М – моменты, приходящиеся на единицу длины (для сокращения – просто моменты).
Зная r и t, определим равнодейРис. 4.ствующие моменты на гранях h / 2 h / M rd = rd zdz; Mtdr = dr zdz.
r r t -h / 2 -h / Используя выражения (4.4) и (4.5), получим E d E d Int; Mt = Int;
M = + + r dr r r dr 1 - 2 1 - h / hInt = z2dz =.
-h / Отсюда следует d ;
M = D + (4.6) r dr r d, Mt = D + (4.7) r dr где D – жесткость пластины, равная EhD =.
12(1 - 2 ) К элементу также приложена сила prdrd. Проектируя все силы на ось симметрии, получим (Q + dQ)(r + dr)d - Qrd - prdrd = 0, откуда d pr = (Qr).
dr Сумма моментов всех сил относительно оси у, касательной к дуге радиуса r в срединной плоскости, равна dr (M + dM )(r + dr) - M rd - Mtdrd - prdrd + (Q + dQ)(r + dr)drd = 0.
r r r Пренебрегая величинами высшего порядка малости и переходя к пределу, получим d Mt = - (M r) = Qr.
r dr Заменяя моменты Mt и Mr их выражениями и полагая жесткость D постоянной, имеем d d Qr r + - = -, dr r D drоткуда d 1 d Q = -.
r (r) dr dr D После двукратного интегрирования находим C2 = C1r + - (4.8) (rQdr)dr.
r Dr Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются граничными условиями для каждого конкретного случая.
После того как функция найдена, по уравнениям (4.6) и (4.7) определяются моменты Mt и Mr, а также прогиб w по формуле (4.1). По величинам моментов находятся напряжения 12M r r = z ; (4.9) h12Mt t = z. (4.10) hНаибольшие напряжения имеют место при h z = ±, поэтому 6M r max = ± ; (4.11) r h6Mt max t = ±. (4.12) hПРИМЕР 4.1. Определить напряжения и перемещения в круглой пластине, нагруженной распределенной нагрузкой р:
а) при защемлении пластины по контуру;
б) при свободном опирании пластины на контур.
РЕШЕНИЕ. Определим схемы нагружения на рис. 4.6. Для центра пластины уравнение равновесия дает pr Q 2r = pr2; Q =.
Из выражения (4.8) имеем C2 pr = C1r + -.
r 16D При r=0 уравнение теряет смысл, так как =0, поэтому С2=0 и prРис. 4.6. Схемы нагружения:
= C1r -.
а – при защемлении;
16D б – при свободном опирании;
Случай защемлении пластины.
в – определение поперечной При r=R =0, откуда силы pR216D p C1 = ; = (R2r - r3).
16D Далее, p p M = [R2 (1 + ) - r2 (3 + ); Mt = [R2(1 + ) - r2 (1 + 3).
r 16 Эпюры моментов представлены на рис. 4.7,а. Из уравнения (4.1) dw = -dr, откуда p 1 r - R2r2 +.
w = C3 16D Постоянная С3 определяется из граничных условий:
при r=R w=0, тогда p C3 = 0,25R4; w = (R2 - r2 )2.
64D На основании полученных уравнений видно, что пластина изгибается по поверхности четвертого порядка.
Рис. 4.7. Эпюры изгибающих моментов:
а – при жестком защемлении пластины; б – при ее свободном опирании Случай свободного опирания.
На контуре при r=0 r=0 и Мr=0, откуда d + = 0.
dr r Подставим выражение, получим 3pR2 pRC1 - + C1 - = 0, 16D 16D откуда pR2 (3 + ) p 3 + C1 = ; = R2 - r3.
16D(1 + ) 16D 1 + Изгибающие моменты, эпюры которых представлены на рис.4.7,б, определяются по уравнениям p p 1+ M = (3 + )(R2 - r2 ) ; Mt = (3 + ) R2 - r2.
r 16 3 + Выражение для перемещения p 3 + R2r2 r - dw = -dr; w = C3 1 + 2 + 4.
16D R4 5 + При r=R w=0, откуда C3 =, 4 1 + поэтому p R4 5 + 3 + R2r2 r w = - +.
16D 4 1 + 1 + 2 Максимальные прогибы в первом и втором случае будут соответственpR4 5 + pRно равны wmax = и wmax =.
64D 1 + D При защемленном контуре наибольшие напряжения возникают у верхней поверхности, вблизи контура. Тогда 2 pR2 6 2pR2 1 = r = ; 2 = t = ; 3 = 0.
16 h2 hЭквивалентные напряжения по 2-й теории прочности равны 3 pRэкв = 1 - 3 =.
hПри свободно опертом контуре 3 + 6 pR1 = r = t = ; 3 = 0.
hЭквивалентные напряжения по 2-й теории прочности равны 3 pRэкв = 1 - 3 = (3 + ).
hПРИМЕР 4.2. Определить напряжения и прогибы в дисковой пружине, схема которой приведена на рис. 4.8,а.
РЕШЕНИЕ. Задача сводится к расчетной схеме пластины (рис. 4.8,б), нагруженной распределенными силами Р. Осадка пружины определяется прогибом одной пластины, увеличенной в n раз (n – число пластин).
Рис. 4.8. Расчетные схемы к примеру 4.2:
а – схема дисковой пружины; б – схема нагрузки одной пластины;
в – к определению поперечной силы Определим вначале поперечную силу Q (рис. 4.8,в). Из условия равновесия центральной части пластины имеем P Q 2r = P; Q =.
2r Из уравнения (4.8) имеем C2 P = C1r + - r(ln r - 0,5).
r 4D Изменив значение постоянной C1, получим C2 P r = C1/r + - r ln.
r 4D a Постоянные С1/ и С2 подбираются из условия, чтобы изгибающий радиальный момент d M = D + r dr r обращался в нуль при r=a и r=b. Это дает два уравнения:
C2 P C2 P b (1 + )ln +1, C1/ (1 + ) - (1 - ) = ; C1/ (1 + ) - (1 - ) = 4D 4D a a2 b откуда P b2 b P a2b2 b C1/ (1 + ) = (1 + )ln.
b2 (1 + )ln a + 1; C2 (1 - ) = 4D - aa 4D - a2 b Подставляя значения угловой деформации и постоянных интегрирования в выражения моментов, получим P b2 a2 b r M = (1 + )1 - - (1 + )ln ;
r 4 - a2 r2 ln a a b P b2 a2 b r Mt = (1 + )1 - - (1 + )ln + 1 -.
4 - a2 r2 ln a a b Эпюры полученных моментов приведены на рис. 4.9.
Наибольшее напряжение имеет место у внутреннего контура пластины:
6Mtmax экв = t =.
hМаксимальный кольцевой момент P 2b2 b Mtmax = b2 (1 + )ln a + 1 -.
4 - a Интегрируя функцию углового перемещения, найдем зависимость прогиба Рис. 4.пластины от текущего радиуса r2 r r2P r ln - w = C3 - C1/ - C2 ln +.
2 a 8D a Постоянная С3 определяется при условии: при r=b w=0. Тогда 1 b P r b b2 - r w = C1/ (b2 - r2 ) + C2 ln + r ln a + b2 ln a + 2.
2 r 8D Полагая r=a и, подставляя известные постоянные интегрирования, получим прогиб одной пластины P 1 3 + 1 + 2a2b2 b w1 = - ln2.
2 (b2 a2) + 1 - 8D 1 + a b2 - a ПРИМЕР 4.3. Определить прогиб и наибольшие напряжения в круглой пластине, нагруженной в центре сосредоточенной силой и жестко заделанной по контуру (рис. 4.10).
РЕШЕНИЕ. Как и в предыдущем примере получаем P Q =, 2r поэтому также C2 P r = C1/r + - r ln.
r 4D R При r=0 =0.
r Поскольку limr0 r ln = 0, С2=0.
R При r=R =0, поэтому С1/=0.
Тогда угловое перемещение равно Рис. 4.P R = r ln, 4D r откуда изгибающие моменты будут равны P R P R (1 + )ln -1; Mt = (1 + )ln -.
M = r 4 r 4 r Из полученных уравнений видно, что при r=0 оба момента стремятся к бесконечности.
В реальных условиях сил, сосредоточенных в точке, не существует.
Они прикладываются по небольшой площадке, в зависимости от величины которой будет определяться величина момента при r=0. Возможные эпюры изгибающих моментов в этом случае приведены на рис. 4.11.
Прогиб в центре пластины имеет конечную величину и при точечном Рис. 4.приложении силы Р будет равен r2P R ln + w = C3 -.
8D r PRПри r=R w=0, тогда С3 =, 16D P 1 R откуда w = -.
2 (R2 r2) - r2 ln r 8D PRМаксимальный прогиб будет при r=0 – wmax =.
16D 4.2. Изгиб прямоугольных пластин Задача расчета прямоугольных пластин более сложна. чем круглых. Это определяется тем, что прогибы и напряжения зависят уже от двух координат (рис. 4.12).
Дифференциальное уравнение изгиба некруглой пластины является уравнением в частных производных и решается, как правило, в рядах.
Общие уравнения для расчета прямоугольных пластин можно найти в книге Бояршинова С.В. Основы строительной механики машин (М.: Машиностроение, Рис. 4.1973. –456 с.). Частные случаи – в книге Феодосьева В.И.
Сопротивление материалов (М.: Наука, 1970. –544 с.).
Рассмотрим два частных случая. Пластина, свободно опертая по контуру и нагруженная равномерно распределенной нагрузкой р. Наибольший прогиб в точке с координатами х=у=0 (в центре пластины). Его величина определяется формулой pawmax =, Ehгде a – меньшая сторона пластины;
- коэффициент, зависящий от отношения b/a.
Максимальные изгибающие моменты, рассчитанные на единицу длины сечения, имеют место в той же точке и равны max max M = pa2; M = pa2.
x y Если пластина жестко закреплена по четырем сторонам, то максимальный прогиб в центре пластины равен pawmax = 1.
EhНаибольший изгибающий момент возникает по серединам больших a paсторон, т.е при x = ±, y = 0 wmax = 1.
EhКоэффициенты, 1,, 1 и для двух случаев представлены в табл. 4.1.
Таблица 4.Значения коэффициентов, 1,, 1, b/a 1 1 0,0433 0,0479 0,0479 0,0138 0,2 0,1106 0,1017 0,0464 0,0277 0,5. УКРЕПЛЕНИЕ ОТВЕРСТИЙ В СТЕНКЕ ОБОЛОЧКИ 5.1. Ослабление стенок сосудов, вызываемое отверстиями Наличие отверстия в растягиваемом листе (рис. 5.1) не только механически ослабляет его за счет уменьшения площади поперечного сечения, но и вызывает концентрацию напряжений. Максимум напряжений на краю отверстия в три раза выше напряжений вдали от него.
Концентрация напряжений в стенке тонкостенного цилиндра, работающего под внутренним давлением, еще выше. В этом случае коэффициент концентрации напряжений будет равен d = 3 + 3,45.
sD Тогда максимальное напряжение на краю отверстия будет max =, где - мембранное напряжение.
Рис. 5.1. Ослабление Так как концентрация напряжений носит отверстия в листе местный характер, то для их компенсации не стоит увеличивать толщину стенки всего аппарата. Целесообразно для компенсации ослабления, вызванного отверстием, укрепить его край, добавив материал как можно ближе к этому краю.
Самым старым способом укрепления отверстий является приварка укрепляющих колец (рис. 5.2). Кольца изготавливаются из того же материала, что и оболочка, и привариваются так, чтобы кольца работали заодно со стенкой обечайки. Швы, соединяющие оболочку с укрепляющими элементами, должны быть глубоко проплавлены и иметь достаточное сечение. Для проверки герметичности сварного шва требуется делать в кольцах отверстия с резьбой М10 для подвода сжатого воздуха. Толщина укрепляющего кольца обычно берется равной толщине стенки обечайки.
Рис. 5.2. Укрепление отверстий кольцами Приварные и литые бобышки могут рассматриваться как укрепляющие элементы. Отбортовка края отверстия перед приваркой патрубка способствует снижению концентрации напряжений.
Более современная и лучшая конструкция укрепления отверстия состоит из толстостенной укрепляющей втулки, которая вваривается между корпусом и патрубком (рис. 5.3).
С точки зрения изготовления и затрат материала втулки выгоднее колец. Толщину стенок втулок k принимают равной толщине обечайки или несколько большей. Высота Рис. 5.3. Укрепление втулок берется по расчету от 2,5 до 5 толщин отверстия втулкой обечайки s.
5.2. Определение наибольшего неукрепленного отверстия Нет необходимости укреплять все отверстия. В аппаратах, работающих при низких давлениях, такая необходимость может и не возникнуть. В сосудах, работающих при повышенных давлениях, небольшие отверстия также можно не укреплять. Диаметр наибольшего отверстия, которое можно оставить неукрепленным, определяется формулой dпред = 3,73 DB (s - c)(1 - k), где k – действительный коэффициент прочности сосуда, pDB k =.
(2[] - p)(s - c) Для неукрепленных отверстий с резьбой расчетным считается наружный диаметр резьбы.
Эллиптические и сферические оболочки работают в более благоприятных условиях, поэтому в них допускаются неукрепленные отверстия большего диаметра, чем в цилиндрической обечайке. В этом случае p DB DB dпред = 0,95DB (1 - k1); k1 = -1.
4[] s - c Независимо от расчета не рекомендуется оставлять неукрепленными отверстия более 200 мм.
В случае овальных отверстий за расчетный диаметр принимается большая ось эллипса.
5.3. Определение необходимой площади укрепления кольцами Методика определения площади укрепления отверстия кольцами заключается в следующем (рис. 5.4). Выделяют т.н. «зону укрепления». Для этого соосно отверстию описывают цилиндр радиусом, равным диаметру отверстия d, и проводят две плоскости на расстоянии h от каждой образующей обечайки.
Рис. 5.4. К определению площади укрепления Размер h принимается при укреплении кольцами 2,5smin, где smin – теоретически необходимая (расчетная) толщина листа без прибавки с. При укреплении втулками h принимается меньшей из величин 2,5smin или 2,5k, где k – толщина втулки за вычетом прибавки с.
Считается, что весь металл, находящийся внутри зоны укрепления в виде укрепляющего кольца и наплавленного металла швов, а также металла листа, взятого сверх необходимого по расчету на прочность, минус прибавка на коррозию, участвует в укреплении отверстия. Площадь металла укрепляющих элементов f должна быть по меньшей мере равна площади удаленного металла за вычетом сечения предельного неукрепленного отверстия, т.е.
f smin (d - dпред ).
Для достижения равнопрочности площадь сечения металла допустимого неукрепленного отверстия не вычитают, и тогда площадь укрепляющего металла равна f sd.
При укреплении отверстия приварной втулкой должно удовлетворяться неравенство pd 2 2hk - s(d - dпред ).
2[] - p Если укрепление производится с помощью кольца толщиной sн и диаметром Dk, приваренного снаружи или изнутри, то sн (Dk - d) s(d - dпред ).
Часть штуцера или трубы, оказавшаяся в зоне укрепления, также учитывается как укрепление. В этом случае pd 2sн (Dk - d) + 2(h1 + h2 ) s1 - s(d - dпред ).
2[] - p Эти формулы справедливы, если укрепляющие элементы имеют те же механические свойства, что и материал оболочки.
Проверка сварных швов производится на срез. Допускаемое напряжение для материала шва берется равным 0,8В. Сила, действующая на площадь отверстия от давления р, должна уравновешиваться силами упругости pd d P = = 0,7[], 4 где d – средний диаметр сварного шва;
- длина катета сварного шва;
[] – допускаемое напряжение среза, []=0,8В.
В расчет вводится только половина периметра шва. Тогда 1,12B [ p] =.
d Для компенсации ослабления, вводимого отверстием в аппарате, работающем под наружным давлением, требуется добавить в зону укрепления только 50 % от площади металла, необходимой для компенсации аналогичного отверстия в аппарате, работающем под внутренним давлением.
5.4. Современные конструкции укрепления отверстий и их расчет Конструкции и расчет современных укреплений отверстий в стенках аппаратов приведены в ГОСТ 24755-81. Расчет распространяется на укрепление круглых и овальных отверстий в стенках цилиндрических обечаек, конических переходов и днищ, эллиптических и полушаровых днищ, изготовленных из пластичных в условиях эксплуатации сталей. Основные конструкции укрепления отверстий приведены на рис. 5.5.
Пределы применимости методов расчета зависят от типа укрепляемого элемента и отношения диаметра штуцера к диаметру обечайки. Расчетный диаметр штуцера DR принимается в зависимости от вида и направления штуцера и выбирается по табл. 5.1.
Отверстия в краевой зоне обечаек и выпуклых днищ (кроме эллиптических), как правило, не допускаются. Поэтому расстояние от штуцера до края цилиндрической обечайки или конического перехода должно быть x0 0,5(B0 + d), где B0 – ширина зоны укрепления при отсутствии накладного кольца;
B0 = DR (s - c).
Рис. 5.5. Конструкции укрепления отверстий:
а – приварным штуцером с внешней стороны; б – приварным штуцером с двух сторон;
в – приварной вводной трубой; г – торовой вставкой; д – двумя приварными кольцами;
е – приварным снаружи кольцом; ж – отбортованной стенкой; з – врезной бобышкой;
и – накладной бобышкой Для эллиптических днищ x0 0,05(D - d).
Для сферических днищ x0 max{0,1(D + 2s); 0,09D + s + 0,5d}.
Отверстия в краевой зоне выпуклых днищ допускаются при условии dR max{(s - c); 0,2 DR (s - c)}.
Расчетные параметры. Расчетные диаметры укрепляемых элементов определяются в соответствии с табл. 5.1.
Таблица 5.Определение расчетного диаметра укрепляемого элемента Пределы применимости Укрепляемый элемент Расчетный диаметр, DR dR/D s/D Цилиндрическая обечайка 1,0 D 1,Коническая обечайка <0,1/cos DK/cos D2 D2 -4H Эллиптическое днище 1-4 xD0,5 0,Стандартное эллиптическое x 2D 1- днище Hд=0,25D D Сферическое днище 2R DK – внутренний диаметр конической обечайки по центру отверстия;
x — расстояние от центра укрепляемого отверстия до оси эллиптического днища;
x < 0,4D - 0,5(d + 2s1) Рис. 5.6. Наклонные штуцера на обечайках:
