и т.д. При активной виброизоляции на амортизатор устанавливается источник колебаний, а при пассивной – защищаемый объект.

Запишем уравнение движения для колеблющейся массы (рис. 9.11) 1 1 P my + y = P0 sin t, или y + y = sin t.

m m Масса имеет частоту собственных колебаний 1 k 0 = =.

m m Амплитуда незатухающих колебаний массы m с частотой равна A = P0 = P0, Рис. 9.1где P0 – осадка амортизатора под действием статической нагрузки P0.

Максимальное усилие, с которым амортизатор действует на свое основание, определяется выражением A R = = P0. (9.3) Усилие увеличивается, если >1. Так как всегда > 0, то неравенство (9.3) удовлетворяется при < 2, т.е. > = 0,71, или <1,41.

Следовательно, в докритической области и в начальной части сверхкритической виброизоляция бесполезна. Наоборот, усилие, передаваемое амортизатором основанию, меньше амплитудного, если <1. Это возможно лишь в случае, если > 2 или < = 0,71, т.е. в сверхкритической области за зоной резонанса при >1,41.

В области резонанса виброизоляция непосредственно бесполезна, однако она может служить поглотителем колебаний за счет внутреннего трения. Это важно для случая перехода критической области.

9.5.3. Пассивная виброизоляция Нижняя точка амортизатора (рис. 9.12) колеблется по гармоническому закону Рис. 9.y1 = A1 sin t.

При податливости амортизатора дифференциальное уравнение движения защищаемой массы m 1 y my + y =.

Частота собственных колебаний массы m =, m поэтому y + 2 y = 2 Asin t.

Решение этого уравнения A y = sin t = Asin t.

1Таким образом, амплитуда колебаний массы m в раз больше амплитуды нижней точки амортизатора. И в данном случае пассивная виброизоляция дает эффект лишь в сверхкритической области, когда >>.

9.6. Инженерный расчет валов на прочность, жесткость и виброустойчивость Механический расчет вала перемешивающего устройства на прочность, жесткость и виброустойчивость является наиболее трудоемкой и ответственной частью инженерного расчета при выборе и конструировании аппарата с мешалкой. При расчете этого элемента конструкции необходимо знать и учитывать гидродинамическую обстановку в аппарате, схемы расположения и конструкции опорных узлов и уплотнений, силы реакции рабочей среды, силы инерции присоединенных масс и особенности конструкции аппарата в целом.

Основные условия, обеспечивающие работоспособность вала, определяются расчетом его на виброустойчивость, жесткость и прочность. Изложенные ниже методы расчета распространяются на вертикальные аппараты с мешалками для перемешивания жидких сред плотностью до 2000 кг/м3 с динамической вязкостью до 50 Паи объемом до 100 м3, конструируемые на основании ГОСТ 20680-75. Допускается также расчет жестких вертикальных валов для горизонтальных аппаратов. При выборе метода расчета следует обращать внимание на конструкцию внутренних устройств и на тип вала (жесткий или гибкий).

При разработке принципиальной схемы и расчете валов следует принимать следующие допущения:

1. Разъемный вал, соединенный жесткой муфтой, принят эквивалентным целому.

2. Силовое воздействие на вал уплотнительного устройства и податливость опор не учитываются.

3. Точки приложения масс, инерционных и гидродинамических сил от мешалок и других деталей, установленных на валу, приняты расположенными на серединах ступиц этих деталей. При наличии нескольких ступиц массу детали следует делить на число ступиц.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.