WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 16 |

Меридиональный момент M = Rsin P0 exp(-k)sin k.

k Кольцевой момент D K = M - ctg0.

R Линейная деформация края сегмента (вдоль радиуса) 2kR 0 = - P0 sin2 0.

sE Угловая деформация края сегмента 2k 0 = - P0 sin 0 exp(-k)(cosk + sin k).

sE Коэффициент затухания для сегмента 3R2(1 - 2 ) k =.

sДля стали при =0,k =1,285 R / s.

Рис. 3.Сферический сегмент, край которого нагружен моментами М(Нм/м). Схема действия моментов приведена на рис. 3.5,в.

Перерезывающая сила 2k N = M exp(-k)sin k.

R Меридиональная сила U = -Nctg0.

Кольцевая сила 2k T = M0 exp(-k)(cosk - sin k).

R Меридиональный момент M = M0 exp(-k)(cosk + sin k).

Кольцевой момент D K = M - ctg0.

R Линейная деформация по радиусу 2k 0 = - M0 sin 0.

sE Угловая деформация 4k0 = - M0.

sER Конус, край которого нагружен радиально направленными распределенными силами Р0 (Н/м). Схема действия сил приведена на рис. 3.6,а.

Рассмотрим приближенное решение З.Б.Канторовича. Основные обозначения приведены на рис. 3.6,б.

Перерезывающая сила l l N = P0 cosexp(-k1)(cosk1 - sin k1).

x x Меридиональная сила U = -Ntg.

Кольцевая сила 24 3(1 - 2 ) l T = - tg4 P0l cosexp(-k1)cosk1.

x xs Меридиональный момент l tg s l M = P0 cosexp(-k1)sin k1.

x x 3(1 - 2 ) Кольцевой момент K M.

Линейная деформация 24 3(1 - 2 ) = P0R2.

sE sltd Угловая деформация 2 3(1 - 2) = ± P0R.

s2E Коэффициент жесткости 24 3(1 - 2 ) k1 = ( l - x).

stg Рис. 3.Конус, край которого нагружен моментами М0 (Нм/м). Схема действия моментов приведена на рис. 3.6,в.

Перерезывающая сила 24 3(1 - 2 ) l l N = M0 exp(-k1)sin k1.

x s x tg Меридиональная сила U = -Ntg.

Кольцевая сила 24 3(1 - 2 ) l l T = - M0 exp(-k1)(cosk1 - sin k1).

s x x Меридиональный момент l l M = M0 exp(-k1)(sin k1 + cosk1).

s x Кольцевой момент K M.

Линейная деформация 24 3(1 - 2 ) = M0R.

s2E Угловая деформация 4[ 3(1 - 2)] ltg = ± M0.

s s2E Для анализа работы единичных рассмотренных оболочек, нагруженных известными краевыми силами и моментами одновременно, следует придерживаться порядка:

а) по мембранной теории определить толщину стенки обечайки;

б) подсчитать значения коэффициентов затухания (k или k1), в зависимости от расстояния до края оболочки;

в) задаваясь расстоянием от края оболочки, рассчитать силы и моменты N, Uкр, Ткр, М, К и выбрать их максимальные значения.

Проведенные расчеты показали, что для всех оболочек на расстоянии x = силы и напряжения, связанные с краевыми эффектами, составляют всеk го несколько процентов от их значений на краю оболочки, поэтому учитывать их далее указанного расстояния нецелесообразно.

При ручном счете достаточно определить значения напряжений в двух точках: при kx=0 и при kx=/4. Значения функций при этом следующие.

При kx=exp(-kx)sin kx = 0;

exp(-kx)coskx =1;

exp(-kx)(coskx ± sin kx) =1.

При kx=/exp(-kx)sin kx = 0,327;

exp(-kx)coskx = 0,322;

exp(-kx)(coskx + sin kx) = 0,645;

exp(-kx)(coskx - sin kx) = 0.

Дополнительные напряжения будут равны:

Uкр кр Tкр 6M 6K кр U = ; t = ; M = ± ; K = ±.

s s s2 sКроме того, у края оболочки возникают напряжения среза N =.

s Полные напряжения будут равны N мем кр мем кр 1 = U + U ± M ; 2 = t + t ± K ; =.

s В общем случае значения сил Р0 и моментов М0 неизвестны и требуется их определение. Для этого используются уравнения совместности деформации сопрягаемых оболочек. Суть этих уравнений сводится к условию равенства между собой линейных и угловых перемещений краев в месте соединения оболочек. Наиболее общая система таких уравнений имеет вид ' вн вн (Po-P) + '(Po-P) + 'Mo = '' + '' + "Mo;

' (Po-P) Mo вн ( Mo вн + ' + ' = '' + ''Po-P) + ", где - радиальное перемещение оболочек;

- угловое перемещение их краев.

Верхние индексы относятся к сопрягаемым оболочкам. Нижний индекс «вн» характеризует деформации под действием внешних сил, например, под действием давления, а индекс «(Р0-Р)» – указывает на то, что деформация произошла под действием алгебраической суммы краевой силы Р0 и распорной силы Р. При плавном соединении оболочек P = -U sin 0° = 0, к чему следует всегда стремиться.

Линейные и угловые перемещения от действия внутреннего давления определяются следующими формулами.

1. Сферическая оболочка. Радиальное перемещение по главному радиусу R pRвн = (1 - ).

2sE Перемещение по радиусу параллельного круга pRвн = (1 - )sin 0.

2sE вн=0.

2. Цилиндрическая оболочка. Цилиндр, нагруженный внутренним газовым давлением:

pRвн = (2 - ); вн = 0.

2sE Цилиндр, нагруженный гидростатическим давлением:

xR2 Rвн = ; вн =.

sE sE 3. Коническая оболочка нагруженная газовым давлением:

px2 sin tg 3pxtgвн = (2 - ); вн =.

2sE 2sE Правило знаков. Краевые силы Р0 и линейные деформации положительны, если они вызывают увеличение радиуса оболочки. Краевые моменты М0 и угловые деформации положительны, если они поворачивают край оболочки наружу.

В некоторых случаях задача упрощается. Например:

а) при шарнирном закреплении частей М0=0 и Р0 находится из уравнения / + /(Po-P) = // + //Po-P);

вн вн ( б) край оболочки жестко заделан в недеформируемое основание, тогда / вн + /(Po-P) + /Mo = 0;

/ / Mo вн + (Po-P) + / = 0;

в) край оболочки шарнирно соединен с недеформируемым основанием / + /(Po-P) = 0.

вн Порядок определения краевых напряжений:

а) вычерчивают эквивалентную расчетную схему с указанием нагрузок и определяемых сил и моментов;



б) подсчитывают мембранные силы U и T, а также распорные силы Р;

в) составляют уравнения совместности деформации, определяют значения линейных и угловых перемещений и подставляют их в уравнения. Решением уравнений определяют значения краевых сил и моментов Р0 и М0;

г) определяют силы и моменты от краевого эффекта; практически достаточно подсчитать их для двух сечений: при kx=0 и при kx=/4;

д) по наибольшим значениям сил и моментов определяют суммарные напряжения;

е) по одной из теорий прочности (третьей или четвертой) определяют эквивалентные напряжения и сравнивают их с допускаемыми. В случае невыполнения условия прочности следует увеличить толщину оболочек, изменить форму их сопряжения, или укрепить края кольцами жесткости.

3.1. Цилиндрическая обечайка, жестко заделанная в недеформируемое основание и нагруженная внутренним давлением р Система уравнений совместности деформаций в соответствии с эквивалентной схемой, изображенной на рис.3.7, + Po + Mo = 0;

вн + Po + Mo = 0.

вн Определим линейные и угловые перемещения:

2 - вн = pR2; вн = 0;

2sE 2k 2k Po = - P0R2; Po = - P0R2;

sE sE 2k 4kРис. 3.Mo = M0R2; Mo = M0R2.

sE sE Подставим полученные значения в систему уравнений - 2k 2k pR2 - P0R2 + M R2 = 0;

2sE sE sE 2k 4k - P0R2 + sE M 0R2 = sE и после ее решения получим 2 - 2 - P0 = p; M = p.

2k 4k Полагая цилиндрическую обечайку стальной, имеем 1,k = ; P0 = 0,66 p sR; M = 0,26 psR.

sR На краю оболочки при kx=2 - 2 - 2 - Nx=0 = p; Tx=0 = - pR; M = p; Kx=0 = M.

x=0 x=2k 4k Если цилиндр закреплен еще и шарнирно, то М0=0 и имеется всего одно уравнение совместности деформации вн + Po = 0, тогда 2 - 2k 2 - pR2 - P0R2 = 0; P0 = p.

2sE sE 2k 3.2. Цилиндрическая обечайка, жестко заделанная в недеформируемое основание и нагретая по отношению к основанию на t K Система уравнений совместности деформаций, в соответствии с эквивалентной схемой, изображенной на рис.3. + Po + Mo = 0;

вн + Po + Mo = 0.

вн Обозначим линейный коэффициент температурного расширения материала обечайки через. Тогда радиальные и угловые деформации будут равны вн = tR; вн = 0;

2k 2k Рис. 3.Po = - P0R2; Po = - P0R2;

sE sE 2k 4kMo = M R2; Mo = M R2.

0 sE sE Подставим полученные значения в уравнение совместности деформации 2k 2k tR - P0R2 + sE M0R2 = 0;

sE 2 2k 4k - P0R2 + sE M 0R2 = sE и разрешим его относительно силы Р0 и момента М0:

tsE tsE P0 = ; M =.

kR 2k R Если край оболочки закреплен шарнирно, то М0=0 и имеется всего одно уравнение совместности деформации вн + Po = 0, тогда 2k tsE tR - P0R2 = 0; P0 =.

sE 2kR Подобный расчет необходимо производить главным образом для аппаратов, изготовленных из материалов с низкой теплопроводностью. В металлических аппаратах разность температур очень мала, поэтому краевые силы и моменты от температурных напряжений незначительны, и их можно не учитывать.

3.3. Крышка в виде шарового сегмента, жестко заделанная по краю и нагруженная внутренним газовым давлением р Схема нагружения и эквивалентная схема представлены на рис.3.9.

Рис. 3.9. К примеру 3.а – схема нагружения; б – эквивалентная схема; в – определение распорной силы Мембранные силы в сферической оболочке от давления р pR Uм = Тм =.

Распорная сила pR P = cos.

Линейная и угловая деформации края сферического сегмента 1 - вн = pR2 sin ; вн = 0;

2sE 2k 2k (Po-P) = - (P0 - P)Rsin2 ; (Po-P) = - (P0 - P)sin ;

sE sE 2k 4kMo = - M sin ; Mo = - M.

0 sE sER Уравнения совместности деформации – - 2k 2k pR2 sin - (P0 - P)Rsin2 - M0 sin = 0;

2sE sE sE 2k 4k - (P0 - P) - M 0 = 0, sE sER откуда находятся краевые силы и моменты 1 - 1 - P0 - P = pR; M0 = pR2.

2k sin 4k Далее определяются силы и моменты от краевых эффектов pR 1 - pR 1 - ctg; T = ; M = - U = pR2; K = M.

2 k 4k Затем проверяются условия прочности, как минимум, для двух сечений при kx=0 и при kx=/4.

3.4. Цилиндрическая обечайка и днище в виде сферического сегмента, нагруженные внутренним газовым давлением р Схема нагружения и эквивалентная схема представлены на рис.3.10.

Рис. 3.10. К примеру 3.а – схема нагружения; б – эквивалентная схема Введем обозначения:

s1 и r – толщина стенки и радиус цилиндрической обечайки;

s2 и R – толщина стенки и радиус сферического сегмента;

f=s2/s1 – отношение толщин стенки крышки и стенки корпуса.

Распорная сила, приложенная к краю крышки, pR P = U cos = cos.

м Радиальные и угловые перемещения краев соединяемых частей под действием давления p, краевых сил Р0 и моментов М0 будут равны:

а) для цилиндрической обечайки 2 - ц = - pr2; ц = 0;

вн вн 2s1E 2k 2k ц = - P0r2; ц = P0r2;

Po Po s1E s1E 2 2k 4k ц = - M r2; ц = M r2;

Mo 0 Mo s1E s1E б) для сферического сегмента 1 - c = - pR2 sin ; c = 0;

вн вн 2s2E 2k1 2kc(Po-P) = (P0 - P)Rsin2 ; cPo-P) = (P0 - P)sin ;

( s2E s2E 2k12 4kcMo = - M0 sin ; c = - M0.

Mo s2E s2ER Значения k и k1 для цилиндра и сферы соответственно равны 3(1 - 3(1 - 2)Rk = ; k1 =.

s1r sСоставим уравнение совместности деформации - 2k 2k 1 - pr2 - P0r - M r2 = - pR2 sin - 2s1E s1E s1E 2s2E 2k1 2k - (P0 - P)Rsin2 - M sin ;

s2E s2E 2 2 2k 4k3 2k1 4k P0r2 + M0r2 = (P0 - P)sin - M.

s1E s1E s2E s2ER r Поскольку R =, а s2=fs1, то k1 можно представить в виде sin 3(1 - 2)R2 kr kr k1 = = 3(1 - 2 =.





fs1 sin s2 f sin После замены коэффициентов затухания k1 на k получим 2 - 1 - 2k sin 2kp - 2kP0 - 2k M = - p + (P0 - P) - M ;

0 2 2 f sin f f f 1 2k P0 + 2kM0 = (P0 - P) - M.

f f f sin В случае s1 = s2 = s, f=1 получим - 1 - 2 p - 2kP0 - 2k M = - p + 2k sin (P0 - P) - 2k M ;

0 2 2sin P0 + 2kM0 = P0 - P - 2k M 0.

sin При решении любой из указанных систем уравнений определяются краевые силы Р0 и моменты М0 и соответствующие им напряжения.

Для сферических крышек и днищ влияние распорных сил на краевые силы и моменты очень велико и оно увеличивается с уменьшением угла.

Напряжения в месте соединения обечайки и крышки получаются очень большими, при этом краевые меридиональные напряжения намного превышают мембранные. Поэтому применение неотбортованных сферических днищ допускается только в аппаратах, работающих при давлениях не выше 0,07 МПа.

3.5. Цилиндрическая обечайка, соединенная с плоским днищем и нагруженная давлением р Схема нагружения и эквивалентная схема представлены на рис.3.11.

Рис. 3.11. К примеру 3.а – схема нагружения; б = эквивалентная схема Линейные и угловые деформации:

а) для плоского днища д д = 0; вн = - pr3;

вн 8D(1 + ) 1 - д = - P0r 0; д = 0;

Po Po s2E д 0; д = M r2, Mo Mo D(1 - ) где D – цилиндрическая жесткость пластинки;

s2E D = ;

12(1 - 2) б) для цилиндрической обечайки 2 - ц = pr2; ц = 0;

вн вн 2s1E 2k 2k ц = - P0r2; ц = - P0r2;

Po Po s1E s1E 2k 4kц = M r2; ц = M0r2.

Mo 0 Mo s1E s1E Уравнения совместности деформации – ц = + ц + ц ;

вн Po Mo ц д + ц = вн + д.

Po Mo Mo Принимая для стали =0,3 и подсчитывая значения k и D, получим 0,85 2,57 3, pr - P0r + M0 = 0;

ss1 rs1 s - 3,3 P0 + 8,48 M0 = 1,05 pr2 8,4 M 0.

2 2 3 s1 s1 rs1 s2 s После решения системы имеем s2 r 0,82 + 0,rs1 sP0 = kM0 + 0,33p s1r; M0 = pr2.

s2 r 6,56 + 3,rs1 sДалее определяются краевые силы и моменты N, U, T, M и K как для цилиндрической обечайки, так и для круглой плоской крышки.

3.6. Цилиндрическая обечайка, соединенная с коническим днищем и нагруженная давлением р Эквивалентная схема представлена на рис.3.12. Распорная сила равна pR P = -U sin = - sin.

Уравнение совместности деформации имеет вид ц = вн (Po-P) Mo вн (Po-P) Mo + ц + ц к + к + к ;

ц = (Po-P) Mo вн (Po-P) Mo вн + ц + ц к + к + к.

Радиальные и угловые деформации под действием внутреннего давления р, распорных сил Р, краевых сил Р0 и моментов М0 будут равны:

а) для цилиндрической обечайки 2 - ц = pR2; ц = 0;

вн вн 2s1E Рис. 3.2k 2k ц = - P0R2; ц = - P0R2;

Po Po s1E s1E 2k 4kц = M R2; ц = M R2 ;

Mo 0 Mo s1E s1E б) для края конического днища, которое у вершины считается замкнутым, т.е. х1=0 и х=l px2 sin tg 3pxtgк = (2 - ); к = ;

вн вн 2s2E 2s2E 24 3(1 - 2 ) 2 3(1 - 2 ) к = (P0 - P)R2; к = (P0 - P)R;

(Po-P) (Po-P) sE sltd s2E 4 3(1-2) 24 3(1-2) R к = M0R; к = M ;

Mo Mo 2E 2E s2 cos s2 s24 3(1 - 2 ) k1 = ( l - x).

stg Угловую деформацию можно выразить и так:

4[ 3(1 - 2)] ltg к = M0.

Mo s s2E Подставляя значения линейных и угловых перемещений в уравнение совместности деформаций и решая систему, получим значения краевых сил Р0 и моментов М0. Далее определяются краевые силы и моменты N, U, T, M и K как для цилиндрической обечайки, так и для конического днища.

4. РАСЧЕТ ТОНКИХ ПЛАСТИН Под действием внешних сил пластина (рис. 4.1) меняет свою кривизну одновременно в двух плоскостях. Форма полученной упругой поверхности характеризуется законом изменения прогибов w. Если допустить, что прогибы много меньше Рис. 4.толщины пластины h, т.е. w<

При расчете тонких пластин вводятся также допущения:

а) точки, расположенные на некоторой прямой, нормальной к срединной поверхности до деформации, нормальны к ней и после деформации;

б) нормальные напряжения в сечениях, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с изгибными.

4.1. Расчет круглых, симметрично нагруженных пластин Рассмотрим пластину постоянной толщины h, нагруженную силами симметрично оси z (рис. 4.2). Прогиб пластины w и угол поворота нормали являются функцией только радиуса r и связаны соотношением dw = -. (4.1) dr Рассмотрим элемент в осевом сечении пластины (рис. 4.3). Нормаль А1В1 повернется на угол, а нормаль А2В2 – на угол +d. ОтРис. 4.резок CD на расстоянии z от срединной поверхности получит удлинение z( + d) - z = zd.

Относительное его удлинение будет d r = z. (4.2) dr До изгиба пластины длина окружности, проходящей через точку С, была равна 2r, а после изгиба - 2(r+z). Относительное удлинение окружности t = z. (4.3) r Двумя осевыми сечениями под углом d друг к другу и двумя цилиндрическими сечениями с радиусами r и r+dr выделим из Рис.4.пластины элементарную призму (рис. 4.4).

Рис. 4.Связь между удлинениями и напряжениями определяется законом Гука в виде r + t t + r r = ;.

t = E E Выразим напряжения через деформации E E r = (r + t ); t = (t + r ).

1 - 2 1 - Согласно выражениям (4.2) и (4.3), получим Ez d r = + ; (4.4) dr r 1 - Ez d.

t = + (4.5) r dr 1 - На гранях призмы, кроме нормальных, возможно возникновение касательных напряжений в вертикальном направлении перпендикулярно радиусу.

Рассмотрим условие равновесия выделенной призмы (рис 4.5). Введем обозначения:

Q – перерезывающая сила, приходящаяся на единицу длины, (для сокращения – поперечная сила);

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 16 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.